Strona 1 z 6

4. Mechanika lotow kosmicznych

4.1. Na czym polega asysta grawitacyjna ?

Asysta (wsparcie grawitacyjne) jest w zasadzie przekazaniem części energii kinetycznej dużego ciała kosmicznego (praktycznie planety) podróżującemu statkowi kosmicznemu.

Należy w tym celu wykonać manewr, który w swej optymalnej formie będzie przypominał

sprężyste "odbicie" statku od planety. Powinniśmy poruszać się w kierunku planety z prędkością v, po silnie spłaszczonej orbicie hiperbolicznej, natomiast planeta powinna poruszać się w kierunku przeciwnym (na wprost nas) z prędkością U. Z punktu widzenia planety,

najpierw spadamy w jej kierunku z prędkością U+v, następnie (po okrążeniu planety po orbicie

hiperbolicznej) odlatujemy w przestrzeń również z prędkością U+v. Jednak z punktu widzenia

obserwatora zewnętrznego (np. Słońca) uzyskujemy końcową prędkość 2U+v, podczas gdy

planeta w zasadzie nie zmienia swej prędkości (zakładając, że masa statku m jest

zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą planety M). Przypomina to odbicie (w czołowym

zderzeniu) niewielkiej kuli bilardowej od kuli wielokrotnie większej. Dokładniej, z zasady

zachowania energii i pędu otrzymujemy następujące związki między prędkościami przed i po

wykonaniu manewru:

M*U 2 + m v 2 = M *U 2 + m*v 2

1

1

2

2

M*U - m*v = M*U + m*v

1

1

2

2

Rozwiązując względem v otrzymujemy:

2

v = ((1-q)v + 2*U )/(1+q)

2

1

1

Ponieważ q jest bliskie 0, możemy to przybliżyć otrzymanym wcześniej oszacowaniem v = v

2

1

+ 2*U . Oczywiście większość rzeczywistych manewrów nie jest prostym zwrotem o 180

1

stopni, jednak zasada ogólna pozostaje ta sama. Załóżmy, że planeta porusza się wzdłuż osi x, a ruch statku kosmicznego odbywa się w płaszczyźnie x,y. Załóżmy też, że pierwotny

(asymptotyczny) kierunek lotu statku przecina oś x pod kątem theta, oraz że tor lotu jest

symetryczny względem x. Pierwotny wektor prędkości statku to:

v = -v *cos(theta) v = v *sin(theta)

1x

1

1y

1

natomiast wektor prędkości końcowej:

v = v *cos(theta) + 2u v = v *sin(theta)

2x

1

2y

1

Tak więc prędkość początkowa wynosi v , a końcowa:

1

v = (v + 2*u) sqrt[ 1 - 4*u*v (1-cos(theta))/(v +2*u)2 ]

2

1

1

1

sqrt()-pierwiastek kwadratowy

Rozważmy dla przykładu prędkość początkową równą U (zarówno dla planety, jak statku).

Wówczas powyższa zależność upraszcza się do:

v = v *sqrt[5 + 4*cos(theta)]

2

1

stąd dla theta=0 mamy v = 3 v . Z drugiej strony, dla theta=pi mamy v = v , co jest

2

1

2

1

zrozumiałe, gdyż odpowiada sytuacji ruchu planety i statku w tym samym kierunku i z tą samą

prędkością. Bardziej realistyczny jest przypadek, gdy statek porusza się prawie prostopadle do toru ruchu planety (theta = pi/2) i przelatuje tuż za nią. W tym przypadku statek doznaje

odchylenia w kierunku ruchu planety o kąt zgodny z powyższymi wzorami, przy czym prędkość

Strona 2 z 6

rośnie sqrt(5) = 2.23 razy w stosunku do pierwotnej.

Gdyby planety były punktowe, teoretycznie możliwe jest osiągnięcie nieskończonej prędkości w

skończonym czasie dzięki przelotom w pobliżu odpowiednio dobranego ich zestawu (w dość

wymyślnym układzie planetarnym). Oczywiście w praktyce uzyskiwane prędkości są

ograniczone przez to, że pole grawitacyjne planet rozciągające się w bezpiecznej odległości

poza ich powierzchnią i atmosferą może być zbyt słabe na "przechwycenie" (wymaganą zmianę kierunku lotu) zbyt szybko poruszającego się statku. Podczas misji NASA sondy wielokrotnie

przy okazji tego typu manewrów muskały górne warstwy atmosfery Wenus i Ziemi.

4.2. Co to jest I, II, III prędkość kosmiczna ?

I prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby mógł on orbitować

wokół Ziemi lub innego ciała kosmicznego, np. planety. Ściśle jest to prędkość na kołowej

orbicie o promieniu równym średniemu promieniowi danego ciała kosmicznego, wokół

punktowej (lub kulistej, o sferycznie równomiernym rozkładzie gęstości) masy, równej masie

tego ciała. Oczywiście jest to pewna idealizacja i nie odpowiada rzeczywistemu przypadkowi

np. rakiety startującej z Ziemi, która to musi pokonać jeszcze opory atmosfery i dodatkowo

wznieść się na wysokość, na której atmosfera jest wystarczająco rozrzedzona, dla normalnego

ruchu orbitalnego. Prędkość tą otrzymamy obliczając przyspieszenie grawitacyjne:

a=F/m=G*M/r2 i porównując z przyspieszeniem dośrodkowym w ruchu po okręgu a=v2/r. Stąd

v=sqrt(G*M/r), gdzie G - stała grawitacji, M - masa ciała kosmicznego, r - promień ciała

kosmicznego. Po podstawieniu wartości liczbowych dla Ziemi dostajemy v1=7,91 km/s. W

rzeczywistości rakiety startując z Ziemi na wschód otrzymują już część prędkości z ruchu

rotacyjnego planety. Dlatego też kosmodromy najchętniej buduje się jak najbliżej równika,

gdzie zysk prędkości jest największy (w przypadku startu z równika Ziemi wynosi ok. 463

m/s).

II prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby wyrwał się z grawitacji danego ciała kosmicznego. Ściśle jest to prędkość, jaką musi otrzymać dany obiekt na

powierzchni danego ciała kosmicznego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą.

Obliczamy ją znajdując różnicę w energii obiektu znajdującego się na powierzchni danego ciała kosmicznego oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0, natomiast na

powierzchni jest sumą energii potencjalnej -G*M*m/r oraz kinetycznej m*v2/2. Dostajemy

więc równanie m*v2/2-G*M*m/r=0, z którego wynika v=sqrt(2*G*M/r). Podstawienie danych

liczbowych dla Ziemi daje v2=11,19 km/s. Widać więc, że obie prędkości różnią się o czynnik sqrt(2)=1,4142...

Wszystko to przy założeniu, że nie ma innego ciała kosmicznego oprócz rozpatrywanego - a że

zwykle inne ciała są (w przypadku np. Układu Słonecznego), więc tor lotu w praktyce nie jest

parabolą, bo zaginają go po swojemu oddziaływania grawitacyjne tych innych ciał (Słońca,

Księżyca...).

III prędkość kosmiczną definiujemy analogicznie do drugiej, tym razem za obiekt, z którego uciekamy, przyjmując Układ Słoneczny. Zachowując warunek, że jest to prędkość liczona

względem powierzchni Ziemi, za r musimy wstawić średnią odległość Ziemi od Słońca, za M

masę Słońca (która skupia większość masy układu). Daje to v3=42 km/s. Warto jednak

pamiętać, że startująca rakieta ma już pewną prędkość związaną z orbitalnym ruchem ciała

kosmicznego, więc w istocie nie musi ona się rozpędzać aż do tej prędkości, wystarczy około

16,7 km/s dla startu z Ziemi. Sondy, które opuściły nasz Układ Słoneczny część energii

otrzymały także kosztem planet olbrzymów (asysta grawitacyjna). Zasadniczo podaje się ją

względem Słońca, ale można podać dla innego punktu startu (im dalej od ciała, tym mniejsza

prędkość ucieczki).

Można się jeszcze spotkać z czwartą prędkością kosmiczną, którą definiujemy analogicznie do dwóch poprzednich przyjmując, że jest to prędkość ucieczki z naszej Galaktyki. Wynosi ona

Strona 3 z 6

około 350 km/s, lub uwzględniając ruch Słońca ok. 130 km/s. Niektórzy autorzy skłonni są definiować także piątą prędkość kosmiczną, jako prędkość ucieczki z wszechświata. Jej

obliczenie jest jednak niemożliwe, ze względu na naszą nikłą wiedzę odnośnie jego globalnej

budowy. W wątpliwość należy poddać, czy taka prędkość w ogóle może istnieć.

4.3. Z jaką prędkością liniową poruszają się orbitujące

satelity ?

Im wyższa orbita, tym mniejsza prędkość na niej. Za to jak się chce przejść z orbity niższej na wyższą, to trzeba przyśpieszać - w rezultacie czego się zwalnia.

Taki paradoks mechaniki orbitalnej.

Fo=m*v2/r - siła dośrodkowa; v-prędkość liniowa na danej orbicie

Fg=G*m*M/r2 - siła przyciągania grawitacyjnego

Na danej orbicie obie siły są sobie równe więc:

Fo=Fg -> v=sqrt(G*M/r)

Przy przyspieszaniu impulsowym (stosunkowo krótkie odpalenia silnika o dużym ciągu), które

się zwykle wykonuje teraz przy użyciu napędu chemicznego, najprościej przyspieszać dwa

razy. Po pierwszym przyspieszeniu (o odpowiedniej wartości) przechodzi się na orbitę

eliptyczną z perygeum w punkcie przyspieszenia (na wysokości starej orbity kołowej) i

apogeum na wysokości docelowej orbity kołowej. Teraz trzeba poczekać aż się osiągnie to

apogeum (przeleciawszy pół orbity). Tam się okaże, że nasza prędkość jest mniejsza od tej potrzebnej na tej wyższej orbicie kołowej (i oczywiście jeszcze mniejsza niż na naszej starej orbicie kołowej, nie mówiąc o prędkości po przyspieszeniu), więc znów trzeba przyspieszyć -

dokładnie do prędkości potrzebnej na tej wyższej orbicie kołowej - i jesteśmy w domu.

Przyspieszaliśmy dwa razy, a prędkość na nowej orbicie mamy mniejszą, niż na starej.

Odwrotnie postępujemy przechodząc na niższą orbitę, także korekty dokonując w dwóch

punktach. Wówczas należy zmniejszyć chwilową predkość liniową (hamować), przez co

zmiejszamy promień orbity i zwiększamy w rezultacie prędkość liniową względem tej, jaka była

na starej - wyższej orbicie.

4.4. Co to jest "trajektoria Hohmanna" ?

Autorem jej jest Niemiec - Walter Hohmann (1880-1943), który w 1925 roku w swej książce

"Możliwość osiągnięcia ciał kosmicznych" ("Die Erreichbarkeit der Himmelskorper") opisywał

teoretyczne aspekty podróży międzyplanetarnych, twierdząc, że celem astronautyki jest

dotarcie w sąsiedztwo innych ciał niebieskich.

Przeanalizawał w niej, po jakich orbitach powinny się odbywać te wyprawy, z jaką prędkością i jak długo będą trwały. Proponował odbycie podróży na Marsa po klasycznej orbicie stycznej do

jego orbity, natomiast lot powrotny - po orbicie stycznej najpierw do orbity Merkurego, a

następnie po przelocie koło tej planety, po stycznej do orbity Ziemi; w efekcie otrzymał

skrócenie czasu podróży w porównaniu z trajektorią styczną do obu orbit. Orbitę tę nazwano

"podróżą okólną Hohmanna".

Innym wynalazkiem była trajektoria minimalnoenergetyczna, charakteryzująca się tym, że start z danej planety odbywałby się w momencie, gdy planeta docelowa byłaby po drugiej

Strona 4 z 6

stronie Słońca (koniunkcja). Trajektorię tę nazywa się dziś "trajektorią Hohmanna" .

Obecnie bardzo często wykorzystują ją bezzałogowe próbniki marsjańskie, przez co możliwe

jest ich wynoszenie mniejszymi rakietami nośnymi. Trajektorie minimalnoenergetyczne

szczegółowo omówiono na stronie Stanford University.

4.5. Czym są "punkty Lagrange'a" ?

Punkty Lagrange’a, zwane inaczej punktami libracyjnymi (czyli punktami równowagi), to takie punkty w układzie dwóch ciał okrążających (po orbitach zbliżonych do okręgowych)

wspólny środek masy, w których równoważą się siły grawitacyjne i odśrodkowe działające na

trzecie ciało, o masie pomijalnie małej, mające taki sam okres jak powyższe dwa ciała. Innymi słowy: ciało umieszczone w jednym z punktów Lagrange’a np. układu Ziemia – Księżyc,

pozostaje wobec tego układu w spoczynku.

W każdym układzie istnieje pięć takich punktów. Wszystkie leżą w płaszczyźnie obiegania się

ciał. Punkty L , L i L leżą na linii łączącej ciała. L leży między nimi a L i L - po obu 1

2

3

1

2

3

stronach układu. Punkty L i L mają swe miejsce w wierzchołkach dwóch trójkątów 4

5

równobocznych, których dwa pozostałe wierzchołki to oba ciała bazowe.

Punkty L i L są całkowicie stabilne. Znaczy to, że niewielkie wytrącenie ciała z tych punktów 4

5

nie powoduje, że ciało zostanie zupełnie z nich wybite. Pozostałe trzy punkty - L , L i L - nie 1

2

3

są tak stabilne, natomiast eliptyczne orbity leżące w płaszczyźnie prostopadłej do linii łączącej oba ciała są niemal stabilne, wymagają jedynie niewielkich korekt co pewien czas.

W punkcie L układu Ziemia – Słońce (a dokładniej właśnie na orbicie wokół tego punktu) 1

umieszczone zostało obserwatorium SOHO (Solar and Heliocentric Observatory),

przeprowadzające badania Słońca. Z powodu stabilności punktów L i L gromadzą się w nich 4

5

różne kosmiczne "śmieci", dlatego niewskazane jest umieszczanie w nich np. aparatury badawczej. Przykładem mogą być punkty libracyjne L i L układu Jowisz – Słońce, w których 4

5

znajdują się liczne planetoidy zwane Trojańczykami.

4.6. Jak definiujemy orbitę geostacjonarną (fizycznie i

urzędowo) ?

Orbita geostacjonarna jest to wybrana orbita kołowa leżąca w płaszczyźnie równikowej, taka,

że okres obiegu ciała na niej się znajdującego równy jest okresowi obrotu Ziemi (23 h 56 m 4

sec). Wysokość tej orbity wynosi 35786 km nad powierzchnią Ziemi (geoidy).

Formalnie rzecz biorąc: Obiekty są katalogowane jako geostacjonarne (GEO), jeśli kiedykolwiek podczas ich lotu czas ich obiegu wokół Ziemi zawiera się w przedziale od 23 do 25h (1380 do

1500 min.). Jest to tzw. "near-geosynchronous ring (NGEO)".

Nic nie stoi na przeszkodzie wyznaczać orbity synchroniczne dla planet czy ciał kosmicznych

innych niż Ziemia.

Strona 5 z 6

4.7. Co to jest orbita "słonecznie synchroniczna" (Sun-

synchronous) ?

Jest to bardzo użyteczna orbita zwłaszcza dla satelitów meteorologicznych czy geofizycznych,

zbliżona w inklinacji do orbity polarnej. Umieszczony na niej satelita obiega tak Ziemię, że

znajduje się on okresowo (np. co cztery dni) nad danym punktem powierzchni Ziemi w tym

samym lokalnym czasie słonecznym. Umożliwia to śledzenie zmian na danym obszarze

„poklatkowo” w czasie przy identycznych warunkach oświetlenia Słońcem (w odniesieniu do

czasu słonecznego). Orbita takiego satelity utrzymuje się w stałej orientacji w stosunku do

Ziemi i Słońca (linii Ziemia-Słońce).

Przykładem takiego satelity może być ADEOS-2 (Advanced Earth Observing Satellite 2).

4.8. Jaką prędkość osiągnę ciągle przyspieszając np. z 1g ?

Obliczenia są tu bardzo proste. Podstawowy wzór z TW mówi, że między przyspieszeniem

bezwładnościowym (g), a zwykłym zachodzi zależność:

a = g(1 - v2/c2) (1)

wiemy także, że prędkość jest całką przyspieszenia po czasie:

całka(a*dt) = v,

czyli przyspieszenie to różniczka prędkości po czasie:

a = dv/dt

Podstawiając do (1) otrzymujemy proste równanie różniczkowe:

dv/dt = g(1 - v2/c2)

dv/(g(1 - v2/c2)) = dt

Obustronnie całkujemy:

całka(dv/(g*(1 - v2/c2))) = całka(dt)

c*arctanh(v/c)/g = t

arctanh(v/c) = t*g/c

v = tanh(t*g/c)*c (2)

I tak oto otrzymaliśmy prędkość (v) jaką osiągnie pojazd przyspieszający g przez czas równy t.

Dalej wiadomo, że droga to całka z prędkości po czasie, czyli:

s^ = całka(v*dt) = całka(tanh(t*g/c)*c*dt)

s^ = całka(tanh(t*g/c)*dt)*c

s^ = ln(cosh(t*g/c))*c2/g (3)

Problem w tym, że w/w wzór pokazuje w jakim tempie przemierzamy własną przestrzeń, a ta

nie ma żadnej interpretacji fizycznej, gdyż nie jesteśmy układem inercjalnym. Wiemy

natomiast, że przestrzeń związana z miejscem startu jest w stosunku do naszej zagęszczona

1/sqrt(1- v2/c2)-krotnie.

Przemierzamy więc przestrzeń związaną z miejscem startu 1/sqrt(1- v2/c2)

razy szybciej niż swoją.

Aby uzyskać drogę jaką przemierzymy w przestrzeni związanej z miejscem

startu musimy więc policzyć całkę:

s = całka(v/sqrt(1 - v2/c2)*dt)

Podstawiamy z (2) v = tanh(t*g/c)*c :

Strona 6 z 6

s = całka(tanh(t*g/c)*c/sqrt(1 - tanh2(t*g/c))*dt);

s = całka(1/sqrt(ctgh2(t*g/c) - 1)*dt)*c

s = całka(sinh(t*g/c)*dt)*c

s = (cosh(t*g/c) - 1)*c2/g (4)

I tak to mamy wzór, który pokazuje jaką drogę w przestrzeni związanej z miejscem startu

przemierzymy jeśli przez czas pokładowy równy "t" będziem przyspieszać ze stałym

przyspieszeniem inercjalnym "g".

Teraz wystarczy podstawiać do wzorów (2) (3) (4) g = 10m/s2, c = 300000000 m/s.

Zatem po 1. roku przyspieszania (t = 31536000 s):

v = tanh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s))*c

v = tanh(1.0512)*c

v = 0.7823c

s^ = ln(cosh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s))*c2/g

s^ = 0.4733*c2/g

s^ = 4.2598*1015 m = 0.4503 roku świetlego

s = cosh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s)) - 1)*c2/g

s = 5.4477*1015 m = 0.5758 roku świetlnego

Po drugim roku przyspieszania (t = 63072000 s) :

v = 0.9706c

s^ = 1.2817*1016 m = 1.3547 roku świetlnego

s = 2.8385*1016 m = 3.0004 roku świetlnego

Zaś po 20-tym roku przyspieszania (t = 630720000 s):

v = 0.9999999999999999995c

s^ = 1.8298*1017 m = 19.3406 roku świetlnego

s= 6.0788 * 1024 m = 642.52 mln lat świetlnych

Można sobie przyspieszać bardzo długo i z dowolnie dużym g, a i tak prędkości światła nie

przekroczy się. Aby to sprawdzić - podstawcie sobie we wzorach (2) i (3) dowolnie duży czas

przyspieszania (t) i dowolne (g), a zawsze otrzyma się v mniejsze od c.

Aktualizacja: 2007-05-17 22:28

FAQ-System 0.4.0, HTML opublikowal: (STS)