Janusz Kacerka
Dyskretne Układy
Regulacji
————————————————————————————————————————
Semestr 5 Elektrotechnika
Rozdział 9
Janusz Kacerka
Dyskretne Układy
Regulacji
————————————————————————————————————————
Semestr 5 Elektrotechnika
Rozdział 9
Spis treści
YSKRETNA TRANSMITANCJA UCHYBOWA
YSKRETNE UKŁADY STATYCZNE I ASTATYCZNE
KŁAD O SKOŃCZONYM CZASIE USTALANIA
2
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 9
9. Jakość dyskretnych układów regulacji
Jakość układów dyskretnych regulacji można rozpatrywać podobnie jak dla układów
ciągłych. Wskaźnikami regulacji może być zatem przeregulowanie, czas ustalania
odpowiedzi, całkowe wskaźniki jakości. Układy mogą być statyczne lub astatyczne a w
związku z tym przy określonych wymuszenia i zakłóceniach uchyb w stanie ustalonym
może być równy zeru. Istotna różnica w porównaniu do układów ciągłych jest to, że czas
ustalania się przebiegu odpowiedzi może być skończony (deadbeat).
9.1 Dyskretna transmitancja uchybowa
3
Dyskretne Układy Regulacji
Na rysunku 9.1 przedstawiono układ regulacji, dla którego należy wyznaczyć zależność
dyskretnego uchybu od wielkości wejściowej.
Rozdział 9
Y
0
(z)
E(z)
G
0
(z
)
Y(z))
Rys.9.1.Wyznaczanie dyskretnej transmitancji uchybowej
Transmitancja uchybowa jest określona wzorem
( )
( )
( )
( )
z
G
z
Y
z
E
z
G
u
0
0
1
1
+
=
=
,
(9.1)
Uwzględniając budowę transmitancji dyskretnej obiektu, otrzymuje się
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
z
M
z
M
z
M
z
L
z
M
z
Y
z
E
z
G
u
0
0
0
0
0
=
+
=
=
,
(9.2)
gdzie M
0
(z) jest mianownikiem transmitancji dyskretnej układu otwartego,
4
Dyskretne Układy Regulacji
L
0
(z) – licznik transmitancji układu otwartego,
Rozdział 9
M(z) – mianownik transmitancji układu zamkniętego.
9.2 Dyskretne układy statyczne i astatyczne
Układ dyskretny statyczny to taki układ, w którym transmitancja dyskretna układu
otwartego nie zawiera biegunów równych jedności. Oznacza to w praktyce, że nie ma
członów całkujących w części ciągłej lub członów sumujących w algorytmie regulatora.
Równanie M
0
(z)=0 nie ma pierwiastków równych jedności.
5
Dyskretne Układy Regulacji
W układzie astatycznym występują człony całkujące lub sumujące. Układ jest
astatyczny, gdy równanie M
0
(z)=0 ma przynajmniej jeden pierwiastek równy jedności.
Jeżeli pierwiastków równych jedności jest więcej, to mówi się, że stopień astatyzmu jest
równy liczbie pierwiastków równych jedności. Transmitancja uchybowa dla układu
astatycznego stopnia r ma postać
Rozdział 9
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) (
)
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
z
G
z
z
M
z
M
z
z
M
z
z
L
z
M
z
z
Y
z
E
z
G
u
r
r
r
r
u
1
01
01
0
01
0
1
1
1
1
−
=
−
=
−
+
−
=
=
,
(9.3)
przy czym G
u1
(z) nie ma biegunów równych jedności.
Przebieg uchybu i jego wartość w stanie ustalonym zależą od budowy transmitancji
uchybowej i postaci wymuszenia. Sygnał zadany y
0
(n) może być wielomianem zależnym
od czasu w postaci
( )
( )
∑
−
=
=
=
1
0
0
r
i
i
i
s
i
nT
A
n
y
,
(9.4)
6
Dyskretne Układy Regulacji
Transformata tego sygnału ma postać
Rozdział 9
( )
(
)
( )
(
)
r
s
z
z
P
z
zT
A
z
z
A
z
Y
1
1
1
2
1
0
0
−
=
+
−
+
−
=
L
,
(9.5)
gdzie P(z) jest wielomianem z co najwyżej stopnia r.
Z twierdzenia o wartościach granicznych wynika wartość ustalona uchybu
( )
(
)(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
(
)
0
1
1
1
1
1
01
1
1
01
1
0
=
−
−
=
−
−
−
=
∞
ε
+
→
→
r
r
z
r
r
z
z
z
P
z
M
z
M
z
im
l
z
z
P
z
M
z
M
z
z
im
l
,
(9.6)
Wniosek.
7
Dyskretne Układy Regulacji
Jeżeli stopień wielomianu wymuszenia jest mniejszy od stopnia astatyzmu układu
dyskretnego, to wówczas uchyb regulacji w stanie ustalonym jest równy zeru. Oczywiście
układ regulacji musi być stabilny, to znaczy wszystkie pierwiastki równania M(z)=0 muszą
leżeć wewnątrz okręgu o jednostkowym promieniu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
Rozdział 9
Z.
W przypadku układu statycznego, to znaczy dla r=0, uchyb będzie dążył do
nieskończoności lub osiągnie wartość stałą, gdy sygnał wymuszenia będzie miał wartość
stałą w czasie. W układzie astatycznym stopnia r, który został poddany wymuszeniu
będącym wielomianem stopnia r, uchyb regulacji będzie miał w stanie ustalonym wartość
stałą. Wymuszenie będące wielomianem wyższego stopnia spowoduje narastanie uchybu
do nieskończoności.
9.3 Układ o skończonym czasie ustalania (deadbeat)
Układ o skończonym czasie ustalania charakteryzuje się tym, że mianownik
transmitancji układu zamkniętego ma postać
( )
k
z
z
M
=
,
(9.7)
8
Dyskretne Układy Regulacji
Ponieważ mianownik transmitancji układu otwartego jest określony wzorem
Rozdział 9
( )
0
1
1
1
0
a
z
a
z
a
z
a
z
M
k
k
k
k
+
+
+
+
=
−
−
L
,
(9.8)
to transformata uchybu dyskretnego z transmitancji uchybowej
( )
(
)
( )
(
)
( )
z
Y
z
a
z
a
z
a
a
z
Y
z
a
z
a
z
a
z
a
z
E
k
k
k
k
k
k
k
k
k
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
L
L
,
(9.9)
Uchyb w postaci funkcji dyskretnej
( )
( )
(
)
(
)
(
)
k
n
y
a
k
n
y
a
n
y
a
n
y
a
n
k
k
−
+
+
−
+
+
−
+
=
ε
−
0
1
1
1
1 L
,
(9.10)
9
Dyskretne Układy Regulacji
Dla chwili n>k uchyb będzie miał wartość ustaloną.
Literatura
Literatura
[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,
Gliwice 1987.
[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo
Politechniki Śląskiej nr 2082
[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete – time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej, Poznań 2005
[16] Schönfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Schönfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995
10
Dyskretne Układy Regulacji
[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976
Literatura
[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego
11
Dyskretne Układy Regulacji