Egzamin z matematyki dla student´

ow chemii, 5 lutego 2008, 9:10 – 12:15

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego nr. indeksu oraz

nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektronicznych; je´sli

kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie

,

na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

c

b pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o c i b .

Wykaza´c, ˙ze 0,4 + log

10

6 > log

10

15 > 1,2 log

10

12 − log

10

5

√

4 .

2. Poda´c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta.

Rozwia

,

za´c nier´owno´s´c: tg t + ctg t >

4

√

3

3

. Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech f (x) =

3

p

x

4

(x + 5)

2

· (x

2

+ 1)

−1

.

Je´sli 0 6= x 6= −5 , to zachodza

,

r´owno´sci

f

0

(x) = −

2
3

(5x

2

− 3x − 10)(x

2

+ 1)

−2

3

q

x

x+5

oraz

f

00

(x) =

4
9

15x

5

+49x

4

−135x

3

−358x

2

+30x+25

(x

2

+1)

3 3

√

x

2

(x+5)

4

.

Wielomian 5x

2

− 3x − 10 ma dwa pierwiastki: x

1

=

1

10

(3 −

√

209) ≈ −1,15 i x

2

=

1

10

(3 +

√

209) ≈ 1,75 . Wielomian

15x

5

+ 49x

4

− 135x

3

− 358x

2

+ 30x + 25 ma pie

,

´c pierwiastk´ow rzeczywistych x

3

≈ −4,00 , x

4

≈ −2,14 , x

5

≈ −0,24 ,

x

6

≈ 0,29 oraz x

7

≈ 2,82 .

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la, na kt´orych jest wkle

,

s la.

Obliczy´c granice funkcji f przy x −→ ±∞ , oraz granice f

0

przy x −→ ±∞ i przy x −→ −5

±

.

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Obliczy´c

wyznacznik















3 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1















, sume

,







3 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1





+







1 0 0 −1
0 1 0

0

0 0 1

0

−2 0 0

3





, iloczyn







3 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 1





·







1 0 0 −1
0 1 0

0

0 0 1

0

−2 0 0

3





.

5. Niech A = (1, 0, 0) , B = (0, 2, 2) , C = (15, 5, 2) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =

−−−−→

[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC i wyja´sni´c, czy ten tr´ojka

,

t jest ostroka

,

tny, prostoka

,

tny czy rozwartoka

,

tny.

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow utworzonych przez p laszczyzne

,

ABC i p laszczyzne

,

o r´ownaniu x + y + z = 1 .

6. Z tekturowego tr´ojka

,

ta r´ownobocznego ABC o boku a odcie

,

to trzy deltoidy AEF G ,

BHIJ , CKLM przy czym: punkty E, J le˙za

,

na boku AB , punkty H, M — na

boku BC , punkty KG na boku CA , za´s punkty F, I, L — wewna

,

trz tr´ojka

,

ta ABC ;

odcinki F E oraz IJ sa

,

prostopad le do boku AB , odcinki IH oraz LM — do boku

BC , odcinki LK oraz F G — do boku CA ; d lugo´s´c ka˙zdego odcink´ow z tych sze´sciu

odcink´ow jest r´owna x . Naste

,

pnie zagie

,

to tekture

,

uzyskuja

,

c pude lko o wysoko´sci x ,

otwarte z g´ory, kt´orego denkiem jest tr´ojka

,

t F IL . Dla jakiego x pojemno´s´c po-

wsta lego pude lka jest najwie

,

ksza?

A

B

C

E

F

G

H

I

J

K

M

L

x

x

x

x

x

x

Informacje po˙zyteczne lub zbe

,

dne: 5

3

= 125 , 5

4

= 625 , 5

5

= 3125 , 5

6

= 15625 , 5

7

= 78125 , 3

2

= 9 , 3

3

= 27 ,

3

4

= 81 , 3

5

= 243 , 3

6

= 729 , 2

6

= 64 , 2

7

= 128 , 2

8

= 256 , 2

9

= 512 , 2

10

= 1024 , sin 210

◦

= −

1
2

, cos 330

◦

=

√

3

2

,

cos 135

◦

= −

√

2

2

, tg 7,5

◦

=

√

6 − 2 −

√

3 +

√

2 .