WZORY NUMERYCZNEGO OBLICZANIA CAAEK
STOSOWANE PRZY WYZNACZANIU PRZEMIESZCZEC
Całki występujące we wzorach stosowanych do wyznaczania przemieszczeń mogą być obliczane jako
i F i F
M Å" M M Å" M
sumy caÅ‚ek obliczanych w przyjÄ™tych przedziaÅ‚ach caÅ‚kowania np. Å" dx = Å" dx ,
"
+" +"
EI EI
j
Lj j
gdzie L jest długością j-tego przedziały całkowania. Jeśli dodatkowo w przedziale całkowania
j
i F
M Å" M 1
i F
EI = const to Å" dx = M Å" M Å" dx .
j +" +"
EIi EIi Li
Li
i F
Uwzględniając, że M oraz M są funkcjami współrzędnej x mierzonej wzdłuż osi pręta
F
M (x)
i
i wprowadzajÄ…c oznaczenia: F(x) = i f (x) = M (x) gdy EI = EI (x)
j j
EI(x)
F i
F(x) = M (x) i f (x) = M (x) gdy EI = const
j
obliczanie całek w poszczególnych przedziałach sprowadza się
L
do obliczania całek z iloczynu dwóch funkcji.
L/2 L/2
Funkcje F(x) i f (x) mogą oczywiście oznaczać dowolne
x0F
x
wielkości to jest siły osiowe, siły tnące, zmiany temperatury itd.
Fk
Fp
Fs
F
(x)
Do obliczania tych całek można stosować wzory całkowania
numerycznego np. wzór Simpsona, wzór trapezów, wzór Mohra fs
f
fk
p
lub inne.
x
f (x0F )
f
(x)
WZORY DLA JEDNEGO PRZEDZIAAU CAAKOWANIA
L
Wzór Simpsona F(x)Å" f (x)Å" dx = (Fp Å" f + 4Fs Å" fs + Fk Å" fk )
+" p
6
L
Wzór trapezów F(x)Å" f (x)Å" dx = [2 Å"(Fp Å" f + Fk Å" fk )+ Fp Å" fk + Fk Å" f ]
+" p p
6
Wzór Mohra (Wereszczagina) F(x)Å" f (x)Å" dx = &!F Å" f (x0F )
+"
gdzie L - długość przedziału,
Fp , f - wartości funkcji na początku przedziału,
p
Fs , fs - wartości funkcji w środku przedziału,
Fk , fk - wartości funkcji na końcu przedziału,
&!F - pole wykresu funkcji F(x) w przedziale całkowania,
f (x0F )- wartość funkcji f (x) w punkcie x0F , w którym znajduje się środek ciężkości funkcji F(x) .
ZAAOŻENIA
Jeśli funkcje podcałkowe spełniają podane poniżej warunki to wyniki uzyskane z
zastosowaniem tych wzorów są wynikami dokładnymi.
Funkcja f (x) jest ciÄ…gÅ‚a i gÅ‚adka (ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ…) i najwyżej liniowa f (x) = a Å" x + b
f f
Funkcja F(x)
we wzorze Simpsona jest ciągła i gładka wraz z pochodnymi i najwyżej drugiego stopnia
F(x) = aF Å" x2 + bF Å" x + cF
we wzorze trapezów jest ciÄ…gÅ‚a i gÅ‚adka i najwyżej liniowa F(x) = aF Å" x + bF
we wzorze Mohra (Wereszczagina) jest dowolna ale taka, dla której znane jest położenie środka
ciężkości (współrzędna x0F ).
W przeciwnym razie uzyskany wynik obarczony jest błędem zależnym od tego w jakim
stopniu funkcje podcałkowe nie spełnieniają przedstawionych powyżej warunków.
1
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski