Geometria analityczna
Zadanie 1. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt (−1, 0, 1) i równoległej do płaszczyzny 2x + y = 0.
Zadanie 2. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt (0, −2, 3) i prostopadłej do
−
→
wektora v = [−1, 1, −1].
Zadanie 3. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A (−1, 2, 1) , B (2, 1, 3) , C (2, 4, −1) .
Zadanie 4. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A (1, 0, 2) , B (3, −1, 2) , C (−1, 1, 2) .
Ile jest takich płaszczyzn?
Zadanie 5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny zawierającej proste: l1 : x = y = z oraz l2 : 2x = y = −z .
Zadanie 6. Dane są trzy punkty A (1, −5, 4) , B (−4, 3, 2) , C (2, 1, 3). Wyznaczyć płaszczyznę prze-
−
−
→
chodzącą przez punkt C i równoległą do wektora AB.
Zadanie 7. Sprawdzić, czy czworokąt o wierzchołkach A (2, 0, 3) , B (3, 2, 1) , C (−1, 1, −4) , D (−2, −1, −2) jest kwadratem.
Zadanie 8. Dane są trzy punkty A (1, −1, 2) , B (4, 3, 2) , C (−3, 2, 2). Wyznaczyć taki punkty D, aby czworokąt o wierzchołkach A, B, C, D był kwadratem.
Zadanie 9. Dana jest prosta
2x − 2y + 4z = 2
l :
.
3x + y − 5z − 1 = 0
Zapisać jej równanie w postaci parametrycznej oraz kanonicznej.
Zadanie 10.* Na płaszczyźnie x − y − z = 0 wyznaczyć dwie proste przecinające się pod kątem ϕ = π .
4
Zadanie 11. Znaleźć rzut punktu P (2, −1, 0) na płaszczyznę 2x + 2y − 2z + 1 = 0.
Zadanie 12. Wyznaczyć rzut prostej
x = 1 + 2t
l :
y = −at
, t ∈ R
z = 2
na płaszczyznę x + 2y − z = 1 w przypadku, gdy a) a = 1,
b) a = −1.
31
Zadanie 13. Wyznaczyć równanie płaszczyzny, dla której punkt (1, 2, −1) jest rzutem ortogonalnym punktu (0, 0, 0) na tę płaszczyznę.
Zadanie 14. Znaleźć punkt A symetryczny do punktu przecięcia się prostych l1 oraz l2 względem płaszczyny Π, jeżeli
x − 2
y + 3
z − 1
l1 :
=
=
2
−1
3
x = 1 − t
l2 :
y = 2 + 2t , t ∈ R
z = 1 − t
oraz
Π : x + y + z = −2.
Zadanie 15. Podać definicję iloczynu wektorowego w 3
R . W oparciu o jedną z jego własności
obliczyć pole trójkąta leżącego w przestrzeni 2
R i mającego wierzchołki w punktach: A (−1, 0) , B (0, 2) , C (4, 1).
Zadanie 16. Pokazać, że jeżeli wektory v
3
1, v2, v3 ∈ R
rozpinają równoległościan, to jego objętość
V można wyrazić wzorem
V = |v1 ◦ (v2 × v3)| ,
gdzie: ◦−iloczyn skalarny, ×−iloczyn wektorowy.
Zadanie 17. Obliczyć objętość bryły rozpiętej na wektorach v1 = [−1, 1, 1]
v2 = [2, −1, 3]
v3 = [−4, −5, 1] .
Zadanie 18. Rozważmy płaszczyznę Π : Ax+By +Cz +D = 0 oraz punkt P (x0, y0, z0). Uzasadnić, że wielkość
df |Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d (P, Π) =
√A2 + B2 + C2
mierzy odległość punktu P od płaszczyzny Π.
32
Zadanie 1: x = −1 − t, y = 2t, z = 1;
Zadanie 2: x = y+2 = z − 3;
2
Zadanie 3: −2x + 12y + 9z = 35;
Zadanie 4: Np.: 2x + 4y − z = 0, ∞;
Zadanie 5: −4x + 3y + z = 0;
Zadanie 6: y = −4z + 13;
Zadanie 7: Nie;
Zadanie 8: D (0, 6, 2) ;
Zadanie 9: x = 1 + 3 t, y = − 1 + 11 t, z = t; 4x−2 = 4y+2 = z; 2
4
2
4
3
11
√
x = 1
x = 1 + 2 3t
√
Zadanie 10*: Np.: l1 :
y = 1 − t , l2 :
y = 1 +
3 − 3 t
√
;
z = t
z =
3 + 3 t
Zadanie 11:
3 , −3 , 1 ;
2
2
2
x = 4 + 4t
x = 2 + 4t
3
Zadanie 12: Dla a = 1 :
y = 2 − t
; dla a = −1 :
y = 1 − t
;
3
2
z = 5 + 2t
z = 2 + 2t
3
Zadania 13: x + 2y − z = 6;
Zadania 14: (0, −8, −8) ;
Zadanie 15: 9;
Zadanie 17: 42.
33