2. Opis teoretyczny:

Prawo powszechnego ciążenia:

Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi r.

m ⋅ m

m 2

F = G 1 2 gdzie G jest stałą grawitacji i wynosi: G=6,67⋅10−11[ N

] .

r 2

kg 2

Powyższe prawo zostało sformułowane przez Izaaka Newtona w 1687r. Wynika ono z obserwacji astronomicznych oraz z wielu eksperymentów przeprowadzonych na ziemi. Stała grawitacji nie zależy od rodzaju ciał jest uniwersalna.

Ciała rozciągłe o skończonych rozmiarach traktujemy jako układ punktów materialnych. Siły przyciągania między takimi ciałami oblicza się przez całkowanie prawa powszechnego ciążenia dla punktów materialnych. Mówi się, że:

Jednorodne ciała kuliste oraz ciała złożone z jednorodnych warstw kulistych, przyciągają się tak

jak punkty materialne umieszczone w ich środkach.

Sposób wyznaczenia stałej grawitacji:

Słynny fizyk Cavendish uważał, że potrafi wyznaczyć stałą G o wiele dokładniej niż zrobił to Newton. Potrzebował do tego jedynie układu, za pomocą którego będzie mógł udowodnić, że wszystkie ciała przyciągają się do siebie siłą grawitacyjną niezależnie od masy i gęstości Ziemi.

Taką możliwość dał mu układ pomiarowy zwany wagą Cavendisha.

Pierwotnie była to równoważnia zawieszona na linie z włókna kwarcowego, na jej obu końcach umieszczone były stosunkowo małe masy (kule). Wykorzystał on fakt, że siła potrzebna do skręcenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo mała.

Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi kulkami ołowianymi na końcach (rysunek_a). Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt (rysunek_b).

Ważenie Ziemi

Mając już godną zaufania wartość G, Cavendish wyznaczył masę Ziemi z równania: gR 2

M =

z

z

G

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wyznaczenia stałej G.

Cavendish wyznaczył też masę Słońca, Jowisza i innych planet, których satelity zostały zaobserwowane. Np. niech M. będzie masą Słońca, a m masą planety krążącej wokół Słońca np.

Ziemi. Wtedy:

GM

M =

z

z

FR 2

gdzie R- to odległość Ziemi od Słońca.

1

3. Przebieg doświadczenia:

1. Odczytałam położenie plamki świetlnej na skali wychyleń, następnie poprosiłam prowadzącego zajęcia o przesunięcie kul na pierwsze skrajne położenie.

2. W odstępach 30-sekundowych zapisywałam kolejne położenia plamki na skali wychyleń.

Pomiarów dokonywałam w czasie 30 minut.

3. Poprosiłam prowadzącego zajęcia o przesunięcie kul na drugie skrajne położenia i również w ostępach 30-sekundowych zapisywałam kolejne położenia plamki w czasie 30 minut.

4. Obliczenia:

We wszystkich poniższych obliczeniach korzystam z wykresu zawartego w sprawozdaniu oraz z tabeli pomiarowej zawartej na pierwszej stronie.

b + b

1

3 + b

Korzystam ze wzoru:

2

b

b

b

2

b

1

2

3

=

=

+

+

aby obliczyć położenie środka wahań b01 i

01

2

4

2

4

b02, dla pierwszego i drugiego ustawienia dużych kul.

Obliczyłam położenie środka dla pierwszego skrajnego położenia: 24,8 21,0

24,2

b =





=22,75 cm

01

4

2

4

b1 = 24,8 cm, b2 = 21,0 cm, b3 = 24,2 cm, gdzie b1,b2, b3 są wartościami minimalnymi i maksymalnymi wychylenia dla pierwszego skrajnego położenia. Odczytałam te wartości z wykresu.

Obliczyłam położenie środka dla drugiego skrajnego położenia: 22,1 19,5 21,7

b =





=20,7 cm

02

4

2

4

b1 = 22,1 cm, b2 = 19,5 cm, b3 = 21,7 cm, gdzie b1,b2, b3 są wartościami minimalnymi i maksymalnymi wychylenia dla drugiego skrajnego położenia. Odczytałam te wartości z wykresu.

Obliczyłam różnice ze wzoru: b01 – b02 = ∆b

∆ b=22,75−20,7=2.05 cm .

A⋅ ∆b

π 2⋅ r 2⋅ d

Następnie stosując wzór G=

, gdzie A=

przystąpiłam do obliczenia stałej

T 2

M⋅ L

grawitacji przyjmując, że:

r = 0, 047 m (odległość pomiędzy środkami mas M i m) d = 0,05 m (odległość małej kulki m od osi obrotu) Δb = 0,0205 m (środek wahań)

M = 1,5 kg (masa dużej kuli M)

T = 10 min = 600 s (można go odczytać z wykresu oraz tabeli) L = 0, 86 m (odległość zwierciadełka od ekranu) 2

π 2⋅ r 2⋅ d⋅ ∆b Podstawiając A do wzoru na G: G=

.

M⋅ L⋅ T 2

0,002209⋅9,8696⋅0,05⋅0,0205

Otrzymałam: G=

=7,81236761⋅10−11 N⋅ m 2

1,5⋅360000⋅0,86

kg 2

Następnie obliczyłam masę Ziemi na podstawie otrzymanej przeze mnie stałej grawitacji: gR 2

m

M =

z

gdzie: g = 9,81

, R =6,37⋅106 m , G=7,81236761⋅10−11 N⋅ m 2

z

z

G

s 2

kg 2

9,81⋅6,37⋅1062

M =

=5,14⋅1024 kg

z

.

7,81236761⋅1011

5. Analiza błędu:

Na podstawie wykresu drgań wahadła oszacowałam niepewność wyznaczenia okresu u(T) oraz oszacowałam dokładność z jaką można wyznaczyć poszczególne wartości b1, b2, b3 (na podstawie punktów w najbliższym otoczeniu maksimów i minimów) i następnie obliczyłam niepewność wyznaczenia wartości u(∆b).

b1 – b6 były wyznaczane z dokładnością 0, 1 cm zatem u(∆b)=2∙0,1=0,2 cm Okres T odczytywany z wykresu oraz tabeli wynosił T = 10 min = 600 s z dokładnością u(T) = 30s.

Zakładając że: M, L, d, r – są stałe i nie mają wpływu na moje obliczenia, wyliczyłam niepewność u(G) ze wzoru:

u  G  u  ∆b 

u  T 

u  T 

=

2

==> u G= G⋅ u ∆b2

 .

G

∆b

T

∆b

T

Podstawiając otrzymane dane otrzymuje niepewność: 30

u  G=7,81236761⋅1011 0,002 2

=1,543418967⋅10−11 N⋅ m 2

0,0205

600

kg 2

Ostatecznie uzyskałam wynik: G=7±2⋅10−11 N⋅ m 2 .

kg 2

6. Wnioski:

Uzyskałam wynik na stałą grawitacji: G=7±2⋅10−11 N⋅ m 2 i obliczyłam na jej podstawie masę kg 2

9,81⋅6,37⋅1062

Ziemi: M =

=5,14⋅1024 kg

z

.

7,81236761⋅1011

Otrzymane przeze mnie wyniki są bardzo dobre ponieważ wartości w tablicach fizycznych: m 2

Mz = 5,98 · 1024 kg oraz G=6,67⋅10−11[ N

] znajdują się w zakresie niepewności

kg 2

wyznaczonej wartości.

Jakiekolwiek błędy przy pomiarach mogły wyniknąć z faktu, że moją skalą wahań była linijka wisząca na nitkach, której dotknięcie mogło spowodować jej przesunięcie.

3