Wszyscy mamy w pamięci hałas wokół
na drugim miejscu Euklides, potem Tales, Apoloniusz
i na koñcu Heron. Mogê powiedzieæ, ¿e ja te¿ za
wyborów do Parlamentu Europejskiego
Heronem nie przepadam - ten jego wzór na pole trój-
k¹ta jest dla mnie za skomplikowany. Nastêpna par-
(13 czerwca 2004 r.), spory związane z obję-
tia (dwadzieœcia g³osów) postawi na pierwszym
ciem stanowiska Prezesa Rady Ministrów
miejscu Talesa (s³usznie, bo to m¹dry Achaj), na dru-
gim (brr) Herona, a potem... zreszt¹, co ja bêdê d³ugo przez Marka Belkę, a o wyborach parlamen-mówiæ. Zobacz sobie tabelkê. Widzê, ¿e masz u pasa
tarnych i prezydenckich słyszymy w mediach
swój przenoœny, gliniany dysk. Przekopiuj. W domu
sobie wszystko obliczysz. Masz w domu komputer i
bez przerwy.
Excela?
– Mam, mam. Komputerus to imiê
naszego niewolnika, a Excelus to jego
synek. Obaj s¹ bardzo m¹drzy.
CHAOS WYBORCZY, Michał Szurek
CZYLI CO ROBIĆ, ŻEBY WYGRAŁ NASZ KANDYDAT1)
TEKST
Jak wybraæ? To nie tylko problem, gdzie postawiæ – No, to sobie przetworzysz te informacje. Pr¹du elek-krzy¿yk. Twórca jednego z totalitarnych ustrojów XX
trycznego nie mamy, bo zostanie wynaleziony dopie-
wieku mawia³: niewa¿ne, jak siê g³osuje - wa¿ne,
ro za 2500 lat, ale baterie s³oneczne nam wystarcza-
Ś
jak siê liczy g³osy. Zobaczymy, ¿e ma to znaczenie nie j¹. Oto tabelka:
REDNIO TRUDNY
tylko takie, jakiego wszyscy siê spodziewaj¹ (czyli
przypisanie g³osów oddanych partii X komu innemu),
MIEJSCE
25
20
19
17
10
9
ale i matematyczne. To, ¿e mo¿na oszukiwaæ w maje-
1
Pitagoras
Tales
Heron
Apoloniusz Euklides
Pitagoras
stacie matematyki, wiemy, czytaj¹c ró¿ne opracowania
2
Euklides
Heron
Apoloniusz Euklides
Heron
Apoloniusz
statystyczne. Ale manewry nad ordynacj¹ wyborcz¹ s¹
3
Tales
Apoloniusz Euklides
Heron
Apoloniusz Euklides
równie efektowne.
4
Apoloniusz Euklides
Tales
Tales
Tales
Tales
Oto przyk³ad:
5
Heron
Pitagoras Pitagoras Pitagoras Pitagoras
Heron
!!
!
W z i ¹ æ P y t i ê n a „ s p y t k i ”
– Ale kto zostanie prezydentem?
– Ju¿ i tak za du¿o powiedzia³am. Wam, œmiertelnym,
W wyborach na stanowisko prezydenta Grecji
nie mo¿na za wiele przysz³oœci pokazywaæ, bo potem
startuj¹: Pitagoras, Euklides, Tales, Apoloniusz i He-
wypisujecie takie horrory, jak w literaturze „fantazy”.
ron. Prezydentem zostanie ten, kogo wybior¹ w g³oso-
waniu Dostojni. Jest ich równo 100. W Zgromadzeniu
A l e k t o w y g r a ?
Narodowym trwaj¹ w³aœnie spory nad ordynacj¹
wyborcz¹.
Tyle Elektoriusz i Pytia. Kto zatem zostanie pre-
Odwa¿ny m³odzieniec, Elektoriusz, dotar³ do
zydentem? Zobaczmy, jak to zale¿y od ordynacji.
wyroczni w Delfach i uda³o mu siê stan¹æ przed obli-
1. Jeœli ordynacja stanowi, ¿e zwyciê¿a ten kandydat, czem Pytii. Stan¹æ, to mocno powiedziane. Elektoriu-kogo na pierwszym miejscu postawi najwiêcej
szowi dr¿a³y kolana ze strachu i g³os siê ³ama³. No, ale wyborców, to wygra Pitagoras, bo bêdzie pierwszy
nie codziennie spotykamy kogoœ, kto wie, co bêdzie
jutro, za rok, sto i dwieœcie lat, za ca³e milenium.
Wybory do Parlamentu Europejskiego, 13 czerwca 2004 r.
Z pewnoœci¹ w pamiêci operacyjnej Pytii by³o zapisane
i to, ¿e Grecy zrobi¹ tak¹ niespodziankê w Mistrzo-
stwach Europy w pi³ce no¿nej w 2756 roku od za³o¿e-
Mndt Głosów
nia Rzymu.
1
2
3
4
– M³odzieñcze - rzek³a Pytia - oczywiœcie, ¿e wiem, jak PO
15 1467775
1467775
733888
489258
366944
bêd¹ g³osowaæ Dostojni. Znam przecie¿ przysz³oœæ.
LPR
10
969689
969689
484845
323230
242422
M
– Powiedz, proszê.
Ł
PiS
7
771858
771858
385929
257286
192965
– No, dobrze, skoro tak nalegasz. Oto ich preferencje.
ODY
Sa
6
666782
666782
333391
222261
166696
Jak wiesz, w Zgromadzeniu jest piêæ partii: Kwadry-
SLD+UP
5
569311
569311
284656
189770
142328
ga Obywatelska, Liga Greckich Familii, Samostano-
TECHNIK
wienie Plebejskie, Sprzysiê¿enie Lewego Demosu,
UW
4
446549
446549
223275
148850
111637
Greckie Stronnictwo Agrarne, wreszcie Tyrania i
PSL
4
386340
386340
193170
128780
96585
Samodzier¿awie. Wiesz, ile maj¹ miejsc w Zgroma-
SdPl
3
324707
324707
162354
108236
81177
dzeniu, prawda: 25, 20, 19, 17, 10, 9. Ta partia z dwu-razem
54 5603011
dziestoma piêcioma g³osami ustali³a na swoim kon-
wentyklu nastêpuj¹c¹ kolejnoœæ: najpierw Pitagoras,
50
Ta część tabelki zawiera 54 największe ilorazy z szeregu utworzonego 8/2004
j a k a o r d y n a c j a w y b o r c z a , t a k i e w y n i k i w y b o r ó w na 34 listach. Tales na 20, Heron na 19 i tak dalej.
wszystkich innych. Ka¿dy przegrywa z Apoloniu-
Pitagoras wybrañcem narodu!
szem! Dlaczego?
2. We wspó³czesnych wyborach prezydenckich czêsto Ilu bowiem Dostojnych stawia Apoloniusza przed
stosuje siê system drugiej tury. G³osujemy wpraw-
Heronem? Policzmy: 25 + 17 + 9 = 51, a wiêc wiêk-
dzie na jednego kandydata, ale je¿eli nikt nie prze-
szoϾ. Niewielka, ale jednak.
kroczy 50 procent, to odbywa siê druga tura. W niej
Ilu stawia Apoloniusza przed Euklidesem? 20 + 19
wygrywa ten, kto zdobêdzie wiêcej g³osów ni¿ jego
+ 17 + 9 = 61, wiêkszoœæ.
przeciwnik. W takim uk³adzie do drugiej tury przej-
Ilu preferuje Apoloniusza w porównaniu z Talesem:
d¹ Pitagoras (34 g³osy) i Tales (20). W drugiej turze
19 + 17 + 10 + 9 = 55.
wyborcy przerzucaj¹ g³osy na tych, których wol¹.
Wreszcie, Apoloniusza od Pitagorasa woli 20 + 19 +
Wszyscy poza pitagorejczykami wol¹ Talesa od Pita-
17 + 10 = 66 elektorów na 100.
gorasa. Zatem w dogrywce Pitagoras nie zyska ani
Skoro zatem - ludu grecki, przecie¿ umiesz myœleæ lo-
jednego g³osu. Wynik 66:34 dla Talesa i zdecydowa-
gicznie - wiêkszoœæ woli Apoloniusza ni¿ ka¿dego in-
ne zwyciêstwo. Podobna sytuacja zdarzy³a siê nie-
nego kandydata: to jest najlepsza rekomendacja na to,
dawno na S³owacji, gdzie kandydat, który wyraŸnie
by on w³aœnie przewodzi³ nam przez najbli¿sz¹ kaden-
wygra³ pierwsz¹ turê, przegra³ w drugiej. Niech
cjê!! Zbli¿ siê, Apoloniuszu, nasz prezydencie-elekcie!
¿yje prezydent Tales!
3. W wyœcigach kolarskich interesuj¹cy jest tzw. sys-A t e r a z „ n a p o w a ¿ n i e ”
tem australijski. Po ka¿dym okr¹¿eniu toru odpada
ostatni. Ten wariant ordynacji wyborczej nosi nazwê
Mimo nieco groteskowej formy, zdajemy sobie spra-
„wyborów dyrektorskich”. W Sejmie zastosowano go
wê, ¿e problem jest jak najbardziej powa¿ny. Jaka or-
przy g³osowaniu nad tym, który wariant raportu Ko-
dynacja, takie wyniki. Ordynacja wyborcza nie pomo¿e
misji do sprawy Rywina nale¿y przyj¹æ. Wyniki, nie-
tylko tam, gdzie jest... jednomyœlnoœæ narodu... a wtedy stety, znamy. Jak by to wygl¹da³o w odniesieniu do
pojawiaj¹ siê zupe³nie, ale to zupe³nie inne problemy, naszych wirtualnych wyborów w staro¿ytnej Grecji?
wykraczaj¹ce poza zasiêg problematyki naszego mie-
Pierwsza tura: najmniej g³osów ma Euklides. Elekto-
siêcznika. Ale wróæmy na polskie podwórko, gdzie do
rat Euklidesa g³osuje w II turze na Herona. W dru-
jednomyœlnoœci narodu nam, jak wiemy, nieco daleko.
giej turze Heron ma 19 + 10 = 29. Odpada zatem
W wyborach ostatnich lat by³o du¿o s³ów, obiet-
Apoloniusz (17 g³osów). Jego zwolennicy g³osuj¹
nic i rzucania inwektyw na przeciwników politycznych.
potem na Herona. W III turze Pitagoras (o sta³ym
Bêdzie tak i w nadchodz¹cych wyborach parlamentar-
elektoracie) ma 34, Tales 20, a Heron 29+17 = 46.
nych. Jednego, jak zwykle, nie bêdzie w mediach. Spo-
Odpada Tales. Talesiacy nie lubi¹ pitagorejczyków -
sobu przeliczania g³osów na mandaty. Mocno podejrze-
wol¹ heroniarzy. W ostatniej turze Heron - Pitagoras
wam, ¿e redaktorzy gazet codziennych obawiaj¹ siê, ¿e
66: 34. Vivat prezydent Heron!
nikt tej metody nie zrozumie (nic dziwnego: lider zwy-
4. W dorocznym konkursie Eurowizji na najlepsz¹ pio-ciêskiego ugrupowania w wyborach parlamentarnych
senkê przyznaje siê 12 punktów za umieszczenie
oœwiadczy³ kiedyœ publicznie, ¿e bez œci¹gania na
piosenki na pierwszym miejscu listy, 10 za drugie
maturze nie da³by sobie rady). Dlatego algorytm nie
miejsce, 9 za trzecie i tak dalej. Proszê Czytelników
by³ publikowany. Czy¿ jednak nie powinniœmy sobie
o przeliczenie, ¿e gdyby przyj¹æ taki system w „na-
z niego zdawaæ sprawy? Zobaczmy, ¿e ma to trochê
szych wyborach” (punktuj¹c 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1), to
wspólnego z tymi wyborami w Grecji, które opisaliœmy
wygra.. .. Euklides, zgromadziwszy 352 punkty i wy-
wy¿ej. Przeczytajmy najpierw fragment ordynacji
przedzaj¹c wyraŸnie Herona (319). Ludu grecki, oto
wyborczej (do znalezienia w Internecie).
Twój prezydent Euklides!
5. Czytelnicy domyœlaj¹ siê, ¿e do kompletu potrzebny Art. 127. Ustawy Dz U nr 25 poz 219 z 2004 roku.
jest nam tylko taki sposób liczenia g³osów, ¿eby
1. Pañstwowa Komisja Wyborcza dokonuje podzia³u okaza³o siê, ¿e najlepszy jest Apoloniusz. I rzeczy-wszystkich mandatów pomiêdzy uprawnione komite-
wiœcie, Apoloniusz jest najlepszy - bo jest lepszy od
ty wyborcze w sposób nastêpuj¹cy:
Kolejne ilorazy
Dzielnik:
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
293555
244629
209682
183472
163086
146778
133434
122315
112906
104841
97852
91736
193938
161615
138527
121211
107743
96969
88154
80807
74591
69264
64646
60606
M
154372
128643
110265
96482
85762
77186
70169
64322
59374
55133
51457
48241
ŁODY
133356
111130
95255
83348
74087
66678
60617
55565
51291
47627
44452
41674
113862
94885
81330
71164
63257
56931
51756
47443
43793
40665
37954
35582
TECHNIK
89310
74425
63793
55819
49617
44655
40595
37212
34350
31896
29770
27909
77268
64390
55191
48293
42927
38634
35122
32195
29718
27596
25756
24146
64941
54118
46387
40588
36079
32471
29519
27059
24977
23193
21647
20294
ze wszystkich ilorazów łącznie
51
8/2004
N i e w a ż n e j a k s i ę g ł o s u j e , w a ż n e j a k s i ę l i c z y g ł o s y.
J ó z e f S t a l i n
1) liczbê g³osów wa¿nych oddanych ³¹cznie na listy
Oto pytania - nietrudno na nie odpowiedzieæ,
okrêgowe ka¿dego z komitetów wyborczych dzieli
wykonuj¹c obliczenia nawet zwyk³ym kalkulatorem. Le-
siê kolejno przez: 1; 2; 3; 4 i dalsze kolejne liczby
piej oczywiœcie pos³u¿yæ siê arkuszem kalkulacyjnym.
a¿ do chwili, gdy z otrzymanych w ten sposób ilo-
Polecam wszystkim nauczycielom na lekcje matematyki
razów da siê uszeregowaæ tyle kolejno najwiêk-
albo informatyki, a wszystkim Czytelnikom jako lekcjê
szych liczb, ilu pos³ów do Parlamentu Europej-
z przedmiotu, który za moich szkolnych czasów zwa³
skiego jest wybieranych w Rzeczypospolitej Pol-
siê „wiedza o Polsce i œwiecie wspó³czesnym”.
skiej;
2) ka¿demu komitetowi wyborczemu przyznaje siê
1. Jakie by³yby wyniki, gdyby stosowano regu³ê z wy-tyle mandatów, ile spoœród ustalonego w powy¿-
borów parlamentarnych w 1997 roku, gdzie dzielni-
szy sposób szeregu ilorazów przypada mu liczb
kami nie by³y kolejne liczby naturalne, tylko kolejno
kolejno najwiêkszych.
liczby 1,4 (jeden i cztery dziesi¹te), a nastêpnie ko-
lejne liczby nieparzyste: 3, 5, 7, 9,...? Dlaczego w
Zobaczmy. Oto wyniki - liczba g³osów na po-
formule wziêto 1,4? Dlaczego „nowy” system pre-
szczególne partie i liczba mandatów, jakie w wyborach
miuje wiêksze partie (tak pisa³y gazety codzienne,
do Parlamentu Europejskiego 13 czerwca 2004 roku
oczywiœcie bez uzasadnienia). Czy to jest prawda?
zdoby³y te ugrupowania, które przekroczy³y 5% próg
WyobraŸmy sobie, ¿e - politycznie to absurdalne -
wyborczy.
PO i LPR po³¹czy³y siê w jedn¹ wielk¹ partiê, o na-
zwie, dajmy na to, Rodzinna Platforma Ligi Polskich
Platforma Obywatelska
1 467 775
15
Obywateli, i zdoby³yby razem 1467775 + 969689 g³o-
Liga Polskich Rodzin
969 689
10
sów. Czy dosta³yby 15 + 10 mandatów? Co to
Prawo i Sprawiedliwość
771 858
7
bowiem znaczy, ¿e „system preferuje wiêksze par-
Samoobrona RP
666 782
6
tie”?
Sojusz Lewicy Demokratycznej + Unia Pracy
569 311
5
2. Co by siê sta³o, gdyby SdPl nie przekroczy³a progu Unia Wolności
446 549
4
wyborczego piêciu procent? Kto by zgarn¹³ jej man-
Polskie Stronnictwo Ludowe
386 340
4
daty? Odp. PiS i SLD!
Socjaldemokracja Polska
324 707
3
3. Co by siê sta³o, gdyby 830 wyborców, którzy g³osowali na PSL, zmieni³o preferencje i zag³osowali na
A¿ siê prosi wzi¹æ arkusz kalkulacyjny i spraw-
LPR? OdpowiedŸ: PSL straci³oby mandat na rzecz...
dziæ te wyniki. To ³atwe i wci¹gaj¹ce zadanie. Poni¿ej PiS!
widzimy fragment tabelki z zaznaczonymi ilorazami -
tabelka nie obejmuje jeszcze 6 mandatów dla PO i jed-
W podstawie programowej Ministerstwa Eduka-
nego dla LPR.
cji Narodowej i Sportu jest nieodpowiedzialne zdanie
o tym, ¿e uczniowie maj¹ umieæ tworzyæ modele mate-
matyczne zjawisk. To jest nie do zrealizowania przy takim programie matematyki szkolnej. Niektóre rzeczy s¹
jednak dostêpne. Na przyk³ad pe³na dyskusja mo¿liwo-
œci rozdzia³u mandatów w okrêgu, w którym s¹ tylko
dwie partie. Oznaczmy procent g³osów na pierwsz¹ z
tych partii przez x; zatem na drug¹ partiê g³osuje 100 -
x. Niech n oznacza liczbê mandatów w tym okrêgu.
Badamy zatem „przebieg zmiennoœci” funkcji f ( x, n) okreœlonych wzorem f ( x, n) = liczba mandatów, jakie otrzyma pierwsza partia, gdy zdobêdzie x procent g³o-sów.
Jest to wystarczaj¹co ciekawe i wci¹gaj¹ce
zadanie. Polecam. W Excelu nale¿y pos³u¿yæ siê funk-
cjami licz.je¿eli i max.k oraz formatowaniem warunko-wym (¿eby wyró¿niæ kolorem odpowiednie pola) A co
dla trzech partii? Wyjdzie... chaos. Taki matematyczny, bo chaos wyborczy mamy, niestety, w kraju od dawna.
Matematyka jest wszêdzie. Mo¿na za pomoc¹
niej oszukiwaæ. Mo¿na tak¿e broniæ siê ni¹ przed mani-
M
pulacjami. Nie jest uniwersalnym sposobem na pozna-
Ł
wanie œwiata. Zacytujê ksiêdza profesora Józefa Tisch-
ODY
nera (Historia filozofii po góralsku, wyd. Znak): „No, nie jest dobrze! Ale, ¿eby by³o tak Ÿle, to te¿ nie powiem!”.
TECHNIK
Powodzenia w nowym roku szkolnym. !
1) Artyku³ ten napisa³em po wys³uchaniu wyk³adu Krzysztofa Ciesielskiego z UJ. Tekst i opracowanie przyk³adów jest w pe³ni mojego autorstwa (M. Sz.), jednak sam pomys³ nale¿y do prof.
Ciesielskiego. Artyku³ jest opublikowany za jego zgod¹.
52
8/2004