1 pa¹dziernika 2012 r.
Algebra liniowa z geometri¡ zestaw nr 1
Zadanie 1 Obliczy¢ dªugo±¢ podanych wektorów:
√
√
√
a) −
→
a = (3, −4, 12),
c) −
→
c =
3, − 5, 2 2,
−
→
√
−
→
√
√
√
b) b = − 7, 5, 7,
d) d = 2 2, −4 5, 2 3,
e) −
→
e = (% cos ϕ, % sin ϕ, h), gdzie % ≥ 0 oraz ϕ, h ∈ R.
−
→
Zadanie 2 Wektory −
→
a i b tworz¡ dwa s¡siednie boki trójk¡ta. Wyrazi¢ ±rodkowe tego
−
→
trójk¡ta przez wektory −
→
a i b .
Zadanie 3 Znale¹¢ wersor −
→
u , który:
a) le»y w pªaszczy¹nie xOy i tworzy k¡t α z dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox; b) tworzy z dodatnimi cz¦±ciami osi Ox, Oy, Oz odpowiednio k¡ty α, β, γ;
−
→
c) tworzy jednakowe k¡ty z wektorami −
→
a = (0, 3, −4), b = (8, 6, 0) i jest poªo»ony w pªaszczy¹nie wyznaczonej przez te wektory.
Zadanie 4 Niech X = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 1 ∨ 2 ≤ x ≤ 5}, Y = {y ∈ R : −3 ≤ y ≤
−1 ∨ 1 ≤ y ≤ 2}. Narysowa¢ zbiory:
a) X×Y ,
b) Y ×X,
c) A = {(x, y) ∈ 2
R : (x, y) ∈ X ×Y ∧ (x, y) ∈ Y ×X}.
Zadanie 5 Niech K = {k ∈ Z : −2 ≤ k ≤ 3} oraz L = {l ∈ Z : 1 ≤ l ≤ 4}.
a) narysowa¢ zbiory K × L i L × K;
b) wypisa¢ elementy zbioru L × (K ∩ M), gdzie M = {−1, 0, 3, 4}. Czy L × (K ∩ M) =
(L × K) ∩ (L × M )?
c) sprawdzi¢ czy (K ∩ M) × L = (K × L) ∩ (M × L); d) sprawdzi¢ czy (K ∪ M) × L = (K × L) ∪ (M × L); Zadanie 6 Rozwi¡za¢ ukªady równa«:
x +
y +
z =
0
−3x + 3y + 2z =
2
a)
3x −
y + 2z =
1
b)
x − 4y − 3z = −4
−x − 4y − 3z = −3
−2x + 2y + 4z =
8
x + y +
z + t = 3
c)
x − y −
z + t = 3
d)
−2x − 3y +
z = 1
2x − y + 2z − t = 3
−4x − 6y + 2z = 3
−x + y + 3z + t = 3
−3x + 6y =
0
e)
−x + 2y = −1
−2x + 4y = −3