Poniższe zadania pochodzą ze zbiorów:
a) J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach
b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry
Do kolokwium proszę też przejrzeć zadania z ćwiczeń.
Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Zadanie 1 Sprawdź, że działanie ⊕ określone w zbiorze R wzorem a ⊕ b = a + b + 1 jest przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R , dla których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a w zależności od a.
Zadanie 2 Sprawdź, że działanie określone w zbiorze R wzorem a b = ab + a + b jest przemienne i łączne oraz to, że ma ono element neutralny. Wyznacz te elementy zbioru R , dla których istnieje element odwrotny i przedstaw ten element odwrotny do a (o ile istnieje) przez a.
a + b
Zadanie 3 Zbadaj, czy działanie ∗ określone w zbiorze Q wzorem a ∗ b =
jest łączne
2
i czy ma ono element neutralny.
√
√
Zadanie 4 Działanie ◦ jest określone w zbiorze R wzorem a ◦ b = ( 3 a + 3 b)3 . Sprawdź, czy jest ono przemienne i łączne. Znajdź element neutralny tego działania. Wyznacz elementy odwrotne do tych liczb a ∈ R , które taki element mają.
Zadanie 5 Zbadaj, czy relacja równoległości określona w zbiorze 2
R wektorów na płaszczyź-
nie jest zgodna z działaniem:
a) dodawania wektorów
b) mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Zadanie 6 Niech n ∈ N . Udowodnij, że relacja równoważności ∼ określona w zbiorze Z
przez warunek a ∼ b ⇔ m | a − b jest zgodna z dodawaniem i mnożeniem w zbiorze Z .
Zadanie 7 Sprawdź, że zbiór Z jest grupą względem działania ∗ określonego w zbiorze Z
wzorem
(
a + b
dla
a ∈ 2
a ∗ b =
Z
a − b
dla
a 6∈ 2Z
Zadanie 8 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = a + b + 5 tworzy grupę.
Zadanie 9 Sprawdź, czy zbiór R wraz z działaniem a ◦ b = ab − a − b + 2 tworzy grupę.
Zadanie 10 Sprawdź, że zbiór Z tworzy grupę abelową względem działania a ⊕ b = ( − 1) ab + ( − 1) ba.
"
#
( − 1) a
a
Zadanie 11 Sprawdź, że zbiór M macierzy postaci
, gdzie a ∈
0
( − 1) a
Z tworzy
grupę abelową względem mnożenia macierzy.
Zadanie 12 Niech macierze ˜
1 , ˜ i, ˜
j, ˜
k ∈ SL(2 , C) będą określone następująco:
"
#
"
#
"
#
"
#
˜
1 0
i
0
0
1
0
i
1 =
, ˜ i =
, ˜
j =
, ˜
k =
.
0 1
0 −i
− 1 0
i
0
Zbuduj tabelkę mnożenia macierzy w zbiorze Q 8 := ±˜
1 , ±˜ i, ±˜
j, ±˜
k, a następnie sprawdź, że
para ( Q 8 , ·) jest grupą.
Zadanie 13 Niech A bedzie zbiorem wszystkich przedziałów domkniętych < a, b > na pro-stej, gdzie a ¬ b. Sprawdź, czy A jest grupą względem działania ⊕ określonego w A wzorem
< a, b > ⊕ < c, d > = < a + c, b + d > .
Zadanie 14 Sprawdź, że zbiór C1 = {z ∈ C : |z| = 1 } jest grupą względem mnożenia liczb.
Zadanie 15 Utwórz tabelkę działania w podanej grupie
a) Z2 × Z2 ,
b) {− 1 , 1 } × Z3 .
Zadanie 16 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z10 .
Zadanie 17 Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Φ(10)
Zadanie 18 Niech H 1 , H 2 bedą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnij, że zbiór H 1 + H 2 := {h 1 + h 2 : h 1 ∈ H 1 , h 2 ∈ H 2 }
jest podgrupa grupy G oraz, że podgrupa ta jest najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupa grupy G zawierającą każdą z podgrup H 1 , H 2 .
Zadanie 19 Niech S bedzie niepustym podzbiorem grupy G. Wykaż, że relacja ∼ określona w zbiorze G wzorem a ∼ b ⇐⇒ ab− 1 ∈ S jest relacją równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy S
jest podgrupa grupy G
Zadanie 20 Wyznacz warstwy grupy Z12 względem poniższej jej podgrupy H: a) { 0 , 4 , 8 },
b) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }.
Zadanie 21 Wyznacz warstwy grupy Φ(13) względem poniższej jej podgrupy H: a) { 1 , 5 , 8 , 12 },
b) { 1 , 3 , 4 , 9 , 10 , 12 }.
Zadanie 22 Wyznacz warstwy grupy Φ(36) względem poniższej jej podgrupy H: a) { 1 , 13 , 25 },
b) { 1 , 17 , 19 , 35 },
c) { 1 , 5 , 13 , 17 , 25 , 29 }.
Zadanie 23 Opisz warstwy grupy
∗
+
C względem jej podgrupy R
Zadanie 24 Niech H i F będą trakimi podgrupami grupy skończonej G, że H ⊂ F . Wykaż, że
( G : H) = ( G : F )( F : H) .
Zadanie 25 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(21) /H, gdzie H = { 1 , 8 , 13 , 20 } oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 26 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(27) /H, gdzie H = { 1 , 8 , 10 , 17 , 19 , 26 }
oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 27 Wskaż elementy grupy ilorazowej Φ(20) /H, gdzie H = { 1 , 19 } oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 28 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z / 4Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 29 Wskaż elementy grupy ilorazowej Z / 2Z oraz zbuduj tabelkę działania w tej grupie.
Zadanie 30 Sprawdź, że zbiór H = {I, −I} jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, K) .
Symbol I oznacza tu macierz jednostkową, GL( n, K) -zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych stopnia n o elementach z pierścienia K.
Zadanie 31 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru
∗
R
i H = {λI ∈
GL( n, R) : λ ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, R) .
a)
∗
+
∗
+
R ,
b) R ,
c) Q ,
d) Q .
Zadanie 32 Sprawdź, czy SL( n, K) jest podgrupą grupy GL( n, K) . SL( n, K) -zbiór wszystkich macierzy stopnia n o elementach z pierścienia K i wyznaczniku równym 1 .
Zadanie 33 Sprawdź, że jeśli S jest niżej podanym podzbiorem zbioru
∗
R
i H = {A ∈
GL( n, R) : det A ∈ S}, to H jest dzielnikiem normalnym grupy GL( n, R) .
+
∗
+
R ,
b) Q ,
c) Q .
Zadanie 34 Udowodnij, że zbiór L wszystkich funkcji f : R → R , które są postaci f ( x) =
ax + b, gdzie a ∈
∗
R , b ∈ R , tworzy grupę przekształceń zbioru R . Wykaż, że podzbiór H grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f ( x) = ax, gdzie a ∈
∗
R
jest podgrupą lecz nie
jest dzielnikiem normalnym grupy L natomiast podzbiór F grupy L utworzony przez wszystkie funkcje postaci f ( x) = x + b jest dzielnikiem normalnym grupy L.
Zadanie 35 Niech G będzie grupą i niech H będzie podgrupą grupy G oraz F będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest podgrupą grupy G.
Zadanie 36 Niech G będzie grupą i niech F będzie podgrupą grupy G oraz H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wykaż, że zbiór
HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest podgrupą grupy G.
Zadanie 37 Wykaż, że jeśli H oraz F są dzielnikami normalnymi grupy G, to również zbiór HF := {hf : h ∈ H, f ∈ F }
jest dzielnikiem normalnym grupy G.
Zadanie 38 Udowodnij, że każda grupa cykliczna jest abelowa.
Zadanie 39 Dla każdego a ∈ Q 8 (patrz Zadanie 12.) wyznacz podgrupę < a > i określ rza.
Czy grupa Q 8 jest cykliczna?
Zadanie 40 Sprawdź, czy dana grupa jest cykliczna:
a) Φ(5) ,
b) Φ(8) ,
c) Φ(15) ,
d) Φ(30) .
Zadanie 41 Czy cykliczna jest grupa (Z , ⊕) , gdzie działanie ⊕ określone jest wzorem a⊕b =
a + b + 5 ?
Zadanie 42 Dla każdego a ∈ Z8 wyznacz podgrupę < a > i określ rza.
Zadanie 43 Dla każdego a ∈ Φ(14) wyznacz podgrupę < a > i określ rza. Czy grupa Φ(14) jest cykliczna?
Zadanie 44 Udowodnij, że dla dowolnych a, b ∈ G zachodzi równość rz a = rz( b− 1 ab) .
Zadanie 45 Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c ∈ G zachodzi równość rz( abc) = rz( bca) = rz( cab) .
Zadanie 46 Udowodnij, że każda grupa, której rząd jest liczba pierwszą, jest cykliczna.
Zadanie 47 Udowodnij, że jeśli rz a = n i n ∈ Z , to am = e wtedy i tylko wtedy, gdy n | m.
Zadanie 48 Niech G będzie dowolną grupą i niech a ∈ G. Wykaż, że jeśli rz a = n oraz n
d | n, to rz ad =
.
d
Zadanie 49 Niech G będzie dowolną grupą cykliczną generowaną przez elenent a rzędu n.
Udowodnij, że element ak jest generatorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy liczby k i n są wzglednie pierwsze.
Zadanie 50 Niech a i b będą takimi elementami grupy G, że ab = ba oraz (rz a, rz b) = 1 .
Udowodnij, że rz( ab) = rz a · rz b.
Zadanie 51 Sprawdź, że dla poniższych macierzy A, B ∈ SL(2 , Z) mamy rz A < ∞, rz B <
∞ oraz rz( AB) = rz( BA) = ∞:
"
#
"
#
1
2
1
1
A =
, B =
.
− 1 − 1
− 1 0
Zadanie 52 Udowodnij, że obraz homomorficzny grupy cyklicznej jest grupą cykliczną.
Zadanie 53 Udowodnij, że jeśli ϕ : G → F jest homomorfizmem grup oraz ϕ( a) = b i rz a < ∞, to rz b | rz a.
Zadanie 54 Sprawdź, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Jeśli tak, to wyznacz jądro i obraz tego hohomorfizmu.
a) ϕ :
∗
∗
C → C ,
ϕ( z) = |z|,
e) ϕ : R → R ,
ϕ( a) = 5 a,
b) ϕ :
+
∗
∗
R
→ R ,
ϕ( a) = log a,
f ) ϕ : R → R ,
ϕ( a) = 5 a,
√
c) ϕ : GL( n,
+
∗
∗
R) → R ,
ϕ( A) = | det A|, g) ϕ : R → R , ϕ( a) = 3 a,
d) ϕ : GL(2 , R) → R ,
ϕ( A) = tr A,
h) ϕ : M(2 , R) → R ,
ϕ( A) = det A.
Zadanie 55 Udowodnij, że funkcja ϕ : G → G określona wzorem ϕ( a) = a 2 jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 56 Sprawdzić, że funkcja ϕ GL( n,
∗
R) → R określona wzorem ϕ( A) = det A jest
epimorfizmem grup. Wyznacz ker ϕ.
Zadanie 57 Niech G będzie grupą, a ϕ : G × G → G funkcją daną wzorem ϕ(( a, b)) = ab.
Udowodnij, że φ jest homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy G jest grupą abelową.
Zadanie 58 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest epimorfizmem grup, to każda podgrupa H0 grupy G0 jest postaci ϕ( H) , gdzie H jest odpowiednią podgrupą grupy G.
Zadanie 59 Niech funkcja ϕ : G → G0 będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H0 jest dzielnikiem normalnym grupy G0, to ϕ− 1( H0) jest dzielnikiem normalnym grupy G.
Wywnioskuj stąd, że ker ϕ jest podgrupą grupy G.
Zadanie 60 Udowodnij, że funkcja ϕ : Z → Z określona wzorem ϕ( x) = x − 5 jest izomorfizmem grupy (Z , +) na grupę (Z , ⊕) , gdzie x ⊕ y = x + y + 5 dla dowolnych x, y ∈ Z .
Zadanie 61 Udowodnij, że grupy M(2 ,
4
R) i R są izomorficzne.
Zadanie 62 Udowodnij, że jeśli funkcja ϕ : G → G0 jest izomorfizmem grup, to funkcja ϕ− 1 : G0 → G jest izomorfizmem grup.
Zadanie 63 Wykaż, że
a) C
∼
∼
< 1 , 3 > = C< 5 , 9 >, c) C< 0 , 1 > = C< 0 , 3 >, b) C
∼
∼
< 1 , 2 > = C< 4 , 7 >, d) C< 1 , 2 > = C< 4 , 5 >.
Zadanie 64 Sprawdź, że dany zbiór M macierzy tworzy grupę względem mnożenia macierzy. Wykaż, że grupa ta jest izomorficzna z grupą Z .
("
#
)
("
#
)
1 + a
−a
1 − 2 a
4 a
a) M =
: a ∈
,
b) M =
: a ∈
.
a
1 − a
Z
−a
1 + 2 a
Z
Zadanie 65 Sprawdź, że funkcja ϕ : Z → M określona wzorem ("
#
)
( − 1) a
a
ϕ( a) =
: a ∈
0
( − 1) a
Z
jest izomorfizmem grupy (Z , ⊕) , gdzie a ⊕ b = ( − 1) ab + ( − 1) ba na grupę ( M, ·) , gdzie ("
#
)
( − 1) a
a
M =
: a ∈
.
0
( − 1) a
Z
Zadanie 66 Udowodnij, że dana grupa nie jest izomorficzna z grupą Q : a)
∗
Z
b) Q
Zadanie 67 Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie grup wykaż, że: a)
∗
+
∼
R /{− 1 , 1 } ∼
= R ,
c) C / R = R ,
b)
∗
+ ∼
∗
∼
+
R / R
= {− 1 , 1 },
d) C / C1 = R .