Wykład 12. Wzajemne położenie prostych w R3 , proste skośne.

Definicja 12.1.1. Rzutem ukośnym punktu P (x, y, z) wzgl ędem wektora −

→

a = [ax, ay, az] na płasz-

′ ′

′

′

czyzn ę π nazywamy punkt P

x , y , z

tej płasz-

czyzny, który do niej nale ży. ( rysunek) Dygresja: W szczególnym przypadku mamy

′

P P

⊥ π, co oznacza, że wektor kierunkowy

−

→

k prostej l, na której le żą punkty jest wektorem

−

→

normalnym −

→

n płaszczyzny π ( k = −

→

n ).

Definicja 12.1.2. Określanie wielkości związanych z płaszczyzną:

1. Odległoś ć punktu P0 (x0, y0, z0) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 jest określona jako

|Ax0 + By0 + Cz0 + D|

d =

q

A2 + B2 + C2

Dygresja: Odległoś ć punktu od płaszczy-

′

zny jest równa długości odcinka P P , gdzie

′ ′

′

′

P

x , y , z

jest rzutem prostokątnym punktu

P na płaszczyzn ę π.

2. Odległości pomi ędzy dwoma równoległymi płaszczyznami π1 : Ax+By+Cz +D1 = 0, π2 : Ax+By +Cz +D2 = 0 określa si ę jako

|D1 − D2|

d = q

A2 + B2 + C2

3. Kąt nachylenia prostej l o wektorze kierun-

−

→

kowym k do płaszczyzny π o wektorze normalnym −

→

n określamy jako

−

→

−

→

−

→

−

→

n × k

n ◦ k

cos

φ =

lub

sin φ =

−

→

−

→

|−

→

n | k

|−

→

n | k

4. Kąt mi ędzy dwiema płaszczyznami π1, π2 o wektorach normalnych −

→

n 1, −

→

n 2 wyraża si ę

formułą

|−

→

n

cos

1 ◦ −

→

n 2|

φ = |−→n1||−→n2|

Defincja 12.1.3. Określanie wielkości związanych z prostą:

1. Odległoś ć punktu od P0 (x0, y0, z0) od pro-

−

→

stej l o wektorze kierunkowym k określamy jako

−

→

−−−→

k × P0P1

d =

,

−

→

k

gdzie P1 (x1, y1, z1) jest dowolnym punk-tem le żącym na prostej l

2. Odległoś ć pomi ędzy prostymi skośnymi l1, l2

wyraża si ę wzorem

−

−−→

−

→

−

→

P1P2 × k 1 ◦ k 2

d =

,

−

→

−

→

k

k

1 ×

2

−

→

−

→

gdzie k 1, k 2 są wektorami kierunkowymi prostych skośnym, natomiast punkty P1 (x1, y1, z1) , P2 (x2, y2, z2) są punktami le żącymi na prostych l1 i l2.

3. Kąt mi ędzy dwiema prostymi l1 i l2 o wekto-

−

→

−

→

rach kierunkowych k 1, k 2 wyraża si ę formułą

−

→

−

→

k 1 ◦ k 2

cos

φ = −

→ −

→

k 1 k 2

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.