Jednorazowa spłata kredytu, a odsetki płatne po każdym okresie
Harmonogram spłaty tego kredytu: nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
0
100
2
1000
0,1
100
0
100
3
1000
0,1
100
0
100
4
1000
0,1
100
1000
1100
Σ
400
1000
1400
CF = (−1000, 100, 100, 100, 1100).
Odsetki w kolejnych okresach to 10% z 1000, a 1100 to suma raty kap. (= 1000) i „ostatnich” odsetek (= 100).
Kredyt 3.
Równe raty kapitałowe, ale odsetki płatne po każdym okresie
Harmonogram spłaty tego kredytu: nr
zadłużenie
st. ods.
odsetki
rata kap.
spłata
1
1000
0,1
100
250
350
2
750
0,1
75
250
325
3
500
0,1
50
250
300
4
250
0,1
25
250
275
Σ
250
1000
1250
CF = (−1000, 350, 325, 300, 275).
Raty kap. wynoszą 250 (czyli 1 z 1000); pierwsza spłata to 4
suma raty kap. i odsetek, a wi ęc wynosi 250 + 0,1 · 1000.
K. M. Przyłuski
MF 11
Kredyty: trochę teorii
n — liczba okresów płatności;
Dk — zadłużenie na koniec k-tego okresu, dla k = 1, . . . , n; D0 — zadłużenie na początku pierwszego okresu płatności, czyli kwota kredytu (koniec okresu „zerowego” utożsamiony z początkiem okresu pierwszego);
Ponieważ zadłużenie to „outstanding loan balance”, wielu autorów oznacza je symbolem Bk, a nie Dk.
Ik — odsetki należne na koniec k-tego okresu (k jak wyżej); CFk — przepływy pieni ężne (z punktu widzenia kredytodawcy): mogą nast ępować na początku pierwszego z okresów i na ko ńcu k-tego okresu (k jak wyżej); CF0 — ujemny przepływ, którego warość bezwzgl ędna to kwota zaciągni ętego kredytu;
CFk — nieujemne, dla k = 1, . . . , n, przepływy, czyli płatności („raty”) na ko ńcach okresów płatności; j — stopa odsetkowa odniesiona do okresu płatności.
Uwagi.
(1) Gdy ww. stopa zależy od okresu płatności (tzn.
od k), to oznaczamy ją przez jk. (2) Jeśli spłaty zadłużenia są dokonywane tylko na ko ńcu kolejnych okresów odsetkowych to można założyć, że okresy płatności oraz odsetkowe si ę pokrywają, a wtedy j = i (czyli APR/m).
(3) Jeśli spłaty zadłużenia są dokonywane w jednakowych odst ępach czasu co kilka (np. M) okresów odsetkowych, to za okres płatności można także uznać M-krotność okresu odsetkowego. Ale wtedy stosowne j = (1 + APR/m)M − 1.
K. M. Przyłuski
MF 12
Zadłużenie Dk na ko ńcu k-tego okresu jest równe zadłużeniu Dk−1 z okresu poprzedniego powi ększonemu o należne za ten okres odsetki Ik i pomniejszonemu o płatność („rat ę”) CFk, dla k = 1, . . . , n. Stąd Dk = Dk−1 + Ik − CFk,
dla k jak wyżej.
Rozpatrzmy pierwsze k okresów. Sumując stronami k pierwszych zależności na Dk otrzymujemy k
X
k
X
k
X
k
X
Dℓ =
Dℓ−1 +
Iℓ −
CFℓ.
ℓ=1
ℓ=1
ℓ=1
ℓ=1
Stąd wynika, że
k
X
k
X
Dk − D0 =
Iℓ −
CFℓ.
ℓ=1
ℓ=1
Zadłużenie na koniec k-tego okresu jest równe kwocie kredytu powi ększonej o należne za k okresów odsetki i pomniejszonej o sum ę dokonanych w tych okresach spłat.
W szczególności, dla k = n dług jest spłacony (czyli Dn = 0), a wi ęc
n
X
n
X
CFℓ = D0 +
Iℓ.
ℓ=1
ℓ=1
Oznacza to, że suma spłat („rat”) pokrywa kwot ę kredytu (dług pocz ˛
atkowy) oraz wszystkie należne odsetki.
K. M. Przyłuski
MF 13
Wykorzystujemy poniżej znany nam już związek Dk = Dk−1 + Ik − CFk,
dla k = 1, . . . , n.
Odsetki Ik należne na koniec k-tego okresu są równe iloczynowi (odniesionej do okresu płatności) stopy odsetkowej j oraz zadłużenia na koniec okresu poprzedniego. Oznacza to, że Ik = j · Dk−1, gdzie k = 1, . . . , n. Dlatego
Dk = (1 + j) · Dk−1 − CFk,
dla k jak wyżej.
Łatwo sprawdzamy, że dla każdego k = 0, 1, . . . , n, k
X
Dk = (1 + j)k · D0 −
(1 + j)(k−ℓ)CFℓ.
ℓ=1
Zadłużenie „początkowe” D0 (kwota kredytu) jest równe (liczbie dodatniej) −CF0, a zadłużenie „ko ńcowe” Dn (na ko ńcu ostatniego okresu płatności) musi być zerowe (kredyt spłacony po n okresach płatności). Czyli mamy warunki
„brzegowe” D0 = −CF0 oraz Dn = 0. Stąd podstawowy
zwi ˛
azek mi ędzy spłatami („ratami”) i stop ˛
a odsetkow ˛
a
dla kredytów :
n
X(1 + j)(n−ℓ)CFℓ = 0.
ℓ=0
Dzieląc obie strony przez (1 + j)n mamy równość n
X CFℓ = 0.
(1 + j)ℓ
ℓ=0
K. M. Przyłuski
MF 14