Rozdział 1

1. Wstęp

Tematem opracowania są dyskretne układy regulacji. Omówiono najważniejsze

zagadnienia związane z modelowaniem, analizą i syntezą dyskretnych układów regulacji.

Wykład obejmuje głównie problemy dyskretnych układów liniowych stacjonarnych.

Zagadnienie nieliniowości jest związane z realizacją specjalnych algorytmów sterowania

dyskretnego względnie z nieliniowością sterowanego obiektu. W programie przewidziano

zapoznanie się z wybranym układem nieliniowym – układem regulacji dwupołożeniowej.

Dyskretne Układy Regulacji

We wstępie przedstawiono krótko przyczyny zastosowania układów dyskretnych w

automatyce i zadania realizowane przez te układy. Układy dyskretne realizowane są przy

pomocy urządzeń cyfrowych: komputerów, sterowników PLC, regulatorów cyfrowych.

Rozwój techniki zadecydował o powszechności zastosowań urządzeń o działaniu

dyskretnym (cyfrowym) w przemyśle, urządzeniach domowych powszechnego użytku i

Rozdział 1

innych.

1.1 Przyczyny zastosowania urządzeń dyskretnych w układach automatyki

- Rozwój techniki cyfrowej,

- Obniżka kosztów urządzeń,

- Możliwość kontroli wielu parametrów,

- Wykrywanie stanów awaryjnych,

- Rejestracja przebiegów regulacji,

- Możliwość realizacji złożonych reguł sterowania,

- Przyspieszenie przebiegu procesów realizowanych etapami,

- Dokładność sterowania,

Dyskretne Układy Regulacji

- Automatyzacja procesów produkcyjnych.

Rozdział 1

1.2 Zadania realizowane przez urządzenia cyfrowe w automatyce

a) Nadzorowanie przebiegu procesu produkcyjnego lub technologicznego - SCADA
(Supervisory Control And Data Acquisition)

- System komputerowy pełniący nadrzędną rolę w stosunku do regulatorów cyfrowych

(także analogowych), sterowników PLC i innych urządzeń wchodzących w skład
rozbudowanego systemu produkcji.

- Głównym zadaniem SCADA jest:

- Zbieranie i rejestracja (archiwizacja) danych;

- Wizualizacja przebiegów, wskazywanie trendów zmian, wyznaczanie syntetycznych

wskaźników sterowania;

- Przewidywanie i sygnalizacja stanów alarmowych;

Dyskretne Układy Regulacji

- Zadawanie parametrów procesu.

Rozdział 1

b) Bezpośrednie sterowanie cyfrowe (DDC - Direct Digital Control)

Urządzenia

pomiarowe

Przetworniki

sygnałów

Komputer

Urządzenia
zewnętrzne

Przetworniki

sygnałów

Urządzenia

wykonawcze

Obiekt

Rys.1.1. Schemat układu DDC

Dyskretne Układy Regulacji

c) Pośrednie sterowanie cyfrowe (sterowanie nadrzędne)

Rozdział 1

Urządzenia

pomiarowe

Przetworniki

sygnałów

Komputer

Urządzenia
zewnętrzne

Przetworniki

sygnałów

Regulator

Obiekt

Rys.1.2. Sterowanie nadrzędne (sterowanie pośrednie)

d) Sterowanie sekwencyjne,

Dyskretne Układy Regulacji

e) Sterowanie programowe przesunięć (kątowych, liniowych).

Rozdział 1

1.3 Układy czasu rzeczywistego

Czas jest bardzo ważnym czynnikiem we wszelkich przemysłowych zastosowaniach

komputerów. Komputer musi często reagować na zewnętrzne zdarzenia w ściśle

określonym czasie. Po pobraniu danych z układu pomiarowego komputer musi

przyporządkować próbkę chwili, w której została pobrana. Takie wymagania spełniane są

przez układy czasu rzeczywistego (real-time systems). Układ czasu rzeczywistego może

być zdefiniowany jako taki, w którym:

przebieg programu zależy od zdarzeń zewnętrznych w stosunku do komputera lub

od upływu czasu,

Dyskretne Układy Regulacji

dane przetwarzane przez komputer zawierają czas lub przedział czasu.

System czasu rzeczywistego pracuje pod kontrolą systemu operacyjnego czasu

Rozdział 1

rzeczywistego. Oprócz komputera do systemów czasu rzeczywistego włącza się sieci

komputerowe, urządzenia wejść i wyjść oraz urządzenia sterowane przez komputer np.

roboty.

Wszystkie definicje systemów czasu rzeczywistego podkreślają związek przebiegu

zmian w środowisku zewnętrznym i obliczeń przeprowadzanych w systemie

komputerowym. Synchronizacja obliczeń, przekroczenia wymaganego czasu reakcji

systemów oraz przeznaczenie systemów czasu rzeczywistego są kryteriami podziału

systemów [23]. Wymienia się następujące systemy:

•

systemy o ostrych ograniczeniach czasowych (hard real-time), w których przekroczenie

terminu wykonania zadań powoduje zagrożenie dla otoczenia (zdrowie i życie ludzi,

zniszczenie urządzeń)

Dyskretne Układy Regulacji

•

systemy o mocnych ograniczeniach czasowych (firm real-time), w których przekroczenie

Rozdział 2

Dyskretne Układy Regulacji

2. Dyskretny układ regulacji

Polska norma podaje następujące definicje.

a) Układ sterowania o działaniu dyskretnym – układ, w którym wielkość wyjściowa, co

najmniej jednego z istotnych elementów układu sterującego, może przyjmować tylko

skończoną liczbę stanów wyjść.

b) Układ sterowania impulsowy – układ, w którym co najmniej jeden z istotnych

elementów układu sterującego może przetwarzać wielkości wejściowe tylko w

określonych chwilach, przy czym wielkości wyjściowe tych elementów są sygnałami

impulsowymi.

c) Układ dyskretny – układ złożony z elementów dyskretnych, który pod wpływem

działania nań zewnętrznych wielkości fizycznych generuje na swoim wyjściu sygnał

dyskretny

Rozdział 2

A/D

Cyfrowy
algorytm
regulacji

Obiekt
regulacji

D/A

Obiekt
regulacji

Regulator

Rys.2.1. Schemat układu regulacji: a) postać ogólna, b) układ dyskretny

Dyskretne Układy Regulacji

Oznaczenia:

Rozdział 2

– wartość zadana wielkości regulowanej;

ε - uchyb regulacji;

u – sygnał sterujący obiektu regulacji;

y – wielkość regulowana;

– sygnał dyskretny uchybu regulacji;

–dyskretny sygnał sterujący obiektu regulacji.

W przetworniku A/D (A/C – analogowo - cyfrowy) dokonywana jest zamiana sygnału

ciągłego, w tym przypadku sygnału uchybu ε(t) na sygnał cyfrowy ε

(k), gdzie k= 0,1,2,3...

Do sterowania obiektu potrzeba zazwyczaj sygnału analogowego. Jest to sygnał ciągły

przedziałami. Sygnały są ciągłe w tym przypadku w przedziałach czasu

Dyskretne Układy Regulacji

≤t< T

(k+1) k=0,1,2,3...

(2.1)

Rozdział 2

Sygnał dyskretny zostaje zamieniony na analogowy w przetworniku D/A (C/A - cyfrowo –

analogowy). W tym przypadku wartość sygnału jest stała w podanych przedziałach.

Natomiast sygnał cyfrowy u

zostaje z kolei przetworzony na sygnał analogowy u(t)

sterujący obiektem.

W procesach przemysłowych szereg sygnałów ma charakter ciągły, np. temperatura,

przepływ, ciśnienie, stężenie substancji, napięcie, prąd. Sygnały takie są przetwarzane na

sygnały cyfrowe. Sygnały zbierane w układzie regulacji mogą być przesyłane przez

elementy pomiarowe także w postaci cyfrowej. Z zasady pomiar i odczyt danych związany z

przetwarzaniem na sygnał dyskretny odbywa się w określonych (dyskretnych) chwilach

czasu.

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 2

ε(t)

(k)

)

Rys.2.2. Zamiana sygnału ciągłego a) na impulsowy b) i dyskretny w poziomie c)

Dyskretne Układy Regulacji

Na rys.2.2 pokazano etapy przetwarzania sygnału analogowego. Sygnał jest

próbkowany w czasie (następuje jego dyskretyzacja w czasie, kwantowanie w czasie) a

następnie kwantowany w poziomie. Próbkowanie w czasie odbywa się zazwyczaj w

ustalonych chwilach czasu, którym można przypisać kolejne liczby naturalne k. Czas od

pobrania jednej próbki sygnału do pobrania następnej nazywa się okresem kwantowania

Rozdział 2

Dyskretne Układy Regulacji

(okresem próbkowania, okresem impulsowania). Sygnał po próbkowaniu w czasie ma

wartość sygnału analogowego w kolejnych chwilach czasu i nazywany jest sygnałem

impulsowym. Informacja o wartości sygnału np. wartości regulowanej dotyczy tylko

wybranych chwil czasu. Sygnał impulsowy, np.

na rys.2.1, może przyjmować ogólnie

dowolne wartości rzeczywiste. W układzie z urządzeniami cyfrowymi sygnał taki może

przyjmować jednak tylko wybrane wartości z przedziału narzuconego przez zastosowane

urządzenie. Sygnał zostaje poddany kwantowaniu w poziomie, np. sygnał

na rys.2.1.

Kolejne poziomy są oddalone od siebie o ustaloną, stałą wartość. Skwantowane w

czasie i poziomie sygnały są kodowane i w postaci sygnałów cyfrowych przetwarzane

przez komputer według określonego algorytmu. Kodowanie następuje w przetworniku

analogowo – cyfrowym i daje ciąg liczb w kodzie binarnym np. prostym lub kodzie BCD

(kod 8421, kod dwójkowo – dziesiętny).

Rozdział 2

Przetwornik wprowadza do układu regulacji błędy analogowe (dokładność względna i

bezwzględna) oraz błąd kwantyzacji. Przetwornik charakteryzuje się liczbą dyskretnych

wartości, które może wytworzyć. Liczbę tę określa się w bitach. Na przykład dla

przetwornika N=12 bitowego sygnał cyfrowy może przyjąć 2

=4096 wartości. Wynika

stąd rozdzielczość przetwornika podawana w zwykle w procentach

Rozdzielczość

024

100

−

(2.2)

Dyskretne Układy Regulacji

Przetwarzanie sygnałów – próbkowanie i kwantowanie – powoduje określone

problemy w realizacji sterowania, różniące układy dyskretne od układów ciągłych.

Analiza i projektowanie układów dyskretnych wymaga innego aparatu matematycznego

niż stosowany w układach ciągłych. W szczególności w układach dyskretnych nie są

Rozdział 2

określone pochodne funkcji i nie można posługiwać się zwykłymi równaniami

różniczkowymi. Charakterystyczne dla układów dyskretnych jest:

- stosowanie równań różnicowych zamiast równań różniczkowych;

- wykorzystanie przekształcenia dyskretnego Z zamiast przekształcenia Laplace’a.

Na ogół w analizie i projektowaniu układów dyskretnych zaniedbuje się nieliniowości

wynikające z kwantowania sygnałów w poziomie m.in. ze względu na dużą rozdzielczość

przetwornika A/D. Do rozważań bierze się sygnały impulsowe. Wówczas dla liniowego

obiektu ciągłego można znaleźć dyskretny model liniowy. W większości przypadków

sterowania takie podejście jest wystarczające.

Przykład.2.1

Wyznaczanie całki y(k) sygnału dyskretnego x(k) (całkowanie dyskretne). Przedstawiony

przykład dotyczy całkowania metodą prostokątów (Euler Forward Method)

Dyskretne Układy Regulacji

Algorytm przedstawiono w postaci pseudokodu.

Rozdział 2

Start

1. Zapamiętaj wartość początkową całki - y(0)=0

2. Odczytaj próbkę z przetwornika A/D i zapamiętaj - A/D ->x

3. Oblicz bieżącą wartość - y=y+T

4. Wyślij wartość y do przetwornika D/A

5. Czekaj do końca okresu impulsowania (opóźnienie kolejnej operacji o okres T

)

6. Przejdź do punktu 2

W układzie dyskretnym z pominięciem kwantowania w poziomie w punkcie 2 przykładu

odczytuje się a następnie zapamiętuje do obliczeń próbkę sygnału ciągłego.

Dyskretne Układy Regulacji

Rozdział 2

2.2 Modele układów dyskretnych

W układach dyskretnych w ustalonych chwilach czasu jest odczytywana wartość

sygnału ciągłego i po przewidzianych algorytmem sterowania obliczeniach sygnał

sterujący jest przekazywany na wejście obiektu regulacji. Sygnał dyskretny, który można

uważać za rezultat działania idealnego klucza, ma postać:

( )

⎩

⎨

⎧

≠

dla

(2.3)

u(t)

u(kT

)

Rys.2.3. Klucz idealny

Dyskretne Układy Regulacji

Sygnał taki nie niesie ze sobą żadnej energii (całka Riemanna w otoczeniu chwil

impulsowania jest równa 0) i jako taki nie może wysterować obiektu ciągłego. Z tego

Rozdział 2

powodu stosuje się model przetwarzania sygnału ciągłego na dyskretny z

wykorzystaniem ciągu impulsów Diraca

(

)

( )

...

⎩

⎨

⎧

≠

∞

−

∫

∞

−

dla

(2.4)

Impuls Diraca nie jest funkcją, lecz dystrybucją. Ma właściwości filtrujące, tzn. spełniona

jest zależność

( ) (

)

( )

−

∫

+∞

∞

−

(2.5)

Dyskretne Układy Regulacji

W teorii układów liniowych ciągłych znane jest pojęcie odpowiedzi impulsowej. Jest to

odpowiedź układu na sygnał w postaci impulsu Diraca. Ponieważ transformata Laplace’a

impulsu Diraca jest

Rozdział 2

( )

[ ]

( )

−

∞

∫

(2.6)

to odpowiedź impulsowa jest określona wzorem

( )

( ) ( )

[ ]

( )

[

]

−

(2.7)

gdzie G(s) – transmitancja ciągła obiektu,

g(s) – transformata odpowiedzi impulsowej równa transmitancji obiektu,

g(t) – odpowiedź impulsowa w funkcji czasu.

Klucz idealny skojarzony z ciągiem impulsów Diraca nazywa się impulsatorem idealnym.

Symbol impulsatora idealnego przedstawiono na rysunku

Dyskretne Układy Regulacji

u(t)

u*(t)

Rozdział 2

Rys.2.4. Impulsator idealny

Sygnał wyjściowy impulsatora idealnego jest określony wzorem

( )

( ) (

)

( ) (

)

−

∑

∞

(2.8)

Odpowiedź na sygnał u(t) układu ciągłego, poprzedzonego impulsatorem idealnym,

można rozpatrywać jako sumę odpowiedzi impulsowych wynikających z pojawiania się na

wejściu układu ciągłego kolejnych impulsów Diraca z wagami u(kT

), lub w uproszczonym

zapisie u(k).

y(t)

y(kT

)

G(s)

u(t) u

(t)

y(t)

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.2.5. Obiekt ciągły z impulsatorem idealnym

Rozdział 2

Odpowiedź układu przedstawionego na rysunku w dyskretnych chwilach czasu ma

następującą postać

( )

( ) (

)

( ) (

)

−

∑

(2.9)

Postać sygnału y(nT

) wynika z sumowania wartości odpowiedzi impulsowych g(t) w

kolejnych chwilach k. Sumowanie pokazano w tabeli (2.1)

u(2T

)

u(t)

u(4T

)

u(T

)

u(0)

0 T

u(t)

(t)

(t) (impulsy Diraca)

0 T

u(0)

δ(t)

u(T

)δ

(t-T

)

u(2T

)δ

(t-2T

)

u(3T

)δ

(t-3T

)

)δ

(t-4

)

Dyskretne Układy Regulacji

Rys.2.6. Działanie impulsatora idealnego

Rozdział 2

Tabela 2.1 Sumowanie wartości odpowiedzi impulsowych w dyskretnych chwilach

k 0 1

u(0)

δ(0)

u(0) g(0)

u(0) g(1)

u(0) g(2)

u(0) g(n)

u(1)

δ(n-1)

u(1) g(0)

u(1) g(1)

u(1) g(n-1)

u(2)

δ(n-2)

u(2) g(0)

u(2) g(n-2)

u(k)

δ(n-k)

u(k) g(0)

u(k) g(n-k)

y(n)

( ) (

)

−

∑

( ) (

)

−

∑

( ) (

)

−

∑

( ) (

)

−

∑

Dyskretne Układy Regulacji

W przykładzie 2.1 próbki sygnału wejściowego są zapamiętywane na okres

impulsowania T

. Analogicznie wartość sygnału impulsowego jest zapamiętywana przy

Rozdział 2

dyskretyzacji sygnału ciągłego na rys.2.2. Model przetwarzania przedstawia się w postaci

połączenia szeregowego impulsatora idealnego i elementu formującego impuls Diraca z

wagą o wartości sygnału ciągłego w chwili próbkowania.

G(s)

Impulsator
idealny

ε(t)

(t)

Element
formujący

Rys.2.7. Schemat blokowy rzeczywistego impulsatora

Elementem formującym jest najczęściej układ o transmitancji:

Dyskretne Układy Regulacji

−

)

(

(2.10)

Rozdział 2

Wiadomo, że na wejściu takiego obiektu występuje ciąg impulsów Diraca. Należy, zatem

wyznaczyć odpowiedź impulsową dla wybranej chwili kT

( )

( ) (

)

[

]

{

}

( )

( ) (

) ( )

(

)

(

)

skT

)

(

−

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

(2.11)

Dyskretne Układy Regulacji

Przebieg w funkcji czasu przedstawiono na rys.2.8. Element formujący z impulsatorem w

tym przypadku jest ekstrapolatorem zerowego rzędu (ZOH – zero-order hold).

Rozdział 2

(kT

)

(k+1)T

(kT

)

(kT

)

(t)

−

((k+1)T

)

(k+1)T

ε(kT

)

Rys.2.8. Odpowiedź impulsowa elementu formującego impulsy prostokątne

ε(t)

(k)

Rys.2.9. Symbol ekstrapolatora zerowego rzędu

Dyskretne Układy Regulacji

Odpowiedzią elementu o transmitancji G(s) na ciąg impulsów Diraca

(t) jest funkcja

schodkowa

(t)

Rozdział 2

(t)

0 T

(t)

−

Rys.2.10. Formowanie funkcji schodkowej

Dyskretne Układy Regulacji

W zasadzie dowolny ciągły układ dynamiczny może pełnić rolę elementu formującego.

Na rys.2.11 przedstawiono układ zamknięty z dyskretyzacją uchybu regulacji, w którym

obiekt regulacji wraz z elementem formującym, tworzy część ciągłą układu. Część ciągłą w

całości można uważać za obiekt formujący impulsy.

Literatura

Literatura

[1]  Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2]  Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3]  Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5]  Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,

Gliwice 1987.

[6]  Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7]  Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8]  Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo

Politechniki Śląskiej nr 2082

[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej, Poznań 2005

[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995

Dyskretne Układy Regulacji

[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976

Document Outline