Laboratorium Podstaw Automatyki

MODELOWANIE CIĄGŁYCH I DYSKRETNYCH UKŁADÓW

REGULACJI

Badania w dziedzinie czasu

1. Wprowadzenie

Badania symulacyjne stanowią istotny element w procesie projektowania układów
sterowania. Przeprowadza się je głównie w przypadkach, gdy ze względu na występujące w
układzie nieliniowości lub jego złożoną strukturę, rozwiązania analityczne nie istnieją albo są
zbyt skomplikowane. Przykładowo w przypadku nieciągłych (impulsowych) układów regulacji
metoda symulacji pozwala w sposób łatwiejszy określić wpływ odstępu próbkowania na
działanie układu, niż żmudna analiz dużej liczby transmitancji nieciągłych. Przed
przystąpieniem do symulacji układów skomplikowanych, których działania nie jesteśmy w
stanie przewidzieć, celowe jest przeprowadzenie symulacji układów uproszczonych (np.
zlinearyzowanych) w celu zorientowania się co do wpływu poszczególnych parametrów na
wyniki symulacji. Wówczas dobór sensownych zakresów zmian parametrów jest łatwiejszy.
W

ćwiczeniu tym elementy i układy regulacji badane są metodą modelowania

numerycznego (symulacji numerycznej). Wykorzystywany jest program MatLab wraz z
pakietem Simulink zawierającym zestaw funkcji stanowiących modele dynamiczne
podstawowych elementów: źródeł sygnałów, elementów liniowych ciągłych i dyskretnych,
elementów nieliniowych i różnych elementów pomocniczych. Simulink wykorzystuje graficzne
środowisko WINDOWS, umożliwiając łatwe opisywanie modelowanych układów przez
tworzenie ich schematów blokowych. W instrukcji podano podstawowe informacje na temat
wykorzystywanych programów. Szerszy opis programu Matlab i pakietu Simulink można
znaleźć w literaturze [1, 2, 3].

W ramach przygotowania do ćwiczenia należy zapoznać się z podstawowymi zagadnieniami

dotyczącymi metod numerycznych (np. [4, 5, 6]).

2. Opis programu MatLab i biblioteki Simulink

Matlab jest językiem programowania wysokiego poziomu zawierającym kilkaset

standardowych funkcji przeznaczonych do opisu i rozwiązywania specjalistycznych zagadnień z
różnych działów matematyki. Możliwości Matlaba poszerzają tzw. przyborniki, które są
specjalizowanymi pakietami funkcji przeznaczonych do rozwiązywania zagadnień z różnych
dziedzin, np. teorii regulacji, identyfikacji, analizy sygnałów, optymalizacji, przetwarzania
obrazów, modelowania sieci neuronowych itp.

Po uruchomieniu Matlaba pojawia się znak zachęty (prompt) ">>" oznaczający gotowość

do pracy. Znak ten otwiera linię poleceń. W kolejnych liniach wpisuje się nazwy instrukcji
języka Matlab, tworząc program. Poniweaż program Matlab pracuje jako interpreter, to możliwa
jest również praca interaktywna, tj. natychmiastowe wykonywanie obliczeń wg wprowadzonych
instrukcji. Możliwe jest też wpisanie nazwy funkcji lub wcześniej przygotowanego programu.
Opis wybranego elementu języka Matlab można uzyskać przez wpisanie polecenia help
nazwa elementu.

Otwarcie okna pakietu Simulink (rys.1) możliwe jest na dwa sposoby:

•

Przez wpisanie polecenia Simulink w linii poleceń. Jest to okno biblioteczne, ponieważ

zawiera zestaw symboli graficznych grup elementów, umożliwiających budowanie
schematu blokowego modelowanego układu.

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 2 -

•

Przez wybranie opcji New, a następnie Model z menu File. W tym przypadku nie są

wyświetlane ikony grup elementów, możliwe jest natomiast wczytanie pliku z uprzednio
stworzonym modelem.

Rys. 1. Okno pakietu Simulink z grupami elementów

W oknie Simulinka dostępne są następujące grupy elementów:

•

Sources

elementy

generujące różne sygnały pobudzające badane układy,

•

Sinks

elementy "odbierające" i wizualizujące sygnały,

•

Discrete

elementy do symulacji układów dyskretnych,

•

Linear

elementy do symulacji układów liniowych ciągłych,

•

Nonlinear

elementy do symulacji układów nieliniowych,

•

Conections

elementy pomocnicze, służące do wykonywania połączeń między

elementami

modelowanego

układu,

•

Extras

elementy dodatkowe

Każdy grupa elementów może być rozwijana przez dwukrotne kliknięcie przyciskiem myszy -
uzyskuje się wówczas dostęp do poszczególnych elementów. Podobnie, przez wskazanie i
dwukrotne kliknięcie, uzyskuje się dostęp do parametrów każdego z elementów, zarówno w
ramach poszczegółnych bibliotek, jak i w ramach tworzonego schematu blokowego badanego
układu.

W podanym niżej skrótowym opisie elementy najczęściej wykorzystywane w ćwiczeniu
wyróżniono przez pogrubienie ich nazwy.

Grupa Sources:

Clock

- generator czasu, podaje czas bieżący w trakcie symulacji, uniezależnia skalę czasu od

szybkości komputera

Digital Clock

- j. w. lecz zdyskretyzowany z zadanym odstępem próbkowania

Repeating Sequence

- sekwencja wartości definiowana przez użytkownika

Signal Generator

- generator funkcyjny (sygnał sinusoidalny, piłowy, prostokątny lub

losowy)

Constant

- wartość stała w czasie

Pulse Generator

- generator sygnału impulsowego o zadanych parametrach

Sine Wave

- generator sygnału sinusoidalnego

Step Input

- generator sygnału skokowego o deklarowanych wartościach początkowej i

końcowej oraz czasie skokowej zmiany wartości

From File

- wartości odczytywane z pliku

From Workspace

- odczyt danych z przestrzeni roboczej (pamięci danych) Matlaba

Crip Signal

- sygnał sinusoidalny o częstotliwości wzrastającej liniowo

Random Number

- sygnał pseudoprzypadkowy generowany w każdym kroku całkowania

numerycznego

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 3 -

Band-Limited White Noise

– j.w., ale nowa wartość generowana co zadany odstęp

próbkowania; zastosowanie zamiast Random Number pozwala przyspieszyć czas
obliczenia

Grupa Sink:

Scope

- wykreśla przebieg sygnału anaolgicznie do oscyloskopu

Graph

- wykres czasowy wartości sygnału, przy stałych zakresach czasu i wartości sygnału,

deklaruje się zakresy wartości na osiach, oraz typ i kolor poszczególnych linii wykresu

Auto-scale Graph

- j.w. lecz skala dopasowuje się automatycznie do wartości,

dodatkowo deklaruje się maksymalną licznę punktów, które obejmuje wykres

XY-Graph

- wykres sygnału Y w funkcji sygnału X

To Workspace

- przekazuje dane do przestrzeni roboczej Matlaba

To File

- zapisuje dane w pliku

Stop Simulation

- zatrzymanie symulacji, gdy na wyjściu pojawi się sygnał różny od zera

Hit Crossing

- zmniejsza krok całkowania (zwiększa dokładność obliczeń) po

przekroczeniu zadanej wartości sygnału

Grupa Discrete:

Uwaga: okres próbkowania może być definiowany oddzielnie dla każdego elementu.
Unit Delay

- opóźnienie sygnału o jeden okres próbkowania, deklaruje się okres

próbkowania i wartość początkową

Discret Zero-Pole

- transmitancja dyskretna definiowana przez podanie zer, biegunów

i współczynnika wzmocnienia.

Filter

- transmitancja dyskretna definiowana w postaci funkcji wymiernej zmiennej z

-1

Discrete Transfer Fn

- transmitancja definiowana w postaci funkcji wymiernej

zmiennej z

Discrete State-Space

- element opisany za pomocą równań stanu

Zero Order-Hold

- ekstrapolator zerowego rzędu dla danego czasu próbkowania

First Order-Hold

- ekstrapolator pierwszego rzędu dla danego czasu próbkowania

Discrete Time Integrator

- dyskretny element całkujący, deklaruje się okres

próbkowania i wartość początkową

Grupa Linear

Sum

– sumator wartości z poszczególnych wejść, deklaruje się znaki dla poszczególnych

wejść

Inner Product

- element mnożący dwa sygnały wejściowe

Integrator

- element całkujący z deklarowanym warunkiem początkowym

Derivative

- element różniczkujący

Gain

- element proporcjonalny (wzmacniacz)

Matrix Gain

- element mnożący sygnał wektorowy przez zadaną macierz

Slider Gain

- element proporcjonalny o wzmocnieniu zadawanym graficznie (za pomocą

suwaka)

Transfer Fn

- transmitancja operatorowa K(s) w postaci funkcji wymiernej; wielomiany

licznika i mianownika definiuje się przez podanie współczynników począwszy od
współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej s

Zero-Pole

- transmitancja definiowana przez podanie zer, biegunów i wzmocnienia

State-Space

- element opisany równaniami stanu

Grupa Nonlinear

Sign

- realizuje finkcję sign (określa znak) dla sygnału wejściowego

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 4 -

Ralay

- symuluje przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą, deklaryje się warunki załączenia i

wyłączeia oraz wartości na wyjściu w stania załączenia i wyłączenia

Backlash

- modeluje histerezę

Saturation

- wzmacniacz bezinercyjny z nasyceniem, deklaryje się górną i dolną wartość

w stanie nasycenia

Quantizer

- symuluje kwantowanie z zadanym krokiem

Dead Zone

- symuluje strefę martwą (przedział nieczułóści)

Rate Limiter

- ogranicza szybkość zmian sygnału

Product

- element mnożący sygnały wejściowe

Abs

- określa wartość bezwzględną sygnału

Look_Up Table

- wyznacza wartości funkcji odcinkowo-liniowej o węzłach zadanych w

postaci tablicy

2-D

Look-Up Table - analogicznie j.w. lecz dla dwóch sygnałów (tablica

dwuwymiarowa)

Relational Operator

- porównanie sygnałów wejściowych wg zadeklarowanego

operatora relacji

Logical Operator

- j.w. lecz deklarowana jest relacja logiczna

Combinatorial Logic

- realizuje funkcję logiczną opisaną tablicą prawdy

Fcn

- przetwarza sygnał wejściowy wg zadeklarowanej funkcji typu y=f(x)

S-Function

- przetwarza sygnał wg tzw. funkcji systemowej, tj. dowolnej funkcji

zdefiniowana wcześniej w języku Matlaba

MATLAB Function

- przetwarza sygnał wg funkcji standardowej Matlaba

Reset Integrator

- element całkujący z możliwością restartu, tj. ponownego

rozpoczęcia całkowania od wartości podanej na drugie wejście (wartość początkowa), w
chwili gdy wartość na trzecim wejściu staje się niezerowa

Memory

- element pamięci sygnału, wprowadza opóźnienie o jeden krok całkowania

Transport Delay

- opóźnienie transportowe (przesunięcie sygnału w czasie), deklaruje

się czas opóźnienia

Variable Transport Delay

- sterowane opóźnienie transportowe

Limited Integrator

- element całkujący z ograniczeniem, deklaruje się dolną i górną

wartość ograniczenia oraz wartość początkową

Grupa Connections:

Inport

- wejście do symulowanego systemu, jeżeli jest on podsystemem

Outport

- wyjście z symulowanego systemu, jeżeli jest on podsystemem

Mux

- multiplekser łączący kilka sygnałów skalarnych w jeden sygnał wektorowy,

wykorzystywany dla zobrazowania kilku przebiegów na jednym wykresie Auto-scale
Graph

Demux

- demultiplekser rozdzielający sygnał wektorowy na sygnały skalarne

Grupa Extras:

Simulink Demos

- przykłady systemów do symilacji w simulinku

Most commonly used blocks

- zawiera najczęściej używane elementy z różnych grup.

Grupę tę można bezpośrednio otworzyć z linii poleceń Matlaba poleceniem blicklib.

Convertion

- elementy pozwalające dokonać konwersji układu współrzędnych

Flip-Flops

- elementy symulujące przerzutniki D, SR itp.

PID Controllers

- elementy symulujące regulatory PID

Analyzers

- elementy do przetwarzania i analizy sygnałów

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 5 -

W górnej części okna Simulink umieszczona jest linia zleceń. Poza typowymi w systemie
WINDOWS grupami zleceń (File, Edit) istnieje grupa zleceń do określania parametrów
symulacji: Simulation. Poszczególne zlecenia są następujące:

Start - uruchumienie symulacji / Stop - przerwanie symulacji
Pause - zatrzymanie symulacji
Restart - wznowienie symulacji
Parameters - wybór rodzaju algortymu całkowania numerycznego i parametrów:

Start Time - czas rozpoczęcia symulacji
Stop Time - czas zakończenia obliczeń
Min Step Size, Max Step Size - minimalny i maksymalny krok czasowy całkowania
numerycznego
Tolerance - dopuszczalny błąd całkowania
Return Variables - nazwa zmiennej pojawiającej się w przestrzeni roboczej Matlaba po
zakończeniu symulacji

Przeprowadzenie badani asymulacujnego wymaga stworzenia schematu blokowego
stanowiącego model badanego układu. Konstruowanie nowego modelu polega na:

•

Otwarciu nowego okna (zlecenie File | New)

•

Przenoszeniu do tego okna ikon reprezentujących potrzebne elementy wybrane z

odpowiednich grup elementów (uprzednio otwartych podwójnym kliknięciem)

•

Połączeniu wejść i wyjść tych elementów w odpowiednią strukturę - przez ciącnięcie linii od

wyjść do wejść przy wciśniętym lewym przycisku myszy

•

Nadaniu parametrom elementów układu pożądanych wartości - przez podwójne kliknięcie na

ikonie elementu rozwija się okno jego parametrów

Uruchomienie symulacji odbywa się poleceniem Simulation | Start.

3. Modelowanie wybranych elementów i układów

W ramach ćwiczenia należy przeprowadzić symulacyjne badanie elementów i układów

wskazanych przez prowadzącego. Poniżej przedstawiono przykładowe zagadnienia.

3.1. Układy ciągłe
I. Modelowanie na podsatwie równań różniczkowych.

Podstawą do modelowania układu jest jego opis w postaci równania różniczkowego. Na

jego podstawie tworzony jest schemat strukturalny złożony z podstawowych elementów
realizujących operacje statyczne (sumowanie i wzmocnienie proporcjonalne) oraz dynamiczne
(całkowanie i różniczkowanie) a także penne operacje nieliniowe w przypadku modelowania
układów nieliniowych.
Jako przykład wykorzystany jest element opisany równaniem różniczkowym o postaci:

)

t

(

x

b

)

t

(

y

dt

)

t

(

dy

a

dt

)

t

(

dy

a

1

2

2

2

=

+

+

Przyjmując oznaczenia: y

1

=y i y

2

=y' równanie (1) można zapisać w postaci układu równań:

y

1

' = y

2

⇔ y

1

=

∫ y

2

dt

y

2

' = b/a

2

x - (a

1

/a

2

)

y

2

- (a

0

/a

2

)

y

1

Układ taki można zamodelować wykorzystując elementy całkujące i proporcjonalne.
Odpowiedni schemat pokazano na rys. 2

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 6 -

_

+

b

a1

1/s

1/s

1/a2

a0

y (t)=y(t)

y (t)

y (t)

x(t)

całkowanie

2

2

1

'

wzmocnienie

sumator

_

Rys. 2. Struktura modelu elementu opisanego równaniem drugiego rzędu.

W

ramach

ćwiczenia należy wyznaczyć analogiczny schemat modelu układu opisanego

podanym przez prowadzącego równaniem różniczkowym lub transmitancją oraz wyzanaczyć
przebiegi odpowiedzi tego układu na zadane sygnały wejściowe.

II. Modelowanie układów złożonych

Typowa struktura zamkniętego układu regulacji pokazana jest na rysunku 3.

+

-

Yz

Yp

Y

U

ε

Kr

Regulator

Ko

Obiekt

Kp

Układ

pomiarowy

Rys. 3. Zamknięty układ regulacji

Należy przeprowadzić badania układu przyjmując różne założenia:
a) Dana jest transmitancja obiektu Ko = 1/(10s+1) oraz układu pomiarowego Kp = 1. Należy

zaprojektować regulator (wyznaczyć jego transmitancję), tak, aby czas odpowiedzi na
skokową zmianę wartości zadanej dla całego układu był mniejszy

α krotnie od czsu

odpowiedzi obiektu, a wzmocnienie nie uległo zmianie. Przeprowadzić symulacje
przyjmując różne wartości współczynnika

α. Rejestrować następujące sygnały: wejściowy,

wyjściowy układu i dla porównania wyjściowy dla analogicznego obiektu w układzie
otwartym oraz sygnał na wyjściu zaprojektowanego regulatora.

b) Zbadać zachowanie się układu w sytuacji, gdy rzeczywista transmitancja obiektu jet różna od

przyjętej do projektowania regulatora. Taka sytuacja może mieć miejsce jeżeli identyfikacja
rzeczywistego obiektu nie jest przeprowadzona wystarczająco dokładnie.
Przyjąć następujące transmitancje obiektów:

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 7 -

( ) ( )( )

( )

(

)

(

)

1

095

0

1

0

1

5

1

1

1

4

1

2

+

+

+

=

+

+

=

s

.

s

,

s

s

K

s

s

s

K

b

a

Porównać wykresy odpowiedzi czasowych obiektu z punktu a) i podanych wyżej.

3.2. Układy impulsowe

I. Elementy: całkujący, różniczkujący, inercyjny 1-rzędu i 2-rzędu
Wzorując się na podanym niżej przykładzie należy:
a) wychodząc z równania różniczkowego odpowiedniego elementu ciągłego wyprowadzić

równanie w postaci różnicowej, a następnie przekształcić do postaci rekurencyjnej

b) skonstruować model i przeprowadzić badanie symulacyjne, zakładając różne okresy

próbkowania

Przykład: Równanie różniczkowe opisujące ciągły element inercyjny pierwszego rzędu ma
postać

( ) ( ) ( )

t

kx

t

y

dt

t

dy

T

=

+

Przybliżając pochodną ilorazem różnicowym oraz przyjmując oznaczenia:
t

k

=k

Δ

t,gdzie k oznacza numer bieżącej chwili czasowej, a

Δ

t jest okresem

impulsowania, można zapisać:

( ) ( ) ( ) (

k

k

k

k

t

x

k

t

y

t

t

y

t

y

T

1

1

=

+

Δ

)

−

−

−

a stąd po przekształceniach uzyskuje się równanie rekurencyjne:

( )

( ) ( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

−

−

Δ

==

−

t

T

t

y

t

x

k

T

t

t

y

k

k

k

1

1

Równanie takie można zamodelować układem przedstawionym na rysunku 4.

+

_

1/z

k

t

Δ

T

1-

t

Δ

T

y t

( )

k

x t

( )

k

y t

( )

k-1

sumator

wzmocnienie

opóźnienie

Rys.4. Schemat strukturalny modelu impulsowego elementu

inercyjnego pierwszego rzędu

II. Układ regulacji (wg rys. 3) z regulatorem nieciągłym

a) Zamodelować regulator dyskretny dobrany przy założeniach jak w pkt. 3.1.IIa
b) przeprowadzić badanie symulacyjne układu dla różnych okresów próbkowania

3.3. Układy nielinowe

Laboratorium Podstaw Automatyki

Modelowanie – dziedzina czasu

- 8 -

I. Zamknięty układ regulacji

Sprawdzić działanie układu regulacji pokazanego na rysunku 3 z regulatorem dobranym jak
w pkt. 3.1.IIa w następujących sytuacjach:

a) przy założeniu ograniczenia mocy dostarczonej do wejścia obiektu przez regulator (każdy

elemnent rzeczywisty podlega takim ograniczeniom), wstawiając na wyjściu regulatora
element Saturation z grupy Nonlinear. Założyć poziom ograniczenia mniejszy niż
przyjęty stopień skrócenia czasu odpowiedzi

α.

b) obiekt jest elementem pierwszego rzędu z opóźnieniem (element Transport Delay z

grupy Nonlinear); obliczenie przeprowadzić dla różnych wartości czasu opóźnienia.

4. Pytania kontrolne.

1. Co wyróżnia elementy dynamiczne?
2. Wymień podstawowe typy elementów dynamicznych idealnych.
3. Jakie znasz sposoby opisu matematycznego tych elementów?
4. Jakie parametry charakteryzują dynamikę elementów i układów?
5. Narysuj trzy podstawowe struktury połączeń elementów w układach regulacji?
6. Jakie elementy nazywa się ciągłymi, a jakie nieciągłymi (impulsowymi)?
7. Czy jest możliwe włączenie w jednym układzie elementów ciągłych i impulsowych? W

jaki sposób?

8. Czy współczynniki równań opisujących elementy dyskretne zależą od okresu

próbkowania? Dlaczego?

9. Omów analityczne sposoby wyznaczania odpowiedzi układów dynamicznych?
10. Jakie miary mogą służyć do oceny jakości regulacji?
11. Jaki jest sens numerycznego modelowania ukadów dynamicznych?
12. Omów zagadnienie nieliniowości w układach sterowania.
13. Wskaż różnice pomiędzy elementami idealnymi (opisanymi modelema uproszczonym), a

rzeczywistymi (realizowalnymi fizycznie). Podaj przykłady.

Literatura:

[1] Klamka J., Ogonowski Z.: Teoria systemów liniowych. Skrypt Pol. Śląskiej, Gliwice,

1996.

[2] Brzózka J.: Ćwiczenia z automatyki w Matlabie i Simulinku. Wyd. Mikom, Warszawa,

1997

[3] Osowski S.: Modelowanie układów dynamicznych z zastosowaniem języla SIMULINK.

Oficyna wydawnicza Polit. Warszawskiej, 1999

[4] Krupka. J., Morawski R.Z., Opalski L.J.: Wstęp do metod numerycznych., Oficyna

wydawnicza Polit. Warszawskiej, 1999

[5] Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczme. WNT, 1982
[6] Bogucka S. (red.):Metody numeryczne w technice. skrypt Polit. Śląskej, nr 418, Gliwice,

1973

(HUk), plik: SYM_T_27-01.DOC