WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
1 OBLICZENIE PRZEMIESZCZEC
W KRATOWNICY PA
ASKIEJ
1.1 DANE WYJÅšCIOWE DO OBLICZEC

F
=50,00kN
1
Dana jest kratownica jak na rysunku.
1 "L=2cm
2
"T=-30oC
Wyznaczyć siły osiowe w prętach od
"L=1cm
"
=2cm
danego obciążenia siłami.
r
Zaprojektować wstępnie
2
"L=-1.5cm
"T=20oC
przekroje prętów.
Obliczyć zaznaczone
3
F "T=20oC
=10,00kN
4
przemieszczenia od obciążenia siłami 2
EA
F = (F1, F2 ) ,
ks=0.5
L
od zmiany temperatury "T oraz
ż
"
=1.5cm
od przemieszczeń podpór "r i błędów r ą=45
1
montażu "L .
4,00m
4,00m
W obliczeniach potraktować dane
wartości obciążenia siłami jako
charakterystyczne, przyjąć średni współczynnik obciążenia ł = 1.2 , wytrzymałość obliczeniową stali
f
fd = 215MPa , współczynnik sprężystości podłużnej E = 205GPa . i współczynnik rozszerzalności
termicznej Ä…T = 0.000012 /o C .
1.2 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD DANEGO OBCI
ŻENIA SIA
AMI F = (F1, F2).
F1=50,00kN
H1 1
2
sinÄ…=0.7071
² x
cosÄ…=0.7071
V1
sin²=0.6000
cos² =0.8000
3
²
y F2=10,00kN
4
4,00m 4,00m
R4 Ä…
1.2.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + F1 Å" 4m - F2 Å" 3m = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m + 50kN Å" 4m -10kN Å"3m = 0 Ò! R4 = 21.856kN ,
R4 Å" sinÄ… = 15.455kN , R4 Å" cosÄ… = 15.455kN
X = H1 + F2 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 +10kN +15.455kN = 0 Ò! H1 = -25.455kN .
"
"Y = -V1 + F1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 + 50kN -15.455kN = 0 Ò! V1 = 34.545kN .
1.2.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH I KONTROLA RÓWNAC

RÓWNOWAGI
Siła w więzi sprężystej SsF = -R4 = -21.856kN
Węzeł 1
"Y = -H1 + N13 Å" sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1
- 34.545kN + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = 57.576kN ,
V X = V1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
1
"
y
- 25.455kN + N12 + 57.576kN Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = -20.606kN .
Węzeł 2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
3,00m
3,00m
N
1
3
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
X = -N12 + N24 Å" cos ² = 0 Ò!
F1=50,00kN
"
N12 2 20.606kN + N24 Å" 0.8 = 0 Ò! N24 = -25.758kN ,
x
"Y = N23 + N24 Å" sin ² + F1 = 0 Ò!
N23 - 25.758kN Å" 0.6 + 50kN = 0 Ò! N23 = -34.545kN .
y
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 + F2 = 0 Ò!
"
- 57.576kN Å" 0.8 + N34 +10kN = 0 Ò! N34 = 36.061kN ,
N34
x
F2=10,00kN (-
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 = 57.576 Å" 0.6 + 34.545)kN = 0 (kontrola)
3
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å" sinÄ… =
"
(kontrola),
= (- 36.061+ 25.758Å" 0.8 +15.455)kN = 0
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… = (kontrola).
4
x
N34
= (+ 25.758 Å" 0.6 -15.455)kN = 0
Ss y
1.2.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZANIA
F1=50,00kN
1 2
Uwaga: -20,606kN
F
Wszystkim wielkościom z tego H = -25,455kN
1
rozwiÄ…zania przypisujemy indeks
górny F, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym symbolem
F2=10,00kN
36,061kN
F.
4
3
SF =-21,856kN
s
NF F
=21,856kN
R4
1.3 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD OBCI
ŻENIA P1 = 1.
x
2
W celu wyznaczenia
H1
sin Ä… =0.7071
²
przesunięcia węzła 3 (w temacie
cos Ä… =0.7071
V1
kierunek nr 1 zaznaczony liniÄ…
sin ² =0.6000
przerywaną) niezbędne jest
3
cos ² =0.8000
²
y
4
rozwiązanie kratownicy od obciążenia
P1=1
siłą jednostkową przyłożoną w miejscu
4,00m 4,00m
i kierunku szukanego przemieszczenia.
R4 Ä…
1.3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + P1 Å" 4m = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m +1Å" 4m = 0 Ò! R4 = 0.514 ,
R4 Å"sinÄ… = 0.3635 , R4 Å" cosÄ… = 0.3635
X = H1 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 + 0.3635 = 0 Ò! H1 = -0.364.
"
"Y = -V1 + F1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 +1- 0.3635 = 0 Ò! V1 = 0.636 .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 2
23
N
23
N
-34,545kN
F
1
V
=34,545kN
3,00m
N
2
4
N
1
3
N
2
4
-
2
5
5
.
7
7
,
5
5
8
7
k
6
N
k
N
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
1.3.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH I KONTROLA RÓWNAC

RÓWNOWAGI
1
Siła w więzi sprężystej Ss = -R4 = -0.514
Węzeł 1
"Y = -V1 + N13 Å"sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1 - 0.636 + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = 1.061,
V1
X = H1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
"
y
- 0.364 + N12 +1.061Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = -0.485.
Węzeł 2
N12 2 X = -N12 + N24 Å" cos ² = 0 Ò!
"
x
0.485 + N24 Å" 0.8 = 0 Ò! N24 = -0.606,
"Y = N23 + N24 Å"sin ² = 0 Ò!
y
N23 - 0.606 Å" 0.6 = 0 Ò! N23 = 0.364.
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 = 0 Ò!
"
-1.061Å" 0.8 + N34 = 0 Ò! N34 = 0.848,
N34
x
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 + P1 = -1.061Å" 0.6 - 0.364 +1 = 0 (kontrola)
3
P1=1
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å"sinÄ… = - 0.848 + 0.606 Å" 0.8 + 0.3635 = 0
"
(kontrola),
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… = -0.606 Å" 0.6 - 0.3635 = 0 (kontrola).
4
x
N34
Ss y
1 2
-0,485
1.3.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW
1
H =-0,364
1
ROZWI
ZANIA
Uwaga:
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
3
0,848 4
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały
S1
= -0.514
s
P1=1
N1
wywołane obciążeniem oznaczonym numerem 1. 1
R4 =0,514
1.4 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD OBCI
ŻENIA P2 = 1.
W celu wyznaczenia kÄ…ta obrotu
0,20/m
x
2
1 sin Ä… =0.7071
90.0°
pręta 2-4 (w temacie kierunek nr 2
H1 ² cos Ä… =0.7071
zaznaczony Å‚ukiem z linii przerywanej)
sin ² =0.6
niezbędne jest rozwiązanie kratownicy V1
cos ² =0.8
od obciążenia jednostkowym momentem
90.0°
reprezentowanym tu parą sił 0,20/m
²
y
4
prostopadłych do tego pręta i
3
4,00m 4,00m
przyłożonych do węzłów stanowiących
R4 Ä…
końce tego pręta. Wartość każdej z sił
jest równa momentowi jednostkowemu
podzielonemu przez długość tego pręta 1/(5m) = 0.2 / m .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
23
N
23
N
0,364
=0,636
1
1
V
3,00m
N
1
3
N
2
4
N
1
3
N
2
4
-
0
,
1
6
,
0
0
6
6
1
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
1.4.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + P2 = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m +1 = 0 Ò! R4 = 0.129 / m ,
R4 Å"sinÄ… = 0.0912 / m , R4 Å" cosÄ… = 0.0912 / m
X = H1 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 + 0.0912 / m = 0 Ò! H1 = -0.0912 / m .
"
"Y = -V1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 - 0.0912 / m = 0 Ò! V1 = -0.0912 / m.
1.4.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH I KONTROLA RÓWNAC

RÓWNOWAGI
2
Siła w więzi sprężystej Ss = -R4 = -0.129 / m
Węzeł 1
"Y = -V1 + N13 Å"sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1 + 0.0912 / m + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = -0.152 / m ,
V1
X = H1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
"
y
- 0.0912 + N12 - 0.152 / m Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = 0.212 / m .
Węzeł 2
"
N12 2 0,20/m X = -N12 + N24 Å" cos ² + P2 / 5m Å" sin ² = 0 Ò!
x
- 0.212 / m + N24 Å" 0.8 + 0.2 / m Å" 0.6 = 0 Ò! N24 = 0.115/ m ,
"Y = N23 + N24 Å"sin ² - P2 / 5m Å" cos ² = 0 Ò!
y
N23 + 0.115 Å" 0.6 - 0.2 / m Å" 0.8 = 0 Ò! N23 = 0.091/ m .
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 = 0 Ò!
"
+ 0.152 Å" 0.8 + N34 = 0 Ò! N34 = -0.121,
N34
x
3
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 = +0.152 Å" 0.6 - 0.091 = 0 (kontrola)
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å"sinÄ… - 0.2 / m Å" sin ² =
"
(kontrola),
= +0.121/ m - 0.115 Å" 0.8 + 0.0912 / m - 0.2 / m Å" 0.6 = 0
0,20/m
x
N34
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… + 0.2 / m Å" cos ² = (kontrola).
4
Ss y = -0.115 / m Å" 0.6 - 0.0912 / m + 0.2 / m Å" 0.8 = 0
1.4.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZANIA
0,20/m
2
Uwaga:
H =-0,091/m 1 0.212/m 2
-
1
Wszystkim wielkościom z tego
rozwiÄ…zania przypisujemy indeks
górny 2, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym numerem 2
0,20/m
-0.121/m
3
4
2
= -0.129/m
Ss
N2
2
R4
=0,129/m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 4
23
N
23
N
0.091/m
=
2
1
V
- 0,091/m
N
1
3
N
2
4
N
1
3
N
2
4
-
0
0
.
.
1
1
1
5
5
2
/
/
m
m
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
1.5 ROJEKTOWANIE WST
PNE PRZEKROJÓW PR
TÓW
A1 2
Przyjęto 2 grupy prętów jak na szkicu obok
1
Pręty 1-2 i 2-4
A2 A2 A1
Obydwa pręty są ściskane. Wartość największej siły
ściskającej wynosi 25.758 kN.
A2
3
4
PrzyjÄ™to wstÄ™pnie współczynnik wyboczeniowy Õ = 0.65 .
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 25.758kN Å"1.2
A e" = = 0.0002211m2 = 2.211cm2
fd Å"Õ
215000kN / m2 Å" 0.65
PrzyjÄ™to rurÄ™ Åš 26.9 x 3.2 Ò! A1 = 2.38cm2 > 2.211cm2
EA1 = 205000000kN / m2 Å" 0.000238m2 = 48790kN
Pręty 1-3, 2-3 i 3-4
Pręty 1-3 i 3-4 są rozciągane. Maksymalna wartość siły rozciągającej wynosi 57.576 kN.
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 57.576kN Å"1.2
A e" = = 0.0003214m2 = 3.214cm2
fd
215000kN / m2
Pręt 2-3 jest ściskany. Wartość siły ściskającej wynosi 34.545 kN.
PrzyjÄ™to wstÄ™pnie współczynnik wyboczeniowy Õ = 0.65 .
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 34.545kN Å"1.2
A e" = = 0.0002966m2 = 2.966cm2
fd Å"Õ
215000kN / m2 Å" 0.65
PrzyjÄ™to rurÄ™ Åš 31.8 x 4 Ò! A2 = 3.49cm2 > 3.214cm2 > 2.966cm2
EA2 = 205000000kN / m2 Å" 0.000349m2 = 71545kN
Sztywność więzi sprężystej
EA
Ponieważ w warunkach zadania nie określono, dla którego pręta przyjąć , można wybrać
L
EA
dowolnie. Przyjmiemy dla pręta 3-4.
L
EA EA2 71545kN kN
Sztywność wiÄ™zi sprężystej wynosi, wiÄ™c ks = 0.5 Å" = 0.5Å" = 0.5 Å" =8943
L L34 4m m
1.6 OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEC
OD OBCI
ŻENIA SIA
AMI.
Przemieszczenia obliczono w tabeli poniżej na podstawie wzorów:
F 1 2 F 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
N1 Å" N Ss Å" SsF N Å" N Ss Å" SsF
"1F =
"ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚ + ks , "2F = "ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚ + ks
" "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
p s p s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
p p
Uwaga: Elementy w kolumnach 8 i 9 dla więzi sprężystych obliczamy odpowiednio ze wzorów
1 2
Ss Å" SsF Ss Å" SsF
i , zamiast ze wzorów podanych w nagłówku tabeli.
ks ks
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
F
2 F
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
N1 Å" N
N Å" N
ks NF (SF) N1 (S1) N2 (S2) ìÅ‚ EA Å" L ÷Å‚ ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚
Oznaczenie EA L
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
p
p
pręta
kN m kN/m kN - 1/m m -
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1-2 48 790 4.00 - -20.606 -0.485 0.212 0.00082 -0.00036
2-4 48 790 5.00 - -25.758 -0.606 0.115 0.00160 -0.00030
1-3 71 545 5.00 - 57.576 1.061 -0.152 0.00427 -0.00061
2-3 71 545 3.00 - -34.545 0.364 0.091 -0.00053 -0.00013
3-4 71 545 4.00 - 36.061 0.848 -0.121 0.00171 -0.00024
Więz
sprężysta - - 8 943 -21.856 -0.514 -0.129 0.00126 0.00032
0.00913 -0.00133
"1F "2F
Określenie wymiarów szukanych wielkości
F 2 F
[N1]Å"[N ] 1Å" kN [N ]Å"[N ] 1/ m Å" kN
["1F (N)]= Å"[L] = Å" m = m , ["2F (N)]= Å"[L] = Å" m = 1
[EA] kN [EA] kN
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3 "1F = 0.00913m = 0.913cm
0.00133Å"180o
Kąt obrotu pręta 2-4 "2F = -0.00133 = -0.00133rad = - = -0.0762o
Ä„
Minus oznacza, że zwrot szukanego przemieszczenia jest przeciwny niż zwrot założonego obciążenia
jednostkowego.
1.7 OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEC
OD ZMIAN TEMPERATURY
Przemieszczenia obliczono w poniższej tabeli na podstawie wzorów:
1 1 2 2
"1T = (N Å" "LT ) = (N Å"Ä…T Å" "To Å" L) , "2T = (N Å" "LT ) = (N Å"Ä…T Å" "To Å" L)
" p " " p "
p p
p p p p
2
1
(N Å"Ä…T Å" "To Å" L)
(N Å" "To Å" L)
Oznacz. ąń L "ńż
N1 N2 Å"Ä… T p p
o
pręta m m -
1/oC C - 1/m
1-2 0.000012 4.00 -30 -0.485 0.212 0.00070 -0.00031
2-4 0.000012 5.00 0 -0.606 0.115 0.00000 0.00000
1-3 0.000012 5.00 20 1.061 -0.152 0.00127 -0.00018
2-3 0.000012 3.00 0 0.364 0.091 0.00000 0.00000
3-4 0.000012 4.00 20 0.848 -0.121 0.00081 -0.00012
0.00279 -0.00060
"1T "2T
Określenie wymiarów szukanych przemieszczeń
1 1 1
1 2
["1T ]= [N ]Å"[Ä…T ]Å"["To ]Å"[L] = 1Å" Å"o C Å" m = m , ["2T ]= [N ]Å"[Ä…T ]Å"["To ]Å"[L] = Å" Å"o C Å" m = 1
o o
C m C
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3 "1T = 0.00279m = 0.279cm
0.00060 Å"180o
Kąt obrotu pręta 2-4 "2T = -0.00060 = -0.00060rad = - = -0.0344o
Ä„
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 6
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 kratownica 2  siły, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy
montażu- 23.0212
1.8 OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEC
OD BA

DÓW MONTAŻU I
PRZEMIESZCZEC
PODPÓR
Przemieszczenia obliczono w poniższej tabeli na podstawie wzorów:
1 2 2
"1" = (N1 Å" "L") - Å" "r , "2" = (N Å" "L" ) - Å" "r
" p "Rr " p "Rr
p r p r
2
(N1 Å" "L")
(N Å""L")
Oznacz. p
"L" N1 N2
p
pręta m - 1/m m -
1-2 0.020 -0.485 0.212 -0.00970 0.00424
2-4 0.010 -0.606 0.115 -0.00606 0.00115
1-3 0.000 1.061 -0.152 0.00000 0.00000
2-3 -0.015 0.364 0.091 -0.00546 -0.00137
3-4 0.000 0.848 -0.121 0.00000 0.00000
Przemieszczenia od błędów montażu -0.02122 0.00403
Oznaczenie
1
- Rr Å" "r
- Rr2 Å""r
"r
R1 R2
więzi
m - 1/m m -
podporowej
H1 0.000 -0.364 -0.091 0.00000 0.00000
V1 0.020 -0.636 0.091 0.01272 -0.00182
R4 0.015 0.514 0.129 -0.00771 -0.00194
Przemieszczenia od przemieszczeń podpór 0.00501 -0.00376
RAZEM OD BA

DÓW MONTAŻU I PRZEM. PODPÓR -0.01621 0.00027
"1" "2"
i
ObliczajÄ…c skÅ‚adniki Rr Å" "r należy pamiÄ™tać, że reakcje i przemieszczenia podpór muszÄ… być
określone w tej samej bazie (ich znaki muszą być określone w stosunku do jednakowych zwrotów
przyjętych jako dodatnie). W rozwiązywanym przykładzie jako podstawę przyjęto zwroty danych
1 2
przemieszczeń podpór. Przyjęte zwroty reakcji R4 i R4 są takie same jak zwrot danego
przemieszczenia tej podpory, więc do obliczeń przemieszczeń przyjmujemy znaki tych reakcji takie,
jakie uzyskano z obliczeń. Przyjęte zwroty reakcji V11 i V12 są przeciwne do zwrotu danego
przemieszczenia tej podpory, więc do obliczeń przemieszczeń przyjmujemy znaki tych reakcji
przeciwne niż znaki uzyskane z obliczeń.
Określenie wymiarów szukanych przemieszczeń
["1" ]= [N1]Å"["L] = 1Å" m = m , ["1" ]= [R1]Å"["r ] = 1Å" m = m
1 1
2
["2" ]= [N ]Å"["L] = Å" m = 1, ["2" ]= [R2 ]Å"["r ] = Å" m = 1
m m
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3 "1" = -0.0162m = -1.62cm ,
0.00027 Å"180o
Kąt obrotu pręta 2-4 "2" = 0.0027 = 0.0027rad = = 0.0155o
Ä„
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7