Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ
Geometria analityczna.
1
Chemia - Zestaw nr 13. Geometria analityczna w
3
R
Płaszczyzna w R3:
1. równanie ogólne: π : A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0, gdzie v = [A, B, C] ⊥ π, zaś (x0, y0, z0) ∈ π.
Prosta w
3
R :
x = x0 + at
1. przedstawienie parametryczne:
l :
y = y0 + bt ,
gdzie p0 = (x0, y0, z0) ∈ l, zaś v = [a, b, c]kl;
z = z0 + ct
(czyli p = p0 + vt)
x − x0
y − y0
z − z0
2. równanie kierunkowe: l :
=
=
,
gdzie (x0, y0, z0) ∈ l, [a, b, c]kl.
a
b
c
A
3. przedstawienie krawędziowe: l :
1x + B1y + C1z + D1 = 0 , gdzie [A
A
1, B1, C1]×[A2, B2, C2] 6=
2x + B2y + C2z + D2 = 0
0, czyli te dwa wektory nie są do siebie równoległe (nie są proporcjonalne);
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
1. Odległość punktu (x0, y0, z0) od płaszczyzny Ax+By+Cz+D = 0: d =
√A2 + B2 + C2
2. Odległość dwóch danych prostych l1 : p = p1 + u1t i l2 : p = p2 + u2t:
|(u
|[u
d =
1 × u2) · (p1 − p2)| =
1, u2, p1 − p2]| gdy proste są skośne, tzn. licznik i mianownik we
|u1 × u2|
|u1 × u2|
wzorze są 6= 0;
|u
d =
1 × (p1 − p2)| gdy te proste są równoległe, tzn. ich wektory kierunkowe są równoległe
|u1|
(u2 = ku1).
1) Znaleźć równanie płaszczyzny H,
a) przechodzącej przez punkt P (1, 5, 1) i równoległej do wektorów u1 = [−2, 1, 3] i u2 = [1, 4, −1]; b) przechodzącej przez punkt P (2, 4, −1) i równoległej do płaszczyzny 2x − y − 3z − 1 = 0; c) przechodzącej przez punkt P (3, 5, 7) i prostopadłej do płaszczyzn H1 : x − y + 2z = 1 i H2 : 3x + y − z = −2;
d) przechodzącej przez punkty A(2, −1, 3), B(1, 4, 2) i równoległej do wektora u = [3, 1, 5]; e) przechodzącej przez punkty A(−1, 2, 4), B(2, 1, 3), C(3, −1, 5); x − 2
y + 1
z − 3
x − 1
y − 2
z + 3
f ) zawierającej proste l1 :
=
=
i l2 :
=
=
3
2
−2
3
2
−2
2) Znaleźć równanie (tzn. przedstawienie parametryczne z wyjątkiem ewentualnie punktu d) – gdzie można podać przedstawienie krawędziowe) prostej przechodzącej przez punkt P (2, 3, 1) oraz: a) prostopadłej do płaszczyzny π : 5x − 3y + 2z − 1 = 0;
x − y + z = 1
b) prostopadłej do prostych l1 :
i l
x + 2y + 3z = 2
2 : x = 3t, y = −1 + t, z = −t;
x − 1
y − 3
z
c) prostopadłej do prostej
=
=
i przecinającej prostą x = y = z;
2
2
−1
x + y = 0
x + 3y − 1 = 0
d) przecinającej proste l1 :
oraz l
(można podać w postaci
x − y + z + 4 = 0
2 :
y + z = 0
krawędziowej). Wskazówka: prosta przechodząca przez dany punkt i przecinająca daną prostą leży na płaszczyźnie przechodzącej przez ten punkt i tę prostą.
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ
Geometria analityczna.
2
x − 9y + 5z + 20 = 0
Odp.:
2x + y − 5z − 2 = 0
2x + 3y − z − 1 = 0
x + 5y + 4z − 3 = 0
3) Czy przez proste l1 :
i l
można poprowadzić
x + y − 3z = 0
2 :
x + 2y + 2z − 1 = 0
płaszczyznę?
4) Znaleźć rzut prostokątny punktu P (1, 2, −2) na płaszczyznę x − 2y + 3z − 1 = 0.
5) Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (1, 1, 0) względem płaszczyzny x + 2y − z = 0.
6) Znaleźć rzut prostokątny punktu P (3, 5, 4) na prostą l : x = −2t + 1, y = t, z = 5.
7) Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (1, 2, −2) względem prostej l : x = t, y = 2t − 3, z = −t + 2.
8) Znaleźć rzut prostokątny
x
y − 1
z + 1
a) prostej
=
=
na płaszczyznę x + y + z = 0.
2
−1
2
b) prostej x = 3 + t, y = −1 + 2t, z = 4 + 4t na płaszczyznę 2x + y + z − 7 = 0.
9) Znaleźć równanie prostej, przechodzącej przez P (1, 1, −2), prostopadłej do wektora [−1, 3, 4] i przex − 1
y + 4
z
cinającej prostą l :
=
=
.
2
−1
3
(Odp.: x = 1 + 2s, y = 1 − 6s, z = −2 + 5s.)
10) Znaleźć równanie prostej, przecinającej prostopadle proste: l1 : x = 1 + t, y = −1 − 2t, z = 3 − t
x + 4y − z = 0
i l2:
.
−2y + z + 1 = 0
Jaka jest odległość tych prostych (daje się policzyć co najmniej dwoma sposobami)?
11) Zbadać wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny π. Znaleźć sinus lub cosinus kąta między nimi: l : x = 2 + t, y = 2t, z = 0;
l : x = 1 − t, y = 1 + t, z = t;
a)
b)
π : x + 2y − 1 = 0;
π : x + z − 3 = 0;
x − y + z + 2 = 0,
c) l :
, π : x − 1 = 0;
x + y − z − 3 = 0;
x + y + 2z − 1 = 0,
d) l :
π : x + y + 1 = 0.
x + y − 2z + 3 = 0;
12) Zbadać wzajemne położenie par prostych; jeżeli leżą na jednej płaszczyźnie, to podać równanie tej płaszczyzny:
x + 2y − z + 3 = 0
l
1 :
x = 3t + 7
3x − y + z + 1 = 0
x − 1
y + 2
z − 5
a)
; b) l
y = 2t + 2
;
l
=
=
;
2x + 3y − 2z − 1 = 0
1 :
2 :
2
−3
4
l
2 :
z = −2t + 1
x + y − 2 = 0
1
x = t + 2
x = −
t + 3
2
c) l1 :
y = 2t + 1
l2 :
y = −t + 3
.
z = −2t
z = t − 2
13) Wykazać, że dane dwie proste przecinają się i znaleźć równanie dwusiecznych kątów, jakie tworzą między sobą:
a) l1 : x = 0, y = 1 + 3t, z = 1 − 4t oraz l2 : x = −6t, y = 1, z = 1 + 8t; b) l1 : x = 1 + 2t, y = 2t, z = t oraz l2 : x = 11 + 8s, y = 6 + 4s, z = 2 + s.
Wsk. Znaleźć wektory kierunkowe dla obu prostych o jednakowej długości – oraz ich sumę i różnicę.
Odp.: z = 4 − t, y = 1 + t, z = t oraz x = −1/2 + (7/2)t, y = −1/2 + (5/2)t, z = t (ewentualnie x = 3 + 7t0, y = 2 + 5t0, z = 1 + 2t0).
14) Dane są proste l1 : x/2 = y/3 = z oraz l2 : 2x + 3y + z − 8 = 0, x + 4y − 2z + 3 = 0. Znaleźć rzut prostokątny prostej l1 na płaszczyznę π, poprowadzoną przez prostą l2 równolegle do prostej l1. Odp.: x = −23/5 + 2t, y = −46/5 + 3t, z = t.
Chemia I sem. M.Twardowska, uzup. WZ
Geometria analityczna.
3
15) Znaleźć równania płaszczyzn równoległych, na których leżą proste l1 : x + y + z + 1 = 0, x − y +
z − 1 = 0 i l2 : x + 1 = 0, 2x − y − z − 1 = 0 oraz odległość między tymi płaszczyznami (będącą, w konsekwencji, również odległością między tymi prostymi). Porównać z odległością prostych, obliczoną bardziej bezpośrednio.
16) Znaleźć równanie prostej, równoległej do płaszczyzn H1 : 3x+12y−3z−5 = 0 i H2 : 3x−4y+9z+7 =
x + 5
y − 3
z + 1
0 i przecinającej proste l1 :
=
=
oraz l2 : x = 3 − 2t, y = −1 + 3t, z = 2 + 4t.
2
−4
3
(Odp.: x = −3 + 8t, y = −1 − 3t, z = 2 − 4t.)
17) Znaleźć odległość między prostymi:
x − 9
y + 2
z
x
y + 7
z − 2
a) l1 :
=
=
i l2 :
=
=
;
4
−3
1
−2
9
2
x + y + 1 = 0
x + y − z = 0
b) l1 :
i l
;
x − z + 1 = 0
2 :
y + z + 1 = 0
√
c) l1 : x = 3 + t, y = 1 − t, z = 2 + 2t i l2 : x = −s, y = 2 + 3s, z = 3s. (Odp.: 9 110/55).
x
y − 1
z
18) Przez rzut punktu A(2, −1, 1) na prostą l1 :
=
=
poprowadzić prostą prostopadłą do l1
1
−1
2
x − y − z + 2 = 0
i przecinającą prostą l2 :
x − 2y + 4 = 0