WPROWADZENIE DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIE‹STWA I PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH

Kolokwium 2 1.06 2011

Imi¦ i nazwisko..............................................................................................................nr indeksu...................

CZ†‘‚ TESTOWA

1. .Z odcinka <0,1> wybieramy losowo i niezale»nie dwie liczby x i y.Zdarzenie A polega na tym, »e x < 0, 5, zdarzenie B na tym, »e x < y + 0, 5, za±

zdarzenie C na tym, »e y ≤ x2.

Zbada¢ niezale»no±¢ zdarze« A,B,C

2. Ze zbioru {−1, 1, 0, 2} losujemy bez zwracania dwie liczby x i y. Niech X = |x − y|. rozkªad prawdopodobie«stwa zmiennej losowej X.

3. Zmienna losowa X ma rozkªad jednostajny na przedziale < −a, a >, gdzie a > 0. Dla jakiej warto±ci parametru a wariancja tej zmiennej losowej jest równa 1?

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad prawdopodobie«stwa dany tabel¡.

x\y

-2

-1

0

1

. 0

0,1 0,2 0,1 0,2

3

0

0,1 0,2 0,1

a) Wyznaczy¢ rozkªady brzegowe zmiennych losowych X i Y .

b)Sprawdzi¢, czy zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne.

c)Wyznaczy¢ P (X2 > Y ).

5. Uzasadni¢, »e ci¡g niezale»nych zmiennych losowych (Xn) takich, »e P (Xn =

−n) = P (Xn = n) = 1 , P (X

speªnia sªabe prawo wiel-

2n2

n = 0) = 1 − 1

n2

kich liczb.

6. (Nt : t ≥ 0) jest procesem Poissona z parametrem λ = 1. Obliczy¢

P (Nt = 1, N3t = 2, N4t = 5).

1

CZ†‘‚ ZADANIOWA

UWAGA: z tej cz¦±ci wybieramy dwa zadania (

1. Funkcja

2e−2x

dla x > 0

f (x) =

jest funkcj¡ g¦sto±ci rozkªadu praw-0

w p.p.

dopodobie«stwa zmiennej losowej X.

(a) Znale¹¢ dystrybuant¦ zmiennej losowej X.

(b) Pokaza¢, »e P (X > t + s|X > t) = P (X > s) dla s, t > 0.

(c) Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ zmiennej losowej X.

2. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkªad jednostajny na trójk¡-

cie o wierzchoªkach (−1, 0), (0, 1),(1, 0).

(a) Wyznaczy¢ funkcj¦ g¦sto±ci zmiennej losowej (X, Y ).

(b) Wyznaczy¢ funkcje g¦sto±ci rozkªadów brzegowych zmiennych losowych X i Y .

(c) Zbada¢ niezale»no±¢ zmiennych losowych X i Y .

3. Rzucamy symetryczn¡ monet¡ do momentu wyrzucenia serii ORO. Skon-struowa¢ model tego do±wiadczenia w postaci ªa«cucha Markowa (Xn : n ≥ 0) o stanach {∅, O, OR, ORO}.

(a) Wyznaczy¢ macierz prawdopodobie«stw przej±cia tego ªa«cucha Markowa

.

(b) Obliczy¢ prawdopodobie«stwo otrzymania serii ORO w co najwy»ej 5-ciu rzutach.

2