Katedra Elektrotechniki i Podstaw Informatyki

LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW

Ćw. nr

Temat

2

Badanie własności sygnałów dyskretnych

z wykorzystaniem przekształcenia Z

Opracowały

Rok / gr. lab.

Data wyk. ćw.

1.

2.

1EF-DI / L2

23.10.2013

--------------------

--------------------

--------------------

--------------------

1) Skok jednostkowy u[n]

Ćwiczenie 1:

Wyznaczyć transformaty Z następujących funkcji

a) f1[n]:=2u[n] + u[n-2]

b) f2[n]:=u[n] - u[n-4]

Jak zmieni się transformata

Z

względem transformaty skoku jednostkowego?

2) Impuls jednostkowy - Delta Kroneckera [n]

Ćwiczenie 2:

- Wyznaczyć transformaty Z następujących funkcji

a) f1[n]:=2δ [n]+ δ [n-2]

b) f2[n]:=3δ [n] +2δ [n-1] – δ [n-3]

Jak zmienia się transformata

Z

funkcji względem Delty podstawowej

f1 n

( )

2 u n 0

(

)

u n 2

(

)

f1 n

( ) zt rans n

2 z

2

1

z z

1

(

)

f2 n

( )

u n 0

(

)

u n 4

(

)

f2 n

( ) zt rans

z

3

z

2

z

1

z

3

f1 n

( )

2

n 0

(

)

n 2

(

)

f1 n

( ) zt rans n

2 z

2

1

z

2

f2 n

( ) zt rans n

z

3

z

2

z

1

z

3

f2 n

( )

3

n 0

(

)

2

n 1

(

)

n 3

(

)

a)

3) Funkcja wykładnicza an

Ćwiczenie 3:

- W

yznaczyć transformaty Z następujących funkcji

a) f1[n]:=5*(0.8)n

b

) f3[n]:=

2

*

(0.5)

n-1 *

u[n-1]

Jak zmienia się transformata Z ?

b)

f1 n

( )

5 0.8

(

)

n

f1 n

( ) zt rans n

5 z

z

0.8

simp lify

4.0

z

0.8

5.0

f n

( )

0.8

(

)

n

f n

( ) zt rans n

z

z

0.8

5

z

z

0.8

simp lify

4.0

z

0.8

5.0

f3 n

( )

2 0.5

(

)

n 1

u n 1

(

)

f3 n

( ) zt rans

4.0

2.0 z

1.0

simp lify

4.0

2.0 z

1.0

f n

( )

0.5

(

)

n

f n

( ) zt rans

z

z

0.5

2z

z

0.5

z

1

simp lify

4.0

2.0 z

1.0

4) Wyznaczanie transformaty odwrotnej Z

a)

b)

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

0

1

f n

( )

n

F z

( )

1

z

f n

( )

F z

( ) invztrans

n

1 0

(

)

n

0 8

F z

( )

1

2 z

2

z

3

f n

( )

F z

( ) invztrans

n 0

(

)

2

n

2 0

(

)

n

3 0

(

)

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

0

1

2

3

f n

( )

n

c)

d)

F z

( )

1

z

1

f n

( )

F z

( ) invztrans

1

n 0

(

)

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

0

1

2

3

f n

( )

n

F z

( )

z

2

z

1

f n

( )

F z

( ) invztrans

1

n

1 0

(

)

n

2 0

(

)

n 0

(

)

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

0

1

2

3

f n

( )

n

e)

f)

F z

( )

z

z

1

(

) z

1

(

)

f n

( )

F z

( ) invztrans

n

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

5

10

f n

( )

n

F z

( )

z

2

z

1

3

z

1

5

f n

( )

F z

( ) invz trans

5

1

3

n

2

3

1

5

n

2

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

0

1

2

3

f n

( )

n

g)

F z

( )

10z

z

1

2

z

1

5

f n

( )

F z

( ) invz trans

100

1

2

n

3

100

1

5

n

3

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

f n

( )

n

h)

F z

( )

1

z

2

(

) z

3

(

)

f n

( )

F z

( ) invztrans

2

n

10

n 0

(

)

6

3

(

)

n

15

n

0 8

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

20

10

0

10

20

f n

( )

n

WNIOSKI:

Zadanie 1.

Transformata z podpunktu a) powstała poprzez zsumowanie dwóch skoków jednostkowych, z czego
pierwszy jest o dwukrotnej amplitudzie, a drugi jest opóźniony o 2 jednostki. Drugą składową musimy
pomnożyć przez z

-n

(gdzie n- wartość opóźnienia).Po wykonaniu odpowiednich obliczeń dostajemy

poprawny wynik.

Transformata z podpunktu b) jest bardzo podobna. Postępujemy z nią tak, jak w poprzednim przykładzie.
Również w tym przypadku otrzymujemy poprawny wynik.

Podczas wykonywania tego zadania zauważyłyśmy, że różnica dwóch transformat Z jest równa
transformacie z różnicy.

Zadanie 2.

Transformata Z Delty Kroneckera wynosi 1. Pierwsza transformata składa się z dwóch składowych:
pierwsza o dwukrotnie większej amplitudzie, a druga opóźniona o 2 jednostki. Korzystając ze wzoru

możemy obliczyć transformatę opóźnioną o k jednostek. Podczas wykonywania tego przykładu

można zauważyć, że suma poszczególnych transformat jest równa transformacie Z sumy.

W drugim z przykładów mamy trzy składowe: delta podstawowa o amplitudzie równej 3, delta opóźniona
o 1 jednostkę o dwukrotnie większej amplitudzie oraz delta opóźniona o 3 jednostki. Postępując
podobnie jak poprzednio dochodzimy do analogicznego wniosku. Różnica transformat jest równa
transformacie różnic.

Zadanie 3.

Funkcja wykładnicza z podpunktu a) to pięciokrotnie powiększony sygnał (0,8)

n

(a=0,8). Transformata Z z

iloczynu jest równa iloczynowi transformat.

Drugi z przykładów jest bardziej skomplikowany. Mamy tutaj iloczyn funkcji (0,5)

n

opóźnionego o 1

jednostkę

dwukrotnie powiększoną oraz skoku jednostkowego również opóźnionego o 1 jednostkę. Po

wyznaczeniu transformaty Z oraz pomnożeniu jej możemy zauważyć, że jest ona równa transformacie
całej funkcji.

Zadanie 4.

Wartości poszczególnych transformat odwrotnych można wyznaczyć bez użycia programu. Sygnał jaki
otrzymamy w wyniku odwrotnej transformaty Z jest deltą Kroneckera opóźnioną o 1 jednostkę,
ponieważ możemy zapisać te sygnały w postaci z

-1

.

Kolejne przykłady obliczamy podobnie, również rozbijając poszczególne transformaty Z na proste ułamki.
Upraszczając je, można zauważyć, że sygnał który powstaje w wyniku takich działań, jest taki sam jak
wynik odwrotnej transformaty Z.