Zakres zagadnie« z teorii obowi¡zuj¡cych na egzaminie z Matematyki I

2014//2015

Uwaga. Poni»szy wykaz zawiera tre±ci obowi¡zuj¡ce w cz¦±ci teoretycznej egzaminu. W cz¦±ci zadaniowej (polegaj¡cej

na rozwi¡zywaniu zada« bez konieczno±ci podawania wprost tre±ci wykorzystanych twierdze« lub denicji) obowi¡zuje caªy

zakres materiaªu.

1. Podaj denicj¦ i wªasno±ci funkcji parzystej i nieparzystej. Poj¦cie zilustruj przykªadami. Zbadaj, czy podana funkcja

jest parzysta lub nieparzysta.

2. Podaj denicj¦ funkcji ró»nowarto±ciowej, "na" i wzajemnie jednoznacznej. Poj¦cie zilustruj przykªadami. Zbadaj, czy

podana funkcja jest ró»nowarto±ciowa, "na" lub wzajemnie jednoznaczna.

3. Podaj denicj¦ funkcji rosn¡cej (odpowiednio: niemalej¡cej, malej¡cej, nierosn¡cej i staªej) w zbiorze. Podaj przykªady.

Co to jest funkcja monotoniczna? Sprawd¹, czy podana funkcja jest rosn¡ca (odpowiednio: niemalej¡ca, malej¡ca, nierosn¡ca,

staªa).

4. Podaj denicj¦ funkcji odwrotnej. Poj¦cie zilustruj przykªadami. Uzasadnij, »e podana funkcja posiada funkcj¦ odwrotn¡

i wyznacz j¡.

5. Podaj denicj¦ funkcji okresowej. Poj¦cie zilustruj przykªadami. Wyznacz okres podstawowy podanej funkcji.

6. Podaj denicj¦ i wymie« wªasno±ci funkcji f( x) = arc sin x (odpowiednio: arc cos x, arc tg x, arc ctg x), naszkicuj jej wykres.

7. Podaj denicj¦ ci¡gu ograniczonego (rosn¡cego, malej¡cego, niemalej¡cego, nierosn¡cego, staªego) oraz przykªady. Wyka»,

»e podany ci¡g jest ograniczony (rosn¡cy, malej¡cy, niemalej¡cy, nierosn¡cy, staªy).

8. Podaj denicj¦ granicy wªa±ciwej ci¡gu. Poj¦cie zilustruj przykªadami.

9. Podaj twierdzenia ilustruj¡ce zwi¡zek mi¦dzy zbie»no±ci¡ ci¡gu do granicy wªa±ciwej i jego ograniczono±ci¡.

10. Omów wªasno±ci dziaªa« na ci¡gach zbie»nych do granic wªa±ciwych. Podaj przykªady u»ycia tych wªasno±ci przy

obliczaniu granic.

11. Podaj tre±¢ twierdzenia o granicy iloczynu ci¡gu ograniczonego i ci¡gu zbie»nego do zera. Zastosuj to twierdzenie w

przykªadach obliczania granic.

12. Podaj tre±¢ twierdzenia o trzech ci¡gach i zilustruj jego zastosowanie w przykªadach.

13. Podaj denicj¦ (Cauchy'ego lub Heinego) granicy (wªa±ciwej) funkcji w punkcie.

14. Podaj wªasno±ci dziaªa« na granicach wªa±ciwych funkcji i przykªady ich zastosowania.

15. Podaj denicj¦ ci¡gªo±ci funkcji w punkcie. Podaj przykªady funkcji ci¡gªych i nieci¡gªych.

16. Omów wªasno±ci funkcji ci¡gªych, okre±lonych na przedziaªach domkni¦tych (tw. Weierstrassa, tw. o przyjmowaniu

warto±ci po±rednich, tw. Bolzano-Caychy'ego).

17. Podaj denicj¦ asymptoty pionowej i uko±nej. Wyznacz asymptoty podanej funkcji.

18. Omów rodzaje punktów nieci¡gªo±ci funkcji. Poj¦cie zilustruj przykªadami.

19. Podaj denicj¦ pochodnej funkcji w punkcie. Oblicz z denicji pochodn¡ podanej funkcji.

20. Podaj wzory na pochodn¡ iloczynu i ilorazu funkcji oraz wzór na pochodn¡ funkcji zªo»onej i funkcji odwrotnej. Podaj

przykªad zastosowania ka»dego z tych wzorów.

21. Omów interpretacj¦ geometryczn¡ pochodnej funkcji w punkcie. Wyznacz równanie stycznej do wykresu podanej funkcji.

22. Podaj denicj¦ ró»niczki i przykªad jej zastosowania do obliczen przybli»onych.

23. Podaj tre±¢ twierdzenia o rozwini¦ciu funkcji we wzór Taylora. Zapisz wzór Taylora dla podanej funkcji.

24. POdaj tre±¢ twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a.

1

25. Podaj tre±¢ reguªy de l'Hospitala i przykªad jej zastosowania.

26. Omów zwi¡zek pochodnej z monotoniczno±ci¡ funkcji. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci podanej funkcji.

27. Podaj warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji ró»niczkowalnej.

28. Podaj warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji. Wyznacz ekstrema lokalne podanej funkcji.

29. Podaj warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji n-krotnie ró»niczkowalnej. Zbadaj przy pomocy tego

warunku istnienie ekstremum lokalnego podanej funkcji.

30. Podaj denicj¦ funkcji wkl¦sªej i wypukªej. Poj¦cie zilustruj przykªadami.

31. Omów zwi¡zek wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji z pochodn¡. Zbadaj wkl¦sªo±¢ i wypukªo±¢ podanej funkcji.

32. Podaj warunek konieczny i warunek dostateczny istnienia punktu przegi¦cia. Wyznacz punkty przegi¦cia podanej funkcji.

33. Podaj denicj¦ caªki nieoznaczonej z funkcji f oraz jej wªasno±ci.

34. Podaj wzór na caªkowanie przez cz¦±ci i przykªad zastosowania.

35. Podaj twierdzenie o caªkowaniu przez podstawienie i przykªad zastosowania.

36. Podaj denicj¦ uªamka prostego pierwszego rodzaju i omów na przykªadach metody jego caªkowania.

37. Podaj denicj¦ uªamka prostego drugiego rodzaju i omów na przykªadach metody jego caªkowania.

38. Omów metod¦ caªkowania funkcji trygonometrycznych za pomoc¡ podstawienia uniwersalnego. Zagadnienie zilustruj

odpowiednio dobranym przykªadem.

39. Podaj wzór Newtona-Leibniza o zwi¡zku caªki oznaczonej i nieoznaczonej. Podaj przykªad u»ycia.

40. Podaj wªasno±ci caªki oznaczonej i jej interpretacj¦ geometryczn¡.

41. Podaj denicj¦ caªki niewªa±ciwej z funkcji, okre±lonej na przedziale nieograniczonym.

2