Wykład 4. 25 października 2010

Funkcje, ich podział.

X, Y zbiory. Relacja f

⊂ X × Y jest funkcją (odwzorowaniem) jeśli spełniony jest

warunek:

xf y

∧ xfy

1

⇒ y = y

1

.

Jeśli f jest funkcją i xf y to piszemy y = f (x) lub y = f x.

Dziedziną funkcji

f jest zbiór D = D

f

=

{x ∈ X : ∃y ∈ Y y = f(x)}. Jeśli D = D

f

to piszemy f : D

−→ Y . Często spotykany jest zapis

f : D

3 x −→ y = f(x) ∈ Y.

Np. id

X

: X

3 x −→ X jest odwzorowaniem identycznościowym lub identycznością

na

X.

Jeśli f : X

−→ Y i g : Y −→ Z to funkcję

g

◦ f : X 3 x −→ g ◦ f(x) = g(f(x)) ∈ Z

nazywamy złożeniem funkcji g i f a same funkcje g i f odpowiednio funkcją zewnętrzną
i funkcją wewnętrzną .

Jeśli h : X

→ Z i h = g ◦ f to mówimy, że mamy do czynienia z faktoryzacją

odwzorowania h. Przykład

|x| =

√

x

2

.

Jeżeli A

⊂ X to obrazem zbioru A przez funkcję f nazywamy zbiór

f (A) =

{y ∈ Y : ∃ x ∈ A y = f(x)} = {f(x) : x ∈ A}.

W szczególności zbiór f (X) nazywamy zbiorem wartości funkcji f .

Jeżeli B

⊂ Y to przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f nazywamy zbiór

f

−1

(B) =

{x ∈ X : f(x) ∈ B}.

Funkcję f : X

−→ Y nazywamy surjekcją jeśli f(X) = Y .

Funkcja f : X

−→ f(X) zawsze jest surjekcją.

Surjekcje czasem zapisujemy f : X

Y .

Przykład.

Jeżeli

R ⊂ X×X jest relacją równoważności to funkcja π : X −→ X/R,

π(x) = [x]

R

jest surjekcją.

Funkcję f : X

−→ Y nazywamy różnowartościową lub injekcją jeśli jest spełniony

warunek:

∀ x

1

, x

2

∈ X x

1

6= x

2

⇒ f(x

1

)

6= f(x

2

)

m

∀ x

1

, x

2

∈ X f(x

1

) = f (x

2

)

⇒ x

1

= x

2

.

Injekcje często oznaczamy f : X ,

→ Y .

Relacja

R ⊂ X × X x

1

Rx

2

⇔ f(x

1

) = f (x

2

) jest relacją równoważności. f jest

injekcją

⇔ R jest relacją równości.

14

Funkcję f : X

−→ Y , która jest injekcją nazywamy czasem zanurzeniem zbioru X w

Y . Bardzo często zanurzenia odgrywają rolę zawierania, czasami wręcz jeśli f : X ,

→ Y

to piszemy X

⊂ Y , jak w przykładzie poniżej.

Przykład.

Zanurzeniami są odwzorowania

3 n −→ n − 0 ∈

3 k −→

k
1

∈

3 g −→ [(g, g, . . . )]

R

∈

Jeśli f : X

−→ Y jest równocześnie injekcją i surjekcją to mówimy, że f jest bijekcją.

f : X

−→ y jest bijekcją ⇔ istnieje dokładnie jedno odwzorowanie g : Y −→ X

takie, że

g

◦ f = id

X

, f

◦ g = id

Y

.

Jedyne g o powyższej własności nazywamy funkcją odwrotną do f i oznaczamy

g = f

−1

.

Mamy równoważność f (x) = y

⇔ x = g(y).

Wynika stąd, że aby znaleźć wzór na funkcję odwrotną do f należy rozwiązać rów-

nanie f (x) = y względem x.

Na przykład, jeśli f :

−→

, f (x) = ax + b, a

6= 0 to rozwiązaniem równania

ax + b = y jest x =

1
a

(y

− b) skąd f

−1

(y) =

1
a

y

−

b

a

. Na ogół jednak tego typu równanie

rzadko udaje się efektywnie rozwiązać. Czasem może przydać się następująca ważna
własność;

jeśli f : X

−→ y i g : Y −→ z są bijekcjami to g ◦ f : X −→ Z jest bijekcją i

(g

◦ f)

−1

= f

−1

◦ g

−1

. W powyższym przykładzie f (x) = ax, g(y) = y + b, f

−1

(y) =

1
a

y, g

−1

(z) = z

− b.

Działania.

Działaniem w zbiorze

X jest dowolne odwzorowanie ϕ : X

× X −→ X. Jeśli ϕ jest

działaniem to zamiast ϕ(x, y) piszemy xϕy.

Niech ϕ działanie w X, ψ działanie w Y , f : X ,

→ Y zanurzenie.

f jest zgodne z działaniami ϕ i ψ jeśli dla dowolnych x

1

, x

2

∈ X

f (x

1

ϕx

2

) = f (x

1

)ψf (x

2

).

15

Liczby zespolone.
Liczby zespolone

pojawiły si¸e po raz pierwszy w ksi¸ażce włoskiego matematyka

Rafaela Bombelliego ”Algebra”

napisanej ok. roku 1560 a opublikowanej w 1572.

Rozpatrzmy równanie 3 stopnia

x

3

+ px + q = 0.

Jego rozwiązanie (znalezione przez Tartaglię w XVI wieku a znane jako wzór Cardana)
wygląda następująco

x =

3

v
u
u
t

−

q
2

+

s

q
2

2

+

p
3

3

+

3

v
u
u
t

−

q
2

−

s

q
2

2

+

p
3

3

.

Przykłady.

x

3

+ 6x

− 20 = 0 :

x = 2,

x =

3

q

10 +

√

108 +

3

q

10

−

√

108.

(1 +

√

3)

3

= 10 +

√

108; (1

−

√

3)

3

= 10

−

√

108.

x

3

− 15x − 4 = 0 :

x = 4,

x =

3

q

2 +

√

−121 +

3

q

2

−

√

−121.

(2 +

√

−1)

3

= 2 +

√

−121; (2 −

√

−1)

3

= 2

−

√

−121.

Liczba zespolona

z to element postaci

z = x + yi, gdzie x, y

∈

oraz i =

√

−1.

Przyjmujemy, że jeżeli z = x + yi, w = x

1

+ y

1

i to

z = w

⇔ x = x

1

, y = y

1

.

Jeżeli z = x+yi to liczby rzeczywiste x i y nazywaj¸a si¸e odpowiednio cz¸eści¸a rzeczywist¸a
i cz¸eści¸a urojon¸a liczby z i oznaczamy je

x = Re z, y = Im z.

16

Zatem z = Re z + Im zi oraz z = w

⇔ Re z = Re w i Im z = Im w.

Definiujemy 0 := 0 + 0i, 1 = 1 + 0i. Przez

oznaczamy zbiór liczb zespolonych.

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych.

(x + yi) + (x

1

+ y

1

i) := (x + x

1

) + (y + y

1

)i

czyli

Re (z + w) = Re z + Re w, Im (z + w) = Im z + Im w.

(x + yi)

− (x

1

+ y

1

i) := (x

− x

1

) + (y

− y

1

)i

czyli

Re (z

− w) = Re z − Re w, Im (z − w) = Im z − Im w.

−z = −(x + yi) = −x + (−y)i = −x − yi − liczba przeciwna :

Re (

−z) = −Re z, Im (−z) = −Im z.

Własności dodawania.

(1)

∀z, w ∈

z + w = w + z (przemienność)

(2)

∀z ∈

z + 0 = 0 + z = z (0 jest elementem neutralnym dodawania)

(3)

∀z ∈

z + (

−z) = (−z) + z = 0 (liczba przeciwna jest elementem

odwrotnym dla dodawania

)

(4)

∀z, w, v ∈

(z + w) + v = z + (w + v) (ł¸aczność dodawania).

Własności (1)–(4) wynikaj¸a z odpowiednich własności liczb rzeczywistych.

17

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.

Liczba sprz¸eżona

: z = x + yi, z := x

− yi.

Moduł liczby zespolonej:

z = x + yi,

|z| :=

√

x

2

+ y

2

.

Mnożenie liczb zespolonych

:

(x + yi)

· (x

1

+ y

1

i) := (xx

1

− yy

1

) + (xy

1

+ yx

1

)i.

(x + 0i)

· (x

1

+ 0i) = xx

1

+ 0i

∀a ∈

a

· (x + yi) = ax + ayi

z = 0

⇔ x = y = 0 ⇔ |z|

2

= 0; z

6= 0 ⇒ |z|

2

6= 0

z

· z = |z|

2

Własności mnożenia

:

(1)

∀z, w ∈

z

· w = w · z (przemienność)

(2)

∀z ∈

z

· 1 = 1 · z (1 jest elementem neutralnym)

(3)

∀z, w, v ∈

(z

· w) · v = z · (w · v) (ł¸aczność)

(4)

∀z, w, v ∈

(z + w)

· v = z · v + w · v (rozdzielność mnożenia

wzgl¸edem dodawania

)

Dowody (3),(4): obliczamy lewe i prawe strony i porównujemy.

(5)

∀z ∈

\ {0} z ·

1

|z|

2

z = 1 (liczba

1
z

=

1

|z|

2

z element odwrotny do z)

z

w

= z : w = z

1

w

=

1

|w|

2

z

· w =

z

· w

|w|

2

w

z

=

1

z

w

Własności sprz¸

eżenia liczby zespolonej.

(S1)

∀x, y ∈

x = x, yi =

−yi.

(S2)

∀z, w ∈

z + w = z + w, z

− w = z − w.

(S3)

∀z, w ∈

z

· w = z · w,

z

w

=

z

w

.

(S4)

∀z ∈

Re z =

z+z

2

, Im z =

z

−z
2

i

.

(S5)

∀z ∈

z

· z = |z|

2

.

Własności modułu liczby zespolonej.

(M1)

∀z ∈

|z| = |z| ­ 0; |Re z| ¬ |z|, |Im z| ¬ |z|;

(M2)

|z| = 0 ⇔ z = 0;

(M3)

∀z, w ∈

|z · w| = |z| · |w|;

z

w

=

|z|

|w|

;

(M4)

∀z, w ∈

|z + w|

2

=

|z|

2

+

|w|

2

+ 2Re (zw);

(M5)

∀z, w ∈

|z + w|

2

+

|z − w|

2

= 2

|z|

2

+ 2

|w|

2

;

(M6)

∀z, w ∈

|z + w| ¬ |z| + |w|.

18