5. ODPOWIEDŹ USTALONA NA WYMUSZENIA OKRESOWE. (ćw. 11)

Celem ćwiczenia jest obserwacja przebiegów wyjściowych elektrycznych obwodów liniowych różniczkujących i całkujących przy wymuszeniu napięciowym o kształcie prostokąta, trójkąta i sinusoidy. Stosowanie różnych metod analizy stanu ustalonego przy wymuszeniach okresowych. Porównanie wyników obserwacji i obliczeń teoretycznych.

Odpowiedź ustalona obwodu na wymuszenie okresowe jest też okresową funkcją czasu. Stosuje się przy tym następujące tzw. metody w dziedzinie czasu, w dziedzinie częstotliwości oraz w dziedzinie zmiennej zespolonej.

Przykład

Podać równanie przebiegu napięcia na rezystorze (rys. 11.1) dla impulsowego wymuszenia napięciowego o kształcie prostokąta działającego w szeregowym układzie RL.

Dane:
,

Szukane:

W dziedzinie czasu funkcja odpowiedzi napięcia wyraża się zależnością:

• dla przedziału
  

0. 
   

• dla przedziału
  




Stałe całkowania A i B można obliczyć wykorzystując ciągłość funkcji prądu w punktach nieciągłości funkcji napięcia (komutacji), mianowicie




Wykorzystawszy warunki ciągłości uzyskuje się układ równań względem stałych całkowania




oraz wstawiwszy dane otrzymuje się




stąd odpowiedź ma postać




W kolejnych okresach przebieg powtarza się.

6. BADANIE UKŁADU HUMMELA. (ćw. 12)

Układ ummela umożliwia osiągnięcie różnicy faz między napięciem zasilającym
(rys. 12.1) a prądem płynącym przez impedancję
równą
, poprzez odpowiednią dobraną wartość rezystancji R. Układ ten stosowany jest w metrologii elektrycznej do budowy waromierzów, mierników mierzących moc bierną.




W tym stanie układ spełnia warunek
, stąd transmitancja napięciowo-prądowa
.




Zagadnienie sprowadza się do doboru rezystancji
z obwodu przedstawionego na rys.12.1. Dla rozpatrywanego obwodu, zgodnie z prawami Kirchhoffa, można napisać układ równań





Stosując podstawienie (12.2) i (12.3) do (12.1) otrzyma się




oraz dzieląc stronami przez
uzyska się transmitancję napięciowo-prądową




Niech
i
to




Korzystając z warunku, że
uzyska się


Ponieważ
to
, stąd
lub
.

Można stwierdzić, że gdy reaktancje
mają charakter indukcyjny wówczas napięcie U wyprzedza w fazie prąd
o
. Natomiast jeżeli reaktancje
mają charakter pojemnościowy to, napięcie U opóźnia się w fazie o
względem prądu
.

7. OBWODY MAGNETYCZNE ROZGAŁĘZIONE. (ćw. 13)

Obwód magnetyczny to specjalnie uformowana droga dla przepłynięcia strumienia magnetycznego, zwykle z materiałów ferromagnetycznych, wraz z zespołami elementów do wytworzenia strumienia magnetycznego, najczęściej w postaci uzwojenia.

Między obwodami elektrycznymi i obwodami magnetycznymi występują analogie:

- wymuszenia:


gdzie:

- wartość chwilowa obwodowego wymuszenia napięciowego;


- wartość chwilowa magnetycznego wymuszenia napięciowego równa tzw. przepływowi uzwojenia
wraz z pozostałością magnetyczną magnetowodu;


- chwilowa wartość prądu uzwojenia źródła pola magnetycznego;


- liczba zwojów uzwojenia;

- odpowiedzi:
,
;

gdzie
- wartość chwilowa gałęziowej odpowiedzi prądowej;


- wartość chwilowa strumienia magnetycznego gałęzi magnetowodu; w przypadku występowania na gałęzi uzwojenia o
zwojach wartość chwilowa strumienia pojedynczego zwoju, czyli wartość chwilowa tzw. strumienia skojarzonego z uzwojeniem
do liczby zwojów uzwojenia
;


- wartość chwilowa odpowiedzi napięciowej na elemencie oczka obwodu elektrycznego;


- wartość chwilowa napięcia magnetycznego na elemencie oczka magnetowodu;

- równania polowo-obwodowe elementu obwodu:


=>
;
=>


gdzie:
- rezystancja elementu obwodu elektrycznego,


- reluktancja elementu obwodu magnetycznego,


- konduktancja elementu obwodu elektrycznego;


- permeancja elementu obwodu magnetycznego;


- długość linii sił pola, dla elementu o jednorodnym rozkładzie linii sił pola, długość przewodnika lub długość magnetowodu;


- powierzchnia pola przekroju poprzecznego przewodnika lub elementu magnetowodu,


- stała materiałowa przewodnika tzw. konduktywność przewodnika,


- stała materiałowa magnetowodu tzw. przenikalność magnetyczna magnetowodu równa iloczynowi przenikalności bezwzględnej próżni

i przenikalności względnej materiału magnetowodu
.

Prawa obwodów magnetycznych są analogiczne do znanych praw obwodów elektrycznych: Kirchhoffa (1845r.) i Ohm'a (1826r.)




Jeżeli magnetowód jest wykonany z materiału diamagnetyku lub paramagnetyku to powyższy układ równań można rozwiązać algebraicznie. Natomiast jeśli magnetowód wykonany jest z materiału ferromagnetycznego to wykazuje efekt nasycenia i staje się elementem nieliniowym. W takim przypadku w celu rozwiązania układu równań obwodów magnetycznych można sprowadzić do znanych metod analizy elektrycznych obwodów z elementami nieliniowymi. Dla prostych obwodów magnetycznych wystarczy posłużyć się metodą graficzną np. charakterystyki odwróconej, która omówiona jest we wstępie do ćwiczenia z obwodów nieliniowych.

Można także zastosować metodę linearyzacji, szczególnie dla magnetowodów ferromagnetycznych zastępując krzywą magnesowania
prostą w otoczeniu punktu pracy
(rys. 13.1).

Funkcję
w otoczeniu punktu
można rozwinąć w matematyczny szereg Taylora


...

gdzie:



- permeancja statyczna magnetowodu, zależna od statycznej przenikalności magnetycznej materiału magnetowodu;





- permeancja dynamiczna magnetowodu, zależna od dynamicznej przenikalności magnetycznej materiału magnetowodu.

Stosując metodę linearyzacji na odcinku
zakłada się, że składniki z pochodną rzędu większą od 1 są równe 0, czyli
. Przy takim założeniu równanie magnetowodu można zapisać następująco
, uzyskując równanie elementu liniowego.

W ćwiczeniu należy metodami graficznymi wyznaczyć punkt pracy w rozgałęzionym obwodzie magnetycznym, a następnie dla wyznaczonego punktu pracy określić przenikalność statyczną i dynamiczną elementów tworzących obwód magnetyczny znanymi metodami dla obwodów nieliniowych. Sprawdzić stosując metodę linearyzacji zgodność uzyskanego rozwiązania z rozwiązaniem uzyskanym z metody graficznej.

Uwaga !

W rozważaniach pominięto histerezę magnetyczną części magnetowodów wykonanych z ferromagnetyka, a skupiono się na pierwotnej charakterystyce magnesowania. Takie postępowanie jest uproszczeniem zjawisk, szczególnie dla przebiegów zmiennych, bowiem między innymi nie uwzględnia strat związanych z przemagnesowywaniem magnetowodu.

8. CZWÓRNIKI PASYWNWE (ćw. 14)

Czwórnikiem nazywa się część obwodu elektrycznego związanego z resztą obwodu wyłącznie poprzez cztery zaciski. Zaciski zgrupowane są w dwie pary zacisków, a stan elektryczny jest określany poprzez napięcia i prądy na zaciskach. Dla każdej pary zacisków spełniony jest warunek zrównoważenia tzn. prąd wpływający poprzez jeden zacisk jest równy prądowi wypływającemu poprzez drugi zacisk (rys.14.1).

Opis matematyczny dotyczy wielkości zaciskowych typu prąd i napięcie na zaciskach oraz równań układowych wiążących te wielkości zaciskowe.

Rozróżnia się przy tym następujące typy równań i parametrów czwórnika:

− impedancyjne


− admitancyjne


− hybrydowe (mieszane)


− hybrydowe odwrotne


− łańcuchowe


− łańcuchowe odwrotne


Współczynniki macierzowe macierzy charakterystycznej
noszą nazwę parametrów czwórnika. Każdy parametr macierzowy może być określany na podstawie odpowiedniego równania czwórnika np.
,
,
, czyli jest parametrem zwarciowym lub parametrem biegu jałowego pewnej pary zacisków i zasilaniu strony przeciwległej pary zacisków. Znajomość parametrów jednego typu pozwala określić parametry drugiego typu np.
,
. Jeśli czwórnik spełnia zasadę wzajemności między parametrami występują określone związki np.
,
i tylko trzy spośród czterech parametrów są niezależne. W przypadku, gdy czwórnik jest jeszcze symetryczny pojawia się dodatkowe równanie, np.
, ograniczające liczbę parametrów niezależnych do dwóch.

Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie parametrów łańcuchowych i
impedancyjnych czwórnika pobudzanego przebiegiem sinusoidalnym, a także tzw. współczynnika propagacji, definiowanego jako
.

W celu wyznaczenia parametrów łańcuchowych czwórnika należy wykonać pomiary impedancji w stanie jałowym
,
i impedancji w stanie zwarcia
,
, a następnie obliczyć poszczególne parametry według wzorów
, przy czym dla zwrotów napięć
takich jak na rys.14.1 należy brać pod uwagę dodatnią wartość pierwiastka,
,
,
.

Parametry impedancyjne określić można na podstawie dwóch pomiarów impedancji w stanie jałowym
,
, oraz dodatkowo buduje się dwa układy pomiarowe i oblicza się parametry
i
.

Znając parametry macierzowe czwórnika łatwo określić inne parametry układu jak:

− impedancja wejściowa czwórnika obciążonego impedancją



,

− współczynnik przenoszenia mocy zwany także współczynnikiem propagacji




− impedancję falową obciążenia dla tzw. stanu dopasowania dwustronnego





− parametry czwórnika równoważnego składającego się z kilku połączonych ze sobą czwórników o znanych parametrach.

15

L

R

t

u₁

E

E

u₁

R₃

Z₂

Z₁

I₁

I₃

I₂

U₂

U

Rys. 12.1. Schemat układu Hummela.

I₃

I₂

I₁

R₂I₂

jX₂I₂

R₁I₁

jX₁I₁

U

U₂

90°

Rys.12.2. Wykres wskazowy układu Hummela dla przypadku, gdy X₁>0 i X₂>0 .

0

Rys. 13.1. Charakterystyka magnesowania ferromagnetyka.

I₂

I₁

U₂

U₁

Rys. 14.1. Schemat czwórnika.

---