Wykład 5

Modele konsumpcji1

5.1. Hipoteza cyklu życia i trwałego dochodu oraz hipoteza relatywnego dochodu

Hipoteza dochodu trwałego i hipoteza cyklu życia powstały w wyniku badań nad prawidłowościami

rządzącymi rozwojem konsumpcji. Są ze sobą ściśle powiązane i stały się podstawą badań nad tzw.

racjonalnymi oczekiwaniami konsumentów.

Twórcą hipotezy dochodu permanentnego (trwałego) jest Milton Friedman. Uważał on, że poziom

wydatków konsumpcyjnych jednostki w danym okresie nie zależy wprost od wielkości bieżących

dochodów rozporządzalnych, ale od średniej wielkości dochodu uzyskiwanego przez dłuższy, co

najmniej kilkuletni okres. Oznacza to, że konsument podejmując decyzje nabywcze w danym okresie

nie kieruje się wyłącznie wielkością aktualnie uzyskiwanego dochodu, ale przede wszystkim

wielkością tak zwanego dochodu permanentnego. Dochód permanentny to średnia ważona poziomu

dochodów z ostatnich lat oraz oczekiwanego dochodu przyszłego.

Dochody bieżące konsumentów mogą się różnić od wielkości dochodu permanentnego o wielkość

przejściowych przyrostów dochodów rozporządzalnych, które w nieznacznym stopniu wpływają na

zmianę poziomu konsumpcji bieżącej. Przejściowe przyrosty dochodu są najczęściej przeznaczane na

oszczędności bądź na zakup dóbr trwałych, pojmowanych przez Friedmana jako swoista forma

oszczędności.

Wnioski:

1. Jednostka ustala poziom swojej konsumpcji w oparciu o indywidualnie ustalony poziom

dochodu permanentnego.

2. Konsumpcja nie zmienia się wraz ze zmianą bieżących dochodów rozporządzalnych, ale pod

wpływem innych czynników, np. pod wpływem wzrostu stopnia niepewności co do przyszłych

dochodów albo pod wpływem zmian poziomu stopy procentowej.

Druga hipoteza wyjaśniająca prawidłowości rozwoju konsumpcji, którą omówimy to wspomniana

hipoteza cyklu życia sformułowana przez dwóch amerykańskich ekonomistów: Franco Modiglianiego

oraz Alberta Ando. Twierdzili oni, podobnie jak Friedman, że jednostka nie kształtuje swojego poziomu

i struktury konsumpcji wyłącznie na podstawie wielkości bieżących dochodów rozporządzalnych, lecz

opiera się na wielkości wyznaczonego indywidualnie dochodu permanentnego. Uważali oni ponadto,

że oprócz dochodu trwałego na poziom konsumpcji mają wpływ wszystkie spodziewane w przyszłości

dochody, tj. dochody uzyskiwane w ciągu całego, pozostałego życia jednostki, a także to czy dany konsument rozważa możliwość pozostawienia spadku na rzecz swoich dzieci i wnuków.

1Wykład przygotowano w oparciu o C. Bywalec, L. Rudnicki: Konsumpcja, PWE, Warszawa 2002, rozdział 3, D. Romer: Makroekonomia dla zaawansowanych, PWN, Warszawa 2000, rozdział 7, M. Noga: Makroekonomia,

Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław 2000, rozdział 5

dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna II

Podsumowując, o poziomie konsumpcji i jej ewentualnych zmianach decydują dochody z okresów

poprzednich, bieżące dochody rozporządzalne oraz oczekiwany przyszły dochód. Wynika stąd, że

konsumenci koncentrują się nie tylko na bieżących dochodach i posiadanych aktywach, ale także

starają się przewidywać przyszłe strumienie dochodów, jak również swoją przyszłą sytuację

gospodarczą oraz pozycję społeczną.

Łatwo zauważyć, że koncepcja zaprezentowana przez Franco Modiglianiego oraz Alberta Ando

jest rozszerzeniem wcześniejszej koncepcji Friedmana trwałego dochodu.

Nieco bardziej realna w swoich założeniach jest hipoteza relatywnego dochodu sformułowana

przez Jamesa S. Duesenberry’ego. Jest ona wynikiem obserwacji realnych zachowań konsumentów,

które wynikają naśladowania innych ludzi, przyzwyczajania się do osiągniętego poziomu konsumpcji

oraz chęci demonstrowania swojego wysokiego poziomu życia. W efekcie konsument nie zmienia

poziomu wydatków konsumpcyjnych równolegle do zmian dochodów, ale czyni to dopiero

z konieczności z możliwie dużym opóźnieniem. Zjawisko to nazywamy też efektem rygla.

5.2. Konsumpcja w warunkach pewności i niepewności

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

U - użyteczność dożywotnia konsumenta,

u - funkcja chwilowej użyteczności konsumenta,

C - konsumpcja w okresie t ,

t

T ∈ { ,

1 ,

2 .. }

. - czas życia konsumenta,

A - majątek początkowy konsumenta,

0

Y - dochód konsumenta uzyskany w t -tym okresie jego życia ( t = ,

1 ,

2 ..., T ).

t

Uwaga:

Punktem wyjścia do rozważań niniejszego podrozdziału jest hipoteza cyklu życia i trwałego

dochodu.

Konsumpcja w warunkach pewności dotyczy sytuacji, gdy konsument posiada pełną informację

o poziomie średniego dochodu uzyskiwanego przez cały okres swojego życia. Celem konsumenta jest

maksymalizacja użyteczności dożywotniej przy danym ograniczeniu budżetowym. Oczywiście

założenie to jest dużym uproszczeniem rzeczywistości.

Będziemy rozważać zachowania konsumenta, który żyje T okresów i którego użyteczność

dożywotnia wynosi:

T

U = ∑ u( C , u'( C )

u

C

.

t

> ,

0

''(

)

t

< 0

t )

t =1

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna II

Przyjmujemy, że konsument posiada na początku pewien majątek A oraz że dane są jego

0

dochody ze wszystkich okresów jego życia, tj. Y

t

∀ ∈ ,

1 ,

2 ...,

. Zakładamy ponadto, że

t

{

T }

konsument może zaciągać pożyczki, z tym jednak zastrzeżeniem, że musi je spłacić w całości do

końca swojego życia. Uzyskiwane dochody może natomiast przeznaczyć na konsumpcję lub

zaoszczędzić. Przy danych założeniach prawdziwa staje się nierówność:

∑ T

T

C

A

Y ,

t ≤

0 + ∑

t

t =1

t =1

przy czym lewa strona tej nierówności oznacza konsumpcję jednostki w ciągu całego jej życia,

a prawa strona to całość zasobów jednostki w okresie jej życia, stanowiąca jej ograniczenie

budżetowe.

Ponieważ przyjęliśmy wcześniej założenie o dodatniej krańcowej użyteczności konsumenta

( u'( C )

), więc ograniczenie budżetowe jest spełnione w postaci równości:

t

> 0

∑ T

T

C

A

Y .

t =

0 + ∑

t

t =1

t =1

W rozważanej sytuacji zadanie maksymalizacji użyteczności dożywotniej konsumenta możemy

zatem zapisać w postaci:

Szukamy:

T

max U = ∑ u C

(

) ,

t

t =1

przy ograniczeniu:

∑ T

T

C

A

Y .

t =

0 + ∑

t

t =1

t =1

Do znalezienie rozwiązania tego zadania stosujemy funkcję Lagrange’a, która w danym przypadku ma

następującą postać:

T



T

T



L = ∑ u C

(

)

λ A

Y

C

.

t

+  0 + ∑ t − ∑ 

t

t =1



t =1

t =1



Gdy policzymy pochodne cząstkowe dla funkcji Lagrange’a i przyrównamy je do zera, to otrzymamy

następujący warunek konieczny znalezienia optimum dla C :

t

u'( C )

t

∀ ∈{ ,1 ,

2 ..., T }.

t

= λ

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna II

Warunek ten musi być spełniony dla każdego t . Wynika stąd, że krańcowa użyteczność konsumpcji

jest stała. Ponieważ jednak użyteczność krańcowa konsumpcji jest wyznaczona w sposób

jednoznaczny przez poziom konsumpcji, stąd otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek:

Jeżeli użyteczność krańcowa konsumpcji jest stała, to konsumpcja też jest stała, tzn.:

C

, czyli

1 = C

= ...

2

= CT

∑ TC T C .

t =

⋅ t

t =1

Podstawiając ostatnią równość do równania ograniczenia budżetowego konsumenta, otrzymujemy:

1 

T



C

A

Y

.

t =

 0 + ∑ 

T 

t

t =1



Oznacza to, że konsument dochód uzyskany w okresie całego swojego życia dzieli na T równe części, które przeznacza na konsumpcję.

Wniosek:

Poziom konsumpcji (w warunkach pewności) jednostki w danym okresie t nie zależy od

otrzymywanego w tym okresie dochodu Y , ale od wielkości dochodu z całego okresu jej życia, tj.

t

T

A

.

0 + ∑ Yt

t =1

Rozważymy teraz przypadek konsumpcji w warunkach niepewności. Konsumpcja w warunkach

niepewności oznacza, że konsument optymalizuje konsumpcję okresowo, co oznacza, że w każdym

okresie swojego życia dokonuje odrębnego wyboru optymalnej konsumpcji na podstawie dostępnych

wówczas informacji. Podobnie jak w przypadku konsumpcji w warunkach pewności zakładamy, że

konsument może zaciągać pożyczki, które musi jednak spłacić do końca swojego życia oraz że znamy

jego majątek początkowy A oraz rozkład jego przyszłych dochodów Y ( t = ,

1 ,

2 ..., T ). Przy tych

0

t

założeniach równanie ograniczenia budżetowe konsumenta w warunkach niepewności ma identyczną

postać jak poprzednio, czyli:

∑ T

T

C

A

Y .

t =

0 + ∑

t

t =1

t =1

Jeżeli przyjmiemy kwadratową postać funkcji chwilowej użyteczności u , wówczas konsument

będzie maksymalizował wartość oczekiwaną użyteczności dożywotniej, tzn.:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna II

 T 

a



E U

( ) = E∑ C

C 2

, a > 0 .

t −



t





2

t =1 



O funkcji chwilowej użyteczności zakładamy dodatkowo, że ma dodatnią pierwszą pochodną, czyli że

krańcowa użyteczność konsumpcji jest dodatnia.

Rozważmy teraz sytuację, w której poziom konsumpcji C wybrany przez konsumenta

1

w pierwszym okresie spada o wielkość ∆ C , o którą następnie wzrasta poziom konsumpcji w innym

późniejszym okresie. O ile jednostka zachowuje się racjonalnie i postępuje zgodnie z zasadą

optymalizacji, wówczas opisana sytuacja nie będzie miała wpływu na wartość oczekiwaną

użyteczności dożywotniej U . Użyteczność krańcowa konsumpcji dla pierwszego okresu wynosi

du = 1− aC , jednak na skutek spadku poziomu konsumpcji o ∆ C , konsument ponosi koszt 1

dC 1

w postaci obciążenia użyteczności wynoszący (1 − aC

. Spadek konsumpcji, a tym samym

1 )

C

∆

spadek jej użyteczności, mający miejsce w pierwszym okresie, konsument zrekompensuje sobie

w przyszłym okresie t w postaci zwiększonego poziomu planowanej konsumpcji C o ∆ C i wiążącej t

się z tym korzyści dla użyteczności wynoszącej E [ 1

(

, gdzie E

- wartość oczekiwana

1 [ ]

⋅

1

− aC )∆ C

t

]

uwarunkowana informacjami dostępnymi w okresie pierwszym. Ponieważ założyliśmy, że konsument

dokonując wyborów kieruje się zasadą optymalizacji, to koszty ponoszone przez konsumenta

w pierwszym okresie, wynikające ze zmiany poziomu konsumpcji, muszą być równe korzyściom

uzyskiwanym w okresie późniejszym, tzn.:

(1− aC

,

1 )∆ C = E 1 [ 1

( − aC )∆ C

t

]

a więc:

(1− aC

.

1 ) = E 1 [1 − aCt ]

Korzystając z własności wartości oczekiwanej otrzymujemy:

1 − aC = 1 − aE

,

1

1 [ Ct ]

Ostatecznie mamy:

C = E

, dla t =

,

3

,

2

..., T .

1

1 [ Ct ]

Oznacza to , że wartość oczekiwana konsumpcji w okresie t równa się konsumpcji z okresu pierwszego.

Ponieważ konsumpcja w ciągu całego życia spełnia ograniczenie budżetowe, więc oczekiwania po

obu stronach ograniczenia muszą być sobie równe, czyli:

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna II

 T





T



E

.

1 ∑ C

E A

Y

t  =

1 

0 + ∑

t 

 t=1





t =1



Z własności wartości oczekiwanej mamy:

∑ T E

.

1[ C

A

E Y

t ]

T

= 0 + ∑ 1[ t ]

t=1

t=1

Ponieważ jednak E C

= C , to:

1 [

t ]

1

T

T

1

TC

.

1 = A 0 + ∑ E 1 [ Y

C

A

E Y

t ]



⇒

1 =

0 + ∑

1 [ t ]





1

T

t =



t =1



1

Oznacza to, że jednostka przeznacza na konsumpcję

część swoich oczekiwanych zasobów całego

T

życia.

Z przeprowadzonych przed chwilą rozważań na temat konsumpcji w warunkach niepewności

wynika, że E C

= C . Okazuje się, ze wynik ten można uogólnić, a mianowicie:

1 [

2 ]

1

E

C

C

, ( t =

,

3

,

2

..., T ).

t

t

=

1

− [

] t 1−

Wynika stąd, że w każdym okresie konsumpcja oczekiwana na najbliższy okres równa się konsumpcji

bieżącej. Z definicji oczekiwań:

C = E

C

−

,

1

+ e

t

t

[ t ] t

przy czym:

e - zmienna losowa, dla której E

e

,

t −

t

=

1 [

] 0

t

i z równości E

C

C

mamy:

t

t

=

1

− [

] t 1−

C = C −

.

1 + e

t

t

t

Otrzymany wynik prowadzi do wniosku sformułowanego przez Hall’a w 1978r.

Wniosek:

Przyjęcie hipotezy cyklu życia i trwałego dochodu implikuje twierdzenie, że konsumpcja

w warunkach niepewności kształtuje się zgodnie z procesem błądzenia losowego.

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna II

5.3. Model konsumpcji i oszczędności związanych z cyklem życia

Rozważmy konsumpcję (w warunkach pewności) jednostki żyjącej T okresów. Podstawowym

założeniem prostego modelu konsumpcji i oszczędności związanych z cyklem życia jednostki jest

potraktowanie oszczędności jako przyszłej konsumpcji. Znaczy to tyle, że jednostka podejmując

decyzję o podziale dochodu pomiędzy konsumpcję a oszczędności, w istocie dokonuje wyboru

pomiędzy możliwością bieżącej lub przyszłej konsumpcji. Kieruje się przy tym indywidualnymi

preferencjami oraz informacjami o perspektywach konsumpcji w przyszłości. I tak np. jednostka, dla której wyjazd na wczasy w okresie wakacyjnym jest ważniejszy od wyjazdu na narty, w chwili bieżącej,

czyli w zimie, będzie oszczędzać by móc w sierpniu wyjechać na wymarzone, wcześniej zaplanowane

wakacje.

Z przyjętej w poprzednim podrozdziale hipotezy permanentnego dochodu Friedmana wynika, że

rozkład dochodu z całego życia jednostki nie jest istotny dla konsumpcji. Ma jednak podstawowe

znaczenie dla oszczędności. Jeżeli założymy, że konsument cały swój dochód przeznacza częściowo

na konsumpcję i częściowo na oszczędności, tj.:

Y = C + S ,

t

t

t

wówczas jego oszczędności w okresie t możemy zapisać w postaci różnicy pomiędzy dochodem

a konsumpcją:

1

T







1 T



1

S = Y − C = Y −

 A + ∑ Y 

τ

=  Y − ∑ Y 

τ

− A .

t

t

t

t

0

t

0

T 

τ =





T τ =

 T

1

1

Wynika stąd, że oszczędności w okresie t są tym wyższe, im wyższa jest różnica między

T

1

otrzymanym w tym okresie dochodem Y a trwałym dochodem

∑ Y . Zatem, gdy dochód

t

t

T t=1

przejściowy konsumenta jest wysoki, wówczas konsumuje on mniej a więcej oszczędza. W przypadku,

gdy dochód bieżący jest mniejszy od trwałego, oszczędności S przyjmują znak ujemny. Oznacza to,

t

że konsument korzysta z wcześniej nagromadzonych oszczędności lub zaciąga pożyczkę, aby móc

zrealizować swój plan konsumpcji. Oszczędności i pożyczki są narzędziem do wygładzenia ścieżki

konsumpcji.

5.4. Konsumpcja a dochody bieżące i trwałe

Za punkt wyjścia przyjmujemy hipotezę cyklu życia i trwałego dochodu, z której wynika, że na

wybór ścieżki konsumpcji przez jednostkę największy wpływ ma prognoza przyszłych dochodów

w długim horyzoncie czasu. Jednostka swoją decyzję o zmianie (obniżeniu lub zwiększeniu)

dotychczasowego poziomu konsumpcji w znacznym stopniu uzależnia od spodziewanego wzrostu

bądź spadku dochodów. Dla przykładu, weźmy młodą rodziną, której wszyscy członkowie posiadają

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna II

wyższe wykształcenie oraz każdy posiada możliwość awansu i zrobienia kariery zawodowej. Rodzina

ta, krótko podsumowując, to rodzina z perspektywami na przyszłość, dlatego też pomimo swoich

niskich początkowo zarobków, ustali swoją konsumpcję na dość wysokim poziomie, gdyż

w oczekiwaniu na wzrost dochodów w przyszłości, zdecyduje się na zaciągnięcie kredytu, który

pomoże w podniesieniu bieżącego standardu życia. Zupełnie inaczej wygląda sytuacja w przypadku

rodziny, której członkowie nie mają wyższego wykształcenia ani większych możliwości awansu, a tym

samym możliwości lepszych zarobków. Perspektywy zawodowo-zarobkowe w przypadku tej rodziny

są o wiele skromniejsze. Nie może więc ona sobie pozwolić na zaciąganie kredytów, których spłata w znaczącym stopniu obciążyłaby ich przyszłe dochody.

Zgodnie z hipotezą cyklu życia i trwałego dochodu poziom konsumpcji w pierwszym okresie życia

jednostki, gdy żyje ona jeszcze na koszt rodziców lub gdy zaciąga kredyty, aby móc zaspokoić

charakterystyczne dla tego okresu potrzeby, znacznie przewyższa poziom uzyskiwanych przez nią

dochodów bieżących jak również poziom dochodu permanentnego. Wraz z upływem czasu, po

podjęciu pracy dochody rozporządzalne jednostki zaczynają rosnąć i wystarczają na pokrycie kosztów

związanych z konsumpcją. Konsument zaczyna wówczas zdawać sobie sprawę z istnienia

permanentnego dochodu i potrafi określić w przybliżeniu jego poziom. Zazwyczaj poziom dochodów

permanentnych jest na tym etapie niższy od dochodów bieżących. Po przejściu do kolejnej fazy cyklu

życia, wielkość konsumpcji, poziom dochodów bieżących oraz poziom dochodu permanentnego

rosną, jednak tempo ich wzrostu oraz wahania różnią się. Z chwilą, gdy jednostka znajdzie się

w wieku przedemerytalnym, poziom jej dochodów permanentnych zaczyna spadać, a następnie spada

poziom jej konsumpcji. Wiąże się to z tym, że konsument spodziewa się spadku przyszłych dochodów

bieżących. Po przejściu na emeryturę lub rentę i zakończeniu pracy, dochody bieżące konsumenta

gwałtownie spadają i stają się niewystarczające dla sfinansowania bieżącej konsumpcji. Natomiast

jeżeli chodzi o dochody permanentne, to nieznacznie przewyższają konsumpcję, a ich główne źródła

to świadczenia społeczne oraz wcześniej nagromadzone oszczędności i aktywa. W całym cyklu życia

najbardziej stabilna jest konsumpcja, a najmniej bieżące dochody.

Opisane wyżej prawidłowości kształtowania się poziomu konsumpcji, dochodów bieżących

i dochodów permanentnych w różnych fazach cyklu życia jednostki przedstawia rysunek 5.1.

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna II

bieżące dochody

dochody permanentne

konsumpcja

jacpmusno

i kydohcoD

20 30 40 50 60 70 80 90 t

Rys. 5.1. Zmiany w poziomach konsumpcji, dochodów bieżących oraz dochodów permanentnych

podczas całego cyklu życia jednostki

5.5. Prosta i odroczona funkcja konsumpcji

We wszystkich omawianych przez nas modelach gospodarki, konsumpcja C traktowana jest jako

część zagregowanego popytu AD . Wynika stąd, że konsumpcja C zależy od dochodu Y lub inaczej mówiąc konsumpcja C jest funkcją dochodu Y . Funkcja konsumpcji pokazuje zatem zależność pomiędzy poziomem konsumpcji gospodarstw domowych C a wielkością osiąganych przez nie

dochodów Y . W kategoriach bieżącej konsumpcji i dochodu, prosta funkcja konsumpcji może być zapisana w następującej postaci ogólnej:

C = C( Y ) .

O funkcji konsumpcji zakładamy, że jest ciągła i różniczkowalna. Jej dziedzinę stanowi zbiór

wszystkich nieujemnych wartości Y , a przeciwdziedzinę zbiór wartości z pewnego przedziału

wielkości nieujemnych. Pierwsza pochodna funkcji konsumpcji po Y określa krańcową skłonność do

konsumpcji:

dC

c =

, przy czym 0 < c < 1

dY

i zmienia się wraz ze zmianami w poziomie dochodu Y , oprócz przypadku liniowego dla którego jest

stała ( c = const ).

Ograniczenie c > 0 oznacza, że konsumpcja rośnie wraz ze wzrostem dochodu, natomiast c < 1 , że nie przeznaczamy każdej dodatkowej jednostki dochodu w całości na konsumpcję. Ponadto

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna II

zakładamy, że część dochodu, która nie zostaje skonsumowana, jednostka przeznacza na

oszczędności S . Oszczędności S podobnie jak konsumpcja C jest funkcją dochodu Y , a mianowicie:

S ( Y ) = Y − C( Y ) .

Pierwsza pochodna funkcji oszczędności wyraża krańcową skłonność do oszczędzania:

dS

s =

, przy czym s = 1 − c oraz 0 < s < 1 .

dY

Łatwo widać, że z funkcji konsumpcji możemy wyznaczyć funkcję oszczędności i na odwrót, a więc

obie funkcje zawierają dokładnie taką samą informację.

Uwaga:

Funkcja konsumpcji C oraz funkcja oszczędności S mogą być wyrażone w kategoriach dochodu

netto albo dochodu brutto. Najczęściej przyjmuje się jednak, że konsumpcja (oszczędności) jest

funkcją dochodu netto.

Szczególnym przypadkiem prostej funkcji konsumpcji jest dobrze nam znany przypadek liniowej

funkcji konsumpcji:

C = α + β Y ,

gdzie:

α (α > 0) - niezależny od dochodu poziom konsumpcji (popyt autonomiczny),

β ≡ c ( 0 < β < 1) - krańcowa skłonność do konsumpcji.

Interpretacja prostej funkcji konsumpcji jest łatwa i zrozumiała dla wszystkich, nie odzwierciedla

jednak faktycznego zachowania konsumentów. Z postaci prostej funkcji konsumpcji wynika m.in., że

poziom cen dóbr i usług nie odgrywa żadnej roli w kształtowaniu poziomu konsumpcji, chociaż

w rzeczywistości wcale tak nie jest. Prosta funkcja konsumpcji nie uwzględnia ponadto rozkładu

dochodu Y w czasie.

Nieco łagodniejsze założenia przyjmuje się w przypadku tzw. odroczonych funkcji konsumpcji,

które uzależniają bieżącą konsumpcję nie od dochodu bieżącego, ale od jakiegoś dochodu lub

dochodów z przeszłości. Najprostszy przykład odroczonej funkcji konsumpcji to funkcja

z jednookresowym opóźnieniem, w której konsumpcja w okresie t zależy od dochodu z poprzedniego

okresu i zapisujemy ją w postaci:

C

C Y

,

t =

(

)

t 1

−

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna II

gdzie:

C - konsumpcja w okresie t

t

Y

- dochody w okresie poprzedzającym okres t .

t 1

−

Jako najczęstsze przyczyny odroczeń jednookresowych wymienia się następujące zachowania

konsumentów:

- konsumenci odkładają dochód by móc go wydać w następnym okresie,

- konsumenci dokonują wyboru planów konsumpcji dla bieżącego okresu w oparciu

o przewidywania takiego samego bieżącego dochodu jak w okresie poprzednim.

Podobnie jak dla prostej funkcji konsumpcji, pierwsza pochodna funkcji konsumpcji z jednookresowym

opóźnieniem określa krańcową skłonność do konsumpcji:

c = dCt , ( 0 < c < 1).

dYt 1

−

Omówiona funkcja konsumpcji z jednookresowym opóźnieniem to przykład najprostszej funkcji

konsumpcji z odroczeniami. Funkcje konsumpcji o różnym okresie odroczeń, uzależniają konsumpcję

w bieżącym okresie od minionych dochodów.

Funkcję konsumpcji z odroczeniami możemy zapisać zatem w postaci ogólnej:

C

C Y Y

Y

Y

.

t =

( , ,..., ,

0

1

t −2

t 1

− )

Należy podkreślić, że dochody z poszczególnych okresów mają różny wpływ na poziom konsumpcji

w okresie bieżącym. Dlatego przypisuje się im relatywne wagi, które można łatwo określić za pomocą

krańcowych skłonności do konsumpcji:

C

∂ t

c =

, dla r = ,

1

,

3

,

2

... ,

r

Y

∂ t− r

przy czym:

∞

c

, ∑ c

.

r < ∞

r ≥ 0

r =1

Przez c = c

rozumiemy w tym przypadku ogólną krańcową skłonność do konsumpcji.

1 + c

+ ...

2

+ ct

Sens c jest następujący: jeżeli wszystkie minione dochody podniesiemy o tę samą wielkość ∆ Y , to bieżąca konsumpcja wzrośnie o ∆ C = c∆ Y . Naturalne wydaje się zatem założenie: 0 < c < 1 .

Jeszcze wyraźniej koncepcję ogólnej krańcowej skłonności do konsumpcji pomoże zrozumieć

liniowa postać funkcji konsumpcji z odroczeniem rozłożonym:

C

C

c Y

c Y

c Y

t =

+

t − +

t −

+

t −

+ ...

0

1

1

2

2

3

3

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna II

Jeżeli przyjmiemy, że Y −

, tzn. wszystkie przeszłe dochody są równe

1 = Y −2 = Y −

= ...

3

= Y

t

t

t

i wynoszą Y , to daną funkcję konsumpcji możemy zapisać w następującej postaci:

C = C

,

0 + cY

t

gdzie:

c = c + c + c + ... .

1

2

3

W przypadku, gdy przeszłe dochody różnią się między sobą, wówczas rozkład krańcowych skłonności

do konsumpcji c ( r = ,

1

,

3

,

2

... ) określa nadane dochodom wagi.

r

Podsumowanie:

1. Przedstawione modele konsumpcji w swoich założeniach odnoszą się do rozłożenia w czasie

konsumpcji w zależności od dochodów i dotyczą indywidualnych jednostek konsumujących

(konsumenta bądź gospodarstwa domowego).

2. Hipoteza cyklu życia Modiglianiego i Ando daje się uogólnić dla potrzeb makroekonomicznej

analizy podziału dochodu narodowego pomiędzy konsumentów osiągających dochody

a konsumentów korzystających z zasiłków dla bezrobotnych, pobierających świadczenia

emerytalne bądź rentowe itp.

3. Funkcje konsumpcji są dużym uproszczeniem rzeczywistych zależności łączących konsumpcję

i dochody, przyjmują bowiem mało realne założenie znajomości rozkładu i poziomu dochodów

konsumenta w czasie całego jego życia.

4. Próbą urealnienia rozważań nad związkami konsumpcji i dochodów w czasie jest hipoteza

względnego dochodu.

5. Kredyty i oszczędności służą konsumentom jako narzędzia wygładzania ścieżki konsumpcji

bieżącej.

Pytania kontrolne:

1. Wymień i opisz hipotezy kształtowania się konsumpcji w czasie.

2. Na czym polega różnica między prostą i odroczoną funkcją konsumpcji?

3. Wyprowadź wzór na poziom konsumpcji w okresie t w zależności od poziomu dochodu

permanentnego.

4. Na czym polega efekt rygla w hipotezie relatywnego dochodu?

5. Zilustruj i opisz przebieg zmian w poziomach konsumpcji, dochodów bieżących oraz dochodów

permanentnych podczas całego cyklu życia jednostki.

6. Podaj funkcję oszczędności w modelu konsumpcji opartym na hipotezie ciągłego dochodu

w warunkach pewności.

dr Agnieszka Bobrowska

12

Ekonomia matematyczna II