WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
OBLICZENIE PRZEMIESZCZEC
W KRATOWNICY PA
ASKIEJ
1 DANE WYJÅšCIOWE DO OBLICZEC

F
=50,00kN
1
Dana jest kratownica jak na rysunku.
1
2
Zaprojektować wstępnie
przekroje prętów i obliczyć
zaznaczone przemieszczenia.
W obliczeniach potraktować
2
dane wartości obciążenia siłami jako
charakterystyczne, przyjąć średni
3
F
=10,00kN
4
współczynnik obciążenia ł = 1.2 ,
2
f
EA34
wytrzymałość obliczeniową stali
ks =
8m
fd = 215MPa i współczynnik
ż
Ä…=45
sprężystości podłużnej E = 205GPa .
1
4,00m
4,00m
2 SZUKANE
Szukane sÄ… przemieszczenia:
F 1 2 F 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
N1 Å" N Ss Å" SsF N Å" N Ss Å" SsF
"1F =
"ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚ + ks , "2F = "ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚ + ks
" "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
p s p s
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
p p
Jak widać z powyższych wzorów, aby obliczyć szukane przemieszczenia należy rozwiązać kratownicę
F F
od obciążenia danego F ( N , S ),
1
od obciążenia P1 = 1 przyłożonego w miejscu i kierunku 1 ( N , S1)
2 2
oraz od obciążenia P2 = 1 przyłożonego w miejscu i kierunku 2 ( N , S ).
3 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD OBCI
ŻENIA DANEGO (F).
F1=50,00kN
H1 1
2
sinÄ…=0.7071
² x
cosÄ…=0.7071
V1
sin²=0.6000
cos² =0.8000
3
²
y F2=10,00kN
4
4,00m 4,00m
R4 Ä…
3.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + F1 Å" 4m - F2 Å" 3m = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m + 50kN Å" 4m -10kN Å"3m = 0 Ò! R4 = 21.856kN ,
R4 Å" sinÄ… = 15.455kN , R4 Å" cosÄ… = 15.455kN
X = H1 + F2 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 +10kN +15.455kN = 0 Ò! H1 = -25.455kN .
"
"Y = -V1 + F1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 + 50kN -15.455kN = 0 Ò! V1 = 34.545kN .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
3,00m
3,00m
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
3.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH Z RÓWNAC
RÓWNOWAGI W
ZA
ÓW I
KONTROLA RÓWNAC
RÓWNOWAGI
Siła w więzi sprężystej SsF = -R4 = -21.856kN
Węzeł 1
"Y = -H1 + N13 Å" sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1
- 34.545kN + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = 57.576kN ,
X = V1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
V
1
"
y
- 25.455kN + N12 + 57.576kN Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = -20.606kN .
Węzeł 2
X = -N12 + N24 Å" cos ² = 0 Ò!
F1=50,00kN
"
N12 2 20.606kN + N24 Å" 0.8 = 0 Ò! N24 = -25.758kN ,
x
"Y = N23 + N24 Å" sin ² + F1 = 0 Ò!
N23 - 25.758kN Å" 0.6 + 50kN = 0 Ò! N23 = -34.545kN .
y
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 + F2 = 0 Ò!
"
- 57.576kN Å" 0.8 + N34 +10kN = 0 Ò! N34 = 36.061kN ,
N34
x
F2=10,00kN (-
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 = 57.576 Å" 0.6 + 34.545)kN = 0 (kontrola)
3
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å" sinÄ… =
"
(kontrola),
= (- 36.061+ 25.758Å" 0.8 +15.455)kN = 0
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… = (kontrola).
4
x
N34
= (+ 25.758 Å" 0.6 -15.455)kN = 0
Ss y
F1=50,00kN
1 2
-20,606kN
F
3.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW
H = -25,455kN
1
ROZWI
ZANIA
Uwaga:
F2=10,00kN
36,061kN
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
4
3
przypisujemy indeks górny F, gdyż zostały
SF =-21,856kN
s
wywołane obciążeniem oznaczonym
NF F
symbolem F.
=21,856kN
R4
x
2
H1
4 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD
sin Ä… =0.7071
²
OBCI
ŻENIA P1 = 1.
cos Ä… =0.7071
V1
W celu wyznaczenia przesunięcia węzła 3 (w
sin ² =0.6000
temacie kierunek nr 1 zaznaczony liniÄ…
3
cos ² =0.8000
²
y
4
przerywaną) niezbędne jest rozwiązanie
P1=1
kratownicy od obciążenia siłą jednostkową
4,00m 4,00m
przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego
R4 Ä…
przemieszczenia.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 2
23
N
23
N
-34,545kN
F
1
V
=34,545kN
3,00m
N
1
3
N
2
4
N
1
3
N
2
4
-
2
5
5
.
7
7
,
5
5
8
7
k
6
N
k
N
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
4.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR.
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + P1 Å" 4m = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m +1Å" 4m = 0 Ò! R4 = 0.514 ,
R4 Å"sinÄ… = 0.3635 , R4 Å" cosÄ… = 0.3635
X = H1 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 + 0.3635 = 0 Ò! H1 = -0.364.
"
"Y = -V1 + F1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 +1- 0.3635 = 0 Ò! V1 = 0.636 .
4.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH Z RÓWNAC
RÓWNOWAGI W
ZA
ÓW I
KONTROLA RÓWNAC
RÓWNOWAGI
1
Siła w więzi sprężystej Ss = -R4 = -0.514
Węzeł 1
"Y = -V1 + N13 Å"sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1 - 0.636 + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = 1.061,
V1
X = H1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
"
y
- 0.364 + N12 +1.061Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = -0.485.
Węzeł 2
N12 2 X = -N12 + N24 Å" cos ² = 0 Ò!
"
x
0.485 + N24 Å" 0.8 = 0 Ò! N24 = -0.606,
"Y = N23 + N24 Å"sin ² = 0 Ò!
y
N23 - 0.606 Å" 0.6 = 0 Ò! N23 = 0.364.
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 = 0 Ò!
"
-1.061Å" 0.8 + N34 = 0 Ò! N34 = 0.848,
N34
x
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 + P1 = -1.061Å" 0.6 - 0.364 +1 = 0 (kontrola)
3
P1=1
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å"sinÄ… = - 0.848 + 0.606 Å" 0.8 + 0.3635 = 0
"
(kontrola),
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… = -0.606 Å" 0.6 - 0.3635 = 0 (kontrola).
4
x
N34
Ss y
4.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZANIA
1 2
-0,485
Uwaga:
1
H =-0,364
1
Wszystkim wielkościom z tego rozwiązania
przypisujemy indeks górny 1, gdyż zostały
wywołane obciążeniem oznaczonym numerem 1.
3
0,848 4
S1
= -0.514
s
P1=1
N1
1
R4 =0,514
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
23
N
23
N
0,364
=0,636
1
1
V
N
1
3
N
2
4
N
1
3
N
2
4
-
0
,
1
6
,
0
0
6
6
1
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
5 ROZWI
ZANIE KRATOWNICY OD OBCI
ŻENIA P2 = 1.
W celu wyznaczenia kÄ…ta obrotu
0,20/m
x
2
1 sin Ä… =0.7071
90.0°
pręta 2-4 (w temacie kierunek nr 2
H1 ² cos Ä… =0.7071
zaznaczony Å‚ukiem z linii przerywanej)
sin ² =0.6
niezbędne jest rozwiązanie kratownicy V1
cos ² =0.8
od obciążenia jednostkowym momentem
90.0°
reprezentowanym tu parą sił 0,20/m
²
y
4
prostopadłych do tego pręta i
3
4,00m 4,00m
przyłożonych do węzłów stanowiących
R4 Ä…
końce tego pręta. Wartość każdej z sił
jest równa momentowi jednostkowemu
podzielonemu przez długość tego pręta 1/(5m) = 0.2 / m .
5.1 WYZNACZENIE REAKCJI PODPÓR
M1 = -R4 Å" cosÄ… Å"8m - R4 Å" sinÄ… Å"3m + P2 = 0 Ò!
"
- R4 Å" 0.7071Å"8m - R4 Å" 0.7071Å"3m +1 = 0 Ò! R4 = 0.129 / m ,
R4 Å"sinÄ… = 0.0912 / m , R4 Å" cosÄ… = 0.0912 / m
X = H1 + R4 Å" sinÄ… = 0 Ò! H1 + 0.0912 / m = 0 Ò! H1 = -0.0912 / m .
"
"Y = -V1 - R4 Å" cosÄ… = 0 Ò! -V1 - 0.0912 / m = 0 Ò! V1 = -0.0912 / m.
5.2 OBLICZENIE WARTOÅšCI SIA
OSIOWYCH Z RÓWNAC
RÓWNOWAGI W
ZA
ÓW I
KONTROLA RÓWNAC
RÓWNOWAGI
2
Siła w więzi sprężystej Ss = -R4 = -0.129 / m
Węzeł 1
"Y = -V1 + N13 Å"sin ² = 0 Ò!
N12 x
1
H1 + 0.0912 / m + N13 Å" 0.6 = 0 Ò! N13 = -0.152 / m ,
V1
X = H1 + N12 + N13 Å" cos ² = 0 Ò!
"
y
- 0.0912 + N12 - 0.152 / m Å" 0.8 = 0 Ò! N12 = 0.212 / m .
Węzeł 2
"
N12 2 0,20/m X = -N12 + N24 Å" cos ² + P2 / 5m Å" sin ² = 0 Ò!
x
- 0.212 / m + N24 Å" 0.8 + 0.2 / m Å" 0.6 = 0 Ò! N24 = 0.115/ m ,
"Y = N23 + N24 Å"sin ² - P2 / 5m Å" cos ² = 0 Ò!
y
N23 + 0.115 Å" 0.6 - 0.2 / m Å" 0.8 = 0 Ò! N23 = 0.091/ m .
Węzeł 3
X = -N13 Å" cos ² + N34 = 0 Ò!
"
+ 0.152 Å" 0.8 + N34 = 0 Ò! N34 = -0.121,
N34
x
3
"Y = -N13 Å" sin ² - N23 = +0.152 Å" 0.6 - 0.091 = 0 (kontrola)
y
Węzeł 4
X = -N34 - N24 Å" cos ² - Ss Å"sinÄ… - 0.2 / m Å" sin ² =
"
(kontrola),
= +0.121/ m - 0.115 Å" 0.8 + 0.0912 / m - 0.2 / m Å" 0.6 = 0
0,20/m
x
N34
"Y = -N24 Å" sin ² + Ss Å" cosÄ… + 0.2 / m Å" cos ² = (kontrola).
4
Ss y = -0.115 / m Å" 0.6 - 0.0912 / m + 0.2 / m Å" 0.8 = 0
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 4
3,00m
23
N
23
N
N
1
3
N
2
4
N
1
3
N
2
4
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
5.3 ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWI
ZANIA
0,20/m
2
Uwaga:
H =-0,091/m 1 0.212/m 2
-
1
Wszystkim wielkościom z tego
rozwiÄ…zania przypisujemy indeks
górny 2, gdyż zostały wywołane
obciążeniem oznaczonym numerem 2
0,20/m
-0.121/m
3
4
2
= -0.129/m
Ss
N2
2
R4
=0,129/m
6 PROJEKTOWANIE WST
PNE PRZEKROJÓW PR
TÓW
A1 2
1
Przyjęto 2 grupy prętów jak na szkicu obok
Pręty 1-2 i 2-4
A2 A2 A1
Obydwa pręty są ściskane. Wartość największej siły
ściskającej wynosi 25.758 kN.
3 A2
4
Przyjęto wstępnie współczynnik wyboczeniowy
Õ = 0.65 .
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 25.758kN Å"1.2
A e" = = 0.0002211m2 = 2.211cm2
fd Å"Õ
215000kN / m2 Å" 0.65
PrzyjÄ™to rurÄ™ Åš 26.9 x 3.2 Ò! A1 = 2.38cm2 > 2.211cm2
EA1 = 205000000kN / m2 Å" 0.000238m2 = 48790kN
Pręty 1-3, 2-3 i 3-4
Pręty 1-3 i 3-4 są rozciągane. Maksymalna wartość siły rozciągającej wynosi 57.576 kN.
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 57.576kN Å"1.2
A e" = = 0.0003214m2 = 3.214cm2
fd
215000kN / m2
Pręt 2-3 jest ściskany. Wartość siły ściskającej wynosi 34.545 kN.
PrzyjÄ™to wstÄ™pnie współczynnik wyboczeniowy Õ = 0.65 .
Potrzebne pole przekroju
max N Å"Å‚
f 34.545kN Å"1.2
A e" = = 0.0002966m2 = 2.966cm2
fd Å"Õ
215000kN / m2 Å" 0.65
PrzyjÄ™to rurÄ™ Åš 31.8 x 4 Ò! A2 = 3.49cm2 > 3.214cm2 > 2.966cm2
EA2 = 205000000kN / m2 Å" 0.000349m2 = 71545kN
Sztywność więzi sprężystej
EA34 EA2 71545kN kN
Sztywność więzi sprężystej wynosi ks = = = =8943
8m 8m 8m m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
0.091/m
=
2
1
V
- 0,091/m
-
0
0
.
.
1
1
1
5
5
2
/
/
m
m
WYZNACZANIE PRZEMIESZCZEC
- kratownica 1  obciążenie siłami  18.03.09
7 OBLICZENIE SZUKANYCH PRZEMIESZCZEC
.
Przemieszczenia obliczono w tabeli poniżej na podstawie wzorów przedstawionych w punkcie 2.
F
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
N1 Å" N
N2 Å" NF öÅ‚
Oznaczenie ks NF N1 N2 ìÅ‚ EA Å"L ÷Å‚ ìÅ‚ EA Å" L÷Å‚
EA L
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚p
p
pręta
kN m kN/m kN 1 1/m m 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1-2 48 790 4.00 - -20.606 -0.485 0.212 0.00082 -0.00036
2-4 48 790 5.00 - -25.758 -0.606 0.115 0.00160 -0.00030
1-3 71 545 5.00 - 57.576 1.061 -0.152 0.00427 -0.00061
2-3 71 545 3.00 - -34.545 0.364 0.091 -0.00053 -0.00013
3-4 71 545 4.00 - 36.061 0.848 -0.121 0.00171 -0.00024
2 F
F
ëÅ‚ S Å" S öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ks SF S1 S2 ìÅ‚ S1 Å" S ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
k
k
íÅ‚ Å‚Å‚s
íÅ‚ Å‚Å‚
s
Więz
sprężysta - - 8 943 -21.856 -0.514 -0.129 0.00126 0.00032
SUMA 0.00913 -0.00133
"1F "2F
Określenie wymiarów szukanych wielkości
F 2 F
[N1]Å"[N ] 1Å" kN [N ]Å"[N ] 1/ m Å" kN
["1F (N)]= Å"[L] = Å" m = m , ["2F (N)]= Å"[L] = Å" m = 1
[EA] kN [EA] kN
Wartości przemieszczeń wynoszą:
Składowa pionowa przesunięcia węzła nr 3 "1F = 0.00913m = 0.913cm
0.00133Å"180o
Kąt obrotu pręta 2-4 "2F = -0.00133 = -0.00133rad = - = -0.0762o
Ä„
Minus oznacza, że zwrot szukanego przemieszczenia jest przeciwny niż zwrot założonego obciążenia
jednostkowego.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 6