Ćwiczenie 5

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA I WYZNACZANIE MODUŁU

SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ

Opracował: dr inż. Stefan Sawiak

1. Wprowadzenie

Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach okrągłych o odpowiednio dobranych

częściach uchwytowych, które pozwalają na zamocowanie próbek w skręcarce. Próbkę

obciąża się na końcach dwoma, równoważącymi się momentami skręcającymi Ms,

działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Zakładamy, że próbka skręca się

równomiernie, czyli kąt obrotu poprzecznego przekroju jest proporcjonalny do odległości tego przekroju od końca części pomiarowej próbki. Powstały wtedy stan odkształcenia próbki

określa wartość jednostkowego kąta skręcenia φ′ odniesionego do jej długości pomiarowej.

Jest on równy

ϕ

φ′ =

(1)

l 0

gdzie: φ′ – jednostkowy kąt skręcenia odniesiony do długości pomiarowej próbki, ϕ –

całkowity kąt skręcenia próbki, l0 – długość pomiarowa próbki.

l0

ρ

ϕ

ρ

ρ

γ

γ

max

r

r

M

M

s

s

Rys. 1. Skręcanie próbki okrągłej

Powyższa równość wynika z założenia, słusznego dla materiałów jednorodnych, że

podczas odkształcenia próbki nie ulegają deformacji jej kołowe przekroje płaskie ze względu

na symetrię obrotową, a jedynie obracają się względem siebie o kąt ϕ. Natomiast warstwy równoległe do osi próbki układają się wzdłuż linii śrubowej, nachylonej pod kątem γ do tworzącej próbki.

Ze związku (1) wynika, że kąty odkształcenia postaciowego współosiowych warstw

walcowych w próbce są proporcjonalne do odległości ρ tych warstw od środka próbki, czyli

γ max γ

= =const,

(2)

r

ρ

gdzie: γ max – kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych, γ – kąt odkształcenia postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości ρ od osi próbki, r – promień 1

przekroju poprzecznego próbki, ρ – promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej próbki.

Ponieważ w obszarze sprężystości obowiązuje prawo Hooke'a wyrażające się w przypadku skręcania wzorem

τ = Gγ

(3)

oraz

τ

= γ

G

(4)

max

max

przy czym: G – moduł sprężystości postaciowej materiału próbki (moduł Kirchhoffa), τ –

naprężenie tnące od skręcania.

Ze wzorów (2) i (3) wynika zależność

τ

= C =

ρ

const.

(5)

Wartość stałej C we wzorze (5) można otrzymać z warunku równości momentów sił

zewnętrznych i wewnętrznych o postaci (rys. 2)

dA

Ms

ρ

τ

ρ

r

Rys. 2. Moment skręcający sił zewnętrznych i naprężenia styczne

M = ∫ ρ d

τ A = C ∫ 2

ρ dA = C ⋅ J ,

(6)

s

O

( A)

( A)

gdzie J

2

ρ dA– biegunowy moment bezwładności przekroju.

O = ∫

( A)

Stąd

M

s

C =

,

(7)

JO

czyli równanie (5) przyjmuje postać

M

τ

s

=

ρ .

(8)

JO

d

Dla ρ = r =

otrzymuje się największe naprężenia tnące, działające na konturze

2

zewnętrznym próbki równe

2

M d

M

s

s

τ

,

(9)

max =

=

J

2

W

O

O

gdzie WO – biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie równy

J

W

O

=

.

(10)

O

d

2

Biegunowy moment bezwładności JO pełnego przekroju kołowego wynosi (rys. 2)

r

4

4

r

π

d

π

2

2

4

J = ∫ ρ ⋅ dA = ∫ ρ ⋅ 2πρ ⋅ dρ =

=

≅ 1

,

0 d [m4],

(11)

O

( A)

2

32

0

natomiast biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie WO pełnego przekroju kołowego wynosi

3

d

3

W = π

≅ ,

0 2 d [m3].

(12)

O

16

Podstawiając (12) do (9) otrzymujemy

16 M

M

s

s

τ

=

≅

.

(13)

max

3

3

d

π

,

0 2 d

Związek między kątem skręcania ϕ, a kątem odkształcenia postaciowego γ jest

następujący (rys. 1)

ϕ ⋅ r = γ

⋅ l ,

(14)

max

0

czyli

d

τ

M

l

ϕ ⋅ = γ

⋅ l

max

=

⋅ l

s

0

=

⋅ ,

(15)

max

0

2

G

0

W

G

O

albo

M l

s 0

ϕ =

,

(16)

GJO

skąd

GJ

M

O

=

.

(17)

s

ϕ

l 0

Dla pełnego przekroju kołowego wzory (15) i (16) przyjmują postać

32 M l

M l

s 0

s 0

ϕ =

≅ 10

π

,

(18)

d 4 G

d 4 G

π 4

4

d G

d G

M =

≅

.

(19)

s

ϕ 01 ,

ϕ

32 l

l

0

0

3

2. Cel ćwiczenia

2.1. Cel ogólny

Celem ogólnym jest zapoznanie się ze sposobem przeprowadzenia tzw. statycznej próby

skręcania prętów okrągłych, sposobem prowadzenia pomiarów, zapoznanie się ze zjawiskiem

histerezy sprężystej, nabycie umiejętności wyznaczania wielkości charakterystycznych przy

skręcaniu dla stali węglowej.

2.2. Cele szczególne

1. Wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej Kirchhoffa G i liczby Poissona ν,

2. Wykonanie dla próbki stalowej wykresów:

a. histerezy sprężystej τ( γ) w zakresie liniowo – sprężystym,

b. naprężenie τ( γ) – kąt odkształcenia postaciowego γ.

3. Wyznaczenie wielkości charakteryzujących stal pod względem wytrzymałościowym

przy skręcaniu (granica plastyczności na skręcanie: Res i wytrzymałość na skręcanie Rms).

3. Wykres skręcania

Do celów praktycznych wykres skręcania sporządza się w układzie współrzędnych Ms –

ϕ, gdzie: Ms – moment skręcający próbkę, ϕ – kąt skręcenia próbki (rys. 3)

Ms

MRs

Mpl

Msp

MH

ϕ

Rys. 3. Wykres skręcania próbki stalowej o średniej zawartości węgla

3. Definicje

3.1. Granica proporcjonalności na skręcanie

M

H

R

=

[MPa = N/mm2],

(20)

Hs

WO

gdzie: MH − największa wartość momentu skręcającego, przy którym odkształcenie materiału pozostaje jeszcze proporcjonalne do kąta skręcenia (spełnione jest prawo Hooke’a) (rys. 3), WO − wskaźnik przekroju na skręcanie.

4

3.2. Granica sprężystości na skręcanie

M

R

sp

=

[MPa = N/mm2],

(21)

sps

W 0

gdzie: Msp − największy moment skręcający, przy którym jeszcze nie pojawia się odkształcenie plastyczne (trwałe) materiału (rys. 3), W0 − wskaźnik przekroju na skręcanie.

3.3. Granica plastyczności na skręcanie

M

pl

R =

[MPa = N/mm2],

(22)

es

WO

gdzie: Mpl − moment skręcający, kiedy następuje jego pierwszy spadek (rys. 3), W0 −

wskaźnik przekroju na skręcanie.

3.4. Wytrzymałość na skręcanie

M

Rs

R

=

[MPa = N/mm2],

(23)

ms

WO

gdzie: MRs − największy moment skręcający występujący w próbce, po przekroczeniu granicy plastyczności (rys. 3), W0 − wskaźnik przekroju na skręcanie.

Wielkości występujące w (20) ÷ (23) są naprężeniami (umownymi), odpowiadającymi

charakterystycznej wartości momentu, odniesionemu do początkowego przekroju

poprzecznego próbki.

4. Obliczanie wartości charakterystycznych

4.1. Obliczanie granic wytrzymałościowych

W praktyce przeprowadza się wyznaczanie:

− granicy proporcjonalności na skręcanie,

− granicy sprężystości na skręcanie,

− granicy plastyczności na skręcanie,

− wytrzymałości na skręcanie.

Granica proporcjonalności jest granicą stosowalności prawa Hooke'a. W pobliżu tej

granicy leży granica sprężystości, przez którą rozumiemy taką wartość naprężenia tnącego, po

przekroczeniu którego pojawia się trwałe odkształcenie materiału. Przy granicy plastyczności

pojawiają się wyraźne odkształcenia trwałe, które zmieniają kierunek przebiegu krzywej skracania. Cechy granicy plastyczności przy skręcaniu nie występują tak wyraźnie jak przy próbie rozciągania miękkiej stali, gdyż odkształcania plastyczne pojawiają się najpierw w zewnętrznej warstwie próbki a zatem nie powstają równocześnie w całym przekroju.

Począwszy od załamania, charakteryzującego granicę plastyczności, krzywa skręcania

wzrasta na ogół bardzo łagodnie aż do zniszczenia próbki.

5

Ms [kNm]

1,5

1,2

0,9

0,6

0,3

Obroty

bębna

0

0,25

0,5

0,75 1

Rys. 4. Wykresy skręcania dla materiałów plastycznych

Na szczególną uwagę zasługuje wykres skracania dla żeliwa i dla stali hartowanej.

s

2

My

1

cjąacręk

t snemoM

Jednostkowy kąt skręcenia φ′

Rys. 5. Wykresy skręcania dla: 1) żeliwa, 2) stali nawęglanej i zahartowanej

Jeśli granica sprężystości i plastyczności nie przebiega wyraźnie na wykresie skracania, to można ją wyznaczyć korzystając z zależności pomiędzy kątem odkształcenia postaciowego

γ i wydłużeniem względne ε1

γ = 2ε .

(24)

1

Ponieważ dla oznaczenia umownej granicy plastyczności przy rozciąganiu przyjmuje się

ε = 0,2%, a zatem dla umownej granicy plastyczności na skracanie γ = 0,4%, stąd

odpowiednikiem R 0,2 będzie Res 0,4 przy skręcaniu. Wszystkie wskaźniki przy oznaczeniach ważnych dla rozciągania należy więc pomnożyć przez 2, czyli

l

2ε l

0

1 0

ϕ = γ ⋅ =

.

(25)

r

r

Otrzymamy wtedy wielkość dopuszczalnego kąta skręcania wyrażonego w radianach.

Wielkość kąta ϕ, odpowiadającego umownej wartości γ, odmierzamy na wykresie podobnie jak przy próbie rozciągania. Wyznaczona w ten sposób wartość momentu M 0,4, posłuży do umownego obliczenia Res 0,4.

6

Wykreślną metodą wyznaczania przybliżonej wartości umownej granicy plastyczności Res 0,4 przedstawiono na rys. 7.

s

Mycją M

a

0,4

cręk

t snemoM

Jednostkowy kąt skręcenia φ′

φ′ = 0,004

Rys. 6. Wykreślna metoda wyznaczania przybliżonej wartości umownej granicy plastyczności Res0,4

4.2. Obliczanie modułu sprężystości postaciowej G

Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G w zakresie odkształceń sprężystych i proporcjonalnych przy skręcaniu definiuje się moduł jako stosunek naprężenia stycznego τ przy jednoosiowym stanie naprężenia do odpowiadającego mu odkształcenia postaciowego względnego γ (rys. 7):

τ

G = γ .

(26)

τ

τ1

α

γ

O

γ1

Rys. 7. Zależność τ = f(γ) w przypadku odkształceń sprężystych i proporcjonalnych

Graficzna interpretacja modułu G: jest to współczynnik kierunkowy prostoliniowego odcinka wykresu rozciągania τ = f(γ) i jest równy co do wartości liczbowej tangensowi kąta α

nachylenia prostoliniowej części wykresu skręcania.

Uwaga 1: W przypadku odkształceń sprężystych i nie proporcjonalnych, kiedy wykres skręcania nie wykazuje odcinka o przebiegu prostoliniowym (jak w przypadku żeliwa lub stali sprężynowej), oblicza się moduł sprężystości styczny lub sieczny.

7

Gt

Gs

τ

B

∆τ

A

∆γ

α

γ

O

Rys. 8. Moduł styczny Gt i moduł sieczny Gs

Moduł styczny Gt definiuje się jako

dτ

G =

.

(27)

t

dγ

Gt jest równy tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej skręcania w określonym punkcie (rys. 8, graficzna interpretacja modułu Gt).

Moduł sieczny Gs definiuje się jako

τ

∆

G

.

(28)

s =

γ

∆

Jest on równy tangensowi kąta nachylenia siecznej krzywej skręcania poprowadzonej przez 2

punkty wykresu (rys. 8). Moduły Gt i Gs wyznacza się w zakresie obciążeń odpowiadających naprężeniom w przedziale 10% ÷ 90% umownej granicy sprężystości.

Uwaga 2: W niektórych zagadnieniach analitycznych wytrzymałości materiałów stosuje

się pojęcia: modułu stycznego lub siecznego – w odniesieniu do zakresu odkształceń poza zakresem sprężystości – wówczas definicje i graficzne interpretacje modułów są analogiczne

jak podano wyżej.

4.3. Obliczanie momentu skręcającego w obszarze plastycznym

Po przekroczeniu obszaru proporcjonalności przestaje obowiązywać prawo Hooke'a.

Wraz z osiągnięciem stanu plastyczności pojawia się inny rozkład naprężeń niż w stanie sprężystym. Nakładanie się odkształceń plastycznych na sprężyste wywołuje naprężenia

wstępne zniekształcając prawdziwy obraz przejścia materiału ze stanu sprężystego do

plastycznego. Dla próbki o przekroju kołowym obliczenie wielkości naprężenia tnącego, przy

której zewnętrzna warstewka próbki osiąga granicę plastyczności, nie nastręcza trudności.

Począwszy bowiem od momentu Mpl, nie zmieniają swej wielkości naprężenia τ max ze zwiększeniem się wartości M, jeżeli pominąć na ogół niezbyt silne umocnienie zaznaczające się podczas skręcania metali plastycznych. Wykres naprężeń stycznych z trójkątnego

przechodzi na trapezowy, ażeby ostatecznie zamienić się na prostokątny (rys. 10).

W przypadku całkowitego uplastycznienia przekroju wartość momentu Mpl można

otrzymać z warunku równości momentów sił zewnętrznych i wewnętrznych o postaci (rys. 9)

8

Mpl

τpl

dρ

ρ

r

Rys. 9. Rozkład naprężeń tnących w obszarze plastycznym

r

2

3

r

π τ

M

= ∫ ρ ⋅τ ⋅ dA = ∫ ρ ⋅τ ⋅ 2

pl

πρ ⋅ dρ =

,

pl

pl

pl

( A)

3

0

czyli

3 M

M

pl

pl

τ =

=

.

(29)

pl

2

3

3

r

π

d

π

12

a)

b)

c)

τ

τpl

τpl

Rys. 10. Schemat naprężeń stycznych w poprzecznym przekroju skręconej próbki (dla materiału doskonale jednorodnego i przy pominięciu umocnienia): a) w obszarze czysto sprężystym, b) w obszarze odkształceń sprężysto−plastycznym, c) w obszarze odkształceń czysto plastycznych (przegub plastyczny)

W przypadku uplastycznienia się tylko warstwy zewnętrznej przekroju wartość momentu Mpl

jest równa (rys. 10)

r

3

3

τ

τ

r

π τ

d

π τ

pl

2

pl

M

= ∫ ρ ⋅

ρ ⋅ dA = ∫ ρ ⋅ ⋅ 2

pl

pl

πρ ⋅ dρ =

=

.

(30)

pl

(

r

r

A)

2

16

0

Dla tych obu wartości momentu skręcającego określa się dwie granice plastyczności materiału

na skręcanie: teoretyczną i rzeczywistą.

5. Próbki do próby skręcania

Do próby skręcania używa się próbek o długości pomiarowej (5 ÷ 20) d 0. Najczęściej przyjmuje się L 0 = 10 d 0. Kształt próbki do prób skręcania przedstawiono na rys. 11.

9

d0

a

l0 = (5÷20)d0

a

Rys. 11. Próbka do prób skręcania prętów okrągłych

6. Przeprowadzenie próby

Ćwiczenie wykonywane jest na dwóch stanowiskach:

− stanowisko, na którym kąt skręcania w danym przekroju próbki mierzymy za pomocą aparatu Martensa,

− maszyna do skręcania zwana skręcarką.

6.1. Pomiar kąta skręcenia za pomocą aparatu Martensa

Kąt skręcania w danym przekroju próbki obliczamy za pomocą aparatu Martensa w

sposób następujący (rys. 12):

S

= tg ϕ

2 ≅ ϕ

2 ,

(31)

L

gdzie

S = S 2 – S 1.

(32)

Stąd

S

ϕ ≅

,

(33)

2 L

gdzie: S 1, S 2 − wartość odczytów na skalach 1 i 2 aparatu Martensa w [mm] z dokładnością do 0,1 mm, L − odległość skali od lusterka równa 1 m.

Podczas próby stosuje się próbkę o średnicy d = 10 mm, natomiast promień R tarczy, na której zawieszamy ciężarki jest równy R = 152 mm.

Kąt skręcenia próbki jest równy (rys. 13)

ϕ = ϕ −ϕ [rad].

(34)

1

2

φ1

φ2

d

1

2

R

l0

LUSTERKA

CIĘŻARKI

F

F

Rys. 12. Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia

10

LUSTERKO

S2

S

S

φ2

2

S

φ

1

1

PRÓBKA

lL

LUNETA

0

SKALA

PRÓBKA

Rys. 13. Schemat aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia

6.2. Wykonanie statycznej próby skręcania na skręcarce

Skręcarka składa się z następujących zespołów: urządzenia napędowego 1 z przekładnią

o napędzie ręcznym lub mechanicznym, uchwytów do próbek 3, 4, siłomierza 8 mierzącego

wartość momentu skręcającego i samoczynnego zapisu wykresu.

Pokazana na rys. 14 skręcarka wyposażona jest w przekładnię ślimakową 1 o napędzie ręcznym lub mechanicznym z odpowiednio dobranym przełożeniem.

A-A

7

8

4

2

3

9

A

1

A

5

6

Rys. 14. Schemat skręcarki

Próbkę 2 o odpowiednich końcówkach umieszcza się w uchwytach: napędowym 3 i

pomiarowym 4, z którym połączona jest dźwignia 5. Na dźwigni tej osadza się wymienne obciążniki 6, odpowiednio do obranego i przewidzianego dla danej maszyny zakresu

momentu skracającego. Wychylenie dźwigni ciężarowej podczas obciążenia próbki z

położenia pionowego wykorzystuje się do pomiaru wartości momentu skracającego. Obrót

dźwigni poprzez zębatkę 7 powoduje obrót wskazówki siłomierza 8, wyskalowanej w

11

jednostkach momentu skręcającego. Wykres skręcania wykreślany jest na bębnie przez rysik sprzężony ze wskazówką siłomierza. Napęd bębna uzyskuje się za pomocą linki połączonej z

uchwytem 3 i 4.

7. Obliczenia

7.1. Moduł sprężystości postaciowej G− materiał o charakterystyce liniowo − sprężystej Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G obliczamy jako (rys. 8)

τ

∆

G = γ

∆ ,

(35)

M

∆

gdzie:

s

∆τ =

,

(36)

WO

r

γ

∆ ≅

ϕ

∆ .

(37)

l 0

Po podstawieniu (36) i (37) do (35) otrzymujemy

M

∆

l

G( M

∆

ϕ

∆ ≅

.

(38)

s

)

s

0

,

ϕ

∆

J 0

Korzystamy ze zbioru punktów w układzie τ( γ) (naprężenie − odkształcenie postaciowe względne całkowite).

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych ustalamy zbiór punktów znajdujących

się w zakresie liniowo –sprężystym charakterystyki materiału; pomijamy ostatni punkt z tego

zakresu. W przypadku, kiedy punkty ułożone są na linii prostej, moduł G obliczamy

τ

∆

τ −τ

2

1

G =

=

γ

∆

γ − γ ,

(39)

2

1

gdzie odległość punktów 2 i 1jest możliwie duża. Natomiast kiedy wyniki pomiarów są obarczone większymi błędami i występują odchylenia punktów od zakładanej linii prostej, można otrzymać wynik w pewnym stopniu niezależny od błędów, przyjmując (rys. 15):

1. punkty pomiarowe z zakresu 10 ÷ 90% przedziału liniowego;

2. z pominięciem punktów znacznie odległych od zakładanej linii prostej.

Wówczas − dla n + 1 uwzględnianych punktów – moduł G można obliczyć jako:

n

1

τ

τ

i −

G =

∑

i−1 .

(40)

n

γ

γ

i −

i=

i

1

−1

7.2. Współczynnik Poissona ν

Obowiązuje zależność [9, 10]

E

G = (

,

(41)

2 1 +ν )

po przekształceniu której, otrzymujemy zależność, z której można obliczyć Współczynnik Poissona ν

12

E

ν =

−1.

(42)

2 G

τ

0,9τH

i=5

i=4

i=3

i=2

τi

i=1

punkt pominięty

τ0

0,1τH

γ

γ

γi

Rys. 15. Obliczanie modułu G – odchylenia punktów od linii prostej ( n = 5)

8. Wykonanie sprawozdania

W sprawozdaniu należy umieścić:

1. tytuł i cele ćwiczenia,

2. definicje: modułu sprężystości oraz umownych granic sprężystości i plastyczności,

3. schemat aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcania – rysunek z objaśnieniami części składowych,

4. podać definicję modułu G oraz sposób jego obliczenia,

5. podać zależność między modułem G i E oraz ν.

6. sposób obliczenia liczby Poissona ν,

7. podać zestawienie wyników badań i wielkości obliczanych w tabeli pomiarowej 1; pod tabelą pomiarową 1 podać przykład obliczenia wartości z jednego wiersza,

8. narysować wykresy: τ (τ) – ¼ pętli histerezy sprężystej,

9. narysować wykres τ = f(γ) przy obciążeniu stale rosnącym i stale malejącym,

10. wykonać obliczenie wielkości charakterystycznych, stanowiących cel ćwiczenia; zapisać

wyniki w sprawozdaniu,

11. zamieścić wykres skręcania próbki uzyskany na skręcarce.

13

Tabela pomiarowa 1. Wykres τ = f(γ)

Lp

F

Ms

S1

S2

ϕ

γ

τ

−

[N]

[Nm]

[mm]

[mm]

[rad⋅103]

[rad⋅103]

[MPa]

1

0

2

10

3

20

…

…

12

100

13

110

14

100

…

…

27

20

28

10

27

0

Literatura

[1] Bachmacz W.: Wytrzymałość materiałów. Badania doświadczalne. Skrypt Politechniki Częstochowskiej, Częstochowa 1973.

[2] Banasik M.: Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów. PWN, Warszawa 1977.

[3] Boruszak A., Sykulski R., Wrześniowski K.: Wytrzymałość materiałów. Doświadczalne metody badań.

Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1977.

[4] Dyląg Z., Orłoś Z.: Wytrzymałość zmęczeniowa materiałów. Warszawa. WNT 1962.

[5] Jastrzębski P., Mutermilch J., Orłoś W.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa. Arkady 1985.

[6] Katarzyński S., Kocańda S., Zakrzewski M.: Badania właściwości mechanicznych metali. WNT, Warszawa 1967.

[7] Łączkowski R.: Wytrzymałość materiałów. Gdańsk. WPG 1988.

[8] Mazurkiewicz S.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 1978.

[9] Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory wykresy i tablice wytrzymałościowe. Warszawa. WNT

1996.

[10] Orłoś Z.: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa 1977.

[11] Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Gdańsk. WPG 1998.

14