5. Ocena procesu przetwarzania energii id 39740

5. Ocena procesu przetwarzania energii

W poprzednich rozdziałach rozwaŜano przetworniki o dwóch cewkach umieszczonych we wspólnym obwodzie magnetycznym. Przetworniki takie mogą przetwarzać energię mechaniczną na elektryczną lub odwrotnie, lecz aby było to uŜyteczne muszą być spełnione pewne warunki. Zostaną one wyjaśnione na przykładzie najprostszego przetwornika o dwóch cewkach oraz cylindrycznym obwodzie magnetycznym, przedstawionego schematycznie na Rys. 3.2. Dla jasności tych analiz załoŜono, Ŝe indukcyjność wzajemna tych cewek zmienia się zgodnie z funkcją M (ϕ) = M ⋅ co ϕ

s ,

która stanowi najprostszą aproksymację właściwości indukcyjności wzajemnej przedstawionej na Rys.

3.4. Równania takiego przetwornika mają postać

d (L ⋅ i + M⋅cosϕ ⋅ i + R ⋅ i = u

(5.1a)

2 )

d t

d (M⋅cos ϕ⋅ i + L ⋅ i + R ⋅ i = u

(5.1b)

2 )

d t

d2ϕ

dϕ

+ D

= m

i i

(5.1c)

z − M ⋅ 1 ⋅

2 ⋅ sinϕ

d t

Aby objaśnić moŜliwie prosto efekty przetwarzania energii rozpatrzony zostanie najprostszy przypadek gdy przez cewki ‘1’ oraz ‘2’ płyną prądy stałe w czasie i ( t) = I oraz i ( t) = I . Wówczas 1

przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny stały w czasie

em = −M ⋅ I1 ⋅

I2 ⋅ sinϕ

To spowoduje, Ŝe część obrotowa przetwornika ustawi się w takim połoŜeniu ϕ , aby spełnić 0

równanie równowagi statycznej

m + m

= 0 czyli m − M ⋅ I ⋅ I ⋅sinϕ = 0

(5.2)

tj. aby moment elektromagnetyczny zrównowaŜył zewnętrzny moment mechaniczny. Dla dodatnich kątów ϕ moment elektromagnetyczny będzie działał przeciwnie do kąta obrotu i będzie równowaŜył

dodatni moment mechaniczny, a dla kątów ujemnych moment elektromagnetyczny będzie działał

zgodnie z kątem obrotu i równowaŜył ujemny moment mechaniczny. Na Rys. 5.1. przedstawiono wykres zmian momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta ϕ , z którego wynika, ze są moŜliwe dwa połoŜenia równowagi ϕ oraz ϕ

, które zaznaczono na rysunku dla ujemnego momentu

0 1

0,2

mechanicznego, czyli dla przypadku, gdy przetwornik ma pokonać pewien mechaniczny moment obrotowy. (Dla przypomnienia, gdy wartość momentu mechanicznego jest dodatnia działa on zgodnie z kątem obrotu, gdy jego wartość jest ujemna działa przeciwnie do kąta obrotu)

m em

0 1

0,2

−π/2

π/2

3 /

π 2

2π

Rys.5.1. ZaleŜność momentu elektromagnetycznego przetwornika od kąta obrotu ϕ

NaleŜy rozstrzygnąć, które z tych dwóch połoŜeń jest połoŜeniem stabilnym, tj. takim, gdy część obrotowa z niego wytrącona powróci w to połoŜenie, a które połoŜeniem niestabilnym, tj. takim, gdy część obrotowa z niego wytrącona nie powróci do tego połoŜenia. W tym celu naleŜy załoŜyć, Ŝe kąt ϕ moŜe zmienić się o pewną małą wartość ϕ + (

∆ t) . Wówczas równanie ruchu mechanicznego

przyjmuje postać

d2 ϕ

∆

d ϕ

∆

+ D

= m − M ⋅ i ⋅ i ⋅sin(ϕ +

)

∆

(5.3)

d t

WyraŜenie sin(ϕ +

)

∆ moŜna dla małych wartości wahań

(

∆ t) aproksymować następująco

sin(ϕ

)

sin

cos

sin

cos

0 +

∆ =

ϕ0 ⋅

∆ +

ϕ0 ⋅

∆ ≈

ϕ0 +

ϕ0 ⋅ ϕ

∆

co pozwala rozdzielić równanie ruchu na równanie dla zaburzeń kąta

(

∆ t)

d2 ϕ

∆

d ϕ

∆

+ D

+ (M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ ) ⋅ ϕ

∆ = 0

(5.4a)

d t

oraz na równanie równowagi statycznej określające kąt ϕ

m − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sinϕ = 0

(5.4b)

Warunkiem zanikania zaburzenia

(

∆ t) jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego

⋅ r + D ⋅ r + (M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ ) = 0

miały ujemne części rzeczywiste, gdyŜ wówczas zaburzenia kąta

(

∆ t) będą zanikały w czasie

− D ± D2 − 4 ⋅ J ⋅ M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

1 2

Pomijając człon D2 ≈ 0 (tłumienie ruchu obrotowego jest przewaŜnie bardzo małe) w wyraŜeniu pod pierwiastkiem moŜna dość do wniosku, Ŝe warunkiem zanikania zaburzeń kątowych jest aby cosϕ > 0 , gdyŜ wówczas

M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

= −

± j

(5.5)

1 2

co oznacza, Ŝe przebiegi przejściowe mają charakter zanikających oscylacji. Zatem, dla rozpatrywanego przetwornika stabilne połoŜenia równowagi statycznej będą dla kątów z przedziału π

− < ϕ <

Ten prosty przykład pozwolił wyjaśnić pojęcie punktu równowagi statycznej oraz jego stabilności.

Taki sposób realizacji procesu przetwarzania energii nie jest jednak uŜyteczny technicznie, gdyŜ

przetwornik zasilany prądami stałymi obróci się jedynie o stały kąt, lecz nie moŜe zostać wprowadzony w ruch obrotowy, aby wydawać energię mechaniczną.

↓*****************************************************************↓

Nieco ogólniejsze rozwaŜania pozwalają określić warunek stabilności połoŜenia równowagi statycznej dla równania o postaci

d2ϕ

dϕ

+ D

= m ( )

ϕ + m ( )

d t

W tym celu naleŜy aproksymować wyraŜenia na momenty mechaniczny oraz elektromagnetyczny funkcjami liniowymi

∂ m (

z ϕ

m (

;

z ϕ) =

(

z ϕ )

)

⋅ ϕ

∆

∂

ϕ=ϕ0

∂ m (

em ϕ

m (

em ϕ) =

(

em ϕ )

)

⋅ ϕ

∆

∂

ϕ=ϕ0

W efekcie uzyskuje się warunek o postaci

∂ m ( )

< 0

∂

ϕ=ϕ

↑*****************************************************************↑

Proces uŜytecznego przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną moŜna zrealizować następująco. Niech cewka ‘1’ będzie zasilana ze źródła prądu przemiennego, a cewka ‘2’ ze źródła prądu stałego.

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I

(5.6)

Wówczas, nie pytając o napięcia na tych cewkach, moŜna określić moment elektromagnetyczny wytworzony przez przetwornik. Będzie on wyraŜony wzorem

(5.7)

em = −M ⋅ I1 ⋅ I2 ⋅ cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sinϕ

Aby otrzymać uŜyteczną energię ruchu obrotowego moment elektromagnetyczny musi mieć wartość stałą w czasie, gdyŜ tylko wówczas przetwornik moŜe wirować ze stałą prędkością kątową. ZaleŜność powyŜsza zapisana w postaci

em = −M ⋅ I1 ⋅ I2 ⋅ cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sinϕ =

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅

ϕ + Ω ⋅ t +

ϕ − Ω ⋅ t

(sin(

) sin(

)

pozwala zauwaŜyć, Ŝe warunek ten moŜe zostać spełniony, gdy

ϕ = Ω ⋅ t + ϕ

lub

ϕ = −Ω ⋅ t + ϕ

(5.8)

Wówczas moment elektromagnetyczny określają odpowiednio zaleŜności

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin(2Ω ⋅ t + ϕ ) + sin ϕ

(5.9a)

(

0 )

lub

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅

ϕ −

Ω ⋅ t − ϕ

(5.9b)

(sin

sin(2

)

0 )

W kaŜdym z tych dwóch przypadków moment elektromagnetyczny posiada składową stałą w czasie 1

= − M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.10)

em,0

oraz składową przemienną o amplitudzie 1 M ⋅ I ⋅ I oraz pulsacji 2Ω . Przebieg zmienności 2

momentu elektromagnetycznego w funkcji czasu przedstawiono na Rys. 5.2. RozwaŜany przetwornik moŜe trwale przetwarzać energię przy dwóch prędkościach kątowych Ω

= Ω lub Ω = −Ω , gdyŜ

składowa stała momentu elektromagnetycznego moŜe równowaŜyć stały zewnętrzny obrotowy moment mechaniczny. Wartość średnia momentu elektromagnetycznego za okres jego zmienności zaleŜy od kąta ϕ , który określa połoŜenie kątowe części obrotowej przetwornika w chwili, gdy prąd 0

w pierwszej cewce osiąga wartość maksymalną. Na Rys. 5.3 przedstawiono zmienność wartości średniej momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta ϕ .

m em

m em,0

T / 2

2π

T =

Ωe

Rys. 5.2. Moment elektromagnetyczny przetwornika w funkcji czasu

przy prędkości kątowej Ω

= Ω

m m

0 1

0,2

ϕ0

−π/2

π/2

3 /2

2π

Rys. 5.3. ZaleŜność średniej wartości moment elektromagnetyczny w funkcji kąta ϕ

Porównując zmienność momentu elektromagnetycznego na Rys. 5.1 oraz Rys. 5.3 moŜna zauwaŜyć, Ŝe są one jakościowo identyczne, zatem rozwaŜania o punktach równowagi statycznej oraz ich stabilności przeprowadzone dla przetwornika zasilanego prądami stałymi przenoszą się na przypadek zasilania cewki ‘1’ prądem przemiennym, lecz w tym drugim przypadku równowaga statyczna jest osiągana przy ruchu obrotowym o stałej prędkości kątowej, a kąt ϕ wynika z równania

D ⋅ Ω = m − M ⋅ I ⋅ I ⋅ sinϕ

(5.11)

Jednak moment elektromagnetyczny zawiera takŜe składową przemienną, która będzie zaburzać proces przetwarzania energii, powodując wahania prędkości kątowej. Układy mechaniczne są bardzo wraŜliwe na obrotowe momenty przemienne i proces przetwarzania energii uwaŜa się za tym lepszy im mniejsza jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego. Jakość procesu przetwarzania moŜna określić za pomocą współczynnika wyraŜającego stosunek amplitudy momentu składowej przemiennej momentu elektromagnetycznego do wartości jego składowej stałej.

amplituda s

kłkładowp

rzemienn j

K =

(5.12)

wartośa ś

rednia

który dla idealnego przetwarzania powinien mieć wartość zero. Dla rozpatrywanego procesu przetwarzania współczynnik ten wynosi

1 M ⋅I ⋅I

K =

sin ϕ

M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin ϕ

Jego minimalna wartość wynosi 1.0, co pozwala stwierdzić, Ŝe proces przetwarzania energii przez ten przetwornik nie naleŜy do efektywnych.

Proces przetwarzania energii mechanicznej ruchu obrotowego na energię elektryczną przez ten przetwornik moŜna zrealizować w następujący sposób. Niech część obrotowa przetwornika wykonuje ruch obrotowy ze stała prędkością kątową Ω , co oznacza, Ŝe kąt obrotu narasta liniowo w czasie m

zgodnie z funkcją ϕ = Ω ⋅ t + α . Gdy przez cewkę ‘2’ umieszczoną na części nieruchomej popłynie m

prąd stały w czasie i = I , a cewka ‘1’ umieszczona na części stałej będzie rozwarta, (tj. nie będzie 2

przez nią płynął prąd, czyli i ≡ 0 ), wówczas napięcie na cewce ‘1’ moŜna wyliczyć z pierwszego z 1

trzech równań przedstawionych powyŜej i wynosi ono

u =

⋅

Ω ⋅ t + ⋅

= − ⋅ ⋅ Ω ⋅

Ω ⋅ t +

(M cos(

α) I

2 )

M I

sin(

α)

Aby osiągnąć taki stan część obrotowa musi być napędzana momentem obrotowym D ⋅ Ω

= m , a

cewka ‘2’ musi być zasilana napięciem u = R ⋅ I . W tych warunkach cewka ‘1’ stała się źródłem 2

napięcia przemiennego o amplitudzie U =

M ⋅ I ⋅ Ω , zaleŜnej od prądu cewki ’2’ oraz od prędkości

kątowej. W takich warunkach nie następuje jeszcze uŜyteczne przetwarzanie energii, gdyŜ energia dostarczona do układu mechanicznego pokrywa straty konieczne, aby utrzymać stałą prędkość obrotową, a energia dostarczona do cewki’2’ pokrywa starty mocy na jej rezystancji. Gdy do cewki ‘1’

przyłączymy odbiornik energii elektrycznej (np. rezystancję) wówczas w cewce ‘1’ zacznie płynąć prąd

i (t) = I ⋅ cos(Ω

)

m ⋅ t +

)

Cewka stanie się źródłem energii elektrycznej. JeŜeli utrzymywać prąd stały w cewce ‘2’ ( i = I ) 2

wówczas przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅cos(Ω

m ⋅ t + β) ⋅ sin(Ω

⋅ t + α)

który w istocie jest taki sam jak dla rozpatrywanego powyŜej przypadku przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną. Aby utrzymać stałą prędkość obrotową naleŜy zwiększyć moment obrotowy, który zrównowaŜy ten moment elektromagnetyczny. Ta dodatkowa energia mechaniczna dostarczona do układu mechanicznego pojawi się jako energia elektryczna wydawana z cewki ’1’.

W rzeczywistości procesy przetwarzania w obydwóch opisanych powyŜej przypadkach są nieco bardzie skomplikowane, gdyŜ cewki są przewaŜnie zasilane ze źródeł napięciowych, a nie, jak zakładano, prądowych. W celu analizy procesu przetwarzania energii naleŜy rozwiązać układ równań zapisanych na początku tego rozdziału, który – niestety – jest nieliniowy i moŜna go rozwiązać jedynie metodami numerycznymi przy zastosowaniu specjalnych pakietów programowych.

Jak wspomniano powyŜej, proces przetwarzania energii przez w przetworniku o dwóch cewkach nie jest idealny, gdyŜ generowana jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego, która zaburza jednostajny ruch obrotowy. Występują takŜe niekorzystne zjawiska elektromagnetyczne wynikające z magnetycznego sprzęŜenia cewek. PoniŜej pokazano dwa przetworniki, które umoŜliwiają zrealizować proces przetwarzania energii idealnie. Na Rys. 5.4. przedstawiono schematycznie przetwornik, który moŜe poprawnie realizować proces przetwarzania energii. Ma on dwie identyczne cewki na części nieruchomej, oznaczone jako ‘1’ i ‘2’, umieszczone prostopadle oraz jedną cewkę na części obrotowej, oznaczona jako ’3’.

Rys. 5.4. Przetwornik o trzech cewkach

Równania takiego przetwornika mają postać



( )

1 3

ϕ    

  

 

d 

  1  

  1 

 1 



( )

(5.13a)

2 3

ϕ  ⋅ 2 +

⋅ 2 =

  

  

 2 

d t 

   

  

 

 M ( ) M

( )

1 3

2 3

  3  

3 

 3 

d2ϕ

dϕ



∂ M (

1 3 ϕ)

∂

(

2,3 ϕ) 

+ D

= m

(5.13b)

z + 3 ⋅ 

 1 ⋅

+ 2 ⋅



d t



∂



w których uwzględniono wyróŜnione powyŜej jego cechy. Z identyczności cewek ‘1’ oraz ‘2’ wynika, Ŝe ich indukcyjności oraz rezystancje mają te same wartości L = L = L oraz R = R = R , a ich 1

prostopadłe usytuowanie powoduje, Ŝe nie są one sprzęŜone magnetycznie M

= M = 0 . JeŜeli,

1,2

2,1

analogicznie jak dla przetwornika o dwóch cewkach, załoŜyć, Ŝe indukcyjność wzajemną M ( )

1 3

określa funkcja

M (

(5.14a)

1 3

ϕ) = M ⋅cosϕ

to indukcyjność wzajemna M

( ) będzie określona funkcją

2 3

(

(5.14b)

2 3

ϕ) = M ⋅

ϕ − π

cos(

) = M ⋅ sin ϕ

gdyŜ cewka ‘2’ jest przesunięta o kąt π/2 względem cewki ‘1’. Uwzględniając powyŜsze uwagi, wyraŜenie określające moment elektromagnetyczny przetwornika moŜna zapisać w postaci

(5.15)

em = M ⋅ 3 ⋅ (− 1 ⋅ sin ϕ + 2 ⋅ cos ϕ)

JeŜeli w takim przetworniku wymusimy przepływ prądów

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I

to wzór na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

em = M ⋅ I3 ⋅ I ⋅ (− cos(Ωe ⋅ ) ⋅ sin ϕ + sin (Ωe ⋅ ) ⋅ cos ϕ) =

= M ⋅ I ⋅ I ⋅ sin(Ω ⋅ t − )

Wynika za niego, Ŝe gdy ϕ = Ω ⋅ t + ϕ , tj. przy prędkości kątowej Ω = Ω , moment e

elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.16)

Interpretację kąta ϕ podano juŜ poprzednio. Określa on połoŜenie kątowe osi magnetycznej cewki 0

‘3’ w stosunku do osi magnetycznej cewki ‘1’ w chwili gdy prąd w cewce ‘1’ osiąga wartość maksymalną. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe w tych warunkach zasilania moment elektromagnetyczny nie ma składowej przemiennej, czyli, Ŝe przetwarzanie energii jest poprawne. Warunek stabilności punktów równowagi statycznej dla tego przypadku jest analogiczny jak dla przetwornika analizowanego poprzednio, gdyŜ wzór na moment elektromagnetyczny jest z matematycznego punku widzenia identyczny.

JeŜeli zamienimy prądy zasilające cewek ‘1’ oraz ‘2’, tj. gdy

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I

wówczas wyraŜenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

em = M ⋅ I3 ⋅ I ⋅ (− sin (Ωe ⋅ ) ⋅ sin ϕ + cos(Ωe ⋅ ) ⋅ cos ϕ) =

= M ⋅ I ⋅ I⋅cos(Ω ⋅ t + )

co oznacza, Ŝe moment elektromagnetyczny będzie stały w czasie przy przeciwnej prędkości kątowej Ω = −Ω , tj. gdy ϕ = −Ω ⋅ t + ϕ i będzie wynosił

= M ⋅ I ⋅ I ⋅ cosϕ

(5.17)

Zamiana prądów w cewkach spowodowała zmianę kierunku obrotów, przy których moŜe się pojawić moment elektromagnetyczny o wartości średniej róŜnej od zera, lecz przetwarzanie energii będzie takŜe poprawne, gdyŜ nie wystąpi składowa przemienna momentu elektromagnetycznego.

NaleŜy jednak zauwaŜyć, Ŝe przy wyliczaniu momenty elektromagnetycznego przyjęto, Ŝe indukcyjności wzajemne cewek na części stałej i cewki na części obrotowej zmieniają się sinusoidalnie. MoŜna łatwo prześledzić, Ŝe gdyby te indukcyjności nie zmieniały się dokładnie sinusoidalnie lub prądy cewek nie spełniałyby podanych powyŜej warunków, wówczas na pewno pojawiłaby się w momencie elektromagnetycznym składowa przemienna i przetwarzanie nie byłoby idealne. Z tego naleŜy wysnuć bardzo waŜny wniosek, Ŝe w celu idealnego przetwarzania energii przez ten przetwornik naleŜy spełnić dwie zasdy:

• cewki przetwornika powinny być rozłoŜone w Ŝłobkach tak, aby ich indukcyjności wzajemne zmieniały się w funkcji kąta połoŜenia jak w macierzy indukcyjności przyjętej do obliczeń momentu,

• prądy cewek powinny spełniać ściśle określone warunki.

Podobne właściwości procesu przetwarzania energii moŜna osiągnąć w przetworniku o czterech cewkach: dwóch jednakowych na części nieruchomej umieszczonych magnetycznie prostopadle oraz dwóch jednakowych na części obrotowej, takŜe umieszczonych prostopadle, tj. tak, aby nie sprzęgały się magnetycznie.

Rys. 5.5. Przetwornik o czterech cewkach

Równania takiego przetwornika mają postać



M cos

M sin

R

0   i 

 u 

⋅

ϕ − ⋅

ϕ  



  s1

 s

  s1 

 s1 

d 

M sin

M cos

⋅

ϕ   s2

⋅

+ 

  s2 

 s2 

⋅



  

(5.18a)

d t

M ⋅ cos ϕ

M ⋅ sin ϕ



  







  r1 



  r1 

 r1 

− M ⋅sin ϕ M ⋅ cos ϕ

  r2 



r   r2 

 r2 

d ϕ

dϕ

+ D

M sin

M cos

(5.18b)

z + [ s1

] − ⋅ ϕ − ⋅ ϕ  

⋅ 

 ⋅  r1



d t

 M ⋅ cos ϕ

− M ⋅sin ϕ  i r2

ZałoŜono w nich sinusoidalny charakter zmienności pary cewek ‘1’ i ‘3’ oraz uwzględniono relacje między pozostałymi indukcyjnościami wzajemnymi. Moment elektromagnetyczny tego przetwornika moŜna przedstawić w postaci

(5.19)

em = M ⋅ ( r1 ⋅ s2 − r2 ⋅ s1 )⋅ cos ϕ − ( s1 ⋅ r1 + s2 ⋅ r2 ) ⋅ sin ϕ)

JeŜeli w tym przetworniku wymusimy przepływ prądów

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

wówczas wyraŜenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać

= M ⋅ I ⋅ I ⋅

Ω − Ω ⋅ t − ϕ

(5.20)

(sin(

)

Z tego wyraŜenia wynika, Ŝe moment elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie, gdy ϕ = (Ω − Ω ) ⋅ t + ϕ , tj. przy prędkości kątowej Ω = Ω − Ω

= −M ⋅ I ⋅ I ⋅sin ϕ

(5.21)

Są to warunki, przy których przetwornik z Rys. 5.4 moŜe idealnie przetwarzać energię.

MoŜna wykazać, Ŝe takŜe dla poniŜszych zbiorów par prądów:

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t)

i = I ⋅ cos(Ω ⋅ t) ,

i = I ⋅ sin(Ω ⋅ t)

przetwarzanie energii jest idealne przy odpowiednich prędkościach kątowych.

PowyŜsze dwa przykłady ilustrują ideę budowy przetworników oraz tworzenia warunków dla idealnego przetwarzania energii. Istnieje cała klasa takich przetworników, które są powszechnie stosowane zarówno do generacji energii elektrycznej jak i jej przetwarzania na energię mechaniczną.

Przykłady

P. 5.1/. Dla przetwornika wydatno biegunowego 2-fazowego zapisać formę kwadratową ko-energii.

Podać zaleŜność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci: i = I cos

; i = I sin

;

Ω t

gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje pomiędzy prędkością obrotową Ω a pulsacją zasilania

+ ϕ0

Ω , aby mogło zachodzić przetwarzania energii.

Forma kwadratowa ko-energii uzwojeń zapisana zgodnie z wcześniejszymi rozwaŜaniami

L ( )

ko =

[1 2]  ,11 ϕ

1 2 ϕ  



⋅ 

 ⋅  1 

L ( ) L

( )

2,1 ϕ

2,2 ϕ   i 2 

gdzie indukcyjności

L ( )

ϕ = L + L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ ; L ( )

ϕ = L − L

∆ ⋅cos(2 )

ϕ ;

1,1

2,2

( )

ϕ = L ( )

ϕ = L

∆ ⋅sin(2 )

1,2

2,1

WyraŜenie przedstawiające moment elektromagnetyczny

∂ E

L ( )

( )

i (

)

= [1 2]



∂

1 1 ϕ

1 2 ϕ  





  1 

∂

∂ L ( ) L ( )

2,1 ϕ

2,2 ϕ   i 2 

Po wykonaniu formalnych przekształceń matematycznych

∂

( )

∂

( )

∂

( )

1 1

( i )2

2,2

( i )2

1 2

i i =

1 2

∂

= (

− i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + ( i )2 L

∆ sin 2

(

)

ϕ + 2 i i L

∆ cos 2

(

)

1 2

Podstawiając załoŜone zaleŜności opisujące wymuszenia prądowe oraz prędkość obrotową oraz wykorzystując

zaleŜność

trygonometryczną

sin α cos

α = [sin(α − α ) + sin(α − α )]

otrzymujemy

= −( I cos

Ω t)2

∆Lsin(2Ω tr + 2ϕ ) + ( I sin

Ω t)2 L

∆ sin(2Ω tr + 2ϕ ) +

+ 2 I cos(

Ω t) I sin(

Ω t)

∆Lcos(2Ω tr + 2ϕ ) =

= Im ∆L s

{ in(2Ω t

+ 2ϕ )[(sinΩ t)2

− (cosΩ t)2 ]

+ 2sin(Ω t) cos(

Ω t) cos(2

Ω tr + 2ϕ }

) =

= Im ∆L{-sin(2Ω tr + 2ϕ )cos(2Ω t)

+ sin(2Ω t)cos 2

(

Ω tr + 2ϕ }

) =

= I

L 1

m ∆

{ sin(2Ω t

+ 2ϕ − 2Ω t)

− sin(2Ω tr + 2ϕ + 2Ω t)

+ sin(2Ω ts − 2Ω tr − 2ϕ ) + sin(2Ω ts + 2Ω tr + 2ϕ )} =

= − Im ∆Lsin[2(Ω r − Ω ) t

+ 2ϕ ]

Aby

mogło

dochodzić

przetwarzania

energii

wartość

wytwarzanego

momentu

elektromagnetycznego średniego m

musi byś róŜna od zera. Sytuacja taka moŜe mieć miejsce

em ( sredni)

jedynie w przypadku, gdy Ω = Ω i wówczas

= − I L

m ∆ sin 2

( ϕ )

P. 5.2/. Zapisać wyraŜenie na moment elektromagnetyczny dla przetwornika z komutatorami przy zasilaniu prądowym i = I cos(

; i

. Określić kąt przesunięcia fazowego

2 = I

cos t

Ω

Ω t + α)

α , dla którego wartość wytwarzanego momentu elektromagnetycznego średniego m

em( sredni)

jest maksymalna przy załoŜeniu, Ŝe ustawienie szczotek jest w strefie neutralnej η = π / 2 .

Moment elektromagnetyczny przetwornika z komutatorem dla ustawienia szczotek w strefie neutralnej η = π/ 2 przy przyjętym zgodnie z powyŜszym rysunkiem zastrzałkowaniu kierunków prądów ma postać

= M ⋅ i ⋅ i

Po podstawieniu załoŜonych wymuszeń prądowych oraz wykorzystaniu zaleŜność trygonometrycznej cos α cos

α = [cos(α − α ) + cos(α − α )] otrzymamy

mem = M ⋅ Is ⋅ I cos(

Ω t + α)⋅cosΩ t = M

⋅ Is ⋅ I [cos(

α) + cos(2Ω t + α)] =

= M ⋅ Is ⋅ I cos(

α) 1

+ M ⋅ Is ⋅ I cos(2

Ω t + α)

PowyŜsze wyraŜenie opisujące moment elektromagnetyczne posiada dwie składowe: stałą oraz zmienną z tym, Ŝe wartość składowej stałej jest maksymalna dla kąta przesunięcia fazowego pomiędzy prądami α = 0 . Wynika z tego, Ŝe uzwojenia naleŜy połączyć szeregowo i wymusić płynące prądy z jednego wspólnego źródła. Płynący prąd przez uzwojenia będzie wówczas równy I = I = I a s

moment elektromagnetyczny

= M 2 1

⋅ I + M ⋅ I ⋅ I cos(2 t

Ω )

Wartość średnia momentu elektromagnetycznego wynosi wtedy

= M ⋅ I .

em ( sredni)

Zadania

Zad. 5.1/. Dla przetwornika zapisać zaleŜności momentu elektromagnetycznego od kąta ϕ, przy załoŜeniu, Ŝe i = I = const. Określić stabilne połoŜenia równowagi statycznej dla obciąŜenia momentem zewnętrznym m =const. (działającym zgodnie z ϕ ). Określić strefy stabilnych z

połoŜeń równowagi trwałej.

Zad. 5.2/. Dla przetwornika zapisać zaleŜności momentu elektromagnetycznego od kąta ϕ, przy załoŜeniu, Ŝe i

= const.; i

= const. Określić stabilne połoŜenia równowagi

2 = I

1 = I s

statycznej dla obciąŜenia momentem zewnętrznym m =const. (działającym zgodnie z ϕ ).

Określić strefy stabilnych połoŜeń równowagi trwałej.

Zad. 5.3/. Wiedząc, Ŝe moment elektromagnetyczny przetwornika o ruchu obrotowym jest dany wzorem m

, wyznaczyć wartość średnią momentu, gdy i = I c

os t

Ω , a

em = − 2

i ⋅ L sin 2

prędkość kątowa jest stała ( ϕ = Ω t + ϕ ). Narysować przekrój takiego przetwornika.

Zad. 5.4/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zaleŜność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci:

i = I cos

; i = I cos(

; i

= const, gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje

r + ϕ

3 = I

Ω ts + α)

Ω t

pomiędzy prędkością obrotową Ω a pulsacją zasilania Ω , aby mogło zachodzić

przetwarzania energii oraz podać wartość kąta przesunięcia fazowego α dla którego m

jest największy.

em ( sredni)

Zad. 5.5/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zaleŜność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci:

i = I cos

; i = I sin

; gdy ϕ = Ω t

. Określić relacje pomiędzy prędkością

r + ϕ

Ω t