Paweł Strawiński Ćwiczenia 06.05.2005
Zadanie 1
Na podstawie wyników badań PGSS starano się zidentyfikować zmienne, które wpływają
na poziom szczęścia. Na podstawie odpowiedzi stworzono zmiennąhapunhap, która przyjmuje
wartość 1 dla osób, które zadeklarowały się jako bardzo szczęśliwe, 2 dla osób raczej szczęśli-
wych, 3 dla osób, niezbyt szczęśliwych i 4 dla osób nieszczęśliwych. Jako zmienne objaśniające
znalazły się następujące charakterystyki: sex (1 mężczyzna, 2 kobieta), age (wiek), maritial (1
w zwiÄ…zku, 2 wdowiec, 3 rozwiedziony, 4 separowany, 5 kawaler/panna).
Testy przeprowadz
na poziomie istotności ą = 0.05.
Ordered probit estimates Number of obs = 8692
LR chi2(5) = 945.49
Prob > chi2 = 0.0000
Log likelihood = -8036.7191 Pseudo R2 = 0.0556
------------------------------------------------------------------------------
hapunhap | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
age | .0085278 .0008877 9.61 0.000 .006788 .0102677
_Imarital_2 | .7935595 .0422345 18.79 0.000 .7107814 .8763377
_Imarital_3 | .9263212 .0622339 14.88 0.000 .804345 1.048298
_Imarital_4 | 1.141439 .1201056 9.50 0.000 .9060366 1.376842
_Imarital_5 | .441339 .0369661 11.94 0.000 .3688867 .5137912
-------------+----------------------------------------------------------------
_cut1 | -.4960711 .0437028 (Ancillary parameters)
_cut2 | 1.484603 .0458395
_cut3 | 2.652354 .0535389
------------------------------------------------------------------------------
Marginal effects after oprobit
y = Pr(hapunhap==2) (predict, outcome(2))
= .67490831
------------------------------------------------------------------------------
variable | dy/dx Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X
---------+--------------------------------------------------------------------
age | -.0004643 .00007 -6.58 0.000 -.000602 -.000326 46.196
_Imari~2*| -.142372 .01238 -11.50 0.000 -.166634 -.11811 .121261
_Imari~3*| -.2045613 .0211 -9.69 0.000 -.245926 -.163197 .039807
_Imari~4*| -.2879605 .04236 -6.80 0.000 -.370978 -.204943 .010124
_Imari~5*| -.0543852 .00734 -7.41 0.000 -.068779 -.039991 .155545
------------------------------------------------------------------------------
(*) dy/dx is for discrete change of dummy variable from 0 to 1
1. Wypisz założenia modelu uporządkowanego probitu.
2. Wyjaśnij dlaczego w przypadku takiego badania stosuje się model uporządkowanego pro-
bitu a nie zwykłą regresję liniową lub zwykły model probitowy.
3. Zinterpretuj wielkość pseudo R2 sprawdz
, czy wszystkie zmienne w modelu sÄ… Å‚Ä…cznie
istotne.
4. Podaj listę zmiennych, które okazały się istotne w tym modelu (uzasadnij to wielkością
statystyk i p-value).
5. Zinterpretować znaki przy zmiennej age, oraz przy zmiennych zero-jedynkowych związa-
nych ze zmiennÄ… marital.
6. Zintepretować uzyskane wielkości efektów cząstkowych dla alternatywy 2 i zmiennych
age i marital 5. Wyjaśnić jaka jest relacja między znakami tych efektów cząstkowych a
znakami parametrów modelu.
1
Paweł Strawiński Ćwiczenia 06.05.2005
7. Badany model powtórnie oszacowano po dodaniu zmiennych zero jedynkowych związa-
nych z poziomem wykształcenia (10 możliwych poziomów). Uzyskana wielkość funkcji
logarytmu wiarygodności wyniosła -7974.7428. Zweryfikuj hipotezę łączną, że poziom
osiągniętego wykształcenia nie wpływa na poziom szczęścia badanych.
Podpowiedz
: Ç2 (8) = 15.51, Ç2 (9) = 16.91, Ç2 (10) = 18.31
0.95 0.95 0.95
RozwiÄ…zanie
1. Zmienna ukryta
"
yi = xi² + µi
µi <" N (0, 1)
i poszczególne obserwacje są niezależne. Obserwujemy y, który powstaje w sposób następujący:
"
yi = 0 jeśli yi d" ą1
"
yi = 1 jeśli ą1 < yi d" ą2
. .
. .
. .
"
yi = J jeśli yi > ąJ
gdzie Ä…1 < Ä…2 < . . . < Ä…J sÄ… nieznane.
2. Zmienna zależna jest zmienną dyskretną o dobrze zdefiniowanym porządku i liczbie możliwych
alternatyw (4 alternatywy). W tym przypadku nie możemy stosować modelu probitowego (więcej
niż dwie alternatywy) nie powinniśmy też stosować regresji liniowej, ponieważ chcemy wyjaśnić
prawdopodobieństwo alternatyw (wartości dopasowane z regresji liniowej będą trudne do zin-
terpretowania, mogą być np. ujemne)
3. 5.56% zmienności zmiennych niezależnych w modelu byłaby wyjaśniona przez zmienne niezależne
gdyby model był liniowy. Odrzucamy na postawie statystyki LR hipotezę o tym, że wszystkie
zmienne w modelu sÄ… nieistotne [945.49, 0.000 < 0.05].
4. W modelu istotne okazały się zmienne: AGE [9.61, 0.000 < 0.05], marital 2 [18.79, 0.000 < 0.05],
marital 3 [14.88, 0.000 < 0.05], martal 4 [9.50, 0.000 < 0.05], marital 5 [11.94, 0.000 < 0.05]
5. Dodatni znak przy zmiennej AGE oznacza, że wraz ze wzrostem wieku rośnie prawdopodobień-
stwo że respondent zadeklaruje się jako nieszczęśliwy i maleje prawdopodobieństwo, że zadekla-
ruje się jako bardzo szczęśliwy. Podobnie kawalerowie i panny z wyższym prawdopodobieństwem
niż osoby w związku deklarują się jako nieszczęśliwe i rzadziej deklarują się jako bardzo szczę-
śliwe.
6. Każdy dodatkowy rok życia zmniejsza prawdopodobieństwo zadeklarowania się jako osoba raczej
szczęśliwa o .046%. Panny i kawalerowie deklarują się jako osoby raczej szczęśliwe z prawdo-
podobieństwem mniejszym 5.43% niż osoby pozostające w związku. W przypadku pośrednich
wyborów w modelu dla zmiennych uporządkowanych nie można podać jednoznacznej relacji
między wielkościami parametrów i wielkościami efektów cząstkowych.
7. Statystyka testu LR ma postać:
LR = 2 (-7974.7428 + 8036.7191) = 123. 95 > Ç2 (9) = 16.91
0.95
Testujemy zerowość 9 współczynników (jeden poziom zmiennej dyskretnej został usunięty jako
bazowy) a wiÄ™c wÅ‚aÅ›ciwÄ… wartoÅ›ciÄ… krytycznÄ… jest Ç2 (9). Odrzucamy hipotezÄ™ o tym, że Å‚Ä…cznie
0.95
wszystkie współczynniki są nieistotne. Wykształcenie istotnie wpływa na deklarowny poziom
szczęścia badanych respondentów.
2
Paweł Strawiński Ćwiczenia 06.05.2005
Zadanie 2
Na podstawie danych z badania dochodów i wydatków konsumpcyjnych starano się wyjaśnić
wielkość wydatków na zakup nowego samochodu poniesionych przez gospodarstwo domowe w
miesiącu badania za pomocą wielkości dochodu gospodarstwa w tym miesiącu.
Tobit estimates Number of obs = 35972
LR chi2(1) = 36.14
Prob > chi2 = 0.0000
Log likelihood = -4469.7673 Pseudo R2 = 0.0040
------------------------------------------------------------------------------
car | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
dochg | .4266257 .068442 6.23 0.000 .2924774 .560774
_cons | -36639.36 2018.95 -18.15 0.000 -40596.56 -32682.16
-------------+----------------------------------------------------------------
_se | 14865.12 794.4974 (Ancillary parameter)
------------------------------------------------------------------------------
Obs. summary: 35679 left-censored observations at car<=0
293 uncensored observations
Marginal Effects: Latent Variable
------------------------------------------------------------------------------
variable | dF/dx Std. Err. z P>|z| X_at [ 95% C.I. ]
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | .4266257 .068442 6.23 0.000 1925.31 .292482 .560769
_cons | -36639.36 2018.95 -18.15 0.000 1 -40596.4 -32682.3
------------------------------------------------------------------------------
Marginal Effects: Unconditional Expected Value
------------------------------------------------------------------------------
variable | dF/dx Std. Err. z P>|z| X_at [ 95% C.I. ]
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | .0034073 .0005466 6.23 0.000 1925.31 .002336 .004479
_cons | -292.6207 16.12437 -18.15 0.000 1 -324.224 -261.018
------------------------------------------------------------------------------
Marginal Effects: Conditional on being Uncensored
------------------------------------------------------------------------------
variable | dF/dx Std. Err. z P>|z| X_at [ 95% C.I. ]
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | .0396621 .0063628 6.23 0.000 1925.31 .027191 .052133
_cons | -3406.25 187.6957 -18.15 0.000 1 -3774.13 -3038.37
------------------------------------------------------------------------------
Marginal Effects: Probability Uncensored
------------------------------------------------------------------------------
variable | dF/dx Std. Err. z P>|z| X_at [ 95% C.I. ]
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | 6.28e-07 1.01e-07 6.23 0.000 1925.31 4.3e-07 8.3e-07
_cons | -.053947 .0029727 -18.15 0.000 1 -.059773 -.048121
------------------------------------------------------------------------------
Testy przeprowadzamy na poziomie istotności ą = 0.05.
1. Wypisz założenia modelu tobitowego.
2. Jaką nietypową cechą będzie się najprawdopodobniej charakteryzować rozkład zmiennej
zależnej?
3
Paweł Strawiński Ćwiczenia 06.05.2005
3. Dlaczego zarówno policzenie regresji liniowej dla tej całej obserwowanej próby da najpraw-
dopodobniej wartości dopasowane, które dla części obserwacji będą nieinterpretowalne?
4. Podaj na podstawie wydruku jaki jest wpływ wzrostu dochodu na prawdopodobieństwo
zakupu samochodu i jaki jest wpływ wzrostu dochodu na oczekiwane wydatki na samo-
chód jeśli konsument zdecydował się go kupić.
5. Podać na podstawie wydruku jaki jest całkowity wpływ wzrostu dochodu na oczekiwane
wydatki na samochód. Czy relacja między znakami tych efektów cząstkowych a oszaco-
waniami parametrów odpowiada twoim oczekiwaniom?
6. Poniżej znajdują się oszacowania elastyczności dla oczekiwanych
wydatków na samochód
"E( y|x) y
policzone dla średniej wartości dochodu w próbie (a więc policzone dla x = x).
"x x
Zinterpretować te wartości i ocenić, czy są one zgodne z intuicją ekonomiczną.
Elasticities after tobit
y = E(car*|car>0) (predict, ystar(0,.))
= 39.293275
------------------------------------------------------------------------------
variable | ey/ex Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | .16695 .02565 6.51 0.000 .116683 .217217 1925.31
------------------------------------------------------------------------------
7. Do zmiennych w modelu dodano zmienną dochód2 i uzyskano wielkość funkcji wiaro-
godności na poziomie -4411.0405. Zweryfikuj hipotezę, że ta dodatkowa zmienna jest
nieistotna w modelu.
Podpowiedz
: Ç2 (1) = 3.84, Ç2 (2) = 5.99, Ç2 (3) = 7.81.
0.95 0.95 0.95
8. Poniżej znajdują się efekty cząstkowe dla oczekiwanych wydatków. Policz na tej podstawie
elastyczność wydatków względem dochodu dla średniego dochodu zaobserwowanego w
próbie. Średni dochód w próbie wyniósł x = 1925.3 a E (y| x) dla x = [1, x, x2] jest równa
33.2.
Marginal effects after tobit
y = E(car*|car>0) (predict, ystar(0,.))
= 33.195902
------------------------------------------------------------------------------
variable | dy/dx Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X
---------+--------------------------------------------------------------------
dochg | .019164 .00207 9.27 0.000 .015114 .023214 1925.31
dochg2 | -4.81e-07 .00000 -4.85 0.000 -6.8e-07 -2.9e-07 3.7e+06
------------------------------------------------------------------------------
RozwiÄ…zanie
1. Założenia modelu tobitowego są następujące:
"
yi = xi² + µi

µi <" N 0, Ã2

"
yi = yi dla yi > 0
yi =
yi = 0 dla yi d" 0
i poszczególne obserwacje są niezależne.
4
Paweł Strawiński Ćwiczenia 06.05.2005
2. Samochód jest dobrem trwałym, więc nie każde gospodarstwo domowe w każdym roku
kupuje samochód. W rezultacie próba będzie zawierała dużo zerowych obserwacji. Na
podstawie wydruku widzimy, że na 35952 przebadanych gospodarstw, jedynie 293 poniosło
wydatki na zakup nowego samochodu.
3. W przypadku oszacowania dla tego modelu zwykłej regresji liniowej najprawdopodobniej
część wartości dopasowanych będzie ujemna - co jednak jest bez sensu ponieważ wydatki
mogą być wyłącznie dodatnie.
4. Na podstawie wydruku efektów cząstkowych dla prawdopodobieństwa dochodzimy do
wniosku, że prawdopodobieństwo zakupu samochodu wzrośnie o 0.0628 punktu procento-
wego, jeśli dochód wzrośnie o 1000 zł. Efekty cząstkowe dla wydatków na zakup samocho-
du jeśli został on zakupiony odczytujemy z wydruku warunkowych efektów cząstkowych
E (y| y > 0). Wzrost oczekiwanego wydatku na samochód przy 1000 zł wzroście dochodu
w grupie, która zakupiła samochód wynosi 39.66 zł.
5. Całkowity wzrost wydatków na samochód odczytujemy z tablicy efektów cząstkowych dla
bezwarunkowego y. Wzrost oczekiwanego wydatku na samochód przy 1000 zł wzroście
dochodu wynosi 3.4 zł.
6. Oszacowana wielkość oznacza, że przy 1% wzroście dochodu oczekiwane wydatki na sa-
mochód wzrosną o .167%. Oszacowanie to wydaje się bardzo niskie wziąwszy pod uwagę,
że w Polsce samochód jest ciągle raczej dobrem luksusowym - oszacowanie elastyczności
powinno wyjść większe od 1.
7. Statystyka testu LR ma postać: .
LR = 2 (-4411.0405 + 4469.7673) = 117. 45 > Ç2 (1) = 3.84
0.95
Testujemy zerowość 1 współczynnika ( a wiÄ™c wÅ‚aÅ›ciwÄ… wartoÅ›ciÄ… krytycznÄ… jest Ç2 (1).
0.95
Odrzucamy H0 o nieistotności dochodu2.
8. FunkcjÄ™ opisujÄ…ca efekt czÄ…stkowy ma postać E (y| x) = f (²0 + ²wiek + ²wiek2x2). Na wy-
druku znajdują się efekty cząstkowe policzone przy założeniu, że x i x2 są niezwiązanymi
"f(z) "f(z)
2
ze sobą zmiennymi a więc są równe bwiek i bdochg , gdzie z = b0 + bdochgdochg +
"z "z
2
bdochgdochg . Prawidłowo oszacowany efekt krańcowy jest równy
"E (y| x) "f (z) "f (z)
= b1 + 2dochg b1
"x "z "z
a więc jest równy:

.019164 + 2 × 1925.3 × -4.81 × 10-7 = 0.01731
: 1. 731 2 × 10-2 Elastyczność jest równa z definicji

"E (y| x) E (y| x) 1925.3
= 0.01731 × = 1. 0038
"x x 33.2
W tym modelu elastyczność dochodowa okazała się nieco wyższa od jedynki, co wydaje się
zgodne z intuicją, że samochody są dobrem luksusowym. W dalszym ciągu oszacowanie
wydajÄ… siÄ™ trochÄ™ za niskie.
5