Mechanika techniczna I
Zagadnienia na egzamin z mechaniki technicznej I
1) S A T Y K A
a) Pojęcie siły, rodzaje sił.
b) Zasady statyki.
c) Tarcie, model tarcia Culomba, tarcie rozwinięte, i nierozwinięte, współczynnik tarcia, tarcie
liny na krążku stałum.
d) Para sił, dodawaniw par sił.
e) Redukcja układu sił, warunki równowagi układu sił, szczególne przypadki układów sił i ich
warunki równowagi.
f) Środki mas brył, sposoby wyznaczania położenia środka masy brył.
2) K I N E M A T Y K A
a) Równanie ruchu punktu materialnego.
b) Tor punktu materialnego.
c) Równanie torowe, prędkość i przyśpieszenie punktu materialnego, ruch jednostajny
i jednostajnie przyśpieszony (złożony) punktu materialnego, ruch krzywoliniowy
i prostoliniowy, ruch punktu materialnego po okręgu prędkość i przyśpieszenie linowe i
kątowe.
d) Ruch harmoniczny punktu materialnego.
e) Ruch przestrzenny ciała sztywnego.
f) Równania ruchu, prędkość i przyśpieszenie punktów ciała sztywnego w ruchu przestrzennym.
g) Liczba stopni swobody, ruch translacyjny i postępowy ciała sztywnego.
h) Ruch płaski ciała sztywnego, chwilowy środek Obrowu, prędkość i przyspieszenie punktów
ciała sztywnego w ruchu płaskim.
i) Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół osi stałej, dodawanie prędkości kątowych, prędkość i
przyśpieszenie ciała w tym ruchu.
j) Ruch złozony punktu materialnego, prędkość i przyspieszenie w tym ruchu przyśpieszenie
Corilisa
3) D Y N A M I K A
a) Zasady Newtona i prawo powszechnej grawitacji, zasada d Alemberta
b) Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny.
c) Pęd punktu materialnego i układu punktów materialnych.
d) Prawo zmienności pędu, prawo zachowania pędu.
e) Kręt punktu materialnego i układu punktów materialnych, prawo zmienności krętu i prawo
zachowania krętu.
f) Zasada ruchu układu punktów materialnych, moment bezwładności układu punktów
materialnych i ciał sztywnych, definicje, podstawowe wnioski, twierdzenie Szteinera.
g) Energia kinetyczna i potencjalna, energia mechaniczna, prawo zachowania energii,
twierdzenie Koeniga dla układu punktów materialnych i ciał sztywnych.
h) Prawo zmienności energii kinetycznej dla układu punktów materialnych.
i) Płaski ruch ciała sztywnego, wahadło fizyczne.
j) Ruch kulisty ciała sztywnego, równanie Eulera.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 1
Mechanika techniczna I
S T A T Y K A
a) Pojecie siły, rodzaje siły
a. Siła  wielkość fizyczna będąca miarą mechanicznego i wzajemnego oddziaływania ciał
na siebie. Posiada atrybuty wektora (wartość, kierunek, zwrot, punkt przyłożenia)
b. Rodzaje sił
�� Siła zachowawcza  siła dla, której można określić potencjał V, z którym
związana jest energia potencjalna U. związek siły z energią potencjalną
wyraża wzór:
�
= -"
Do takich sił stosuje się zasadę zachowania energii
�� Siła centralna  siła, której wartość zależy od odległości od z
ródła. Siły
centralne są zawsze zachowawcze, mają potencjał zależny tylko od odległości
od żródła i spełniają zasadę zachowania momentu pędu. Siłami centralnymi
są np. siła grawitacji kuli lub siła elektrostatyczna ładunku punktowego.
b) Zasady statyki
a. I zasada (I zasada Newtona)
Jeżeli na układ mechaniczny nie działają żadne siły lub działające siły stanowią układ
sił będący w równowadze to układ mechaniczny pozostaje w spoczynku lub porusza
się ruchem jednostajnym prostym prostoliniowym
, , & , ~ 0
b. II zasada
Układ dwóch sil równoważnych co do wartości i przeciwnego zwrotu działających w
tym samym punkcie i wzdłuż tej samej prostej jest w równowadze.
=
~ �! , ~ 0
c. III zasada
Gdy na ciało sztywne działą układ dwóch sił równoważnych co od wartości i
przeciwnego zwrotu działających w dwóch różnych punktach ciała sztywnego wzdłuż
tej samej prostej to ciało sztywne pozostaje w równowadze.
S
~
, ~ 0
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 2
Mechanika techniczna I
d. IV zasada
Układ dwóch sił działających w jednym punkcie jest równoważny jednej sile
działającej w tym punkcie i będącej sumą dwóch pozostałych.
+ =
, ~
e. V zasada
Każdy układ sił można zastąpić innym układem sił równoważnym jemu.
f. VI zasada
Dwa układy sił różniące się miedzy sobą, układem równoważnym (układem
zrównoważonym) są równoważne sobie
- ~ 0 �! ~
g. VII zasada (zasada więzów)
Jeżeli ruch zrównoważonego układu mechanicznego jest ograniczony innym układem
mechanicznym to te inne układy nazywamy więzami założonymi na zrównoważony
układ mechaniczny. Układ mechaniczny, który nie jest skrępowany żadnymi więzami
nazywamy układem mechanicznym swobodnym. W przeciwnym wypadku rozważany
układ mechaniczny jest skrępowany. Rozważany układ można uwolnić od więzów
zastępując je siłami reakcji (reakcji więzów).
c) Tarcie, model tarcia Culomba, tarcie rozwinięte i nie rozwinięte, współczynnik tarcia, tarcie
liny na krążku stałym.
a. Tarcie  Dwa ciała, które są ze sobą w kontakcie stykowym, do, których przyłożono
siłę sprawczą próbującą porzesunąć te ciała, powoduje poślizg na styku i przesunięcie
się tych ciał. Te dwa ciała nazywamy parą cierną. Na ich styku działają siły tarcia. Do
momentu gdy siły tarcia nie pozwalają na poślizg, tarcie nazywamy nie rozwiniętym.
Po przekroczeniu sił tarcia następuje poślizg. W tedy tarcie nazywamy rozwiniętym.
b. Własności tarcia:
�� Zależy od rodzaju powierzchni pary ciernej
�� Niezależny od pola powierzchni styku i prędkości wzajemnego poślizgu
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 3
Mechanika techniczna I
c. Współczynnik tarcia  wielkość charakteryzująca siłę tarcia
d. Tarcie liny na krążku stałym
=
k  kąt opasania
d) Para sił, dodawanie pary sił
a. Para sił  diwe siły równej wartości, tego samego kierunku, przeciwnych zwrotów
przeciwnym zwrocie i różnych liniach działania.
Moment pary sił względem punktu to suma momentów tych sił względem tego
punktu
b. Dodawanie pary sił
= , ,
= , ,
= + , + , +
e) Redukcja układu sił, warunki równowagi układu sił, szczególne przypadki układów sił i ich
warunki równowagi
a. Redukcja dowolnego układu sił P1, P2, & , Pn działających na ciało sztywne można
zastąpić siłą R przyłożoną do dowolnie wybranego środka redukcji O, równą sumie
geometrycznej wszystkich sił układu oraz parą sił o momencie MO równej sumie
geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.
b. Dowolny układ sił jest w równowadze jeżeli suma rzutów wszystkich sił na osie
przyjętego układu odniesienia jest równa zeru i suma momentów względem trzech osi
układu jest równa zeru.
c. Szczególne przypadki układów sił:
�� Płaski układ sił  to taki układ sił, którego wszystkie wektory sił leżą na jednej
płaszczyz
nie.
�� Zbieżny układ sił  to taki układ sił, w którym linie działania sił przecinają się
w jednym punkcie (mogą być układy zbieżne płaskie i przestrzenne)
�� Układ równoległy  to taki układ, w którym wszystki siły mają ten sam
kierunek działania (układ sił przestrzenny lub płaski)
�� Układ jednowymiarowy (liniowy)  to taki układ sił w którym wszystkie siły
mają wspólną linię działania.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 4
Mechanika techniczna I
d. Warunki równowagi sił w szczególnych przypadkach
Warunek Ogólny Zbieżny Liniowy Zbieżny Równo. Liniowy Ogólny
równowagi 3D 3D 3D Oz 2D 2D 2D Ox 2D
=
+ + - + - + +
=
+ + - + + - +
=
+ + + - - - -
=
+ - + - - - -
=
+ - + - - - -
=
+ - - - + - +
f) Środki mas brył, Sposoby wyznaczania położeń środków mas brył.
a. Środek mas brył to taki punkt o współrzędnych (xm, ym, zm), że:
ż# =
�#
=
�#
�# =
�#
= dx, dy, dz => dV
=
= = = =

1
= =


1
=
=


1
=
=



= + +
1
=

1
=


Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 5
Mechanika techniczna I
b. Sposoby wyznaczania położenia środka masy brył
�� Metoda grupowania
Jeżeli ciało sztywne da się podzielić na dwa ciała takie
że:
*" = '" )" = "
= +

1 1
= = + =


1
( )
= +

�� Metoda symetrii geometrycznej (dla ciał jednorodnych)
I. Jeżeli jednorodne ciało sztywne ma płaszczyznę symetrii to środek
masy tego ciał leży na tej płaszczyz
nie
II. Jeżeli jednorodne ciało sztywne ma oś symetrii to środek masy tego
ciał leży na tej osi
III. Jeżeli ciało ma środek symetrii to jest on jednocześnie środkiem
masy tego ciała
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 6
Mechanika techniczna I
K I N E M A T Y K A
A. Równanie ruchu punktu materialnego
a. Równanie ruchu punktu materialnego  równanie opisujące drogę po jakiej
porusz się punkt materialny

( )
ż# = 1 + cos
2
�#


= sin
�# 2

�#
= sin
�#
2
B. Tor punktu materialnego
a. Tor punktu materialnego  krzywa opisana w czasie przez koniec wektora r.
Tor ruchu punktu materialnego nazywany jest również trajektorią. Są to
kolejne punkty położenia punktu w przestrzeni na którym punkt był jest lub
będzie.
C. Równanie torowe, prędkość i przyśpieszenie punktu materialnego, ruch jednostajny i
jednostajnie przyśpieszony (zmienny) punktu materialnego, ruch krzywoliniowy i
prostoliniowy, ruch punktu materialnego po okręgu, przyśpieszenie liniowe i kątowe.
a. Równanie toru  zależnośc pomiędzy wsółżednymi x, y, z, z których usunięto
czas
b. Prędkość  prędkość punktu materialnego to wektor styczny do toru ruchu
punktu materialnego charakteryzująca zmianę przebytej drogi.
"
= lim =
"
"
c. Przyśpieszenie  wektorowa wartość fizyczna określająca zmianę prędkości w
czasie. Przyspieszenie definiuje się jako pochodna prędkości po czasie, czyli
jest szybkością zmiany prędkości w czasie. Jeżeli przyspieszenie ma zwrot
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 7
Mechanika techniczna I
przeciwny do prędkości to wartość prędkości w danym ruchu,
a przyśpieszenie nazywane jest opóz
nieniem.

= =

d. Ruch jednostajny punktu materialnego  ruch w którym punkt materialny w
takich samych przedziałach czasu punkt pokonuje takie same odcinki drogi.

= = .

e. Ruch jednostajnie przyspieszony (zmienny) punktu materialnego 
prostoliniowy ruch w którym wartość przyśpieszenia jest stała
= .
Jest to ogólny przypadek ruchu jednostajnie przyśpieszonego (a>0) i
opóz
niony (a<0).
f. Ruch krzywoliniowy  ruch punktu materialnego po linii krzywej. gdy tor jest
krzywą przestrzenną, kierunkami naturalnymi są krawędzie tak zwanego
Trójścianu Freneta, które tworzą wzajemnie prostopadłe płaszczyzny
związane z punktem materialnym poruszającym się po krzywej.

= " =

| | | |
= = = 1
= �
g. Ruch po okręgu punktu materialnego  jest szczególnym przypadkiem ruchu
krzywoliniowego.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 8
Mechanika techniczna I

= 2 = = = +

360

= = = = - ę


= = =
30
h. Prędkośc kątowa  wielkość opusująca ruch obrotowy. Jest wektorem
leżącym na osi obrotu i skierowany zgornie z regółą śruby prawoskrętnej.

[ ]
= = =
30
i. Przyśpieszenie kątowe  równe co do wartości pochodnej względem czasu
prędkości kątowej, lub drugiej pochodnej względem czasu kąta obrotu. Jest
wektorem leżącym na osi obrotu i skierowany zgornie z regółą śruby
prawoskrętnej.

[ ]
= = =

Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 9
Mechanika techniczna I
D. Ruch charmoniczny punktu maerialnego
a. Jeżeli punkt porusza się ruchem jednostajnym po okręgu to rzut tego punktu
na oś średnicy porusz się ruchem charmonicznym
2
( )
= sin + , =


( )
= = cos +


( )
= = = sin +

= -
E. Ruch przestrzenny ciała sztywnego
a. Ciało sztywne  zbór punktów, których wzajemne odległości są stałe
b. Ruch ciała sztywnego w przestrzeni jest jednozmnacznie określony przez
równania róchu trzech punktów nieleżących na jednej prostej.
c. Translacja  ruch postępowy w przestrzeni którego kierownice są liniami
prostymi
Wprowadza się wektor translacji u o który wszystkie punkty są przesunięte.
d. Każdą figurę F można przeksztacić w fifurę F bez oderwania od płaszczyzny
na której leży, za pomocą jednej tranclacji i jednego obrotu, na wiele
sposobów.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 10
Mechanika techniczna I
F. Równania ruchu, prędkość i przyśpieszenie punktów ciała sztywnego w ruchu
przestrzennym
a. Ruch ciała sztywnego może być określony wektorowymi równaniami ruchu
trzech punktów A, B, C.
( )
=
( )
=
( )
=
Warunek aby rozpatrywane trzy punkty nie leżały na jednej prostej, można
zapisać następująco
( - � - `" 0
) ( )

Równanie ruchu trzech punktów można obrać dowolnie
| - = , - = , - = ,
| | | | |

b. W ciele sztywnym, podczas dowolnego ruchu, rzuty wektorów prędkości
dwóch jej dowolnych punktów na prostą łączącą te punkty są równe.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 11
Mechanika techniczna I

= - /


= -

= =


= - /"


( )
= -


( ) ( )
= 0 - � - `" 0

" = " �! cos = sin
G. Liczba stopni swobody, ruch translacyjny i postępowy ciała sztywnego.
a. Ciało sztywne w przestrzeni posiada sześć stopni swobody
Po nałozeniu na ciało sztywne pewnych ograniczeń ruchu (więzów)
zmaniejszamy liczbę stopni swobody
Stopnie swobody to możliwości ruchu ciała (trzy ruchy postępowe, trzy
oborty).
G
h
j
g
h
j
g
h
j
b. Ruch postępowy ciała sztywnego  najprostrzy przypadek ruchu ciała
sztywneg w którym wszystkie jego punkty doznają tych samych przesunięć.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 12
Mechanika techniczna I
c. Równania ruchu
( ) ( ) ( )
= +
( ) ( ) ( )
= +
( ) ( ) ( )
= +
Po zróżniczkowaniu powyższych równań otrzymujemu równania prędkości
d. Prędkość
( )

= = =

e. Przyśpieszenia
( )

= = =

H. Ruch płaski ciała sztywnego, chwilowy środek obrotu, prędkość i przyśpieszenie
punktów ciała sztywnego w ruchu płaskim
a. Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej
płaszczyzny zwanej płaszczyzną ruchu płaskiego (płaszczyzną kierującą).
Dowolne przesunięcie figury płaskiej w jej płaszczyz
nie może być dokonane
za pomocą przesunięcia równoległego, równego przesunięciu dowolnie
obranego punktu A tej figury oraz obrotu wokół punktu zwanego chwilowym
środkiem obrotu.
b.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 13
Mechanika techniczna I
= + =

= = + = � = �


0 0 
= + � = +
( - - 0
) ( )

c.

( )
= = + � + � = + � + � �

I. Ruch złożony punktu materialnego, prędkość i przyśpieszenie w tym ruchu,
przyspieszenie Coriolisa
a. Ruch punktu M względem układu nieruchomego OXYZ nazywamy ruchem
bezwzględnym. Ruch punktu M względem układu ruchomego Oxyz
nazywamy ruchem względnym. Ruch układu ruchomego O xyz względem
układu nieruchomego OXYZ nazywamy ruchem unoszenia.
Ruch unoszenie można określić inaczej, że jest to ruch punktu M, jaki
wykonałby on względem układu nieruchomego OXYZ, gdyby go w danej
chwili sztywno związać z układem O xyz.
Położenie punktu M jest określone wektorem rm, który jest sumą wektorów
r0 i r
= +
Gdzie
= + +
= + +
Prędkość w ruchu złożonym punktu
Badany układ ruchomy dodatkowo obraca się wokół prostej l

= + /


= = +

Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 14
Mechanika techniczna I

Gdzie = jest to prędkość unoszenie w ruchu postępowym układu

ruchomego O xyz.
" ""

= + + + + +

_________________________________________________________________

" = + +


"" = � , = � , = �

Więc

= + � + + = + �

Po podstawieniu do zależności na Vm uzyskujemy prędkość bezwzględną
punktu M w ruchu złożonym
= + � + = +
Ponieważ + � = jest całkowitą prędkością unoszenie punktu M
(w ruchu postępowym i obrotowym).
Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest wypadkową
prędkości unoszenia Vu i prędkości względnej Vw.
Przyśpieszenie w ruchu złożonym

= + � + /

" "" """ """"

= = + � + � +

Gdzie (*) = jest składową przyspieszenie unoszenia w ruchu

postępowym układu ruchomego O xyz, natomiast (**) � = � =

jest kładową styczną przyspieszenia unoszenia w ruchu obrotowym układu
ruchomego

( )
""" � = � + � � = � +

Gdzie aunjest składową normalną przyspieszenia unoszenia, wynikającą z
ruchu obrotowego układu ruchomego.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 15
Mechanika techniczna I

"""" = + + =

"""""
""""""


= + + + + +

Gdzie pierwsze trzy wyrazy (*****) są składowymi przyspieszenia
względnego aw

= + +

Natomiast trzy (******) ostatnie wyrazy, przedstawiają iloczyn wektorowy
� . Po uwzględnieniu dotychczasowych rozważań wzór na przyspieszenie
bezwzględne punktu M wygląda następująco:
[ ( )]
= + � + � � + + 2 �
Gdzie wyrażenie w nawiasie kwadratowym przedstawia przyśpieszenie
unoszenia au = + + . Ostatni wyraz przedstawia
przyspieszenie Coriolisa.
= 2 �
Po uwzględnieniu wszystkich zależności wynika, że:
= + +
Przyspieszenie bezwzględne aM punktu M w ruchu złożonym równa się sumie
wektorowej przyspieszeń unoszenia au, względnego aw i Coriolisa ac
b. Przyśpieszenie Coriolisa jest związane z obrotem badanego układu.
Przyśpieszenie Coriolisa jest podwojonym iloczynem wektorowym prędkości
kątowej i prędkości względnej.
= 2 �
Przyśpieszenie Coriolisa jest równe zeru, jeżeli �=0, albo Vw=0 , lub jeżeli
wektor � jest równoległy do Vw. Przyśpieszenie to jest wektorem
prostopadłym do płaszczyzny utworzonej przez wektory � oraz Vw . Wartość
wektora wynosi
( )
= 2 sin "" ,
Zwrot wektora ustalmy zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 16
Mechanika techniczna I
Przyspieszenie Coriolisa wywołane obrotem kuli ziemskiej jest bardzo małe i
dlatego zwykle się je pomija, uważając Ziemię na nieruchomy układ
odniesienia. Na przykład przy prędkości pociągu Vw = 108 m/s = 30 m/s
jadącego po południku z południa Ana północ naszerokości geograficznej
Radomia �=51O, mamy:

= 2 sin 51 = 2 " 0,7288 " 10 " 30 " 0,777 = 34 " 10

Co stanowi znikomy procent przyśpieszenia ziemskiego g (ac=0.034% g)
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 17
Mechanika techniczna I
D Y N A M I K A
a) Zasady Newtona, prawo powszechnej grawitacji, zasada d Alemberta
a. I zasada Newtona (Zasada bezwładności)
W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub
siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1726 edition):
Lex I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi
uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur
statum suum mutare.
Każde ciało trwa w swym stanie spoczynku lub ruchu prostoliniowego
jednostajnego, jeżeli siły przyłożone nie zmuszą ciała do zmiany tego
stanu.
b. II zasada Newtona
Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa Fw
jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost
proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do
masy ciała
1
= =

(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1726 edition):
Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et
fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły poruszającej i
odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona.
Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły wypadkowej
�

�
=

c. III Zasada Newtona (Zasada akcji i reakcji)
Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania
dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne
zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 18
Mechanika techniczna I
(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1726 edition):
Lex III. Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem; sive
corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes
contrarias dirigi.
Względem każdego działania istnieje przeciwdziałanie zwrócone
przeciwnie i równe, to jest wzajemne działania dwóch ciał są zawsze
równe i zwrócone przeciwnie.
d. Prawo powszechnego ciążenia.
Między dowolną parą ciał posiadających masę pojawia się siła
przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie
z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.

= " H" 6,67 " 10
"
e. Zasada d Alemberta
Każdy problem dynamiki może być sprowadzony do problemu statyki po
dodaniu fikcyjnych siła d Alemberta, które równoważy układ sił
- = 0
+ = 0
b) Wahadło matematyczne, oscylator harmoniczny.
a. Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony na
nierozciągliwej i nieważkiej nici w polu grawitacyjnym. Jest to idealizacja
wahadła fizycznego.
Okres drgań dla małych �

= 2

Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 19
Mechanika techniczna I
Okres drgań dla dużych � (wahania o
dużej amplitudzie)

( )
2 !
= 2 " " sin
( )
2 " ! 2

b. Oscylator harmoniczny to model
teoretyczny służący opisowi drgań
wykonywanych przez punkt
materialny o masie m pod wpływem
działania sił proporcjonalnych (np.
sprężystości i lub grawitacji) do
chwilowego wychylenia x od
pewnego położenia równowagi. W
mechanice klasycznej jednym z wielu
przedstawień tego modelu jest masa na sprężynie wykonujące drgania
swobodne nie tłumione.
P. równowagi
= =

=


[ ]
=

W czasie drgań
 + = 0 - ó ń
= sin


=

Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 20
Mechanika techniczna I
c) Pęd punktu materialnego i układu punktu materialnego
a. Pęd w mechanice to wielkość fizyczna opisująca ruch obiektu fizycznego.
Pęd mogą mieć wszystkie formy materialne; np. ciała o niezmiennej
masie spoczynkowej, pole elektromagnetyczne, pole grawitacyjne. Pęd
punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości V. Pęd
jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z
kierunkiem i zwrotem wektora prędkości.
=
"
[ ] "
= [ ]

W odniesieniu do II zasady Newtona
Dla m = const.

= = = =

b. Pęd układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej pędów
wszystkich punktów układu. Można łatwo udowodnić, że pęd układu jest
równy całkowitej masie pomno0żonej przez prędkość środka masy
układu
Pęd układu punktów materialnych zmienia się tylko wtedy gdy działa na
nie siła zewnętrzna. Jeżeli układ rozpada się w wyniku działania sił
wewnętrznych na części to suma pędów części jest równa pędowi układu
przed rozpadem. Podobnie się dzieje przy łączeniu się części w układ.
Zderzenie ciał możemy traktować jako złączenie i rozłączenie układu ciał.
d) Prawo zmienności pędu, Prawo zachowania pędu.
a. Prawo zachowania pędu
Jeżeli na punkt materialny działa samo zrównoważony układ sił (siły
działające równoważą się, Fw=0), to pęd jest wektorem stałym.
= 0

= = 0 �! = = .

b. Prawo zmienności pędu (zasada pędu i popędu)
Przyrost pędu układu punków materialnych w skończonym przedziale
czasu jest równy popędowi wektora siła zewnętrznych działających na
ten układ

=

= �! ę ł
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 21
Mechanika techniczna I
e) Kręt punktu materialnego i układu punktów materialnych, prawo zmienności
krętu i prawo zachowania krętu.
a. Kręt (moment pędu) punktu materialnego o pędzie P, którego położenie
opisane jest wektorem wodzącym r względem obranego układu
odniesienia definiuje się jako wektor będący rezultatem iloczynu
wektorowego wektora położenia i pędu.
= �
| | | | | |
= � = " " sin

=
= � = � =

( )
= - + - + -

Gdzie:
m  masa punktu materialnego;
xm, ym, zm  współrzędne punktu materialnego;
Vx, Vy, Vz  składowe prędkości punktu materialnego;
b. Kręt układu punktów materialnych jest równy sumie wektorowej krętów
punktów wchodzących w skład układu. Kręt układu jest równy iloczynowi
pędu układu i wektora wodzącego rozpiętego pomiędzy obranym
punktem odniesienia i środka masy układu.
c. Prawo zachowania krętu  dla dowolnego izolowanego układu punktów
materialnych całkowita suma krętu jest stała.
Lub
Moment pędu bryły sztywnej pozostaje stały, gdy nie działają na nią
żaden moment siły zewnętrznej.

= . = 0


( )
= 0
d. Prawo zmienności krętu
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 22
Mechanika techniczna I
f) Zasada ruchu układu punktów materialnych , momenty bezwładności układu
punktów materialnych i ciał sztywnych, twierdzenie Sztainera
a. Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak,
jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przy
łożone były wszystkie siły zewnętrzne
b. Moment bezwładności to maira bezwładności ciała w ruchu obrotowym
względem określonej i ustalonej osi obrotu. Im większy momen ciała Tm
trudniej wpłynąć na ruch ciała np. zmienić prędkość kątową. Moment
ciała zależy od wyboru osi obrotu, kształtu ciała i od rozmieszczenia masy
w tym ciele.
c. Moment bezwładności punktu materialnego
=
Gdzie:
m  masa punktu
r  odległość punktu od osi
d. Moment bezwładności układu n punktów materialnych

= =


Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej obracającej się
względem pewnej osi, z pewną prędkością kątową � względem tej osi
można wyznaczyć energię kinetyczną tej bryły.

=
2
Walec Walec wydrążony Kula Sfera cienkościenna
2 2
= = = =
2 5 3
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 23
Mechanika techniczna I

= =
3 12
e. Zasada Szteinera  moment bezwładności układu punktów materialnych
względem pewnej osi równa się momentowi układu punktów
materialnych względem osi równoległej do tej wyjściowej przechodzącej
przez środek masy układu punktów materialnych w sumie z iloczynem
masy układy punktów materialnych i kwadratu odległości między osiami
= +
Gdzie:
I0  moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek
masy.
I  momen względem obranej pierwotnie osi
m  masa układu punktów materialnych
r  odległość między osiami
g) Energia kinetyczna, Energia potencjalna, energia mechaniczna, prawo
zachowania energii, twierdzenie Koeniga dla układu punktów materialnych i ciała
sztywnego.
a. Energia kinetyczna to energia ciała lub układu punktów materialnych
związanych z jego ruchem. Dla obiektów o masie m i prędkości V dużo
mniejszych od prędkości światła (V<
= [ ] [ ]
= ż
2
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie
energii kinetycznych wszystkich punktów materialnych wchodzących w
skład układu:


= =
2

Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 24
Mechanika techniczna I
b. Energia potencjalna  energia jaką ma układ ciał umieszczony w polu siłą
zachowawczych, wynikająca z rozmieszczenia tych ciał. Równa jest pracy
jaką trzeba wykonać, aby uzyskać daną konfigurację wychodząc od
innego rozmieszczenia, dla którego umownie przyjmuje się wartość
równą zero. Konfigurację odniesienia dobiera się w taki sposób aby ukła
miał t tej konfiguracji minimum energii potencjalnej. Podobnie jak
energię pracę energię potencjalną mierzymy w dżulach [J].
I. W pobliżu powierzchni ziemi
= = ! = !
II. W centralnym polu grawitacyjnym

=

III. Energia potencjalna sprężystości sprężyny


= =
2

c. Energia mechaniczna  suma energii kinetycznej i potencjalnej. Jest
postacią energii związanej z ruchem i położeniem obiektu fizycznego
(układu punktów materialnych , ośrodka ciągłego, itp.) względem
pewnego układu odniesienia.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 25
Mechanika techniczna I
d. Twierdzenie Koeniga  energia kinetyczna układu punktów materialnych
i ciała sztywnego jest równa sumie energii kinetycznej ruchu
postępowego i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka
masy C układu.

1 1
= +
2 2

e. Prawo zachowania energii  empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w
układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała
(nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie
izolowanym nie może być ani utworzona ani zniszczona, może jedynie
zmieniać swe formy. Tak na przykład podczas spalania wodoru w tlenie
energia chemiczna zmienia się w energię cieplną.
h) Prawo zmienności energii kinetycznej dla układu punktów materialnych.
a. Różnica energii kinetycznych nie izolowanego układu punktów
materialnych między położeniem początkowym i końcowym układu jest
równa pracy sił zewnętrznych, wykonanych na drodze między
położeniami krańcowymi układu.
- =
i) Płaski ruch ciała sztywnego, wahadło fizyczne.
a. Płaski ruch ciała sztywnego
Ruch swobodny ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe osie obrotu
nie zmieniające kierunku pozostają stale w równowadze do głównej
centralnej osi bezwładności tego ciała.
W celu otrzymania dynamicznych równań ruchu ciała sztywnego podczas
działania obciążeń zewnętrznych w postaci sił P1, P2, & , Pn zastosujemy
dynamiczne równanie ruchu postępowego i zasadę krętu w ruchu
obrotowym.
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 26
Mechanika techniczna I

 =



 =



=

Gdzie:
 ,  - składowe przyspieszeń środka masy

- Moment bezwładności ciała względem osi z
- przyśpieszenie kątowe względem osi z
b. Wahadło fizyczne  bryła sztywna zawieszona lub zamocowana ponad
swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyz
nie drgania
pod wpływem siły grawitacji. W wahadle fizycznym, bryła sztywna może
wykonywać obroty dokoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem
ciężkości tej bryły.
Wzór na okres drgań

= 2



= 2


=

Gdzie:
L0  odległość zredukowana wahadła
d  odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości
g  przyśpieszenie ziemskie
I  moment bezwładności ciała względem osi obrotu
m  masa ciała
c. Wahadło Foucaulta
Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. dzięki działaniu siły
Coriolisa spowodowanej obrotem ziemi, płaszczyzna drgań wahadła
ulega powolnemu obrotowi
24!
H"
sin
Gdzie:
�  szerokość geograficzna na której znajduje się wahadło
h  długość liny na której wisi masa
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 27
Mechanika techniczna I
j) Ruch kulisty ciała sztywnego, równanie Eulera.
a. Ruch kulisty ciała sztywnego
b. równanie Eulera

( )
=

Po uwzględnieniu układu ruchomego
"
""
"
( )
= + � =

* pochodna krętu w układzie ruchomym
**unoszenie
Założenie: osie układu O1x y z są głównymi osiami bezwładności

= + + + + + � + + =

= 2 + 2 + 2

Po przekształceniach:
2

2 = + 2 - 2 2 2 = 2


2

( )
2 = + 2 - 2 2 2 = 2


2

2 = + 2 - 2 2 2 = 2


Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 28
Mechanika techniczna I
S U P L E M E N T
a) Działania na wektorach
a. Dodawanie wektorów
= , ,
= , ,
= +
= + , + , +
b. Iloczyn skalarny - jego wynikiem jest liczba
" =
" = " " cos ""( , )
`" 0 '" `" 0 " = 0 �! cos ""( , ) = 0
" = + + =
c. Iloczyn wektorowy
� =
= " " sin ""( , ) "" , =
Ą" '" Ą"

( )
= = - + - + -


= -
= -
= -
Copyright � Mateusz Citak 2011 Strona 29