ZASADA PRAC WIRTUALNYCH DLA TARCZY DOSKONALE

SZTYWNEJ

Rozpatrujemy tarczę doskonale sztywne.

Przyjmujemy, że tarcza doskonale sztywna znajduje się w równowadze pod działaniem sił P1, P2, …, Pn leżących w jednej płaszczyźnie. Do tych sił zaliczamy: siły czynne, bierne, reakcje podporowe.

P1

P2

• r

Pn

Rys. 1

Tarczę doskonale sztywną możemy traktować jako skupienie punktów materialnych, których ruchy ograniczone są więzami działającymi między tymi punktami.

Takie skupienie punktów materialnych znajduje się w równowadze, gdy w równowadze znajdzie się każdy z punktów materialnych, na który obok sił wewnętrznych pochodzących od pozostałych punktów materialnych mogą działać siły zewnętrzne.

Warunek równowagi dla np. punktu „r” (rys. 1) możemy zapisać następująco: P

W

r +

r = 0 , (1) gdzie:

Pr - to wypadkowa sił zewnętrznych działających na punkt materialny „r”, Wr - to wypadkowa sił wewnętrznych (sił wywieranych na punkt materialny „r” przez pozostałe punkty materialne).

Udzielmy tarczy doskonale sztywnej wirtualnego przemieszczenia.

Przemieszczenie wirtualne jest to przemieszczenie, które musi spełniać następujące warunki: 1) jest nieskończenie małe,

2) niezależne od sił rzeczywistych działających na tarczę i dowolne,

3) zgodne z istniejącymi warunkami geometrycznymi lub kinematycznymi (tzn. muszą być kine-matycznie zgodne),

4) niezależne od czasu.

r

δ sr - przesunięcie punktu „r” odpowiadające

przemieszczeniu wirtualnemu tarczy

δ sr r’

Rys.2

Praca sił działających na punkt materialny „r” na przemieszczeniu wirtualnym δ sr wynosi: ( P

o δ

r + W r )

sr = 0 . (1) Strona 1 z 6

Jest to jednocześnie warunek równowagi punktu „r”.

Przekształcamy równanie (1)

P o δ

o δ

r

sr + W r

sr = 0 ,

gdzie:

P o δ

= ⋅δ ⋅

δ

r

sr

P

sr

cos( P ; sr )

P

r

r

- praca wirtualna sił zewnętrznych

r na

wirtualnym przemieszczeniu δ sr , Lz

W o δ

=

⋅δ ⋅

δ

r

sr

W

sr

cos( W ; sr )

W

r

r

- praca wirtualna sił zewnętrznych

r na

wirtualnym przemieszczeniu δ sr , Lw

Praca całej tarczy – wszystkich punktów materialnych – równa się sumie prac wirtualnych poszcze-gólnych punktów materialnych (stąd sumowanie po wszystkich punktach materialnych „i”): n

n

∑ ( P δ

o

δ

si )

W

i

+ ∑ ( o si)

i

= 0. (2)

i 1

=

i 1

=

Siły wewnętrzne są wynikiem wzajemnego oddziaływania punktów materialnych, więc są w przekro-jach równe ale przeciwnie skierowane. Wobec tego przy przesunięciu wirtualnym ich praca będzie równa zeru.

Można zatem pracę wirtualną tarczy doskonale sztywnej na wirtualnym przemieszczeniu zapisać na-stępującym równaniem:

n

∑ ( P δ

o si )

i

= 0, (3)

i 1

=

gdzie:

Pi - uogólniona siła zewnętrzna (obciążenie zewnętrzne, reakcja podporowa), δ si - uogólnione przemieszczenie wirtualne.

Równanie (3) przedstawia zasadę prac wirtualnych, która mówi nam, że:

Suma prac wirtualnych sił zewnę trznych przy wirtualnym przemieszczeniu zgodnym z

kinematycznymi właś ciwoś ciami układu jest równa zeru w przypadku równowagi tych

sił.

Zasadę prac wirtualnych możemy wykorzystać m.in. do wyznaczania:

a) linii wpływu dowolnych wielkości statycznych w układach statycznie wyznaczalnych, b) przemieszczeń w układach statycznie wyznaczalnych od dowolnego obciążenia zewnętrznego,

c) dowolnych wielkości statycznych, w układach statycznie wyznaczalnych, od dowolnego obciążenia zewnętrznego.

WYKORZYSTANIE ZASADY PRAC WIRTUALNYCH DO WYZNACZANIA

LINII WPŁYWU W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

Jest to tzw. metoda kinematyczna wyznaczania linii wpływu i wynika z zasady prac wirtualnych dla brył (tarczy) doskonale sztywnej.

Z definicji:

„ linią wpływu dowolnej wielkoś ci statycznej nazywamy wykres zależ noś ci pomię dzy warto-

ś cią tej wielkoś ci statycznej w danym przekroju a położ eniem obciąż enia jednostkowego wywołują cego tę wielkość”.

Strona 2 z 6

W związku z powyższym przy wyznaczaniu linii wpływu metodą kinematyczną, uogólnioną siłą ze-wnętrzną jest poruszająca się siła jednostkowa i wtedy równanie pracy wirtualnej (3) ma następującą postać:

S ⋅δ

δ

s + P ( x)

i

⋅ i ( x) = ,

0 (4)

gdzie:

S - poszukiwana (dowolna) wielkość statyczna,

δ s - wirtualne przemieszczenie w miejscu i na kierunku wielkości statycznej S , P ( x)

P ( x)

i

= const =

i

- obciążenie zewnętrzne

1 (poruszająca się siła jednostkowa),

δ i( x) - uogólnione wirtualne przemieszczenie w miejscu i na kierunku siły P ( x) i

.

Zgodnie zatem z (4), gdy w miejscu i na kierunku poszukiwanej wielkości statycznej S wymusimy wirtualne przemieszczenie δ s = 1

− , to równanie to przyjmie postać:

S ⋅ (− )

1 +1⋅δ i ( x) = ,

0 (5)

skąd mamy:

S = δ i ( x). (6) Wzór (6) przedstawia definicję linii wpływu wyznaczonej metodą kinematyczną: Definicja:

Linia wpływu wielkoś ci statycznej S pokrywa się z przemieszczeniem wirtualnym bryły

sztywnej, układu brył (tarcz), jeż eli na kierunku i w miejscu poszukiwanej wielkoś ci sta-

tycznej S dokonamy przemieszczenia wirtualnego δ s = 1

− ,

LwS = δ . (7)

TOK POSTĘPOWANIA przy wyznaczaniu linii wpływu metodą kinematyczną na przykładzie linii wpływu momentu zginającego Mα i siły tnącej α

T w belce wolnopodpartej.

LwMα :

P=1

Rys.a

α

α

a

b

Strona 3 z 6

Rys.b

1. zwalniamy więz na kierunku

Mα −α (tzn. wprowadzamy prze-

gub w przekroju α-α)

a

b

Rys.c Mα Mα

2. zwolniony więz zastępujemy

(równoważymy) odpowiednimi si-

łami – czyli momentem zginającym

a

b

Mα (dodatnim)

Rys.d

3. wymuszamy w miejscu i na kie-

ω

δ

η

ω

M

1

2

runku

α przemieszczenie (w

tym wypadku kąt obrotu) = -1.

Moment wykona pracę dodatnią,

ε = ω + ω

gdy pręt obrócimy zgodnie ze

1

2

zwrotem Mα (czyli do góry);

a

b

my musimy zatem obrócić pręt

przeciwnie do obrotu jaki wymusza

Mα (czyli w dół).

Na rys. d mamy przemieszczoną belkę względem przegubu. Nastąpiła zmiana kąta między prętami zbiegającymi się w przegubie. δ i η są to przemieszczenia punktów belki i jednocześnie rzędne linii wpływu momentu zginającego w przekroju α-α.

Kąt obrotu pręta z lewej strony przegubu to ω

ω

1, pręta z prawej strony przegubu to

2 . Zmiana kąta

między tymi prętami to:

ε = ω +ω =1

1

2

. (8)

Wyprowadzimy teraz wzór , jak obliczyć rzędną δ (rys.d) przemieszczenia, które jest równoważne rzędnej linii wpływu oraz kąty obrotów prętów i zmianę kata w przegubie.

Rozpatrujemy przemieszczenia wirtualne, które to przemieszczenia są nieskończenie małe. Można zatem przyjąć, że tangens kata = jest w przybliżeniu temu kątowi (wynika to z def tg): tgω ≈ ω (9) Wyznaczamy tgω

tgω

1 i

2 :

δ

tgω =

= ω

1

1 , (10) a

δ

tgω =

= ω

2

2 . (11) b

Ze wzorów (10) i (11) wyznaczamy δ :

Strona 4 z 6

δ = aω

δ = bω

1 oraz

2 (12)

Na podstawie (12) mamy:

δ = aω = bω

1

2 (13)

Wykorzystując (8) i (13) otrzymujemy układ dwóch równań (14), z których wyznaczamy ω

ω

1 i

2 a

na podstawie tego wyznaczamy przemieszczenie δ :

ω +ω =1

1

2

, (14) ω

a

= ω

b

1

2 .

Po rozwiązaniu układu równań (14) mamy:

b

ω

a

ω2 =

1 =

,

. (15)

a + b

a + b

Podstawiając (15) odpowiednio do (12) otrzymamy:

a ⋅ b

δ =

. (16) a + b

Wykresem lw Mα −α jest wykres przemieszczeń belki (rys.d).

Lw α

T :

P=1

Rys.e

α

α

a

b

Rys.f

4. zwalniamy więz na kierunku α

T −α

(tzn. przecinamy poprzecznie w

przekroju α-α)

a

b

Strona 5 z 6

Rys.g

α

T

5. zwolniony więz zastępujemy (rów-

noważymy) odpowiednimi siłami –

α

T

czyli siłą tnącą α

T (dodatnią)

a

b

Rys.h

6. wymuszamy w miejscu i na kie-

ω

δ1

ω

1

1

runku α

T przemieszczenie

δ = −1 (w tym wypadku prze-

suwamy odpowiednio w górę z le-

δ

wej strony i w dół z prawej strony

2

przekroju) o δ = δ + δ = 1

−

1

2

a

b

Suma przemieszczeń z lewej i prawej strony przekroju musi się równać 1 (rys.h, pkt.6).

Aby po przesunięciu siły tnące z lewej i z prawej strony były nadal do siebie równoległe pręty z lewej i prawej strony po przesunięciu muszą pozostać nadal równoległe. Z tego faktu wynika, że kąty obrotu pręta z lewej strony i z prawej strony muszą być sobie równe (rys. h).

Mamy więc następujące równania (na podstawie def. tg kąta):

δ = ω

a

δ = bω

1

1 i

1 , (17)

oraz:

δ + δ =1

1

2

. (18)

Wstawiamy (17) do (18):

ω

a

+ bω =1

1

1

(19)

i wyznaczamy kąt obrotu prętów ω1 a po podstawieniu wyliczonego kata do wzorów (17) przemieszczenia: δ

δ

1 ,

2 oraz δ .

ω = 1

1

,

a + b

a

δ1 =

, (20) a + b

b

δ2 =

.

a + b

Wykres przemieszczeń jest wprost wykresem linii wpływu siły tnącej w przekroju α-α (rys.h).

Strona 6 z 6