WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 przykład 2  rama bez więzi sprężystych
OBLICZENIE PRZEMIESZCZEC
W RAMIE PA
ASKIEJ
Dana jest rama jak na rysunku.
P=20,00kN
M=15,00 kNm
2
1
2,00m 4,00m
4,00m
Sporządzić wykresy sił przekrojowych od obciążenia danego oraz od obciążeń jednostkowych
przyłożonych w miejscach szukanych przemieszczeń. Zaprojektować wstępnie przekroje prętów.
Obliczyć zaznaczone przemieszczenia. W obliczeniach potraktować dane wartości obciążenia jako
charakterystyczne, przyjąć średni współczynnik obciążenia ł = 1.2 , wytrzymałość obliczeniową stali
f
fd = 215MPa i współczynnik sprężystości podłużnej E = 205GPa . .
1 ROZWI
ZANIE RAMY OD DANEGO OBCI
ŻENIA F = (M, P, Q)
Liniami przerywanymi wzdłuż osi prętów wyróżnione włókna do znakowania momentów
zginających.
P=20,00kN
M=15,00 kNm
B
x
C
D
VB
E
ą
siną=0.6
A
cosą=0.8
HA
VA
2,00m
4,00m 4,00m
y
Wyznaczenie reakcji podpór.
M = -VB �"10m + P �" 6m + M + q �" 3m �" 3m / 2 = 0 �!
"
A
-VB �"10m + 20kN �" 6m +15kNm + 5kN / m �" 3m �" 3m / 2 = 0 �! VB = 15.75kN ,
"Y = -VA -VB + P = 0 �! -VA -15.75kN + 20kN = 0 �! VA = 4.25kN ,
X = H + q �" 3m = 0 �! H + 5kN / m �" 3m = 0 �! H = -15.00kN .
"
A A A
Kontrola = -H �" 3m + VA �"10m - P �" 4m + M - q �" 3m �" 3m / 2 =
"M B A
= (15 �" 3 + 4.25 �"10 - 20 �" 4 +15 - 5 �" 3�" 3/ 2)kNm = 0
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M = 0 ,
A
M = VA �" 2m - H �"1.5m - q �"1.5m �"1.5m / 2 =
E A
= 4.25kN �" 2m +15kN �"1.5m - 5kN / m �"1.5m �"1.5m / 2 = 25.375kNm,
M = VA �" 4m - H �" 3m - q �" 3m �" 3m / 2 = 4.25�" 4m +15kN �" 3m - 5kN / m �" 3m �" 3m / 2 = 39.50kNm ,
C,AC A
M = M + M = 39.5kNm +15kNm = 54.50kNm ,
C,CD C,AC
M = VB �" 4m = 15.75kN �" 4m = 63.00kNm , M = 0 ,
D B
VA,AC = VA �" cosą - H �"siną = (4.25�" 0.8 +15�" 0.6)kN = 12.40kN ,
A
N = -VA �" siną - H �" cosą = (- 4.25 �" 0.6 +15�" 0.8)kN = 9.45kN ,
A,AC A
VC,AC = VA �" cosą - H �" siną - q �" 3m �" siną = (4.25 �" 0.8 +15�" 0.6 - 5 �" 3�" 0.6)kN = 3.40kN ,
A
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
3,00m
q=5,00kN/m
3,00m
q=5,00kN/m
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 przykład 2  rama bez więzi sprężystych
NC,AC = -VA �" siną - H �" cosą - q �" 3m �" cosą = (- 4.25 �" 0.6 +15 �" 0.8 - 5 �" 3�" 0.8)kN = -2.55kN ,
A
VCD = P -VB = 20kN -15.75kN = 4.25kN , VDB = -VB = -15.75kN , NCB = 0 .
Rzędne środkowe momentów zginających dla przedziału CD i DB obliczono jako średnie
arytmetyczne z wartości brzegowych.
M = (M + M )/ 2 = (54.5 + 63)kNm = 58.75kNm ,
S,CD C,CD D
M = (M + M )/ 2 = (63 + 0)kNm = 31.50kNm
S,DB D B
Wykresy sił przekrojowych
-
(wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny F, gdyż zostały
+
NF
wywołane obciążeniem oznaczonym
symbolem F)
+
+
-
+
+
MF VF
2. Rozwiązanie ramy od obciążenia P1 = 1
P1=1
B
x
C
W celu wyznaczenia przesunięcia D
(w temacie kierunek nr 1 zaznaczony linią
VB
E
przerywaną) niezbędne jest rozwiązanie
ą
siną=0.6
ramy od obciążenia siłą jednostkową
A
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
HA cosą=0.8
przemieszczenia.
VA
4,00m 2,00m 4,00m
y
Wyznaczenie reakcji podpór.
M = -VB �"10m +1�" 4m = 0 �! VB = 0.40 ,
"
A
�! VA = 0.60 ,
"Y = -VA -VB + P1 = 0
X = H = 0 �! H = 0 .
"
A A
Kontrola M = -H �" 3m + VA �"10m - P1 �" 6m =(-0 �" 3 + 0.6 �"10 -1�" 6)m = 0
"
B A
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M = 0 , MC = VA �" 4m - H �"3m = 2.40m ,
A A
M = VB �" 4m = 1.60m , M = 0 ,
D B
VAC = VA �" cosą - H �"siną = 0.48, N = -VA �"siną - H �" cosą = -0.36 ,
A AC A
VCB = -VB = -0.40 , NCB = 0 .
M = M = (M + M )/ 2 = (0 + 2.4)/ 2 �" m = 1.20m ,
E S,AC A C
M = (M + M )/ 2 = (2.4 +1.6)/ 2 �" m = 2.00m ,
S ,CD C D
M = (M + M )/ 2 = (1.6 + 0)/ 2 �" m = 0.80m
S ,DB D B
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 2
4,25kN
4,25kN
31,50kNm
15,75kN
15,75kN
54,50kNm
58,75kNm
63,00kNm
3,00m
2
,
5
9
5
,
4
k
5
N
k
N
3
9
3
,
,
5
4
0
0
k
k
N
N
2
m
5
,
3
7
5
k
N
1
m
2
,
4
0
k
N
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 przykład 2  rama bez więzi sprężystych
Wykresy sił przekrojowych
(wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
N1
-
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym numerem 1)
+
-
+
+
M1
V1
P2=M=1
x
B
C
3. Rozwiązanie ramy od obciążenia P2 = 1
D
VB
E
W celu wyznaczenia kąta obrotu (w temacie
kierunek nr 2 zaznaczony łukiem z linii
ą
siną=0.6
A
HA cosą=0.8
przerywanej) niezbędne jest rozwiązanie
ramy od obciążenia jednostkowym
VA
momentem przyłożonym w miejscu
2,00m
4,00m 4,00m
szukanego kąta obrotu
y
Wyznaczenie reakcji podpór.
M = -VB �"10m +1 = 0 �! VB = 0.10 / m ,
"
A
Y = -VA -VB = 0 �! VA = -0.10 / m ,
"
X = H = 0 �! H = 0 .
"
A A
Kontrola
"M B = -H A �"3m +VA �"10m + P2 = - 0�"3 - 0.1�"10 +1 = 0
Obliczenie wartości rzędnych charakterystycznych sił przekrojowych.
M = 0 , M = VA �" 4m - H �"3m = -0.40 ,
A C A
M = VB �" 4m -1 = -0.60 , M = 0 ,
D B
VAC = VA �" cosą - H �"siną = -0.08/ m , N = -VA �"siną - H �" cosą = 0.06 / m ,
A AC A
VCB = -VB = -0.10 / m , NCB = 0 .
M = M = (M + M )/ 2 = (0 - 0.4)/ 2 = -0.20,
E S,AC A C
M = (M + M )/ 2 = (- 0.4 - 0.6)/ 2 = -0.50,
S ,CD C D
M = (M + M )/ 2 = (- 0.6 -1)/ 2 = -0.80
S ,DB D B
Wykresy sił przekrojowych
(wszystkim wielkościom z tego
rozwiązania przypisujemy indeks górny 2, gdyż
zostały wywołane obciążeniem oznaczonym
+
numerem 2)
N2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
0,80m
1,60m
2,00m
0,40
2,40m
0,40
0,40
3,00m
0
,
3
6
2
0
,
4
,
4
0
0
8
m
,
3
6
1
,
2
0
m
0
,
4
8
0
,
06
/
m
0
,
06
/
m
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
 przykład 2  rama bez więzi sprężystych
-
-
-
-
M2
V2
4. Projektowanie wstępne przekrojów prętów
Pręt AC Potrzebny wskaz
nik wytrzymałości na zginanie
max M �"ł
39.5kNm �"1.2
f
W e" = = 0.0002205m3 = 202.5cm3
fd
215000kN / m2
Przyjęto I 220 �! W = 278.18cm3, I = 3060cm4 , A = 39.6cm2
EI = 205000000kN / m2 �" 0.00003060m4 = 6273kNm2
AC
max M �"ł
63kNm �"1.2
f
Pręt CB W e" = = 0.0003516m3 = 351.6cm3
fd
215000kN / m2
Przyjęto I 240 �! W = 354cm3 , I = 4250cm4 , A = 46.1cm2
EICB = 205000000kN / m2 �" 0.00004250m4 = 8712.5kNm2
5. Obliczenie szukanych przemieszczeń.
1 F 2 F
M �" M M �" M
Przemieszczenia obliczono na podstawie wzorów: "1F = dx , "2F = dx
+" +"
EI EI
Do obliczenia powyższych całek zastosowano wzór Simpsona. W tym celu (ze względu na charakter
wykresów momentów zginających) przedstawiono je w postaci sum 3 całek odpowiadających
poszczególnym przedziałom, w których funkcje podcałkowe spełniają założenia umożliwiające
zastosowanie wzoru Simpsona.
Szukane przesuniecie wynosi:
1 F
M �" M 1 1 1
1 F 1 F 1 F
"1F = dx = M �" M �" dx + M �" M �" dx + M �" M �" dx
+" +" +" +"
EI EI EICD CD EIDB DB
AC AC
5m
"1F = [0 �" 0 + 4 �" 25.375kNm �"1.2m + 39.5kNm �" 2.4m]+
6 �" 6273kNm2
2
+ [54.5 �" 2.4 + 4 �" 58.75 �" 2 + 63�"1.6]�" m +
6 �"8712.5
4
+ [63�"1.6 + 4 �" 31.5 �" 0.8 + 0 �" 0]�" m = 0.071m = 7.1cm
6 �"8712.5
Szukany kąt obrotu wynosi:
2 F
M �" M 1 1 1
2 F 2 F 2 F
"2F = dx = M �" M �" dx + M �" M �" dx + M �" M �" dx
+" +" +" +"
EI EI EICD CD EIDB DB
AC AC
5m
"2F = [0 �" 0 + 4 �" 25.375kNm �" (-0.2) + 39.5kNm �" (-0.4)]+
6 �" 6273kNm2
2
+ [54.5 �" (-0.4) + 4 �"58.75�" (-0.5) + 63�" (-0.6)]+
6 �"8712.5
4 180o
+ [63�" (-0.6) + 4 �" 31.5 �" (-0.8) + 0 �" (-1)]= -0.02218 = -0.02218rad = -0.02218 �" = -1.27o
6 �"8712.5 Ą
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 4
1,00
0,80
0,60
0,50
0,40
0,10/m
0,10/m
0,10/m
0
,
0
8
0
/
m
,
4
0
0
,
2
0