Katedra Elektrotechniki i Podstaw Informatyki
LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW
Ćw. nr
Temat
2
Badanie własności sygnałów dyskretnych
z wykorzystaniem przekształcenia Z
Opracowały
Rok / gr. lab.
Data wyk. ćw.
1.
2.
1EF-DI / L2
23.10.2013
--------------------
--------------------
--------------------
--------------------
1) Skok jednostkowy u[n]
Ćwiczenie 1:
Wyznaczyć transformaty Z następujących funkcji
a) f1[n]:=2u[n] + u[n-2]
b) f2[n]:=u[n] - u[n-4]
Jak zmieni się transformata
Z
względem transformaty skoku jednostkowego?
2) Impuls jednostkowy - Delta Kroneckera [n]
Ćwiczenie 2:
- Wyznaczyć transformaty Z następujących funkcji
a) f1[n]:=2δ [n]+ δ [n-2]
b) f2[n]:=3δ [n] +2δ [n-1] – δ [n-3]
Jak zmienia się transformata
Z
funkcji względem Delty podstawowej
f1 n
( )
2 u n 0
(
)
u n 2
(
)
f1 n
( ) zt rans n
2 z
2
1
z z
1
(
)
f2 n
( )
u n 0
(
)
u n 4
(
)
f2 n
( ) zt rans
z
3
z
2
z
1
z
3
f1 n
( )
2
n 0
(
)
n 2
(
)
f1 n
( ) zt rans n
2 z
2
1
z
2
f2 n
( ) zt rans n
z
3
z
2
z
1
z
3
f2 n
( )
3
n 0
(
)
2
n 1
(
)
n 3
(
)
a)
3) Funkcja wykładnicza an
Ćwiczenie 3:
- W
yznaczyć transformaty Z następujących funkcji
a) f1[n]:=5*(0.8)n
b
) f3[n]:=
2
*
(0.5)
n-1 *
u[n-1]
Jak zmienia się transformata Z ?
b)
f1 n
( )
5 0.8
(
)
n
f1 n
( ) zt rans n
5 z
z
0.8
simp lify
4.0
z
0.8
5.0
f n
( )
0.8
(
)
n
f n
( ) zt rans n
z
z
0.8
5
z
z
0.8
simp lify
4.0
z
0.8
5.0
f3 n
( )
2 0.5
(
)
n 1
u n 1
(
)
f3 n
( ) zt rans
4.0
2.0 z
1.0
simp lify
4.0
2.0 z
1.0
f n
( )
0.5
(
)
n
f n
( ) zt rans
z
z
0.5
2z
z
0.5
z
1
simp lify
4.0
2.0 z
1.0
4) Wyznaczanie transformaty odwrotnej Z
a)
b)
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0
1
f n
( )
n
F z
( )
1
z
f n
( )
F z
( ) invztrans
n
1 0
(
)
n
0 8
F z
( )
1
2 z
2
z
3
f n
( )
F z
( ) invztrans
n 0
(
)
2
n
2 0
(
)
n
3 0
(
)
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
f n
( )
n
c)
d)
F z
( )
1
z
1
f n
( )
F z
( ) invztrans
1
n 0
(
)
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
f n
( )
n
F z
( )
z
2
z
1
f n
( )
F z
( ) invztrans
1
n
1 0
(
)
n
2 0
(
)
n 0
(
)
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
f n
( )
n
e)
f)
F z
( )
z
z
1
(
) z
1
(
)
f n
( )
F z
( ) invztrans
n
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
5
10
f n
( )
n
F z
( )
z
2
z
1
3
z
1
5
f n
( )
F z
( ) invz trans
5
1
3
n
2
3
1
5
n
2
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
f n
( )
n
g)
F z
( )
10z
z
1
2
z
1
5
f n
( )
F z
( ) invz trans
100
1
2
n
3
100
1
5
n
3
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
f n
( )
n
h)
F z
( )
1
z
2
(
) z
3
(
)
f n
( )
F z
( ) invztrans
2
n
10
n 0
(
)
6
3
(
)
n
15
n
0 8
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
20
10
0
10
20
f n
( )
n
WNIOSKI:
Zadanie 1.
Transformata z podpunktu a) powstała poprzez zsumowanie dwóch skoków jednostkowych, z czego
pierwszy jest o dwukrotnej amplitudzie, a drugi jest opóźniony o 2 jednostki. Drugą składową musimy
pomnożyć przez z
-n
(gdzie n- wartość opóźnienia).Po wykonaniu odpowiednich obliczeń dostajemy
poprawny wynik.
Transformata z podpunktu b) jest bardzo podobna. Postępujemy z nią tak, jak w poprzednim przykładzie.
Również w tym przypadku otrzymujemy poprawny wynik.
Podczas wykonywania tego zadania zauważyłyśmy, że różnica dwóch transformat Z jest równa
transformacie z różnicy.
Zadanie 2.
Transformata Z Delty Kroneckera wynosi 1. Pierwsza transformata składa się z dwóch składowych:
pierwsza o dwukrotnie większej amplitudzie, a druga opóźniona o 2 jednostki. Korzystając ze wzoru
możemy obliczyć transformatę opóźnioną o k jednostek. Podczas wykonywania tego przykładu
można zauważyć, że suma poszczególnych transformat jest równa transformacie Z sumy.
W drugim z przykładów mamy trzy składowe: delta podstawowa o amplitudzie równej 3, delta opóźniona
o 1 jednostkę o dwukrotnie większej amplitudzie oraz delta opóźniona o 3 jednostki. Postępując
podobnie jak poprzednio dochodzimy do analogicznego wniosku. Różnica transformat jest równa
transformacie różnic.
Zadanie 3.
Funkcja wykładnicza z podpunktu a) to pięciokrotnie powiększony sygnał (0,8)
n
(a=0,8). Transformata Z z
iloczynu jest równa iloczynowi transformat.
Drugi z przykładów jest bardziej skomplikowany. Mamy tutaj iloczyn funkcji (0,5)
n
opóźnionego o 1
jednostkę
dwukrotnie powiększoną oraz skoku jednostkowego również opóźnionego o 1 jednostkę. Po
wyznaczeniu transformaty Z oraz pomnożeniu jej możemy zauważyć, że jest ona równa transformacie
całej funkcji.
Zadanie 4.
Wartości poszczególnych transformat odwrotnych można wyznaczyć bez użycia programu. Sygnał jaki
otrzymamy w wyniku odwrotnej transformaty Z jest deltą Kroneckera opóźnioną o 1 jednostkę,
ponieważ możemy zapisać te sygnały w postaci z
-1
.
Kolejne przykłady obliczamy podobnie, również rozbijając poszczególne transformaty Z na proste ułamki.
Upraszczając je, można zauważyć, że sygnał który powstaje w wyniku takich działań, jest taki sam jak
wynik odwrotnej transformaty Z.