WZORY DO WYZNACZANIA PRZEMIESZCZEC

W celu wyznaczenia przemieszczenia należy dany układ rozwiązać od 2 obciążeń:
1. Od obciążenia stanowiącego przyczynę wywołującą szukane przemieszczenie,
2. Od obciążenia "jednostkowego" przyłożonego w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia.
Uwaga: Jedno z tych rozwiązań może być wirtualne co w praktyce oznacza, że wystarczy by było
statycznie dopuszczalne, to jest by spełniało równania równowagi. Może ono być uzyskane w drodze
rozwiązania dowolnego izostatycznego modelu układu. We wzorach oznaczono je nadkreśleniem.
PRZEMIESZCZENIA OD OBCI
ŻEC
SIA
AMI
i F i F i F
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ssi Å" SsF
"iF = "F = Å" dx + Å" dx + Å" dx + =
i "
+" +" +"
EI EA GA ks
s
i F i F i F i
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ss Å" SsF
= Å" dx + Å" dx + Å" dx + =
"
+" +" +"
EI EA GA ks
s
i F i F i F i
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ss Å" SsF
= Å" dx + Å" dx + Å" dx + .
"
+" +" +"
EI EA GA ks
s
PRZEMIESZCZENIA OD BA

DÓW MONTAŻU I PRZEMIESZCZEC
PODPÓR
i " i " i " "
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ssi Å" Ss
"i" = "" = Å" dx + Å" dx + Å" dx + +
i "
+" +" +"
EJ EA GA ks
s
i " i i " i
+ Å" "Õm + Å" "L" + Å" "hv - Å" "r =
"M m "Nn n "Vv "Rr
m n v r
"
i " i i i
= Å" "Õm + Å" "L" + Å" "h - Å" "r .
"M m "Nn n "Vv "Rr
m n v r
v
PRZEMIESZCZENIA OD ZMIAN TEMPERATURY
i T i T i T T
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ssi Å" Ss
i T i
"iT = "T = Å" dx + Å" dx + Å" dx + + Å" "dÕ + N Å" "dLT =
i "
+" +" +" +"M +"
EI EA GA ks
s
i T i
= Å" "dÕ + N Å" "dLT ,
+"M +"
Ä…T Å" ("Tw - "Tp) ("Tw Å" hp + "Tp Å" hw)
T
gdzie "dÕ = Å" dx, "dLT = Ä…T Å" "To Å" dx = Ä…T Å" Å" dx .
h h
Gdy przekrój jest symetryczny hw = hp = h / 2 , "To = ("Tw + "Tp) / 2 .
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
Zwykle wyrażenia i Ä…T Å" "To sÄ… na dÅ‚ugoÅ›ci okreÅ›lonych przedziałów staÅ‚e.
h
W tym przypadku wzory te przyjmują postać:
i T i T i T T
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ssi Å" Ss
"iT = "T = Å" dx + Å" dx + Å" dx + +
i "
+" +" +"
EI EA GA ks
s
ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
öÅ‚
+ Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) =
ìÅ‚ ÷Å‚
" i " i
p
h
p p
íÅ‚ Å‚Å‚
p
ëÅ‚Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
öÅ‚
= Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) ,
ìÅ‚ ÷Å‚
" i " i
p
h
p p
íÅ‚ Å‚Å‚
p
DLA KRATOWNIC:
i F i F i F
F i F i
N Å" N
Ssi Å" Ss N Å" N Ss Å" Ss N Å" N Ss Å" SsF
p p p p p p
"iF = "F = Å" Lp + Å" Lp + Å" Lp +
= =
" " " " " "
i
E Ap ks p E Ap ks p E Ap ks
p s s s
p p p
i "
"
N Å" N
Ssi Å" Ss
p p
i i i i
"i" = "" = Å" Lp + + Å" "L" - Å" "r = Å" "L" - Å" "r
i " " "N "Rr "N p p "Rr
Ep Ap ks p p p
p s r p r
i T
T
N Å" N
Ssi Å" Ss
p p
i i
"iT = "T = Å" Lp + + Å" "LT = Å" "LT gdzie "LT = Ä…T p Å" Lp Å" "Top .
i " " "N "N p p p
Ep Ap ks p p p
p s p
1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 26.02.07
W układach izostatycznych rozwiązania rzeczywiste są identyczne z wirtualnymi (statycznie
dopuszczalnymi): M = M , N = N, V = V , R = R, S = S.
a zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażu nie wywołują żadnych sił:
" " " " " " " " "
M = M = 0, N = N = 0, V = V = 0, R =R" = 0, S = S = 0,
T T T T T T T T T
M = M = 0, N = N = 0, V = V = 0, R =RT = 0, S = S = 0.
StÄ…d
DLA UKA
ADÓW IZOSTATYCZNYCH
i F i F i F i
M Å" M N Å" N º Å"V Å"V Ss Å" SsF
"iF = "F = Å" dx + Å" dx + Å" dx + ,
i "
+" +" +"
EI EA GA ks
i " i i " i
"i" = "" = Å" "Õm + Å" "L" + Å" "hv - Å" "r .
i "M m "Nn n "Vv "Rr
m n v r
i T i
"iT = "T = Å" "dÕ + N Å" "dLT .
i
+"M +"
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
Gdy wyrażenia i Ä…T Å" "To sÄ…, na dÅ‚ugoÅ›ci okreÅ›lonych przedziałów, staÅ‚e
h
Ä…T Å" ("Tw - "Tp)
öÅ‚
"iT = "T = Å" &!M + (Ä…T Å" "To Å" &!N ) ,
ìÅ‚ ÷Å‚
i i
i "ëÅ‚ "
p
h
p íÅ‚ Å‚Å‚ p
p
Dla kratownic izostatycznych
i F
i
N Å" N
Ss Å" SsF
p p
i i i
"iF = Å" Lp + , "i" = "" = Å" "L" - Å" "r "iT = "T = Å" "LT .
" " i "N p p "Rr i "N p p
Ep Ap ks
p s p r p
PRZYJ
TE OZNACZENIA
Oznaczenie wielkości składa się z symbolu oznaczającegotę wielkość i indeksów dolnych oraz górnych.
SYMBOLE oznaczające określone wielkości:
" - przemieszczenie (może to być przesunięcie, kąt obrotu lub dowolna suma przemieszczeń a w tym
wzajemne przemieszczenie) lub przyrost określonej wielkości
M=M(x)  moment zginający, N=N(x)  siła osiowa (podłużna),
V=V(x)  siła tnąca (poprzeczna), &! - pole wykresu siły przekrojowej
S  siła w więzi sprężystej (moment w więzi rotacyjnej lub siła podłużna w więzi translacyjnej),
k  sztywność więzi sprężystej, ąT - współczynnik rozszerzalności termicznej materiału,
2
A S A
º = Å" Å" dA - współczynnik zależny od ksztaÅ‚tu przekroju (dla dwuteowników º E" ),
+"
2
Aw
I b2
A
E  moduł sprężystości podłużnej materiału (Younga),
E
G =
2 Å"(1+½ )  moduÅ‚ sprężystoÅ›ci poprzecznej (postaciowej) materiaÅ‚u (Kirchoffa),
½ - współczynnik Poissona, b  szerokość przekroju w miejscu Å›cinania
A, I  pole i moment bezwładności poprzecznego przekroju pręta,
S  moment statyczny  odciętej części przekroju, Aw - pole przekroju środnika.
INDEKSY
Indeks górny określa przyczynę wywołującą daną wielkość.
Pierwszy indeks dolny określa miejsce działania (występowania) danej wielkości.
Drugi indeks dolny określa, jeśli nie ma indeksu górnego, przyczynę wywołującą daną wielkość, a jeśli
jest indeks górny, stanowi uzupełnienie określenia miejsca działania danej wielkości.
n
Np.: M oznacza moment w dowolnym miejscu wywołany przyczyną oznaczoną symbolem n,
n
M oznacza moment w punkcie i pręta i-j wywołany przyczyną oznaczoną symbolem n,
ij
"ij , "j oznaczają przemieszczenie w miejscu i kierunku i wywołane przyczyną oznaczoną symbolem j
i
i
N oznacza siłę osiową w pręcie o numerze p wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem i,
p
i
Ss oznacza siłę w więzi sprężystej o numerze s wywołaną przyczyną oznaczoną symbolem i.
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 26.02.07