Zad. 1a. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu

wektorów p i q w sześcianie o boku 2 a.

W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub na

sumę.

2 a

z

α

q

p

y

x

2 a

2 a

Zad. 1b. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu

wektorów p i q w sześcianie o boku 2 a.

p

W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny.

q

α

2 a

z

y

2 a

x

2 a

Zad. 1c. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu

wektorów p i q w sześcianie o boku 2 a.

W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub na

sumę.

2 a

z

α

q

p

y

x

2 a

2 a

Zad. 1d. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu

wektorów p i q w sześcianie o boku 2 a.

W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub oba

wzory na sumę.

2 a

α

z

q

p

y

x

2 a

2 a

Zad. 1e. Obliczyć a) sumę, b) iloczyn skalarny, c) cosinus kąta dwu

wektorów p i q w sześcianie o boku 2 a.

W tym celu można wykorzystać oba wzory na iloczyn skalarny lub oba

wzory na sumę.

2 a

α

z

q

p

y

x

2 a

2 a

Kinematyka

Zad. 1. Samochód porusza się z prędkością v 1 = 25 m/s. Na drodze s = 40 m jest hamowany i zmniejsza swą prędkość do v 2 = 15 m/s. Zakładając, że ruch samochodu jest jednostajnie zmienny, znaleźć

przyspieszenie i czas hamowania.

Zad. 2. Znaleźć czas wznoszenia się windy, zakładając, że jej ruch podczas ruszania i hamowania jest

jednostajnie zmienny o przyśpieszeniu równym co do wartości bezwzględnej a=1 m/s2, a na środkowym

odcinku drogi jej ruch jest jednostajny z prędkością v=2 m . Wysokość, na którą wznosi się winda h=60 m s

Zad. 3. Znaleźć prędkość początkową, jaką powinno mieć ciało rzucone pionowo do góry, aby wróciło

ono z powrotem po czasie t=6 s. Jaką maksymalną wysokość osiągnie to ciało?

Zad. 4. Znaleźć prędkość początkową, z którą wyrzucono ciało do góry, jeżeli na wysokości h=60 m znajdowało się ono dwukrotnie w odstępie czasu ∆ t=4 s. Nie uwzględniać oporu powietrza.

Zad. 5. Ciało rzucone pionowo w dół z prędkością początkową 19,6 m/s w ciągu ostatniej sekundy lotu

przebyło n = 1/4 całej drogi. Znaleźć czas spadania ciała. i jego prędkość w chwili upadku. Z jakiej

wysokości rzucono to ciało ?

Zad. 6. W urządzeniu kafarowym, służącym do wbijania pali, ruchomy ciężar podnoszony jest ruchem

jednostajnym na wysokość 4.9 m w ciągu 5 s, a następnie spada swobodnie z tej wysokości na pal. Cały

ruch powtarza się cyklicznie. Obliczyć liczbę uderzeń na minutę.

Zad. 7. Z przystani A znajdującej się nad rzeką o szerokości d, płynącej z prędkością v1, wyrusza z prędkością v2 względem wody łódź motorowa skierowana prostopadle do brzegu. Obliczyć w jakiej odległości l od przystani A wyląduje łódź, jeżeli wiadomo, że po przybyciu do przeciwległego brzegu zawróciła i znów została skierowana prostopadle do ruchu rzeki. Jaki jest czas trwania ruchu łodzi?

[ l = 2 dv / v , t = 2 d / v

1

2

1 ]

Zad. 8. Pod jakim kątem, liczonym od prostopadłej do prądu rzeki należy skierować łódkę oraz ile czasu musi ona płynąć, aby przepłynęła przez rzekę prostopadle do kierunku prądu, jeżeli prędkość łódki

względem wody równa jest 3 m/s, prędkość wody w rzece wynosi 1.5 m/s a szerokość rzeki – 400 m.

[α = 30 ,

° t = 155 s].

Zad. 9. Pod jakim kątem do poziomu należy skierować strumień wody, aby jego maksymalne

wzniesienie było równe zasięgowi w kierunku poziomym?

Zad. 10. Pod jakim kątem do poziomu należy wyrzucić ciało, aby maksymalna wysokość, na jaką

wzniesie się ciało, była cztery razy mniejsza od zasięgu rzutu?

Zad. 11. Na jakiej wysokości wektor prędkości ciała, wyrzuconego pod kątem α=45˚ do poziomu z prędkością początkową v o = 20 m/s, utworzy z poziomem kąt β = 30˚? Ile będzie wtedy równa wartość prędkości?

Zad. 12. Wystrzelono pocisk pod kątem α = 60° do poziomu z prędkością 90,4 m/s. Po jakim czasie nastąpił wybuch pocisku, jeżeli wiadomo, że znajdował się on wówczas w najwyższym punkcie swego

toru ?

Zad. 13. Wystrzelono pocisk pod kątem α = 60° do poziomu z prędkością 20 m/s. W jakiej odległości x, liczonej w poziomie, pocisk znajdzie się w najwyższym punkcie swego toru?

Zad. 14. Znaleźć prędkość kuli, jeżeli po wystrzale z pistoletu w kierunku poziomym kula przebiła dwie

pionowe kartki papieru ustawione w odległości l = 20 m od siebie, przy czym okazało się, że otwór w drugiej kartce znajduje się o h = 5 cm niżej niż otwór w pierwszej kartce. Pierwsza kartka znajduje się blisko pistoletu. Odp.

g

v = l

= 200 m/s.

o

2 h

Zad. 15. Znaleźć prędkość kuli, jeżeli po wystrzale z pistoletu w kierunku poziomym kula przebiła dwie pionowe kartki papieru ustawione w odległości l = 20 m od siebie, przy czym okazało się, że otwór w pierwszej kartce znajduje się o h 1 = 5 cm a w drugiej kartce o h 2 = 7.2 cm poniżej poziomej linii strzału.

Odp.

l 0.5 g

v =

= 1000 m/s.

o

2

h −

1

h

Zad. 16. Kamień o masie m=0.2 kg rzucono pod kątem α=30° do poziomu, z prędkością początkową

vo=10 m . Obliczyć energię kinetyczną E

s

k, potencjalną E p i całkowitą E kamienia w najwyższym punkcie

lotu. Opór powietrza pominąć. Odp: E

2

2

2

k = 0.5 m vo cos2α, E p = 0.5 m vo sin2α, E = 0.5 m vo .

Zad. 17. Ciało wyrzucono pod kątem α = 45° do poziomu z prędkością v 0 = 20 m/s. W odległości s = 30

m stoi pionowa ściana. Na jakiej wysokości i pod jakim kątem (liczonym do prostej prostopadłej do

ściany) ciało uderzy w ścianę? Jaka będzie wtedy prędkość ciała?

Odp: h=7.5 m, tgα=0.5, α=26.6°, v=15.81 m/s.

Zad. 18. Z jaką prędkością początkową należy wyrzucić ciało pod kątem α, aby trafiło ono w punkt znajdujący się na wysokości h i w odległości d=h od punktu startu (liczonej w kierunku poziomym).

gh

Odp: v =

o

2 cosα (sinα − cosα )

Zad. 19. Z dachu domu rzucono kamień z prędkością poziomą vo = 18.6 m/s. Oblicz składową przyspieszenia kamienia prostopadłą do toru po czasie t = 2 s. [ an = 6.7 m/s2]

Zad. 20. Ciało wyrzucono pod kątem α1 = 15° do poziomu. Pod jakim kątem należy wyrzucić to ciało

nadając mu taką samą wartość prędkości początkowej, aby zasięg rzutu był n = 2 razy większy od poprzedniego? [α 2 = 45°] .

Zad. 21. Dwa ciała wyrzucono z jednakowymi prędkościami początkowymi:

jedno – z ziemi, pod kątem α do poziomu, a drugie – poziomo, z wysokości

v o

równej maksymalnej wysokości wzniesienia się pierwszego ciała. Znaleźć

stosunek zasi

v

ęgów rzutu obu ciał. Dla jakich kątów α zasięg rzutu poziomego jest

o

z

sinα

α

większy niż zasięg rzutu ukośnego? [ 2 =

, z 2> z 1 dla α>60°]

z

sin 2α

1

Zad. 22. Pręt AB o długości l opiera się końcami o podłogę i ścianę. Znaleźć

zależność współrzędnej x końca A i współrzędnej y końca B od czasu, podczas

B

ruchu końca A ze stałą prędkością v o zaczynając od położenia pokazanego na rys.

Znaleźć zależność prędkości i przyśpieszenia końca B od czasu.

Odp:

2

y( t) =

l − ( b + v t

o )2

b + v t

2 2

l v

v( t)

o

= −

v

a( t)

o

= −

o

3

A

2

b

l − ( b + v t



2

2 

o )2

 l − ( b + v t 

o )





v o

Zad. 23. Łódka jest podciągana do wysokiego brzegu doliny

za pomocą liny, która nawija się ze stałą prędkością v o = 1 m/s

na bęben znajdujący się na wysokości h = 6 m nad poziomem

wody. Początkowa długość liny wynosi l o = 20 m . Wyznaczyć

zależność od czasu długości ∆ l, o którą skróciła się lina.

l

h

o

Wyznaczyć zależność od czasu położenia x łódki. Znaleźć

l o-∆ l

zależność prędkości i przyśpieszenia łódki od czasu.

Odp:

2

2

x t =

l − h − ( l − v t )2

2

( )

− h

o

o

o

x

L-x

L

( l − v t)

2 2

h v

v( t)

o

o

=

v a( t)

o

=

o

3

( l − v t − h



2

2 

o

o )2

2

 ( l − v t − h 

o

o )





Zad. 24. Ruch ciała dany jest poniższą zależnością współrzędnych środka ciała od czasu. Wyznaczyć tor

ruchu, znaleźć położenie ciała na początku ruchu i po czasie t

π

=

. Wyznaczyć zależność następujących

2ω

r

r

r

r

r

r

wielkości od czasu ν ,ν, a , a, a s, a n. Narysować ν , a ,

,

na pocz

s

a

a n

ątku ruchu i po czasie t

π

=

.

2ω



π

x = A sin(ω t)

 x = A cos(ω t π

+ ) + B

 x = sin(ω t + ) + 3

π



6

x = 3cos(ω t + ) + 3



4





3



a.  y = A cos(ω t) b.  y = A sin(ω t

π

+ ) + C c.  y = 2 2 sin(ω t

π

+ ) d.  y = 4 cos(ω t

π

+ ) + 5

4

6

3









 z = z

z = D

z = 6

z = 2

o







 x = v t

o



e.  y = A sin(ω t)

 z = 6

Zad. 25. Ruch ciała dany jest poniższą zależnością współrzędnych środka ciała od czasu. Wyznaczyć tor

ruchu, znaleźć położenie ciała na początku ruchu i po czasie

B

B

1

t =

i t =

. Wyznaczyć zależność

2 C

2

C

r

r

r

r

r

r

następujących wielkości od czasu ν ,ν, a , a, a s, a n. Narysować ν , a , s a , a n na początku ruchu i po

czasie t 1 i t 2.

 x = 0

 x = 0





a.  y = At

b.

2

 y = Bt − Ct





2

 z = Bt − Ct

2

 z = 2 Bt − 2 Ct

Dynamika

Zasady dynamiki Newtona

Zad. 1. Belka utrzymywana jest w równowadze za pomocą układu krążków

pokazanego na rysunku. Ciężar każdego z krążków jest równy 2 N, siła F = 6 N.

F

Oblicz masę belki, przy założeniu, że masę liny można zaniedbać.

(Odp: M=2 kg).

F

Zad. 2. Skrzynia o masie 10 kg jest ciągnięta siłą F tworzącą kąt 45° z

poziomem. Współczynnik tarcia kinetycznego jest równy 0.5. Jaka jest

m

α

wartość siły, jeżeli skrzynia porusza się ze stałą prędkością?

(Odp: F≈47 N)

Zad. 3. Ta sama skrzynia jest podobnie ciągnięta siłą F=100 N. Obliczyć przyśpieszenie skrzyni.

Zad. 4. Dwa połączone ze sobą nieważką nicią klocki podnoszone są pionowo w górę stałą siłą 150 N

przyłożoną do górnego klocka o masie 6 kg. Siła napięcia nici jest równa 80 N. Oblicz przyspieszenie każdego z klocków. Znajdź masę dolnego klocka. (Odp: a=1.7 m/s2, m2=6.8 kg)

Zad. 5. Dwa ciała, których masy wynoszą m 1 = 50 g i m 2 = 100 g, są związane nieważką nicią i leżą na gładkiej powierzchni poziomej. Wytrzymałość nici wynosi N = 1 N. Jaką maksymalną siłą F 1 należy ciągnąć pierwsze ciało, aby nić nie zerwała się? Jaką maksymalną siłą F 2 należy ciągnąć drugie ciało, aby nić nie zerwała się?

Zad. 6. Ciało zsuwa się po równi pochyłej o kącie nachylenia

α =

°

40 . Po przebyciu drogi s = 0.4 m osiąga prędkość v = 2

m

m/s. Jaki jest współczynnik tarcia między ciałem a równią?

(Odp: µ=0.2).

α

Zad. 7. Dwa ciężary o masach m 1 = 1 kg i m 2 = 2 kg

związane są nicią. Nić tę przerzucono przez blok

m 2

umieszczony na krawędzi równi pochyłej. Znaleźć

m 1

przyspieszenie układu, jeżeli α = 45°, a współczynnik tarcia

α

µ = 0.2.

Zad. 8. Dwa ciężary o masach m 1 = 1 kg i m 2 = 2 kg

związane są nicią. Nić tę przerzucono przez blok

m

m 2

1

umieszczony na krawędzi podwójnej równi pochyłej.

Ciężary mogą ślizgać się po powierzchni równi. Znaleźć

α

β

przyspieszenie

układu,

jeżeli

α = 45°,

β = 30°,

a współczynnik tarcia µ = 0.2.

Zad. 9. Znaleźć przyśpieszenie obu ciał o masach

m 1

m 1 = 1 kg i m 2 = 2 kg związanych nicią przewiniętą przez

blok zamocowany w najwyższym punkcie równi o kącie

m 2

nachylenia α = 30°. Współczynnik tarcia µ = 0.2.

α

Zad. 10. Samochód porusza się z prędkością 90 km/h. Jaką

drogę przebędzie samochód do chwili zatrzymania się, jeżeli współczynnik tarcia wynosi 0.5, a czas reakcji kierowcy 0.4 s. (Odp: s=72.5 m).

Zad. 11. Ciało o masie m, znajdujące się na równi pochyłej o kącie

m

nachylenia α = 30°, ciągnięte jest poziomą siła F. Współczynnik tarcia

F

µ = 0.2. Obliczyć przyśpieszenie tego ciała podczas zsuwania się z

równi.

α

F

Zad. 12. Ciało o masie

m, znajdujące się na równi pochyłej o kącie

m

nachylenia α = 30°, pchane jest pionową siła F. Współczynnik tarcia

µ = 0.2. Obliczyć przyśpieszenie tego ciała podczas zsuwania się z

równi.

α

Zad. 13. Dwie masy m i M połączono jak na rysunku. Znaleźć

przyspieszenie mas i naciąg nici, zaniedbując masę nici, masę

krążka i tarcie. Dane: m, M, α

m



M + m sinα

2 M + m 1

( + sinα )



M

a =

g,



N =

Mg





M + m

M + m



α

Zad. 14. Masy zsuwają się. Lina i bloczek mają znikomą masę.

Współczynnik tarcia wynosi k = 0.2, a masy M = 5 kg, m = 3 kg.

Obliczyć przyspieszenie mas i siłę naprężenia liny.

A

[ a=2.5 m/s2, N=22.5 N]

m

Zad. 15. Układ dwóch klocków o tej samej masie m = 10 kg jest ciągnięty siłą F = 100 N. Zaniedbując tarcie, oblicz przyśpieszenie drugiego klocka i naprężenie liny. [ a = 3 m/s2, N = 30 N]

F

m

m

Zad. 16. Dwie masy m 1=3 kg i m 2=4 kg są połączone

nieważką liną, przechodzącą przez nieważki bloczek.

Tarcie pominąć. Jakie jest przyspieszenie mas i naprężenie

m 2

liny? [ a = 1.58 m/s2, N

m 1

1 = 2 N 2 = 25.3 N]

Zasady zachowania

Zad. 17. Młot o masie 4 t spada na kowadło z wysokości 2.5 m i zatrzymuje się na skutek całkowitego

zaabsorbowania energii. Znaleźć średnią siłę uderzenia młota o kowadło, jeżeli zderzenie trwało 0.01 s.

Czy średnia siła uderzenia młota będzie inna, jeżeli po zderzeniu z kowadłem młot odskoczy na

wysokość 30 cm? [~2.8 MN, ~ 3.8 MN]

Zad. 18. Dwie kule o masach m 1 = 0.4 kg i m 2 = 0.2 kg poruszają się po linii prostej w tym samym kierunku z prędkościami odpowiednio v 1 = 3 m/s i v 2 = 12 m/s. Obliczyć ciepło wydzielone w czasie doskonale niesprężystego zderzenia kul. [≈ 4

.

5 J ]

Zad. 19. Na platformie kolejowej o masie 16 t ustawiono działo o masie 3 t, którego lufa tworzy kąt 60°

z poziomem i leży w płaszczyźnie pionowej poprowadzonej wzdłuż torów. Jaka była prędkość pocisku o

masie 50 kg, jeżeli po wystrzale platforma przejechała drogę 3 m w ciągu 6 s i zatrzymała się? [760

m/s]

Zad. 20. Znaleźć sprawność pompy, jeżeli zbiornik o pojemności 40 m3 umieszczony na wysokości 10 m

napełniany jest wodą w ciągu 12 min, a moc silnika elektrycznego pompy równa jest 7 kW. [0.79]

Zad. 21. Piłka o masie m = 0.2 kg, wyrzucona ukośnie, spada na ziemię w odległości d = 5 m po czasie t

= 1.2 s. Obliczyć pracę wykonaną przy wyrzucaniu piłki. [5.2 J]

Zad. 22. Samochód o ciężarze Q porusza się pod górę o kącie nachylenia α i na drodze l zwiększa swoją prędkość od v 0 do v. Znając ciepło spalania paliwa q oraz współczynniki sprawności silnika η1 oraz transmisji η2 (mechanizmu przekazującego napęd z silnika na koła) znaleźć ilość paliwa zużytą w ciągu 1

sekundy. [ ( v + v

2

2

)

(

−

) + 2

( +

cosα ) 4 η η

]

o

[ P v v

gP h

kl

o

] gl

q

1 2

Zad. 23. Zjeżdżalnia dla dzieci ma długość 5m i kąt nachylenia

o

30 do poziomu. Dziecko o masie 20kg

zaczyna zjeżdżać z góry bez prędkości początkowej i po pewnym czasie znajduje się na dole.

Współczynnik tarcia między ubraniem dziecka a powierzchnią zjeżdżalni wynosi 0.2. a). Jaką pracę wykonała siła tarcia podczas ruchu?

b). Jaka była prędkość dziecka, gdy znalazło się ona na końcu zjeżdżalni?

c). Jak długo trwał ruch dziecka na zjeżdżalni? [ a). − 100 3 J b). 2.6m/s c). 1.7s]

Zad. 24. Piłka o masie 0.08kg spada swobodnie na ziemię z wysokości 3m. Po pierwszym zderzeniu wznosi się ona na wysokość 2m. Załóż, że czas zderzenia wynosił 5ms.

a). Jaki jest pęd piłki tuż przed zderzeniem? b). Jaki jest pęd piłki tuż po zderzeniu? c). Jaka jest średnia

wartość siły wzajemnego oddziaływania między piłką a ziemią w trakcie zderzenia? d). Jaka jest zmiana

energii kinetycznej piłki? e). Przyjmując, że ciepło właściwe materiału, z którego zrobiona jest piłka, wynosi 2009 J / kg·°C i cała tracona energia mechaniczna zamienia się w ciepło, oblicz zmianę temperatury piłki. [a) 0 6

. 1 kg ⋅ m / s , b) 0 5

. kg ⋅ m / s , c) 222 N , d) 0 7

. 8 J , e)

3

− o

4.9 ⋅10

C ]