1. Zadanie wstępne
Zadanie
Odp.
√
1. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną n , dla której ( 3 + i) n ∈ R
6
Rozwiązanie:
√ 3 + i = 2(cos π + i sin π) 6
6
√
( 3 + i) n = 2 n(cos nπ + i sin nπ ) 6
6
sin nπ = 0
6
nπ = kπ , k ∈
6
Z
n = 6 k
2. Dla jakiej wartości parametru p wyznacznik macierzy A jest równy -4 ?
p = ± 2
0
0 0 1
1
0 0 1
A =
1 p 2 0 1
1
1 1 1
Rozwiązanie:
0
0 0 1
1
0 0
1
0 0 1
|A| =
= 1 · ( − 1)5 · 1
p 2 0 = −p 2 = − 4
1 p 2 0 1
1
1 1
1
1 1 1
3. Obliczyć wersor wektora ~
w = ~
v − 2 ~
u , jeżeli ~
v = [1 , 0 , 2] zaś ~
u = [1 , 1 , 0]
[ − 1 , − 2 , 2 ]
3
3
3
Rozwiązanie:
~
w = [ − 1 , − 2 , 2]
√
| ~
w| =
1 + 4 + 4 = 3
~
w
1
1
2 2
=
[ − 1 , − 2 , 2] = [ − , − , ]
| ~
w|
3
3
3 3
x = 2 t
4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1 , − 3 , 2) i pro-y = − 3 + 3 t
stopadłej do płaszczyzny π : 2 x + 3 y − 4 = 0
z = 2
Rozwiązanie:
Wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny ~
n = [2 , 3 , 0]
Równaie prostej:
x = 2 t
y = − 3 + 3 t , t ∈ R
z = 2
5. Napisać równanie okręgu ośrodku S( − 3 , 4) , przechodzącego przez początke ( x + 3)2 + ( y − 4)2 =
układu współrzędnych.
25
Rozwiązanie:
q
Promień okręgu: r = OS =
( − 3)2 + 42 = 5
Równanie okręgu: ( x + 3)2 + ( y − 4)2 = 25
1
2. Rozwiązać równanie: z 4 − z 2 + 1 = 0 , z ∈ C .
Rozwiązanie:
Podstawiamy w = z 2
w 2 − w + 1 = 0
∆ = 1 − 4 = − 3
Obliczamy
√
√
∆ = ±i 3
√
√
1 − i 3
1
3
w 1 =
=
− i
2
2
2
√
√
1 + i 3
1
3
w 2 =
=
+ i
2
2
2
Zapisujemy w 1 i w 2 w postaci trygonometrycznej: w 1 = cos( − π ) + i sin( − π ) 3
3
w 2 = cos( π ) + i sin( π ) 3
3
Rozwiązujemy równanie: z 2 = w
√
z =
w 1
√
√
z
3
3
1 = cos( − π ) + i sin( − π ) =
− 1 i =
− 1 i
6
6
2
2
2
2
√
√
z
3
3
2 = cos( 5 π ) + i sin( 5 π ) = −
+ 1 i = −
+ 1 i
6
6
2
2
2
2
√
z =
w 2
√
√
z
3
3
3 = cos( π ) + i sin( π ) =
+ 1 i =
+ 1 i
6
6
2
2
2
2
√
√
z
3
3
4 = cos( 7 π ) + i sin( 7 π ) = −
− 1 i = −
− 1 i
6
6
2
2
2
2
Odpowiedź:
√
z
3
1 =
− 1 i
2
2
√
z
3
2 = −
+ 1 i
2
2
√
z
3
3 =
+ 1 i
2
2
√
z
3
4 = −
− 1 i
2
2
2
1
1
1
1 1
1
2
1
x 2
3
3 x − 1 0 < 0
x x x
x 2 0
1
1
1
2 1
Rozwiązanie:
Obliczamy wyznacznik macierzy A
1
1
1
1 1
0
1
1
1 1
1
2
1
x 2
0
2
1
x 2
|A| =
3
3 x − 1 0 = {k0 = k
3 − x
3 x − 1 0
= { Rozw. Laplace’a wzgl. k
1
1 −k 3 } =
1 } =
x x x
x 2 0
0 x x
x 2 0
1
1
1
2 1
0
1
1
2 1
1
1
1 1
0
1
1 1
2
1
x 2
0
1
x 2
(3 − x) · ( − 1)4
= {k0 = k
=
x x x 2 0
1
1 − k 4 }
= (3 − x) · x x x 2 0
1
1
2 1
0
1
2 1
1
1 1
{ Rozw. Laplace’a wzgl. k
1 } = (3 − x) x · ( − 1)4
1 x 2
=
1
2 1
(3 − x) x( x + 2 + 2 − x − 4 − 1) = (3 − x) x · ( − 1) = x( x − 3) x( x − 3) < 0
x ∈ (0 , 3)
Odpowiedź:
x ∈ (0 , 3)
3
4. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (1 , 2 , 0) , równoległej do płaszczyzny π : x + 2 y − z + 4 = 0 oraz przecinającej prostą
x = 2 t
l :
y = 1 − t , t ∈ R
z = 3 + t
Rozwiązanie:
π 1 - płaszczyzna równoległa do π przechodząca przez punkt P
π 1 : x + 2 y − z + D = 0
1 + 4 + D = 0
punkt P ∈ π 1
D = − 5
π 1 : x + 2 y − z − 5 = 0
A( x, y, z) - punkt przecięcia płaszczyzny π 1 i prostej l
x + 2 y − z − 5 = 0
x = 2 t
y = 1 − t
z = 3 + t
2 t + 2(1 − t) − (3 + t) − 5 = 0
−t − 6 = 0
t = − 6
A( − 12 , 7 , − 3)
Wketor kierunkowy prostej:
−→
P A = [13 , − 5 , 3]
x − 1
y − 2
z
l 1 :
=
=
13
− 5
3
Odpowiedź:
x − 1
y − 2
z
l 1 :
=
=
13
− 5
3
4
5. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przeciecia osi układu współ-
rzędnych z płaszczyzną π : x + 3 y + 2 z − 6 = 0
Rozwiązanie:
Szukamy wierzchołków trójkąta:
x = 0 , y = 0 = ⇒ 2 z − 6 = 0 = ⇒ z = 3
A(0 , 0 , 3)
x = 0 , z = 0 = ⇒ 3 y − 6 = 0 = ⇒ y = 2
B(0 , 2 , 0)
y = 0 , z = 0 = ⇒ x − 6 = 0 = ⇒ x = 6
C(6 , 0 , 0)
Pole trójkąta jest równe:
−→
−→
S = 1 |AB × AC|
2
−→
AB = [0 , 2 , − 3]
−→
AC = [6 , 0 , − 3]
i j
k
−→
−→
AB × AC = 0 2 − 3 = [ − 6 , − 18 , − 12]
6 0 − 3
√
q
S = 1
( − 6)2 + ( − 18)2 + ( − 12)2 = 3 14
2
Odpowiedź:
√
Pole trójkata S = 3 14
5
6. Wyznaczyć równanie sfery przechodzącej przez punkt O(0 , 0 , 0) , której środkiem S
jest punkt symetryczny do punktu P (1 , − 2 , 7) względem prostej
x = 2 t
l :
y = 1 + t , t ∈ R
z = 2 − t
Rozwiązanie:
Szukamy płaszczyzny π prostopadłej do prostej l przechodzącej przez punkt P : 2 x + y − z + D = 0
2 − 2 − 7 + D = 0
D = 7
2 x + y − z + 7 = 0
Punkt Q przecięcia prostej l i płaszczyzny π jest rzutem punktu P na prostą l.
2 · 2 t + (1 + t) − (2 − t) + 7 = 0
6 t + 6 = 0
t = − 1
Q( − 2 , 0 , 3)
−→
−→
Wektor: P S = 2 · P Q = 2 · [ − 3 , 2 , − 4] = [ − 6 , 4 , − 8]
Stąd:
S( − 5 , 2 , − 1)
Promień sfery:
√
q
r = OS =
( − 5)2 + 22 + ( − 1)2 =
30
Równanie sfery:
( x + 5)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = 30
Odpowiedź:
Równanie sfery: ( x + 5)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = 30
6