mechanika plynow

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

1/32

Wybrane zagadnienia

z Mechaniki Płynów

Wojciech Sobieski

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Wydział Nauk Technicznych

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn

10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11.

tel.: (89) 5-23-32-40
fax: (89) 5-23-32-55

wojciech.sobieski@uwm.edu.pl

Niniejszy dokument może być dowolnie kopiowany, udostępniany
rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmianę treści
dokumentu ani na jego modyfikacje.

Olsztyn 2001

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

2/32

S P I S T R E Ś C I

1.

PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH...................................................... 3

2.

PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW.......................................................... 6

3.

NAPÓR HYDROSTATYCZNY ................................................................................. 8

4.

PŁYWANIE CIAŁ .................................................................................................... 10

5.

PRAWO EULERA .................................................................................................... 11

6.

PRAWO PASCALA .................................................................................................. 12

7.

RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE....................................................... 13

8.

KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W

PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15

9.

RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18

10.

RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A ................................................................... 19

11.

RUCH ELEMENTU PŁYNU ................................................................................... 27

12.

GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

3/32

1.

PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH

Dwóm stanom materii – cieczom i gazom - można przypisać cechy płynności i ciągłości.

Jeżeli w określonych warunkach cechy te są możliwe do zaakceptowania, to zarówno

ciecz jak i gaz będziemy nazywali płynami.

Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest

zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł, pomiędzy cieczą a gazem istnieją

jednak pewne różnice (rys. 1.).

Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).

Ciecz – ruch molekuł jest ruchem drgającym dookoła średniego położenia oraz ruchem

przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce „życia osiadłego”

τ

0

. Przyjmijmy, że średnia

droga przeskoku wynosi l

0

.

Gaz – ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez możliwości „życia osiadłego”.

W ruchu chaotycznym molekuły zderzają się, zmieniając w ten sposób swoją prędkość.

Drogi pomiędzy kolejnymi zderzeniami są różne – jednak średnia droga l

0

pomiędzy

kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłuższa od średniej drogi przeskoku w stanie

ciekłym.

Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł można zdefiniować

następująco:

dla stanu ciekłego

dla stanu gazowego

wymiar

charakteryzujący

wielkość

molekuły

ś

rednia odległość między molekułami

ś

rednia amplituda drgań

ś

rednia droga przeskoku

wymiar

charakteryzujący

wielkość

molekuły

ś

rednia odległość między molekułami

ś

rednia droga swobodna

Inne cechy

zachowuje kształt naczynia

mało ściśliwy

nie zachowuje kształtu

bardzo ściśliwy

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

4/32

Płynność. Gdy czas działania t siły odkształcającej jest bardzo długi w porównaniu z

czasem życia osiadłego

τ

0

, wtedy odkształcenie jest możliwe dzięki wymuszonej przez tę

siłę zmianie układu molekuł w przestrzeni. Można się spodziewać proporcjonalności

między działającą siłą a odkształceniem – nawet mała siła odkształcająca wywołuje

skończoną prędkość odkształcenia. Jeżeli czas działania siły jest porównywalny bądź też

krótszy od życia osiadłego molekuł, nie zdążą się one dostosować do sił deformujących

(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły -

τ

0

1 s – ulega

ona wówczas pękaniu, jak ciało stałe).

Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięciem) a siłą odkształcającą

jest cechą określoną jako płynność. Z powyższego rozumowania wynika ograniczenie tej

cechy. Jeżeli

0

τ

t

>>1,

to cieczom można przypisać cechę płynności. Jeżeli zaś

0

τ

t

<1,

to mamy sytuację podobną do tej, jaka panuje w ciele stałym.

Jest rzeczą oczywistą, że w gazach, dla których

τ

0

= 0, cecha płynności nie ulega

ograniczeniom.

Ciągłość. Jest to cecha oznaczająca możliwość traktowania materii jako ośrodka

wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy wymiary

liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l

0

. Tak więc i tu

pojawia się ograniczenie tej cechy. Jeżeli

0

l

L

>>1,

to cieczom i gazom można przypisać cechę ciągłości. Jeżeli zaś

0

l

L

<1,

to założenie ciągłości nie stanowi dobrego modelu fizycznego.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

5/32

Ponieważ wartość l

0

jest znacznie większa dla gazów, można oczekiwać naruszenia tej

cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał

porównywalnych z l

0

nie mogą być rozpatrywane jako ośrodek ciągły.

Liczba Knudsena. Aby ocenić stopień zgodności przyjętego modelu płynu (ciągły -

nieciągły) wprowadzono parametr zwany liczbą Knudsena

L

l

Kn

0

=

.

Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje się model ośrodka ciągłego.

Płyn doskonały (idealny) – płyn, który jest nieściśliwy, nielepki, nie ulega

rozszerzalności termicznej, nie „poddaje się” rozciąganiu, ściskaniu, ścinaniu.

Płyn rzeczywisty – powyższe założenia nie obowiązują.

Modele płynów. W zależności od związków pomiędzy prędkością deformacji a

naprężeniami stycznymi, przyjmuje się różne modele płynów rzeczywistych:

płyn Newtona

– płyn, w którym naprężenie styczne jest proporcjonalne do

prędkości deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)

płyn Binghama

– płyn, w którym naprężenie styczne jest niejednorodną funkcją

deformacji (pasty, zaprawy)

płyn pseudoplastyczny – płyn, w którym naprężenie styczne maleje wraz z prędkością

deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)

płyn tiksotropowy

– płyn, w którym przy stałej prędkości deformacji, naprężenia

styczne maleją w czasie (farby, lakiery)

płyn Hooke’a

– płyn, który ulega tylko odkształceniu objętościowemu (???)

płyn z pamięcią

– ??? (farma emulsyjna)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

6/32

2.

PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW


1. Ciśnienie.

dA

dP

A

P

p

A

=

=

0

lim





2

m

N


2. Gęstość.

dV

dm

V

m

V

=

=

0

lim

ρ





3

m

kg

ρ =

m

V


3. Ciężar właściwy.

dV

dG

V

G

V

=

=

0

lim

γ





3

m

N

γ =

G

V

γ ρ

= ⋅

g


4. Objętość właściwa.

ρ

1

v

=

kg

m

3


5. Rozszerzalność objętościowa.

dT

dV

V

1

=

α

1

K







T

1

0

T

+

=

α

ρ

ρ

(

)

T

V

V

+

=

α

1

1

2

T

V

V

1

=

α


6. Ściśliwość.

dp

dV

V

1

B

=

N

m

2

p

B

1

0

p

=

ρ

ρ

(

)

p

B

1

V

V

1

2

=

p

B

V

V

1

=


7. Lepkość dynamiczna.

dn

dV

=

µ

τ

dT = ±

τ

.

dA





=

s

m

kg

µ

1P

g

cm s

=








8. Lepkość kinematyczna.

ρ

µ

ν

=

=

s

m

2

υ

=

s

cm

St

2

1


9. Równanie stanu (tylko dla gazów idealnych).

mRT

pV

=

lub

RT

p

ρ

=

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

7/32

Oznaczenia symboli:

P – siła
G - ciężar
m
- masa
V - objętość (prędkość w punkcie 7)
v - objętość właściwa

µ

- dynamiczny współczynnik lepkości (czasami oznacza się

η

)

ν

współczynnik lepkości kinematycznej

P - Poise – jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cP = 1P

.

10

-2

)

St – Stockes - jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cSt = 1St

.

10

-2

)

B - współczynnik ściśliwości (

B=1/E)

E - moduł Younga
R - indywidualna stała gazowa

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

8/32

3.

NAPÓR HYDROSTATYCZNY

Siła naporu hydrostatycznego, wywieranego przez ciecz na płaską ścianę o dowolnym

konturze wynosi

P =

ρ

·g·

z dA

A

.

( 1 )

Wyrażenie

z dA

A

jest momentem statycznym, zatem

z dA

A

= z

s

·A,

gdzie z

s

oznacza głębokość zanurzenia środka geometrycznego ściany o polu

powierzchni równym A. Wobec tego napór cieczy na dowolną figurę płaską można

wyrazić następującym wzorem:

P =

ρ

·g·z

s

·A =

γ

·z

s

·A.

( 2 )

Jeżeli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p., to

P = (p +

γ

·z

s

)·A

( 3 )

Współrzędne położenia środka naporu, tj. punktu C, w którym przyłożony jest wektor

siły naporu, działającej na rozpatrywany wycinek ściany o polu powierzchni równym A,

wyznaczamy z następujących zależności:

x

c

=

xy

s

I

A y

y

c

=

x

s

I

A y

= y

s

+

0

x

I

A y

s

( 4 )

z

c

= z

s

+

0

x

I

A z

s

·sin

2

α

y

s

, z

s

- współrzędne środka ciężkości,

I

x

- moment bezwładności względem osi x,

I

xy

- moment dewiacyjny względem osi x i y,

I

xo

- moment bezwładności względem osi x

0

przechodzącej przez środek ciężkości S.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

9/32

x

0

x

x

s

x

c

y

y

y

s

y

c

dA

s

c

z

A

z

z

s

z

c

P

dP

α

x

Dla ściany prostopadłej do zwierciadła cieczy

α = 90

°

z

c

= z

s

+

0

x

I

A z

s

( 5 )

Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, że środek naporu znajduje się zawsze poniżej środka

ciężkości. Punkty C i S pokrywają się tylko wówczas, gdy A jest wycinkiem ściany

płaskiej, równoległej do zwierciadła cieczy.

Wypadkowy napór hydrostatyczny cieczy na ściankę zakrzywioną

P =

x

z

P

P

2

2

+

Składowa pozioma P

x

równa jest parciu wywieranemu na rzut powierzchni zakrzywionej

na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego kierunku. Linia działania składowej

poziomej przechodzi przez środek naporu rzutu rozważanej powierzchni.

Składowa pionowa naporu P

z

równoważona jest ciężarem „bryły ciekłej” ograniczonej

rozpatrywaną powierzchnią zakrzywioną i tworzącymi pionowymi, które łączą jej kontur

ze zwierciadłem cieczy. Kierunek działania naporu pionowego przechodzi przez środek

ciężkości rozpatrywanej „bryły”. Natężenie składowej pionowej P

z

nie zależy przy tym

od tego, czy nad ścianą zakrzywioną wznosi się aż do zwierciadła realny słup cieczy, czy

też nie.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

10/32

4.

PŁYWANIE CIAŁ

Stateczność określa się na podstawie tzw. wysokości metacentrycznej z następujących

zależności:

a

V

I

m

z

x

x

±

=

- stateczność względem osi x,

a

V

I

m

z

y

y

±

=

- stateczność względem osi y.

gdzie

V

z

- objętość zanurzona,

I

x

, I

y

- momenty bezwładności pola przekroju pływania względem osi x i y,

a

- odległość między środkiem ciężkości ciała i środkiem wyporu (ujemna wartość a

występuje wówczas, gdy środek ciężkości znajduje się powyżej środka wyporu).

Do badania stateczności bierze się ten kierunek, dla którego wartość momentu

bezwładności jest mniejsza.

m > 0 - stateczność stała,

m < 0 - stateczność chwiejna,

m = 0 - stateczność obojętna.

x

y

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

11/32

5.

PRAWO EULERA


Prawo Eulera - wartość ciśnienia nie zależy od orientacji (położenia) elementu
powierzchniowego, do którego „wektor” ciśnienia jest prostopadły.

P

x

z

y

p

x

p

y

p

z.

α

β

γ

dx

dz

dy

dAx

dAz

dAy


Aby układ był w stanie równowagi:

p

x

.

dAx - p

.

dA

.

cos

α

= 0

p

y

.

dA

y

- p

.

dA

.

cos

β

= 0

(1)

p

z

.

dA

z

- p

.

dA

.

cos

γ

= 0


ponieważ

dA

.

cos

α

= dA

x

dA

.

cos

β

= dA

y

dA

.

cos

γ

= dA

z


równanie (1) otrzyma postać

p

x

.

dAx - p

.

dA

x

= 0

p

y

.

dA

y

- p

.

dA

y

= 0

(2)

p

z

.

dA

z

- p

.

dA

z

= 0


po uproszczeniu zaś

p

x

= p

p

y

= p

(3 )

p

z

= p


czyli

p

x

= p

y

= p

z

= p.

(4)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

12/32

6.

PRAWO PASCALA


Prawo Pascala - jeżeli na płyn działają tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie w każdym
punkcie płynu jest takie samo

1

.

P

1

P

2

α

2

α

1

z

dA

1

dA

2

dA


Aby układ był w stanie równowagi:

iz

P

=

0


czyli

1

1

1

2

2

2

0

p dA

p dA

− ⋅

=

cos

cos

α

α

(1)


ponieważ

1

1

dA

dA

=

cos

α

2

2

dA

dA

=

cos

α


więc

1

2

0

p dA

p dA

− ⋅

=

1

2

0

p

p

− =

(2 )


Ogólnie zaś

1

2

p

p

p

n

=

= =

K

.

(3)

1

Prawo to nie uwzględnia ciśnienia słupa cieczy.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

13/32

7.

RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE


Pełna postać równania Eulera:

Vx

t

+

Vx

x

·Vx +

Vx

y

·Vy +

Vx

z

·Vz = X -

1

ρ

·

p

dx

Vy

t

+

Vy

x

·Vx +

Vy

y

·Vy +

Vy

z

·Vz = Y -

1

ρ

·

p

dy

(1)

Vz

t

+

Vz

x

·Vx +

Vz

y

·Vy +

Vz

z

·Vz = Z -

1

ρ

·

p

dz


Jeżeli element płynu jest w stanie spoczynku, to w równaniu Eulera nie ma członu
prędkości, przyjmie ono postać

X -

1

ρ

·

p

dx

= 0

Y -

1

ρ

·

p

dy

= 0

(2)

Z -

1

ρ

·

p

dz

= 0


Lub we współrzędnych cylindrycznych

q

r

-

1

ρ

·

p

r

= 0

q

ϑ

-

1

ρ

·

∂ϑ

p

r

= 0

(3)

q

z

-

1

ρ

·

p

z

= 0


Zapis wektorowy równania ( 1.1 ) ma postać

r

F

gradp

= ⋅

1

ρ

(4)


Równanie ( 1.1 ) można przekształcić do innej postaci

X =

1

ρ

·

p

dx

/·dx

Y =

1

ρ

·

p

dy

/·dy

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

14/32

Z =

1

ρ

·

p

dz

/·dz

X·dx =

1

ρ

·

p

dx

·dx

Y·dy =

1

ρ

·

p

dy

·dy

(5)

Z·dz =

1

ρ

·

p

dz

·dz


Dodając stronami równania ( 1.4 ) otrzymamy

X·dx + Y·dy + Z·dz =

1

ρ

·(

p

dx

·dx +

p

dy

·dy +

p

dz

·dz)


gdzie P = f(x, y, z)

dp =

p

dx

·dx +

p

dy

·dy +

p

dz

·dz


więc

X·dx + Y·dy + Z·dz =

1

ρ

·dp

(6)


Równanie ( 1.4 ) stanowi drugą postać równania hydrodynamiki Eulera.

Dla powierzchni ekwipotencjalnej dp = 0 wówczas

X·dx + Y·dy + Z·dz = 0

(7)



Równanie ( 1.4 ) można zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych

q

r

·dr + q

ϑ

·r·d

ϑ

+ q

z

·dz =

1

ρ

·dp

(8)


Równanie powierzchni ekwipotencjalnej we współrzędnych cylindrycznych

q

r

·dr + q

ϑ

·d

ϑ

+ q

z

·dz = 0.

(9)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

15/32

8.

KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU
ŚCIŚLIWEGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH

Przyjmijmy kontrolną objętość dx

.

dy

.

dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa

strumień płynu ściśliwego o gęstości

ρ

. W przypadku ruchu ustalonego, strumień masy

wpływający do objętości (zgodnie z warunkiem stałości ilości materii) musi być równy

strumieniowi wypływającemu, rozpatrywanemu w tej samej jednostce czasu (zerowy

przyrost

masy).

W układzie nie mogą występować chwilowe lokalne zagęszczenia lub rozrzedzenia masy

(lokalne kompresje i ekspansje) – zjawisko takie stanowi właściwość przepływów

nieustalonych.

Rys. 1. Strumienie wpływający i wypływający do objętości dx

.

dy

.

dz w kierunku x

(w celu zwiększenia czytelności rysunku strumienie na kierunkach y i z nie są opisane).

W przypadku ruchu ustalonego całkowity przyrost masy płynu przepływającego przez

powierzchnie ograniczające objętość kontrolną dx

.

dy

.

dz można zapisać jako

( )

( )

( )



=

+

+

+





+

+

+

+

0

dxdydt

dz

z

V

V

dxdydt

V

dxdzdt

dy

y

V

V

dxdzdt

V

dydzdt

dx

x

V

V

dydzdt

V

z

z

z

y

y

y

x

x

x

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

.

(1)

Po uproszczeniu otrzymamy

( )

( )

( )

0

=

+

+

dxdydzdt

z

V

dxdydzdt

y

V

dxdydzdt

x

V

z

y

x

ρ

ρ

ρ

,

(2)

x

z

y

ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Vx dy dx dt

(

)

ρ

∂ ρ

+





⋅ ⋅ ⋅

Vx

Vx

x

x

dy dx dt

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

16/32

W przypadku przepływu nieustalonego, w obszarze objętości kontrolnej, w czasie dt,

mogą pojawić się zmiany gęstości wywołane ściśliwością płynu. Konsekwencją tego

będzie niezerowa wartość przyrostu masy w obszarze rozpatrywanej objętości kontrolnej.

Ustalając, że strumień masy wypływającej z objętości ma znak dodatni (podczas

ekspansji), zaś wpływającej znak ujemny (podczas kompresji), przyrost ten będzie równy

-

t

ρ

dxdydzdt. Formuła (2) przyjmie wówczas postać

( )

( )

( )

dxdydzdt

t

dxdydzdt

z

V

dxdydzdt

y

V

dxdydzdt

x

V

z

y

x

=

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

.

(3)

W odniesieniu do jednostki objętości i czasu otrzymamy

( )

( )

( )

t

z

V

y

V

x

V

z

y

x

=

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

,

(4)

Lewa strona powyższego wyrażenia stanowi dywergencję strumienia masy

V

s

ρ

,

równanie (4) można więc zapisać wektorowo

( )

0

=

+

V

div

t

r

ρ

ρ

,

(5)

lub w ogólnej postaci kartezjańskiej jako

( )

0

=

+

i

V

i

t

ρ

ρ

,

gdzie i = x, y, z.

(6)

Rozwijając dalej równanie (5) otrzymamy

( )





+

+

+

+

+

+

=

=

+

+

=

+

z

w

y

v

x

u

z

w

y

v

x

u

t

V

div

grad

V

t

V

div

t

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

r

r

r

.

(7)

Wobec tego, iż

t

x

u

=

,

t

y

v

=

,

t

z

w

=

,

(8)

pierwsze cztery człony równania stanowią pochodną zupełną (substancjonalną) gęstości

względem czasu, a suma pochodnych cząstkowych w nawiasie – dywergencję wektora

prędkości, otrzymamy

0

=

+

V

div

dt

dp

r

ρ

.

(9)

Jest to inna forma równania ciągłości w najogólniejszym przypadku ruchu nieustalonego

płynu ściśliwego.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

17/32

Przypadki równania ciągłości:

- ruch nieustalony płynu ściśliwego

( )

0

=

+

V

div

t

r

ρ

ρ

;

(10)

- ruch ustalony płynu ściśliwego

( )

0

=

V

div

r

ρ

;

(11)

- ruch ustalony płynu nieściśliwego

0

=

V

div

r

.

(12)

Warto zwrócić uwagę, iż warunek (12) oznacza niezmienność objętości.

Równanie ciągłości obowiązuje zarówno dla płynów nielepkich jak i lepkich.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

18/32

9.

RÓWNANIE BERNOULIEGO


Rozważmy przepływ przez kanał o zmiennym przekroju elementu płynu o stałej masie m

i objętości V. Przez c oznaczmy prędkość średnią elementu płynu.













Całkowita energia zawarta w płynie nie może ulec zmianie, mamy więc

const

E

E

E

cakowita

=

=

=

2

1

.

(1)


W układzie jak na rysunku mamy trzy rodzaje energii:

- energię kinetyczną

2

2

mc

;

- energię potencjalną

mgh

;

- energię ciśnienia

pV

.


Dla położeń 1 i 2 możemy więc zapisać

V

p

mgh

mc

V

p

mgh

mc

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

+

+

=

+

+

.

(2)

Równanie (2) można przekształcić do postaci

m

V

p

gh

c

m

V

p

gh

c

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

+

+

=

+

+

a następnie

g

V

m

p

h

g

c

g

V

m

p

h

g

c

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

+

+

=

+

+

.

(3)

Uwzględniając, że

ρ

=

V

m

a

γ

ρ

=

g

otrzymamy

γ

γ

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

p

h

g

c

p

h

g

c

+

+

=

+

+

(4)

lub ogólnie

.

2

2

const

p

h

g

c

=

+

+

γ

(5)

Wzór (5) stanowi najbardziej znaną postać równania Bernouliego.

c

c

h

h

p

p

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

19/32

10.

RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A

Przyjmijmy kontrolną objętość dx

.

dy

.

dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa

strumień płynu ściśliwego o gęstości

ρ

i lepkości

µ

.

z

x

y

P

P

P

P

P

x

dx

+


P

P

y

dy

+


P

P

z

dz

+

Fx

Fy

Fz

Bx

By

Bz

Na element płynu działają następujące siły:

1.

Siły wywołane ciśnieniem

P

x

=

dxdydz

x

p

dydz

dx

x

p

p

p

=

P

y

=

dxdydz

y

p

dxdz

dy

y

p

p

p

=





(1)

P

z

=

dxdydz

z

p

dxdy

dz

z

p

p

p

=

2.

Siły masowe

dxdydz

X

Xdm

F

x

ρ

=

=

dxdydz

Y

Ydm

F

y

ρ

=

=

(2)

dxdydz

Z

Zdm

F

z

ρ

=

=

3.

Siły bezwładności – przy założeniu, że element porusza się zgodnie z kierunkami osi

układu, wartość sił bezwładności będą miały znak ujemny

B

x

=

dxdydz

dt

dVx

dm

dt

dVx

ρ

=

B

y

=

dxdydz

dt

dVy

dm

dt

dVy

ρ

=

(3)

B

z

=

dxdydz

dt

dVz

dm

dt

dVz

ρ

=

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

20/32

4.

Siły styczne – w znakowaniu pierwszy symbol oznacza oś, do której jest prostopadły

dany element powierzchni, drugi zaś kierunek składowej naprężeń

dxdy

dz

z

dxdz

dy

y

dydz

dx

x

p

p

p

zx

zx

zx

yx

yx

yx

xx

xx

xx

+

+

+





+

+

+

τ

τ

τ

τ

τ

τ

dxdy

dz

z

dxdz

dy

y

p

p

p

dydz

dx

x

zy

zy

zy

yy

yy

yy

xy

xy

xy





+

+

+





+





+

+

τ

τ

τ

τ

τ

τ

(4)

dxdy

dz

z

p

p

p

dxdz

dy

y

dydz

dx

x

zz

zz

zz

yz

yz

yz

xz

xz

xz

+





+

+

+

+

+

τ

τ

τ

τ

τ

τ

po uproszczeniu

dxdydz

z

y

x

p

zx

yx

xx





+

+

τ

τ

dxdydz

z

y

p

x

zy

yy

xy





+

τ

τ

(5)

dxdydz

z

p

y

x

zz

yz

xz





+

τ

τ

Aby element płynu był w równowadze

ix

P

= P

x

+ F

x

+ B

x

= 0

iy

P

= P

y

+ F

y

+ B

y

= 0

(6)

iz

P

= P

z

+ F

z

+ B

z

= 0

więc

dxdydz

x

p

+

dxdydz

X

ρ

-

dxdydz

dt

dVx

ρ

+

dxdydz

z

y

x

p

zx

yx

xx





+

+

τ

τ

= 0

dxdydz

y

p

+

dxdydz

Y

ρ

-

dxdydz

dt

dVy

ρ

+

dxdydz

z

y

p

x

zy

yy

xy





+

τ

τ

= 0

(7)

dxdydz

z

p

+

dxdydz

Z

ρ

-

dxdydz

dt

dVz

ρ

+

dxdydz

z

p

y

x

zz

yz

xz





+

τ

τ

= 0

Ponieważ wektor

(

)

t

z

y

x

V

V

,

,

,

r

r

=

, to każda ze składowych wektora

V

r

też jest funkcją tych

samych zmiennych:

(

)

t

z

y

x

V

V

x

x

,

,

,

r

r

=

,

(

)

t

z

y

x

V

V

y

y

,

,

,

r

r

=

,

(

)

t

z

y

x

V

V

z

z

,

,

,

r

r

=

(8)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

21/32

Funkcje te są ciągłe i różniczkowalne, można więc różniczkę zupełną przedstawić w

postaci sumy różniczek cząstkowych:

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

dt

t

V

dV

x

x

x

x

x

+

+

+

=

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

dt

t

V

dV

y

y

y

y

y

+

+

+

=

(9)

dz

z

V

dy

y

V

dx

x

V

dt

t

V

dV

z

z

z

z

z

+

+

+

=

lub (po podzieleniu przez dt)

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV

x

x

x

x

x

+

+

+

=

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV

y

y

y

y

y

+

+

+

=

(9)

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

t

V

dt

dV

z

z

z

z

z

+

+

+

=

Ponieważ

x

V

dt

dx

=

,

y

V

dt

dy

=

,

z

V

dt

dz

=

(10)

więc

z

x

y

x

x

x

x

x

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dt

dV

+

+

+

=

z

y

y

y

x

y

y

y

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dt

dV

+

+

+

=

(11)

z

z

y

z

x

z

z

z

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dt

dV

+

+

+

=

Wzór (11) przedstawia tzw. pochodne zupełne (substancjonalne) eulerowskiej metody

analizy lokalnej, składające się z dwu części: pochodnej lokalnej reprezentującej zmiany,

jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola prędkości (w przepływach

ustalonych pochodna ta jest równa zeru) oraz pochodnej konwekcyjnej, obrazującej

zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z punktu x, y, z do

nieskończenie blisko położonego punktu x+dx, y+dy, z+dz.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

22/32

Zależność (11) podstawiamy do równania (7)

dxdydz

x

p

+

dxdydz

X

ρ

+





z

x

y

x

x

x

x

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dxdydz

ρ

+

dxdydz

z

y

x

p

zx

yx

xx





+

+

τ

τ

=0

dxdydz

y

p

+

dxdydz

Y

ρ

+





z

y

y

y

x

y

y

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dxdydz

ρ

+

dxdydz

z

y

p

x

zy

yy

xy





+

τ

τ

= 0

dxdydz

z

p

+

dxdydz

Z

ρ

+





z

z

y

z

x

z

z

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

dxdydz

ρ

+

dxdydz

z

p

y

x

zz

yz

xz





+

τ

τ

= 0

Po odniesieniu do jednostki objętości (dzieląc przez dxdydz) otrzymamy

x

p

+

ρ

X

ρ

ρ

ρ

ρ

z

x

y

x

x

x

x

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+



+

+

z

y

x

p

zx

yx

xx

τ

τ

= 0

y

p

+

ρ

Y

ρ

ρ

ρ

ρ

z

y

y

y

x

y

y

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+





+

z

y

p

x

zy

yy

xy

τ

τ

= 0

(13)

z

p

+

ρ

Z

ρ

ρ

ρ

ρ

z

z

y

z

x

z

z

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+



+

z

p

y

x

zz

yz

xz

τ

τ

= 0

lub przekształcając (przenosząc i dzieląc przez (–1))

ρ

ρ

ρ

ρ

z

x

y

x

x

x

x

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+

+

+

x

p

+

=

z

y

x

p

zx

yx

xx

+

+

τ

τ

+

ρ

X

ρ

ρ

ρ

ρ

z

y

y

y

x

y

y

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+

+

+

y

p

+

=

z

y

p

x

zy

yy

xy

+

τ

τ

+

ρ

Y

(14)

ρ

ρ

ρ

ρ

z

z

y

z

x

z

z

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

+

+

+

z

p

+

=

z

p

y

x

zz

yz

xz

+

τ

τ

+

ρ

Z

Dla płynu ściśliwego gęstość

ρ

nie jest stałe, musi więc wejść pod znak różniczki

( ) (

)

(

)

(

)

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

x

y

x

x

x

x

+

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

x

p

+

=

z

y

x

p

zx

yx

xx

+

+

τ

τ

+

ρ

X

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

23/32

( ) (

) (

) (

)

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

y

y

y

x

y

y

+

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

y

p

+

=

z

y

p

x

zy

yy

xy

+

τ

τ

+

ρ

Y

(15)

(

) (

)

(

)

(

)

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

z

y

z

x

z

z

+

+

+

ρ

ρ

ρ

ρ

z

p

+

=

z

p

y

x

zz

yz

xz

+

τ

τ

+

ρ

Z

Przyjmując odpowiednio, że

X = b

x

,

Y = b

y

,

Z = b

z

(16)

oraz

p

xx

=

τ

xx,

p

yy

=

τ

yy

,

p

zz

=

τ

zz

(17)

powyższe równania można zapisać symbolicznie w postaci skróconej

i

c

ij

ij

j

i

i

b

j

p

V

V

j

V

t

ρ

τ

δ

ρ

ρ

+

=

+

+

)

(

)

(

)

(

(18)

gdzie i, j = x, y, z (dla jednego równania i jest stałe, zaś j przyjmuje wartości x, y, z).

W postaci wektorowej równanie (16) przyjmie postać

b

div

)

I

p

V

V

div(

V

t

cakowite

r

t

t

r

r

r

ρ

τ

ρ

ρ

+

=

+

+

)

(

)

(

.

(19)

Można wykazać, że w istocie stan napięcia w każdym punkcie przestrzeni wypełnionej

płynem lepkim określony jest liczbową wartością, nie dziewięciu, a sześciu naprężeń.

Równanie momentów względem osi x ma następującą postać (kierunek dodatni od osi y

do z)

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=





+

+

+





+

+





+

+

+

+

+





+

dxdydz

dz

z

dy

dxdy

p

dy

dxdy

dz

z

p

p

dxdzdy

dy

y

dz

dxdz

p

dz

dxdz

dy

y

p

p

dy

dydz

dx

x

dy

dydz

dz

dydz

dx

x

dz

dydz

zy

zy

zz

zz

zz

yz

yz

yy

yy

yy

xz

xz

xz

xy

xy

xy

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

τ

(20)

Po uproszczeniu i pominięciu małych czwartego rzędu

(

)

0

=

dxdydz

zy

yz

τ

τ

skąd

0

=

zy

yz

τ

τ

.

(21)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

24/32

Podobnie

0

=

xz

zx

τ

τ

,

0

=

yx

xy

τ

τ

.

Tak więc naprężenia styczne zbieżne na tej samej krawędzi są sobie równe (istnieje

symetria naprężeń stycznych).

Podstawowym

założeniem,

pozwalającym

związać

ilościowo

stan

naprężeń

powierzchniowych z polem prędkości, jest założenie proporcjonalności tych naprężeń do

odkształceń. Wzór podany przez Newtona na naprężenie styczne w przypadku przepływu

płaskiego stanowi najprostsze sformułowanie tego założenia

n

V

=

µ

τ

.

(22)

Współczynnik proporcjonalności

µ

wskazuje, jak duży będzie przyrost prędkości na

kierunku n, w jednostce czasu dt, w warstwach płynu oddalonych od siebie o odległość

dn (rys. 1.).

Rys. 1. Odkształcenie kątowe elementu płynu.

Wartość

n

V

stanowi prędkość odkształcenia kątowego elementu dnds. Naprężenia

powierzchniowe styczne mogą wystąpić tylko w przypadku odkształceń kątowych

elementu płynu.

dn

n

V

V

+

dndt

n

V

V

s

n

ds

d

dt

n

V

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

25/32

Rys. 2. Odkształcenia elementu płynu w układzie kartezjańskim na ściance dxdy.

W układzie kartezjańskim zależności te przyjmą następującą formę (rys. 2):



+

=

=





+

=

=





+

=

=

x

V

z

V

z

V

y

V

y

V

x

V

z

x

xz

zx

y

z

zy

yz

x

y

yx

xy

µ

τ

τ

µ

τ

τ

µ

τ

τ

,

(23)

według której można obliczyć pochodne cząstkowe poszczególnych składowych

naprężeń





+

=



+

=



+

=

x

z

V

x

x

V

x

z

y

V

z

z

V

z

x

y

V

x

x

V

x

x

z

xz

z

y

zy

x

y

xy

2

2

2

2

2

2

µ

τ

µ

τ

µ

τ

,





+

=



+

=



+

=

z

x

V

z

z

V

z

y

z

V

y

y

V

y

y

x

V

y

y

V

y

z

x

zx

y

z

yz

y

x

yx

2

2

2

2

2

2

µ

τ

µ

τ

µ

τ

.

(24)

Do dalszych rozważań wykorzystane będzie równanie (14) z uwzględnieniem warunku

(17)

dt

y

V

d

x

=

β

dt

x

V

d

y

=

α

x

y

ττττ

y

ττττ

x

ττττ

yx

+d

ττττ

y

ττττ

xy

+d

ττττ

x

y

V

x

V

dt

d

d

x

y

+

=

+

β

α

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

26/32



+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

ρ

τ

τ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

τ

τ

ρ

ρ

ρ

ρ

ρ

τ

τ

ρ

ρ

ρ

ρ

Z

z

p

y

x

z

p

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

Y

z

y

p

x

y

p

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

X

z

y

x

p

x

p

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

zz

yz

xz

z

z

y

z

x

z

z

zy

yy

xy

z

y

y

y

x

y

y

zx

yx

xx

z

x

y

x

x

x

x

(25)

lub krócej jako



+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

z

p

y

x

Z

z

p

dt

dV

z

y

p

x

Y

y

p

dt

dV

z

y

x

p

X

x

p

dt

dV

zz

yz

xz

z

zy

yy

xy

y

zx

yx

xx

x

τ

τ

ρ

ρ

τ

τ

ρ

ρ

τ

τ

ρ

ρ

(26)

Po podstawieniu odpowiednich różniczek cząstkowych wg zależności (24) otrzymamy



+

+





+

+

=

+



+

+



+

+

=

+





+

+



+

+

=

+

z

p

y

z

V

y

y

V

x

z

V

x

x

V

Z

z

p

dt

dV

z

y

V

z

z

V

y

p

x

y

V

x

x

V

Y

y

p

dt

dV

z

x

V

z

z

V

y

x

V

y

y

V

x

p

X

x

p

dt

dV

zz

y

z

x

z

z

z

y

yy

x

y

y

z

x

y

x

xx

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

µ

µ

ρ

ρ

µ

µ

ρ

ρ

µ

µ

ρ

ρ

Po przekształceniach



+

+

+

+

=

+



+

+

+

+

=

+



+

+

+

+

=

+

y

z

V

y

y

V

x

z

V

x

x

V

z

p

Z

z

p

dt

dV

z

y

V

z

z

V

x

y

V

x

x

V

y

p

Y

y

p

dt

dV

z

x

V

z

z

V

y

x

V

y

y

V

x

p

X

x

p

dt

dV

y

z

x

z

zz

z

z

y

x

y

yy

y

z

x

y

x

xx

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

µ

ρ

ρ

µ

ρ

ρ

µ

ρ

ρ

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

27/32

11.

RUCH ELEMENTU PŁYNU

Rozpatrzmy element płynu pozostający w ruchu, jak poglądowo pokazuje to rysunek.

Sytuacja pokazana jest w chwili ustalonej t

0

. Stąd wewnątrz elementu odległości od

punktu 0 (dowolnie obrany punkt) oznaczone będą symbolem

r

. Punkt 0 nazwiemy

biegunem. Punkt A jest dowolnym punktem wewnątrz elementu, różnym od bieguna.

Mamy więc relację:

r

r

r

A

+

=

0

.

(1)

Jeżeli powyższy związek zróżniczkujemy względem czasu, to otrzymamy

( )

dt

r

d

dt

dr

dt

dr

A

+

=

0

(2)

Relację tę można zapisać

( )

dt

r

d

u

u

A

+

=

0

(3)

Z drugiej strony, wektor prędkości w punkcie A może być zapisany jako

u

u

u

A

+

=

0

.

(4)

Stąd wynika, iż

( )

u

dt

r

d

=

.

(5)

Związek między wektorami

u i

r można zapisać jako

r

r

u

u

=

.

(6)

Podstawiając powyższą zależność do wzoru (4) otrzymamy

r

r

u

u

u

A

+

=

0

(7)

u

u

0

u

0

r

0

r

A

0

A

r

u

A

t

0

x

y

z

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

28/32

Tensor

u/

r można przedstawić w postaci dwóch tensorów – symetrycznego D

i niesymetrycznego A - poprzez następujące przekształcenie:

+

+

=

gradu

r

u

gradu

r

u

r

u

2

1

2

1

(8)

lub

D

A

r

u

+

=

(9)

gdzie

=

gradu

r

u

A

2

1

(10)

+

=

gradu

r

u

D

2

1

(11)

Ponieważ

uk

uj

ui

u

+

+

=

,

(12)

zk

yj

xi

r

+

+

=

.

mamy więc

=

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

z

u

y

u

x

u

r

u

z

z

z

y

y

y

x

x

x

(13)

Gradient u można otrzymać jako wynik iloczynu diadycznego gradientu i wektora u:

(

)

k

u

j

u

i

u

k

z

j

y

i

x

gradu

z

y

x

+

+





+

+

=

,

(14)

skąd po wykonaniu działań otrzymamy

=

z

u

z

u

z

u

y

u

y

u

y

u

x

u

x

u

x

u

gradu

z

y

x

z

y

x

z

y

x

.

(15)

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

29/32

Na podstawie wzorów (12) i (15) można obliczyć składowe tensorów A i D:

















=

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

z

u

y

u

x

u

z

u

z

u

y

u

y

u

x

u

x

u

z

u

y

u

x

u

A

y

z

z

x

y

z

x

y

z

x

x

y

(16)





+

+





+





+

+





+

=

z

u

y

u

z

u

x

u

z

u

y

u

z

u

y

u

x

u

y

u

x

u

z

u

x

u

y

u

x

u

D

z

z

y

z

x

z

y

y

y

x

z

x

y

x

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

(17)

Po uwzględnieniu rozbicia tensora

u/

r wzór (7) otrzyma ostateczną postać

r

D

r

A

u

u

A

+

+

=

0

0

0

(18)

gdzie wszystkie pochodne w tensorach A i D są wyznaczane dla punktu 0, co zostało

oznaczone indeksami A

0

i D

0

.

Wzór (18) stanowi zapis pierwszego twierdzeniu Helmholtza, które mówi, że prędkość

dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości:

- prędkości postępowej punktu obranego za biegun u

0

;

- prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową

ω

0

, której wektor wyznacza oś obrotu;

- prędkości deformacji elementu płynu D

0

r.

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

30/32

Składowe tensora A stanowią wartości prędkości kątowych

ω

względem osi x, y, z

=

0

0

0

x

y

x

z

y

z

A

ϖ

ϖ

ϖ

ω

ω

ϖ

Tensor deformacji D można rozłożyć na dwa tensory – tensor deformacji liniowych oraz

tensor deformacji kątowych:





+

+





+





+

+





+

+

=

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

y

u

z

u

x

u

z

u

y

u

z

u

x

u

y

u

x

u

z

u

x

u

y

u

z

u

y

u

x

u

D

z

y

z

x

z

y

y

x

z

x

y

x

z

y

x

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

31/32

12.

GRADIENT SKALARA

W polu skalarnym L = F(x,y,z,t), w założeniu, że funkcja F jest ciągła i mająca pochodną

we wszystkich punktach pola, istnieją zawsze pewne powierzchnie (dla pola ustalonego

zawsze te same, dla pola nieustalonego – w danej chwili t) określone równaniem L =

F(x,y,z) = const, na których wartość danego skalara jest stała. Mogą to być powierzchnie

równych ciśnień, temperatur, gęstości, itd.

Istnieje pewna wielkość stanowiąca nowe pole, zależne od danego pola skalarnego,

charakteryzująca zmienność skalara przy przejściu od jednej powierzchni stałej jego

wartości L = C

1

do sąsiedniej L = C

2

.

Najkrótszą drogą przejścia od pewnego punktu A powierzchni L = C

1

do powierzchni L

= C

2

jest odcinek normalnej

n

r

, poprowadzonej w punkcie A, zawarty między tymi

dwiema powierzchniami. Wyrażenie

dn

dL

AB

C

C

AB

=

1

2

)

lim

(1)

określa wielkość zwaną gradientem skalara. Gradient skalara jest wektorem, którego

kierunek w każdym punkcie określa orientację elementu powierzchni L = const

obejmującego dany punkt. Wektor ten jest skierowany zgodnie z normalną

odpowiedniego elementu powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu skalara

przyjmuje się zazwyczaj w stronę rosnących wartości skalara.

A

B

dn

L = C

1

L = C

2

C

ds

β

background image

Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów

32/32

Nowy wektor oznaczmy literą G

n

dn

dF

z

y

x

gradF

n

dn

dL

gradL

G

r

r

r

=

=

=

=

)

,

,

(

(2)

Wartość pochodnej

dn

dF

dn

dL

=

stanowi tutaj moduł gradientu G.

W polu ustalonym lub w danej chwili t w polu nieustalonym

dz

z

F

dy

y

F

dx

x

F

dF

dL

+

+

=

=

.

(3)

Jeżeli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds z danej powierzchni

L = C

1

do powierzchni L = C

2

(na przykład od punktu A do C, jeżeli AC

0), to

β

cos

ds

dL

dn

dL

G

=

=

(4)

skąd

β

cos

G

ds

dL

=

,

(5)

β

cos

Gds

dL

=

.

(6)

Wzory (4-6) dowodzą, że różnica wartości pomiędzy dwiema powierzchniami o stałej

wartości pola L, nie zależy od położenia punktów na tych powierzchniach, a tylko od

odległości tych powierzchni.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mechanika Plynow Lab, Sitka Pro Nieznany
Mechanika płynów na kolosa z wykładów
Mechanika płynów zaliczenie wykładów
Równanie równowagi płyny, mechanika plynów
pyt.4 gr 1, Semestr III, Mechanika Płynów
sciaga MP, INŻYNIERIA ŚRODOWISKA WGGiIŚ AGH inżynierskie, SEMESTR 3, Mechanika Płynów
wyznaczanie współczynnika strat liniowych, studia, V semestr, Mechanika płynów
spr 2 - wizualizacja, ☆☆♠ Nauka dla Wszystkich Prawdziwych ∑ ξ ζ ω ∏ √¼½¾haslo nauka, mechanika płyn
Lab. mech. płynów-Wizualizacja opływu walca w kanaliku, Mechanika Płynów pollub(Sprawozdania)
Czas wypływu, mechanika plynów
Newton jest jak Herkules z bajki, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
mechanika płynów
PLYNY4~1, Księgozbiór, Studia, Mechanika Płynów i Dynamika Gazów
tabela do 2, inżynieria środowiska agh, mechanika plynow
Mechanika Płynów Lab, Sitka N19
spawko mechanika plynow nr 3 mf
Mechanika płynów sprawozdanie 1 współczynnik lepkościs
Mechanika Płynów wzorcowanie manometrów

więcej podobnych podstron