Egzamin poprawkowy z matematyki dla student´

ow chemii, 27 lutego 2008, 17:25 – 20:25

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu oraz

nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych; je´sli

kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie

,

na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

b

c pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o b i c .

Znale´z´c log

10

1

3

√

100

.

Wykaza´c, ˙ze log

10

5
3

<

2
9

.

2. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta.

Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: sin t − cos t > 1 . Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech f (x) = 9

3

p

x

5

(x + 1)

2

· (x

2

+ 1)

−2

.

Je´sli 0 6= x 6= −1 , to zachodza

,

r´owno´sci

f

0

(x) = −

3(x−1)(5x

2

+12x+5)

(x

2

+1)

3

·

3

q

x

2

x+1

oraz

f

00

(x) = 2

20x

6

+56x

5

−39x

4

−140x

3

−54x

2

+20x+5

(x

2

+1)

3 3

√

x(x+5)

4

.

Wielomian 5x

2

+12x+5 ma dwa pierwiastki: x

1

=

1
5

(−6−

√

11) ≈ −1,863 i x

2

=

1
5

(−6+

√

11) ≈ −0,537 . Wielomian

20x

6

+56x

5

−39x

4

−140x

3

−54x

2

+20x+5 ma cztery pierwiastki rzeczywiste x

3

≈ −2,722 , x

4

≈ −0,1196 , x

5

≈ 0,337

oraz x

6

≈ 1,606 , wszystkie one sa

,

pojedyncze.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle

,

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

0

przy x −→ ±∞ i przy x −→ −1

±

.

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Obliczy´c

wyznacznik

3 0 2 0
0 1 0 2
2 0 1 0
0 0 0 1

, sume

,







3 0 2 0
0 1 0 2
2 0 1 0
0 0 0 1





+







1 0 0 −1
0 1 0

0

0 0 1

0

−2 0 0

3





, iloczyn







3 0 2 0
0 1 0 2
2 0 1 0
0 0 0 1





·







1 0 0 −1
0 1 0

0

0 0 1

0

−2 0 0

3





.

5. Niech A = (1, 0, 0) , B = (0, 2, 2) , C = (15, 5, 2) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =

−−−−→

[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c w p laszczy´znie ABC jakikolwiek wektor ~

w 6= ~0 =

−−−−→

[0, 0, 0] prostopad ly do prostej BC .

Znale´z´c rzut punktu A na prosta

,

BC i odleg lo´s´c punktu A od tej prostej.

Znale´z´c kosinusy wszystkich trzech ka

,

t´ow wewne

,

trznych tr´ojka

,

ta ABC .

6. Na paraboli y =

1
2

x

2

znale´z´c punkt, kt´orego odleg lo´s´c od punktu (24, 15) jest najmniejsza.

Informacje po˙zyteczne lub zbe

,

dne: 5

3

= 125 , 5

4

= 625 , 5

5

= 3125 , 5

6

= 15625 , 5

7

= 78125 , 3

2

= 9 , 3

3

= 27 , 3

4

= 81 ,

3

5

= 243 , 3

6

= 729 , 3

7

= 2187 , 3

8

= 6561 , 3

9

= 19683 , 3

10

= 59049 , 2

6

= 64 , 2

7

= 128 , 2

8

= 256 , 2

9

= 512 ,

2

10

= 1024 , sin 210

◦

= −

1
2

, cos 330

◦

=

√

3

2

, cos 135

◦

= −

√

2

2

, tg 7,5

◦

=

√

6 − 2 −

√

3 +

√

2 .