Janusz Kacerka

Dyskretne Układy

Regulacji

————————————————————————————————————————

Semestr 5 Elektrotechnika

Rozdział 1 - 2

Spis treści

1. WSTĘP..........................................................................................................................................................................................................................................3

1.1 P

RZYCZYNY ZASTOSOWANIA URZĄDZEŃ DYSKRETNYCH W UKŁADACH AUTOMATYKI

...............................................................................................................4

1.2 Z

ADANIA REALIZOWANE PRZEZ URZĄDZENIA CYFROWE W AUTOMATYCE

.................................................................................................................................5

1.3 U

KŁADY CZASU RZECZYWISTEGO

.............................................................................................................................................................................................8

2. DYSKRETNY UKŁAD REGULACJI..................................................................................................................................................................................... 11

2.1 P

RZETWARZANIE SYGNAŁÓW W UKŁADACH DYSKRETNYCH

...................................................................................................................................................13

2.2 M

ODELE UKŁADÓW DYSKRETNYCH

........................................................................................................................................................................................22

2

Dyskretne Układy Regulacji

LITERATURA ...............................................................................................................................................................................................................................34

Rozdział 1

1. Wstęp

Tematem opracowania są dyskretne układy regulacji. Omówiono najważniejsze

zagadnienia związane z modelowaniem, analizą i syntezą dyskretnych układów regulacji.

Wykład obejmuje głównie problemy dyskretnych układów liniowych stacjonarnych.

Zagadnienie nieliniowości jest związane z realizacją specjalnych algorytmów sterowania

dyskretnego względnie z nieliniowością sterowanego obiektu. W programie przewidziano

zapoznanie się z wybranym układem nieliniowym – układem regulacji dwupołożeniowej.

3

Dyskretne Układy Regulacji

We wstępie przedstawiono krótko przyczyny zastosowania układów dyskretnych w

automatyce i zadania realizowane przez te układy. Układy dyskretne realizowane są przy

pomocy urządzeń cyfrowych: komputerów, sterowników PLC, regulatorów cyfrowych.

Rozwój techniki zadecydował o powszechności zastosowań urządzeń o działaniu

dyskretnym (cyfrowym) w przemyśle, urządzeniach domowych powszechnego użytku i

Rozdział 1

innych.

1.1 Przyczyny zastosowania urządzeń dyskretnych w układach automatyki

- Rozwój techniki cyfrowej,

- Obniżka kosztów urządzeń,

- Możliwość kontroli wielu parametrów,

- Wykrywanie stanów awaryjnych,

- Rejestracja przebiegów regulacji,

- Możliwość realizacji złożonych reguł sterowania,

- Przyspieszenie przebiegu procesów realizowanych etapami,

- Dokładność sterowania,

4

Dyskretne Układy Regulacji

- Automatyzacja procesów produkcyjnych.

Rozdział 1

1.2 Zadania realizowane przez urządzenia cyfrowe w automatyce

a) Nadzorowanie przebiegu procesu produkcyjnego lub technologicznego - SCADA
(Supervisory Control And Data Acquisition)

- System komputerowy pełniący nadrzędną rolę w stosunku do regulatorów cyfrowych

(także analogowych), sterowników PLC i innych urządzeń wchodzących w skład
rozbudowanego systemu produkcji.

- Głównym zadaniem SCADA jest:

- Zbieranie i rejestracja (archiwizacja) danych;

- Wizualizacja przebiegów, wskazywanie trendów zmian, wyznaczanie syntetycznych

wskaźników sterowania;

- Przewidywanie i sygnalizacja stanów alarmowych;

5

Dyskretne Układy Regulacji

- Zadawanie parametrów procesu.

Rozdział 1

b) Bezpośrednie sterowanie cyfrowe (DDC - Direct Digital Control)

Urządzenia

pomiarowe

Przetworniki

sygnałów

Komputer

Urządzenia
zewnętrzne

Przetworniki

sygnałów

Urządzenia

wykonawcze

Obiekt

Rys.1.1. Schemat układu DDC

6

Dyskretne Układy Regulacji

c) Pośrednie sterowanie cyfrowe (sterowanie nadrzędne)

Rozdział 1

Urządzenia

pomiarowe

Przetworniki

sygnałów

Komputer

Urządzenia
zewnętrzne

Przetworniki

sygnałów

Regulator

Obiekt

Rys.1.2. Sterowanie nadrzędne (sterowanie pośrednie)

d) Sterowanie sekwencyjne,

7

Dyskretne Układy Regulacji

e) Sterowanie programowe przesunięć (kątowych, liniowych).

Rozdział 1

1.3 Układy czasu rzeczywistego

Czas jest bardzo ważnym czynnikiem we wszelkich przemysłowych zastosowaniach

komputerów. Komputer musi często reagować na zewnętrzne zdarzenia w ściśle

określonym czasie. Po pobraniu danych z układu pomiarowego komputer musi

przyporządkować próbkę chwili, w której została pobrana. Takie wymagania spełniane są

przez układy czasu rzeczywistego (real-time systems). Układ czasu rzeczywistego może

być zdefiniowany jako taki, w którym:

-

przebieg programu zależy od zdarzeń zewnętrznych w stosunku do komputera lub

od upływu czasu,

8

Dyskretne Układy Regulacji

-

dane przetwarzane przez komputer zawierają czas lub przedział czasu.

System czasu rzeczywistego pracuje pod kontrolą systemu operacyjnego czasu

Rozdział 1

rzeczywistego. Oprócz komputera do systemów czasu rzeczywistego włącza się sieci

komputerowe, urządzenia wejść i wyjść oraz urządzenia sterowane przez komputer np.

roboty.

Wszystkie definicje systemów czasu rzeczywistego podkreślają związek przebiegu

zmian w środowisku zewnętrznym i obliczeń przeprowadzanych w systemie

komputerowym. Synchronizacja obliczeń, przekroczenia wymaganego czasu reakcji

systemów oraz przeznaczenie systemów czasu rzeczywistego są kryteriami podziału

systemów [23]. Wymienia się następujące systemy:

•

systemy o ostrych ograniczeniach czasowych (hard real-time), w których przekroczenie

terminu wykonania zadań powoduje zagrożenie dla otoczenia (zdrowie i życie ludzi,

zniszczenie urządzeń)

9

Dyskretne Układy Regulacji

•

systemy o mocnych ograniczeniach czasowych (firm real-time), w których przekroczenie

Rozdział 1

terminu jest przyczyną nieprzydatności wypracowanego przez system wyniku, bez

zagrożenia dla ludzi lub sprzętu; pojęcie to stosowane jest głównie w opisie baz danych

czasu rzeczywistego,

10

Dyskretne Układy Regulacji

•

systemy o łagodnych ograniczeniach czasowych (soft real-time), w których przekroczenie

określonego czasu wiąże się z negatywnymi skutkami w tym większym zakresie im dłużej

trwało przekroczenie terminu.

Rozdział 2

11

Dyskretne Układy Regulacji

2. Dyskretny układ regulacji

Polska norma podaje następujące definicje.

a) Układ sterowania o działaniu dyskretnym – układ, w którym wielkość wyjściowa, co

najmniej jednego z istotnych elementów układu sterującego, może przyjmować tylko

skończoną liczbę stanów wyjść.

b) Układ sterowania impulsowy – układ, w którym co najmniej jeden z istotnych

elementów układu sterującego może przetwarzać wielkości wejściowe tylko w

określonych chwilach, przy czym wielkości wyjściowe tych elementów są sygnałami

impulsowymi.

c) Układ dyskretny – układ złożony z elementów dyskretnych, który pod wpływem

działania nań zewnętrznych wielkości fizycznych generuje na swoim wyjściu sygnał

dyskretny

Rozdział 2

12

Dyskretne Układy Regulacji

d) Sygnał cyfrowy – sygnał skwantowany, przedstawiony w postaci odwzorowującej liczbę

[14].

Wykład dotyczy układów regulacji, to znaczy układów działających w systemie

zamkniętym (Rys.2.1). Do elementów wchodzących w skład dyskretnych układów

regulacji odnoszą się przytoczone definicje, przy czym znaczenie tych definicji

odpowiada szerszej klasie układów np. układów pracujących w systemie otwartym,

układów przekaźnikowych, sekwencyjnych.

Rozdział 2

2.1 Przetwarzanie sygnałów w układach dyskretnych

Na rys.2.1 przedstawiono ogólną postać układu regulacji (a) oraz postać typową dla

układu regulacji dyskretnej (b). Realizacja techniczna regulatora może być różna, może to

być:

- Regulator cyfrowy (uniwersalny lub specjalizowany);

- Regulator realizowany przez PLC;

13

Dyskretne Układy Regulacji

- Komputer z kartą pomiarową z wejściami i wyjściami analogowymi.

Rozdział 2

A/D

Cyfrowy
algorytm
regulacji

Obiekt
regulacji

D/A

y

0

ε

ε

d

u

d

u

a

y

_

Obiekt
regulacji

ε

u

y

_

Regulator

a)

y

0

b)

Rys.2.1. Schemat układu regulacji: a) postać ogólna, b) układ dyskretny

14

Dyskretne Układy Regulacji

Oznaczenia:

Rozdział 2

y

0

– wartość zadana wielkości regulowanej;

ε - uchyb regulacji;

u – sygnał sterujący obiektu regulacji;

y – wielkość regulowana;

ε

d

– sygnał dyskretny uchybu regulacji;

u

d

–dyskretny sygnał sterujący obiektu regulacji.

W przetworniku A/D (A/C – analogowo - cyfrowy) dokonywana jest zamiana sygnału

ciągłego, w tym przypadku sygnału uchybu ε(t) na sygnał cyfrowy ε

d

(k), gdzie k= 0,1,2,3...

Do sterowania obiektu potrzeba zazwyczaj sygnału analogowego. Jest to sygnał ciągły

przedziałami. Sygnały są ciągłe w tym przypadku w przedziałach czasu

15

Dyskretne Układy Regulacji

T

i

k

≤t< T

i

(k+1) k=0,1,2,3...

(2.1)

Rozdział 2

Sygnał dyskretny zostaje zamieniony na analogowy w przetworniku D/A (C/A - cyfrowo –

analogowy). W tym przypadku wartość sygnału jest stała w podanych przedziałach.

Natomiast sygnał cyfrowy u

d

zostaje z kolei przetworzony na sygnał analogowy u(t)

sterujący obiektem.

W procesach przemysłowych szereg sygnałów ma charakter ciągły, np. temperatura,

przepływ, ciśnienie, stężenie substancji, napięcie, prąd. Sygnały takie są przetwarzane na

sygnały cyfrowe. Sygnały zbierane w układzie regulacji mogą być przesyłane przez

elementy pomiarowe także w postaci cyfrowej. Z zasady pomiar i odczyt danych związany z

przetwarzaniem na sygnał dyskretny odbywa się w określonych (dyskretnych) chwilach

czasu.

16

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 2

ε(t)

ε

i

(k)

T

s

kT

s

t

ε

d

(k

)

T

s

T

s

kT

s

a)

b)

c)

Rys.2.2. Zamiana sygnału ciągłego a) na impulsowy b) i dyskretny w poziomie c)

17

Dyskretne Układy Regulacji

Na rys.2.2 pokazano etapy przetwarzania sygnału analogowego. Sygnał jest

próbkowany w czasie (następuje jego dyskretyzacja w czasie, kwantowanie w czasie) a

następnie kwantowany w poziomie. Próbkowanie w czasie odbywa się zazwyczaj w

ustalonych chwilach czasu, którym można przypisać kolejne liczby naturalne k. Czas od

pobrania jednej próbki sygnału do pobrania następnej nazywa się okresem kwantowania

Rozdział 2

18

Dyskretne Układy Regulacji

(okresem próbkowania, okresem impulsowania). Sygnał po próbkowaniu w czasie ma

wartość sygnału analogowego w kolejnych chwilach czasu i nazywany jest sygnałem

impulsowym. Informacja o wartości sygnału np. wartości regulowanej dotyczy tylko

wybranych chwil czasu. Sygnał impulsowy, np.

ε

i

na rys.2.1, może przyjmować ogólnie

dowolne wartości rzeczywiste. W układzie z urządzeniami cyfrowymi sygnał taki może

przyjmować jednak tylko wybrane wartości z przedziału narzuconego przez zastosowane

urządzenie. Sygnał zostaje poddany kwantowaniu w poziomie, np. sygnał

ε

d

na rys.2.1.

Kolejne poziomy są oddalone od siebie o ustaloną, stałą wartość. Skwantowane w

czasie i poziomie sygnały są kodowane i w postaci sygnałów cyfrowych przetwarzane

przez komputer według określonego algorytmu. Kodowanie następuje w przetworniku

analogowo – cyfrowym i daje ciąg liczb w kodzie binarnym np. prostym lub kodzie BCD

(kod 8421, kod dwójkowo – dziesiętny).

Rozdział 2

Przetwornik wprowadza do układu regulacji błędy analogowe (dokładność względna i

bezwzględna) oraz błąd kwantyzacji. Przetwornik charakteryzuje się liczbą dyskretnych

wartości, które może wytworzyć. Liczbę tę określa się w bitach. Na przykład dla

przetwornika N=12 bitowego sygnał cyfrowy może przyjąć 2

12

=4096 wartości. Wynika

stąd rozdzielczość przetwornika podawana w zwykle w procentach

Rozdzielczość

%

024

,

0

%

2

100

%

2

100

12

12

=

=

=

−

N

N

(2.2)

19

Dyskretne Układy Regulacji

Przetwarzanie sygnałów – próbkowanie i kwantowanie – powoduje określone

problemy w realizacji sterowania, różniące układy dyskretne od układów ciągłych.

Analiza i projektowanie układów dyskretnych wymaga innego aparatu matematycznego

niż stosowany w układach ciągłych. W szczególności w układach dyskretnych nie są

Rozdział 2

określone pochodne funkcji i nie można posługiwać się zwykłymi równaniami

różniczkowymi. Charakterystyczne dla układów dyskretnych jest:

- stosowanie równań różnicowych zamiast równań różniczkowych;

- wykorzystanie przekształcenia dyskretnego Z zamiast przekształcenia Laplace’a.

Na ogół w analizie i projektowaniu układów dyskretnych zaniedbuje się nieliniowości

wynikające z kwantowania sygnałów w poziomie m.in. ze względu na dużą rozdzielczość

przetwornika A/D. Do rozważań bierze się sygnały impulsowe. Wówczas dla liniowego

obiektu ciągłego można znaleźć dyskretny model liniowy. W większości przypadków

sterowania takie podejście jest wystarczające.

Przykład.2.1

Wyznaczanie całki y(k) sygnału dyskretnego x(k) (całkowanie dyskretne). Przedstawiony

przykład dotyczy całkowania metodą prostokątów (Euler Forward Method)

20

Dyskretne Układy Regulacji

Algorytm przedstawiono w postaci pseudokodu.

Rozdział 2

Start

1. Zapamiętaj wartość początkową całki - y(0)=0

2. Odczytaj próbkę z przetwornika A/D i zapamiętaj - A/D ->x

3. Oblicz bieżącą wartość - y=y+T

s

*x

4. Wyślij wartość y do przetwornika D/A

5. Czekaj do końca okresu impulsowania (opóźnienie kolejnej operacji o okres T

s

)

6. Przejdź do punktu 2

W układzie dyskretnym z pominięciem kwantowania w poziomie w punkcie 2 przykładu

odczytuje się a następnie zapamiętuje do obliczeń próbkę sygnału ciągłego.

21

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 2

2.2 Modele układów dyskretnych

W układach dyskretnych w ustalonych chwilach czasu jest odczytywana wartość

sygnału ciągłego i po przewidzianych algorytmem sterowania obliczeniach sygnał

sterujący jest przekazywany na wejście obiektu regulacji. Sygnał dyskretny, który można

uważać za rezultat działania idealnego klucza, ma postać:

( )

( )

⎩

⎨

⎧

≠

=

=

s

s

d

kT

t

kT

t

dla

t

u

t

u

0

(2.3)

u(t)

T

s

u(kT

s

)

Rys.2.3. Klucz idealny

22

Dyskretne Układy Regulacji

Sygnał taki nie niesie ze sobą żadnej energii (całka Riemanna w otoczeniu chwil

impulsowania jest równa 0) i jako taki nie może wysterować obiektu ciągłego. Z tego

Rozdział 2

powodu stosuje się model przetwarzania sygnału ciągłego na dyskretny z

wykorzystaniem ciągu impulsów Diraca

(

)

( )

1

...

2

,

1

,

0

0

=

δ

=

⎩

⎨

⎧

≠

=

∞

=

−

δ

∫

∞

=

∞

−

dt

t

k

kT

t

kT

t

dla

kT

t

s

s

s

(2.4)

Impuls Diraca nie jest funkcją, lecz dystrybucją. Ma właściwości filtrujące, tzn. spełniona

jest zależność

( ) (

)

( )

s

s

kT

f

dt

kT

t

t

f

=

−

δ

∫

+∞

∞

−

(2.5)

23

Dyskretne Układy Regulacji

W teorii układów liniowych ciągłych znane jest pojęcie odpowiedzi impulsowej. Jest to

odpowiedź układu na sygnał w postaci impulsu Diraca. Ponieważ transformata Laplace’a

impulsu Diraca jest

Rozdział 2

( )

[ ]

( )

1

0

=

δ

=

δ

−

∞

∫

dt

e

t

t

L

st

(2.6)

to odpowiedź impulsowa jest określona wzorem

( )

( ) ( )

[ ]

( )

( )

( )

[

]

s

G

L

t

g

s

G

t

L

s

G

s

g

1

−

=

=

δ

=

,

(2.7)

gdzie G(s) – transmitancja ciągła obiektu,

g(s) – transformata odpowiedzi impulsowej równa transmitancji obiektu,

g(t) – odpowiedź impulsowa w funkcji czasu.

Klucz idealny skojarzony z ciągiem impulsów Diraca nazywa się impulsatorem idealnym.

Symbol impulsatora idealnego przedstawiono na rysunku

24

Dyskretne Układy Regulacji

u(t)

u*(t)

T

s

Rozdział 2

Rys.2.4. Impulsator idealny

Sygnał wyjściowy impulsatora idealnego jest określony wzorem

( )

( ) (

)

( ) (

)

s

k

s

s

k

kT

t

kT

u

kT

t

t

u

t

u

−

δ

=

−

δ

=

∑

∑

∞

=

∞

=

0

0

*

(2.8)

Odpowiedź na sygnał u(t) układu ciągłego, poprzedzonego impulsatorem idealnym,

można rozpatrywać jako sumę odpowiedzi impulsowych wynikających z pojawiania się na

wejściu układu ciągłego kolejnych impulsów Diraca z wagami u(kT

s

), lub w uproszczonym

zapisie u(k).

y(t)

T

s

y(kT

s

)

G(s)

u(t) u

*

(t)

y(t)

25

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.2.5. Obiekt ciągły z impulsatorem idealnym

Rozdział 2

Odpowiedź układu przedstawionego na rysunku w dyskretnych chwilach czasu ma

następującą postać

( )

( ) (

)

( ) (

)

k

n

g

k

u

kT

nT

g

kT

u

nT

y

n

k

k

s

s

n

k

k

s

s

−

=

−

=

∑

∑

=

=

=

=

0

0

(2.9)

Postać sygnału y(nT

s

) wynika z sumowania wartości odpowiedzi impulsowych g(t) w

kolejnych chwilach k. Sumowanie pokazano w tabeli (2.1)

u(2T

s

)

u(t)

u(4T

s

)

u(T

s

)

u(0)

0 T

s

2T

s

3T

s

4T

s

t

u(t)

u

*

(t)

u

*

(t) (impulsy Diraca)

0 T

s

2T

s

3T

s

4T

s

kT

s

u(0)

δ(t)

u(T

s

)δ

(t-T

s

)

u(2T

s

)δ

(t-2T

s

)

u(3T

s

)δ

(t-3T

s

)

u(

4T

s

)δ

(t-4

T

s

)

26

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.2.6. Działanie impulsatora idealnego

Rozdział 2

27

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 2

Tabela 2.1 Sumowanie wartości odpowiedzi impulsowych w dyskretnych chwilach

k 0 1

2

n

u(0)

δ(0)

u(0) g(0)

u(0) g(1)

u(0) g(2)

u(0) g(n)

u(1)

δ(n-1)

0

u(1) g(0)

u(1) g(1)

u(1) g(n-1)

u(2)

δ(n-2)

0

0

u(2) g(0)

u(2) g(n-2)

u(k)

δ(n-k)

0

0

0

u(k) g(0)

u(k) g(n-k)

y(n)

( ) (

)

k

g

k

u

k

k

−

∑

=

=

1

0

0

( ) (

)

k

g

k

u

k

k

−

∑

=

=

1

1

0

( ) (

)

k

g

k

u

k

k

−

∑

=

=

2

2

0

( ) (

)

k

n

g

k

u

n

k

k

−

∑

=

=0

28

Dyskretne Układy Regulacji

W przykładzie 2.1 próbki sygnału wejściowego są zapamiętywane na okres

impulsowania T

s

. Analogicznie wartość sygnału impulsowego jest zapamiętywana przy

Rozdział 2

dyskretyzacji sygnału ciągłego na rys.2.2. Model przetwarzania przedstawia się w postaci

połączenia szeregowego impulsatora idealnego i elementu formującego impuls Diraca z

wagą o wartości sygnału ciągłego w chwili próbkowania.

G(s)

Impulsator
idealny

ε(t)

ε

*

(t)

ε

d

(t)

Element
formujący

Rys.2.7. Schemat blokowy rzeczywistego impulsatora

Elementem formującym jest najczęściej układ o transmitancji:

29

Dyskretne Układy Regulacji

s

e

s

G

s

sT

−

−

=

1

)

(

(2.10)

Rozdział 2

Wiadomo, że na wejściu takiego obiektu występuje ciąg impulsów Diraca. Należy, zatem

wyznaczyć odpowiedź impulsową dla wybranej chwili kT

s

( )

( ) (

)

[

]

{

}

( )

( ) (

) ( )

(

)

(

)

s

s

s

s

skT

s

sT

s

s

d

T

k

t

kT

kT

t

kT

e

kT

s

e

L

kT

t

kT

L

s

G

L

t

s

s

1

1

1

1

)

(

1

1

+

−

ε

−

−

ε

=

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

ε

−

=

−

δ

ε

=

ε

−

−

−

−

(2.11)

30

Dyskretne Układy Regulacji

Przebieg w funkcji czasu przedstawiono na rys.2.8. Element formujący z impulsatorem w

tym przypadku jest ekstrapolatorem zerowego rzędu (ZOH – zero-order hold).

Rozdział 2

ε

*

(kT

s

)

0

kT

s

(k+1)T

s

t

ε

*

(kT

s

)

ε

d

(kT

s

)

ε

d

(t)

t

s

e

s

sT

−

−

1

ε

*

((k+1)T

s

)

kT

s

(k+1)T

s

ε(kT

s

)

Rys.2.8. Odpowiedź impulsowa elementu formującego impulsy prostokątne

ε(t)

ε

d

(k)

Rys.2.9. Symbol ekstrapolatora zerowego rzędu

31

Dyskretne Układy Regulacji

Odpowiedzią elementu o transmitancji G(s) na ciąg impulsów Diraca

ε

*

(t) jest funkcja

schodkowa

ε

d

(t)

Rozdział 2

ε

*

(t)

0 T

s

2T

s

3T

s

4T

s

t

ε

*

(t)

ε

d

(t)

ε

d

(t)

t

s

e

s

sT

−

−

1

Rys.2.10. Formowanie funkcji schodkowej

32

Dyskretne Układy Regulacji

W zasadzie dowolny ciągły układ dynamiczny może pełnić rolę elementu formującego.

Na rys.2.11 przedstawiono układ zamknięty z dyskretyzacją uchybu regulacji, w którym

obiekt regulacji wraz z elementem formującym, tworzy część ciągłą układu. Część ciągłą w

całości można uważać za obiekt formujący impulsy.

Rozdział 2

Element
formujący

Obiekt
regulacji

Impulsator
idealny

Część ciągła

ε(t)

y

0

(t)

ε

*

(t)

y(t)

33

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.2.11. Schemat blokowy jednowymiarowego układu dyskretnego

Literatura

Literatura

[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,

Gliwice 1987.

[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej nr 2082

[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2005

[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995

34

Dyskretne Układy Regulacji

[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976

Literatura

[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego

35

Dyskretne Układy Regulacji