Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 1
Niech yt ma rozkład logarytmiczno normalny o funkcji gęstości postaci
1 (ln yt - ² ln xt)2
f (yt) = " exp -
2Ã2
yt 2Ä„Ã2
Zakładamy, że xt jest nielosowe a yt są nieskorelowane w czasie. Można pokazać,
1
E (ln yt) = ² ln xt, V ar (ln yt) = Ã2 a E (yt) = x² exp Ã2 .
t
2
ln xt ln yt
t
1. Pokaż, że estymator MNW parametru ² ma postać ² = i jest
(ln xt)2
t
nieobciążony. Znajdz
estymator parametru Ã2.
2. Znajdż macierz wariancji kowariancji ².
3. Pokaż, że jeśli yt ma rozkład logarytmiczno normalny, to ln (yt) ma rozkład
N (² ln xt, Ã2). Pokaż, że estymator MNK policzony dla modelu
ln yt = ² ln xt + ·t, t = 1, . . . , T
ma identycznÄ… postać do estymatora ² policzonego z modelu nieprzeksztaÅ‚-
conego i wyjaÅ›nij dlaczego tak jest. ZakÅ‚adamy, że ·t <" N (0, Ã2)
4. Powiedzmy, że utworzyliÅ›my wartoÅ›ci dopasowane yt = exp ² ln xt . Czy
średnia z tych wartości dopasowanych jest równa średniej z wartości yt? Czy
asymptotycznie średnia z tych wartości dopasowanych będzie zbiegać do war-
tości oczekiwanej E (yt)?
1
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 2
Dany jest model logitowy posiadania pewnego dobra trwałego.
1. Należy przetestować łączną nieistotność 9 zmiennych z 30 zawartych w tym
modelu. Dla modelu z pełną liczbą zmiennych wielkość logarytmu funkcji
wiarogodności wyniosła -234. Dla modelu bez 9 testowanych zmiennych war-
tość logarytmu funkcji wiarogodności wyniosła -281. Policzyć odpowiednią
statystykę testową i podać wynik testu.
2. Dostępne są jedynie wyniki oszacowania tego modelu dla przypadku, kiedy
w modelu umieszczono wszystkie 30 zmiennych. Jaką statystyką możnaby
się potencjalnie posłużyć, aby przetestować hipotezę o nieistotności 9 zmien-
nych?
3. Dostępne są jedynie wyniki oszacowania tego modelu dla przypadku, kiedy
w modelu umieszczono 21 zmiennych, a nie uwględniona 9. Jaką statystyką
możnaby się posłużyć, aby przetestować hipotezę o nieistotności 9 zmien-
nych?
2
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 2
Dany jest model logitowy posiadania pewnego dobra trwałego.
1. Należy przetestować łączną nieistotność 9 zmiennych z 30 zawartych w tym
modelu. Dla modelu z pełną liczbą zmiennych wielkość logarytmu funkcji
wiarogodności wyniosła -234. Dla modelu bez 9 testowanych zmiennych war-
tość logarytmu funkcji wiarogodności wyniosła -281. Policzyć odpowiednią
statystykę testową i podać wynik testu.
2. Dostępne są jedynie wyniki oszacowania tego modelu dla przypadku, kiedy
w modelu umieszczono wszystkie 30 zmiennych. Jaką statystyką możnaby
się potencjalnie posłużyć, aby przetestować hipotezę o nieistotności 9 zmien-
nych?
3. Dostępne są jedynie wyniki oszacowania tego modelu dla przypadku, kiedy
w modelu umieszczono 21 zmiennych, a nie uwględniona 9. Jaką statystyką
możnaby się posłużyć, aby przetestować hipotezę o nieistotności 9 zmien-
nych?
RozwiÄ…zanie
1. Statystyka testowa LR = -2(L0 - L1) i ma rozkÅ‚ad Ç2(k), gdzie k to licz-
ba zmiennych o których zakładamy że są nieistotne, L0 wartość logarytmu
funkcji wiarogodności dla modelu bez ograniczeń, L1 wartość logarytmu wia-
rogodności dla modelu z ograniczeniami. W tym przypadku:
LR = -2(-281 - (-234)) = 94 > Ç2(9) = 16.92
Wobec tego nalezy uznać, żę te modele różnią się. Wobec tego zmienne są
Å‚Ä…cznie istotne.
2. za pomocÄ… statystyki Walda
3. za pomocą statystyki mnożników Lagrange a.
3
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 3
Oszacowano model probitowy wyjaśniający prawdopodobieństwo posiadania
pracy w zależności od wieku lub płci i otrzymano następujące wyniki dla parame-
trów:
Probit estimates Number of obs = 314
LR chi2(2) = 21.92
Prob > chi2 = 0.0000
Log likelihood = -204.1315 Pseudo R2 = 0.0510
------------------------------------------------------------------------------
works | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
wiek | .0082406 .0042794 1.93 0.054 -.0001469 .0166281
sex | .5937543 .145614 4.08 0.000 .3083562 .8791525
_cons | -.4677802 .1994939 -2.34 0.019 -.8587811 -.0767792
------------------------------------------------------------------------------
sex: 0 mezczyzna
1 kobieta
works: 0 nie pracuje
1 pracuje
1. Zinterpretować znaki przy oszacowaniach parametrów i sprawdzić, czy po-
szczególne zmienne w modelu są istotne.
2. Wartość funkcji wiarygodności dla modelu probitowego ze zmiennymi obja-
śniającymi wiek, płeć i wykształcenie wyniosła -187.9. Zmienna wykształce-
nie mogła przyjmować jeden z 8 poziomów. Zweryfikować hipotezę mówiącą
o tym, że wykształcenie wpływa na prawdopodobieństwo posiadania pracy.
Å»
3. Wartość funkcji gęstości obliczona dla xb jest równa .39. Policzyć krańco-
wy wpływ wieku na prawdopodobieństwo posiadania pracy i zinterpretować
obliczoną wartość.
4
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 3
Oszacowano model probitowy wyjaśniający prawdopodobieństwo posiadania
pracy w zależności od wieku lub płci i otrzymano następujące wyniki dla parame-
trów:
Probit estimates Number of obs = 314
LR chi2(2) = 21.92
Prob > chi2 = 0.0000
Log likelihood = -204.1315 Pseudo R2 = 0.0510
------------------------------------------------------------------------------
works | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
wiek | .0082406 .0042794 1.93 0.054 -.0001469 .0166281
sex | .5937543 .145614 4.08 0.000 .3083562 .8791525
_cons | -.4677802 .1994939 -2.34 0.019 -.8587811 -.0767792
------------------------------------------------------------------------------
sex: 0 mezczyzna
1 kobieta
works: 0 nie pracuje
1 pracuje
1. Zinterpretować znaki przy oszacowaniach parametrów i sprawdzić, czy po-
szczególne zmienne w modelu są istotne.
2. Wartość funkcji wiarygodności dla modelu probitowego ze zmiennymi obja-
śniającymi wiek, płeć i wykształcenie wyniosła -187.9. Zmienna wykształce-
nie mogła przyjmować jeden z 8 poziomów. Zweryfikować hipotezę mówiącą
o tym, że wykształcenie wpływa na prawdopodobieństwo posiadania pracy.
Å»
3. Wartość funkcji gęstości obliczona dla xb jest równa .39. Policzyć krańco-
wy wpływ wieku na prawdopodobieństwo posiadania pracy i zinterpretować
obliczoną wartość.
RozwiÄ…zanie
1. Wraz z wiekiem rośnie prawdopodobieństwo posiadania pracy. Jest bardziej
prawdopodobne, że kobieta pracuje niż że mężczyzna pracuje. Zmienna wiek
jest istotna przy poziomie istotności większym od 0,054, zmienna sex jest
istotna przy każdym poziomie istotności.
2. LR0 = -187.9, LR1 = -204.13
Statystyka testowa jest równa:
LR = 2(204.13 - 187.9) = 32.46
WartoÅ›ci krytyczne Ç2 (7) = 14.07, Ç2 (7) = 18.48. Wobec tego przy
0.95 0.99
poziomie istotności 5 % odrzucamy hipotezę zerową o równoważności modeli,
więc wykształcenie należy uznać za zmienną istotną.
3.
"E(y | x)
= Åš(x b)²wiek = 0, 39 " 0, 00824 = 0, 0032136
"wiek
Każdy przeżyty rok zwiększa prawdopodobieństwo posiadania pracy o 0,3 %
niezależnie od płci osoby.
5
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 4
Na podstawie danych GUS zbudowano model ekonometryczny tłumaczący zmien-
ną: czy respondent mieszka we własnym domu (dom=1), czy wynajmuje dom
(dom=0). Zmienne objaśniające: płeć (0 oznacza kobietę), wiek w latach, dochod
- miesięczny dochód rodziny, rodzina - zmienna 0-1, gdzie 1 oznacza że respondent
ma rodzinę, miasto - zmienna 0-1, gdzie 1 oznacza że respondent mieszka w mie-
ście, wyższe i średnie - zmienne 0-1 określające poziom wykształcenia. Kategorią
referencyjną jest wykształcenie podstawowe. Otrzymano następujące wyniki:
Iteration 0: log likelihood = -558.84385
Iteration 4: log likelihood = -389.49835
Probit estimates Number of obs = 826
LR chi2(7) = .
Prob > chi2 = .
Log likelihood = -389.49835 Pseudo R2 = .
--------------------------------------------------------------------------
dom | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
---------+----------------------------------------------------------------
plec | -.0427238 .1179709 -0.36 0.717 -.2739425 .1884949
wiek | .0059442 .0040125 1.48 0.138 -.0019202 .0138087
dochod | .0000136 4.64e-06 2.93 0.003 4.49e-06 .0000227
rodzina | .0718535 .1365671 0.53 0.599 -.195813 .33952
miasto | -1.742791 .1093515 -15.94 0.000 -1.957116 -1.528466
wyzsze | -.232067 .214483 -1.08 0.279 -.6524461 .188312
srednie | -.0111488 .1375824 -0.08 0.935 -.2808052 .2585077
_cons | .4674857 .2887998 1.62 0.106 -.0985516 1.033523
--------------------------------------------------------------------------
Przyjmując poziom istotności 10 % dokonaj interpretacji wyników oraz zbadaj
istotność oraz łączną istotność modelu i oblicz współczynnik dopasowania. War-
tość krytyczna Ç2(7) = 12.02
6
Paweł Strawiński Ćwiczenia 08.04.2005
Zadanie 4
Na podstawie danych GUS zbudowano model ekonometryczny tłumaczący zmien-
ną: czy respondent mieszka we własnym domu (dom=1), czy wynajmuje dom
(dom=0). Zmienne objaśniające: płeć (0 oznacza kobietę), wiek w latach, dochod
- miesięczny dochód rodziny, rodzina - zmienna 0-1, gdzie 1 oznacza że respondent
ma rodzinę, miasto - zmienna 0-1, gdzie 1 oznacza że respondent mieszka w mie-
ście, wyższe i średnie - zmienne 0-1 określające poziom wykształcenia. Kategorią
referencyjną jest wykształcenie podstawowe. Otrzymano następujące wyniki:
Iteration 0: log likelihood = -558.84385
Iteration 4: log likelihood = -389.49835
Probit estimates Number of obs = 826
LR chi2(7) = .
Prob > chi2 = .
Log likelihood = -389.49835 Pseudo R2 = .
--------------------------------------------------------------------------
dom | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]
---------+----------------------------------------------------------------
plec | -.0427238 .1179709 -0.36 0.717 -.2739425 .1884949
wiek | .0059442 .0040125 1.48 0.138 -.0019202 .0138087
dochod | .0000136 4.64e-06 2.93 0.003 4.49e-06 .0000227
rodzina | .0718535 .1365671 0.53 0.599 -.195813 .33952
miasto | -1.742791 .1093515 -15.94 0.000 -1.957116 -1.528466
wyzsze | -.232067 .214483 -1.08 0.279 -.6524461 .188312
srednie | -.0111488 .1375824 -0.08 0.935 -.2808052 .2585077
_cons | .4674857 .2887998 1.62 0.106 -.0985516 1.033523
--------------------------------------------------------------------------
Przyjmując poziom istotności 10 % dokonaj interpretacji wyników oraz zbadaj
istotność oraz łączną istotność modelu i oblicz współczynnik dopasowania. War-
tość krytyczna Ç2(7) = 12.02
RozwiÄ…zanie
1. Mężczyz
ni mają przeciętnie niższe prawdopodobieństwo mieszkania we wła-
snym domu, wraz z wiekiem respondenta rośnie prawdopodobieństwo miesz-
kania we własnym domu, wzrost dochodu zwiększa prawdopodobieństwo
mieszkania we własnym domu, posiadanie rodziny zwiększa prawdopodobień-
stwo mieszkania we własnym domu, mieszkanie w dużym mieście zmniejsza
prawdopodobieństwo mieszkania we własnym domu, ludzie z wyższym wy-
kształceniem rzadziej mieszkają we własnym domu niż ludzie z wykształce-
niem podstawowym, ludzie ze średnim wykształceniem rzadziej mieszkają we
własnym domu niż ludzie z wykształceniem podstawowym.
2. Zmienne istotne todochód,miasto, ponieważ p-value statystyki t d" 0.1
3. Zmienne są łącznie istotne, ponieważ LR = -2(LR - L0) = -2(-559 -
(-389)) = 2 " 170 = 340 > 12.02. Wobec tego odrzucamy H0o Å‚Ä…cznej
nieistotności zmiennych.
L(²)
-389
4. pseudo - R2 = 1 - = 1 - H" 1 - 0.7 = 0.3.
L(0) -559
7