Temat wykładu:
Ciąg liczbowy. Granica ciągu Kody kolorów:
Ŝółty – nowe pojęcie
pomarańczowy – uwaga
kursywa – komentarz
* – materiał nadobowiązkowy
1
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Zagadnienia
1. Przykłady ciągów, definicja ciągu 2. Pojęcie granicy ciągu
3. Ciąg zbieŜny, rozbieŜny do ∞
4. Twierdzenia o granicach ciągów 2
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Idea ciągu
3
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
4
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 1. Ciąg ulubieńców: 1.
2.
3.
5
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 2. Ciąg czynności
wykonywanych podczas robienia deseru:
1. ułoŜyć warstwę biszkoptów 2. posypać kakao
3. nałoŜyć warstwę kremu
4. posypać kakao
5. ułoŜyć warstwę biszkoptów 6. posypać kakao
7. nałoŜyć warstwę kremu
6
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 3a. Ciąg kolejnych liczb pierwszych mniejszych od 10: 1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
ciąg liczbowy skończony
7
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 3b. Dwa róŜne ciągi liczb pierwszych mniejszych od 10: 1.
2.
3.
4.
2
3
5
7
1.
2.
3.
4.
2
5
3
7
8
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykłady ciągów
Przykład 4. Ciąg kolejnych liczb parzystych dodatnich
1.
2.
3.
4.
...
2
4
6
8
...
ciąg liczbowy nieskończony
9
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Wprowadzenie do definicji ciągu Określenie ciągu:
1.
2.
3.
...
A
B
C
...
10
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja ciągu (1a)
Jeśli kaŜdej z liczb naturalnych: 1, 2, 3, ...
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony ciąg (nieskończony) tych liczb rzeczywistych.
11
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Definicja ciągu (1b)
Jeśli kaŜdej z liczb naturalnych: 1, 2, 3, ..., m
została przyporządkowana
dokładnie jedna liczba
rzeczywista, to został określony ciąg (skończony) tych liczb
rzeczywistych.
12
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i oznaczenia
1.
2.
3.
...
a
a
a
...
1
2
3
JeŜeli liczbom naturalnym
1, 2, 3, ...
przyporządkowano liczby
a , a , a , ...
1
2
3
to został określony ciąg, który oznaczamy: (an ) lub {an }.
13
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i oznaczenia
a – 1-szy wyraz ciągu
1
a – 2-gi wyraz ciągu
2
itd.
an – n-ty wyraz ciągu
14
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
a
2
n = n +1
indeks wyrazu
a
n – wyraz ogólny ciągu
Czytamy:
ciąg o wyrazie ogólnym n 2
+1
15
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
16
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
a
1
=
n
n
17
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
a
1
=
n
n
n
1 2 3 4 ...
a
an →
n
1 1/2 1/3 1/4 ...
0
18
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 1.
a
1
=
n
n
n
1 2 3 4 ...
a
an →
n
1 1/2 1/3 1/4 ...
0
a
0
gdy
n →
,
n → ∞
19
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1 - wykres
20
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 1 - wykres
a
1
=
n
1
2
3
4
n
n
an
1
1/2 1/3 1/4
1,5
a n
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
n
a
0
gdy
n →
,
n → ∞
21
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
a = n
n
22
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 2.
a = n
n
n
1 2 3 4 ...
a
n
1 2 3 4 ...
a
gdy
n → ∞,
n → ∞
23
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 2 - wykres
a = n
n
1
2
3
4
n
an
1
2
3
4
5
4
a n 3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
n
a
gdy
n → + ∞,
n → ∞
24
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Dokąd zmierzasz ciągu?
Przykład 3.
a
n
= (−
+1
)
1
⋅ n
n
25
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Przykład 3 - wykres
a
n
= (−
+1
)
1
⋅ n
n
1
2
3
4
n
an
1
- 2
3
- 4
3
a n2
1
0
-1 0
1
2
3
4
5
6
-2
-3
n
-4
an → ?
26
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an → 0
znaczenie:
wyrazy an zbliŜają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dąŜy do 0
27
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an → 0
znaczenie:
wyrazy an zbliŜają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dąŜy do 0
wartość graniczna, granica 28
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia na przykładzie
Zapis:
an → 0
znaczenie:
wyrazy an zbliŜają się do 0
czytamy:
ciąg (an) dąŜy do 0
lub
granicą ciągu (an) jest liczba 0
29
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
an → 0
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba 0
limes (łac.) – granica
30
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Oznaczenia na przykładzie
Zapis:
an → 0
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba 0
limes (łac.) – granica
zapis:
lim an = 0
n→ ∞
31
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica ciągu – oznaczenia
Ogólniej:
a → g
n
czytamy:
granicą ciągu (an) jest liczba g zapis:
lim a = g
n
n→ ∞
32
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Granica ciągu –
przedstawienie graficzne
33
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
*
Definicja granicy ciągu
Dla danego ciągu (an )
def
lim an = g ⇔
an − g < ε
n→∞
∀ ∃+ ∀
ε >0 k∈N
n >k
34
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów 35
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów lim 1
(1)
n = 0
n→ ∞
lim c = c ,
c = const, c ∈ R
(2)
n → ∞
36
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest liczba skończona, to mówimy, Ŝe ciąg ma granicę właściwą.
Ciąg taki nazywamy zbieŜnym.
Przykłady:
a
1
)
a
=
n
n
b)
bn = 2
37
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Ciąg dąŜący do ∞
38
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Definicja ciągu dąŜącego do + ∞
Dla danego ciągu (an )
def
lim a = + ∞ ⇔
a > M
→∞
∀ ∃+ ∀
n
n
n
M R
∈
k N
∈
n >k
39
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Definicja ciągu dąŜącego do - ∞
Dla danego ciągu (an )
def
lim a = − ∞ ⇔
a < M
→∞
∀ ∃+ ∀
n
n
n
M R
∈
k N
∈
n >k
40
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów lim n = + ∞
(3)
n→ ∞
lim (− n) = − ∞
(4)
n→ ∞
41
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granicą ciągu jest + ∞ lub – ∞, to mówimy, Ŝe ciąg ma granicę niewłaściwą.
Ciąg taki nazywamy rozbieŜnym do + ∞ lub – ∞.
Przykłady:
a)
a = n
n
b)
b = −n
n
42
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Terminologia i przykłady
Gdy granica ciągu nie istnieje, to mówimy, Ŝe ciąg jest rozbieŜny.
Przykłady:
)
a
a = −
+1
1
⋅
n
( )n n
b)
b = (− )n
1
n
43
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów lim nk = + ∞ ,
gdy k > 0
(5)
n→ ∞
lim k n = + ∞ ,
gdy k > 1
(6)
n→ ∞
lim k n = 0 ,
gdy k < 1
(7)
n→ ∞
44
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Twierdzenia o granicach ciągów Ogólniej:
lim a k
(8)
n
= + ∞ , gdy an → + ∞ , k > 0
n → ∞
lim k an = + ∞ , gdy a
(9)
n → + ∞ , k > 1
n → ∞
lim k an = 0 , gdy a
(10)
n → + ∞ ,
k < 1
n → ∞
45
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o granicach ciągów lim ( + 1
1
=
n ) n
e
(11)
n→ ∞
Ogólniej:
lim (1+ 1
gdy
(12)
n ) an
e ,
a
a
=
n → + ∞
n → ∞
46
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbieŜnych JeŜeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n
n
n→ ∞
n→ ∞
są skończone, to:
lim a
(
+ b ) = a + b
(13)
n
n
n→ ∞
47
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbieŜnych JeŜeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n
n
n→ ∞
n→ ∞
są skończone, to:
lim a
(
− b ) = a − b
(14)
n
n
n→ ∞
48
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbieŜnych JeŜeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n
n
n→ ∞
n→ ∞
są skończone, to:
lim a
(
⋅ b ) = a ⋅ b
(15)
n
n
n→ ∞
49
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Twierdzenia o ciągach zbieŜnych JeŜeli lim a = a , lim b = b oraz a, b n
n
n→ ∞
n→ ∞
są skończone, to:
a
a
lim
n =
,
gdy
b
(16)
n ≠
b
→
n
∞
∀ ≠ 0 oraz ≠ 0
∀+
b
b
n
n
∈ N
50
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
* Twierdzenie o trzech ciągach JeŜeli
lim a = g , lim c = g , a ≤ b ≤ c , n
n
n
n
n
n→ ∞
n→ ∞
to:
lim b = g
(17)
n
n→ ∞
51
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbieŜnych do ∞
JeŜeli lim a
b
to
n = + ∞ , lim
n = + ∞ ,
n→ ∞
n→ ∞
lim (a
b
(18)
n +
n ) = + ∞
n→ ∞
JeŜeli lim a
b
to
n = − ∞ , lim
n = − ∞ ,
n→ ∞
n→ ∞
lim (a
b
n +
n ) = − ∞
n→ ∞
(19)
52
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbieŜnych do ∞
JeŜeli lim a = + ∞ ,
lim b = b ,
n
n
n→ ∞
n→ ∞
b - skończona, to lim (a
b
(20)
n +
n ) = + ∞
n→ ∞
JeŜeli lim a = − ∞ ,
lim b = b ,
n
n
n→ ∞
n→ ∞
b - skończona, to lim (a
b
(21)
n +
n ) = − ∞
n→ ∞
53
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW
Tw. o ciągach rozbieŜnych do ∞
JeŜeli lim a = a , a – skończona n
n→ ∞
i a ≠ 0 , oraz
b
to
(22)
n = ±
lim
∞ ,
n→ ∞
lim (a b
znak zgodny z regułą znaków
n ⋅
n ) = ± ∞
→
n
∞
JeŜeli lim a = a , a – skończona, n
n→ ∞
a
lim b
to lim
n
= 0
(23)
n = ±∞ ,
n→ ∞
n→ ∞ bn
54
Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW