1. Modelowanie w wytrzymałości materiałów
Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od obiektu rzeczywistego poprzez model fizyczny, do modelu matematycznego.
Model matematyczny jest to matematyczny opis zjawisk zachodzących w modelu fizycznym, podany w formie usystematyzowanych
wzorów lub równań  algorytm. Do sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej istnieje potrzeba tworzenia modeli: -
modele materiału; -model postaci (kształtu); -model obciążenia; -modele złomu.
2. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta.
Momenty bezwładności przekroju względem osi y i z:
Iy =� z2dA
��
A
Iz =� y2dA
��
A
Moment dewiacji przekroju pręta w płaszczyz
nie yz:
I =� yzdA
yz
��
A
Biegunowy moment przekroju względem punktu O:
2
IO =� r� dA =� I +� Iz
y
��
A
Momenty statyczne przekroju względem osi y i z:
Sy =� zdA =� Azs
��
A
Sz =� ydA =� Ays
��
A
ys, zs - współrzędne środka geometrycznego przekroju S (zwanego środkiem ciężkości).
3. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle.
Sxy  układ osi centralnych
Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych O�z� przesuniętym równolegle (twierdzenie Steinera)
Ih� =� I +� b2 A
y
Iz� =� Iz +� a2 A
Ih�z� =� I +� abA
yz
4. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych obróconym.
h� =� y cosj� +� z sinj�
z� =� z cosj� -� y sinj�
1 1
Ih� =� (�I +� Iz)�+� (�I -� Iz)�cos 2j� -� I sin 2j�
y y yz
2 2
1 1
Iz� =� (�I +� Iz)�-� (�I -� Iz)�cos 2j� +� I sin 2j� 5. Główne momenty bezwładności i główne osie bezwładności
y y yz
2 2
1
Ih�z� =� (�I +� Iz)�sin 2j� +� I sin 2j�
y yz
2
przekroju pręta.
�� Osie �=1, z�=2 będą głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju.
Główne centralne momenty bezwładności przekroju
1 1
2
2
I1/ 2 =� (�I +� Iz)�ą� (�Iy -� Iz)� +� 4Iyz
y
2 2
Inny sposób. Jeżeli w układzie prostokątnym Syz momenty bezwładności przekroju wynoszą Iy. Iż, zaś moment dewiacji Iyz,, to główne
centralne momenty bezwładności I1, I2 są wartościami własnymi tensora momentów geometrycznych
I -� I
�� ł�
y yz
I =�
ę� ś�
��-� I yz Iz ��
6. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.
Warunki równowagi:
Warunki geometryczne:
�� Przemieszczenie osiowe elementu pręta dx: -górnego końca u; -dolnego końca u+du,
�� Długość elementu po odkształceniu dx+du,
�� Odkształcenie względne:
du
e� =� ,
dx
�� Przemieszczenie dolnego końca pręta:
l l
u(�x =� l)� =� D�l =� =�
��du ��e�dx
0 0
�� Przypadek szczególny (e�=const)
D�l
D�l =� e�l, albo e� =�
l
Zależności fizyczne:
W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke a, które możemy zapisać w następującej postaci:
D�l 1 F
=� ��
l E A
E  moduł sprężystości liniowej, moduł Younga, A  pole przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego
Przyjmując na powierzchni przekroju poprzecznego równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem:
F
s� =� naprężenia ściskające bądz
rozciągające
A
Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke a) w jednoosiowym stanie naprężeń:
s� =� E ��e�
7. Statyczna próba rozciągania.
Wykres zależności s�(�)podczas rozciągania próbki ze stali węglowej,
A- zakres stosowalności prawa Hooke a (proporcjonalności); B- granica sprężystości  do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu obciążenia
próbka wraca do poprzedniej konfiguracji; BCD- zakres odkształceń plastycznych; DK- umocnienie, niewielka zmiana odkształceń
powoduje intensywny wzrost naprężeń; K- próbka osiągnęła naprężenia zrywające  wytrzymałość na rozciąganie  stała dla różnych
materiałów konstrukcyjnych; L- zerwanie próbki.
Na podstawie wytrzymałości na rozciąganie określa się graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca konstrukcja. Te
naprężenia dopuszczalne opisuje wzór:
Rm
kr =� , k  rozciąganie; n  współ. Bezpieczeństwa.
n
8. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego z uwzględnieniem ścinania w płaszczyz
nie przekroju.
W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna stanu naprężeń,
której skutkiem jest ścinanie ciała odkształcalnego w płaszczyz
nie przekroju. Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego
A
wynika, że s�A =� pa� , czyli pa� =� s� cosa� ;
cosa�
Stąd:
s�a� =� pa� cosa� =� s� cos2 a�
s�
t�a� =� pa� sina� =� sin 2a�
2
Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyz
nie przekroju nachylonym pod kątem 45�� w kierunku rozciągania lub ściskania.
9. Pręt ściskany/rozciągany obciążeniem ciągłym.
Warunek równowagi elementu dx: -N+N+dN+qdx=0;
du
Siła normalna N: N =� EA
dx
d du
ć� ��dx
A jej różniczka dN =� EA
�� ��
dx dx
Ł� ł�
Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych:
d du
ć� ��
EA +� q(�x)�=� 0, 0 Ł� x Ł� l
�� ��
dx dx
Ł� ł�
Warunki brzegowe:
du
ć� ��
u(�x)� =� 0, EA =� F
�� ��
x=�0
dx
Ł� ł�
x=�l
10. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Naprężenia termiczne i montażowe.
Naprężenia termiczne powstają w wyniku ograniczenia przemieszczenia swobodnego końca pręta którego temperatura wzrosła o "T
D�l
Prawo rozszerzalności liniowej =� a� �� D�T czyli zmiana długości o "l. pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy. Uniemożliwia to
l
D�l
siła ściskająca N, która powoduje naprężenia termiczne: s� =� E =� E ��a� �� D�T
l
Naprężenia montażowe powstają w wyniku korygowania różnic wymiarowych łączonych elementów konstrukcji
D�
W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która powoduje naprężenia montażowe s� =� E
l
11. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Układy statycznie niewyznaczalne.
Układ prętowy statycznie niewyznaczalny  nie można wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił wewnętrznych) na podstawie
równań równowagi statycznej.
Procedura rozwiązywania: 1.Równania równowagi statycznej; 2.Określenie warunków geometrycznych; 3.Zalezności fizyczne.
12. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego siłą bezwładności.
- gęstość pręta �; - przyspieszenie a(x) w kierunku osi pręta
�� Warunek równowagi elementu dx
-N+N+dN+A�a(x)dx=0
�� Siła bezwładności (d Alemberta); dF=A�a(x)dx
du
�� Siła normalna N N =� EA
dx
d du
ć� ��dx
�� A jej różniczka dN =� EA
�� ��
dx dx
Ł� ł�
�� Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych
d du
ć� ��
EA +� Ar�a(x) =� 0, 0 Ł� x Ł� l
�� ��
dx dx
Ł� ł�
�� Warunki brzegowe
du
ć� ��
u(x) =� 0, EA =� 0
�� ��
x=�0
dx
Ł� ł�
x=�l
13. Skręcanie pręta prostego o przekroju kołowym. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.
Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms (przyczyna) obserwujemy
odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta ł. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.
�� Warunki równowagi -� Ms =� 0
��t�r�dA
A
gdzie: 0 Ł� r� Ł� r
�� Warunki geometryczne
g�dx =� rdj�
dĆ  kąt skręcenia
rdj�
g� =�
dx
dj�
przy czym 0 Ł� r� Ł� r g� =� r�
r�
dx
�� Związki fizyczne
W przypadku skręcenia istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem skręcania (prawo Hooke a dla ścinania):
t�
g� =�
G
�  naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu; G  moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała tablicowana;
dj�
W dalszej kolejności wyznaczamy t� =� G r� , a następnie z warunku równowagi:
dx
dj�
2
G r� dA -� M =� 0
s
��
dx
A
dj� dj� M
s
G Is -� M =� 0, albo =�
s
dx dx GOs
Is  biegunowy moment bezwładności przekroju
14. Skręcanie pręta prostego momentem ciągłym.
�� Warunek równowagi
-Ms+MS+dMs+m(x)dx=0
dj�
�� Moment skręcający M =� GIs
s
dx
�� Różniczka momentu skręcającego
d dj�
ć�GI ��dx
dMs =�
�� ��
s
dx dx
Ł� ł�
�� Równanie różniczkowe kąta skręcenia
d dj�
ć�GI ��
+� m(�x)�=� 0, 0 Ł� x Ł� l
�� ��
s
dx dx
Ł� ł�
�� Warunki brzegowe
dj�
ć�GI ��
j�(�x)� =� 0, =� M
�� ��
s
x=�0
dx
Ł� ł�
x=�l
15. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym i prostokątnym.
Nie ma zastosowania hipoteza płaskich przekrojów. Przekrój wypaczony (deplanacja). Osie elipsy: 2a, 2b
ć� �� ś�2F ś�2F
y2 z2
�� ��
Przewidujemy funkcję naprężeń Prandtla F(�y, z)�=� C�� +� -�1�� , która spełnia równanie Poissona +� =� -�2 .
a2 b2 ł� ś�z2 ś�y2
Ł�
2C 2C a2b2
Wyznaczamy stałą C z równania +� =� -�2 , czyli C =� -� .
a2 b2 a2 +� b2
p�a3b3
Wskaz
nik sztywności Js =�
a2 +� b2
M
s
Jednostkowy kąt skręcenia j�'G =�
a3b3
p�
a2 +� b2
p�
Wskaz
nik przekroju eliptycznego Ws =� ab2
2
h>b
Js =� K1b3h
Ws =� K2b2h
1
K1 =� 2
ć� ��
b b2
�� ��
3 +� 2�� +�
h h2 ��
Ł� ł�
1
K2 =� , współczynniki K są wartościami tablicowanymi.
b
3 +�1,8
h
16. Zginanie belek. Zależności różniczkowe przy zginaniu. Twierdzenie Schwedlera
Belka  pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.
Moment gnący Mg  suma algebraiczna momentów obciążeń zewnętrznych działających w płaszczyz
nie przekroju belki.
Siła poprzeczna (tnąca) T  suma algebraiczna składowych sił zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w płaszczyz
nie
przekroju belki po lewej stronie rozważanego przekroju poprzecznego belki.
Zginanie równomierne - Mg =� 0,T =� 0
/� /�
Zginanie równomierne (czyste) - Mg =� 0,T =� 0 - belki o dużej rozpiętości.
/�
Ścinanie pręta - Mg =� 0,T =� 0 - belki o bardzo małej rozpiętości
/�
�� Zależności różniczkowe przy zginaniu
Warunki równowagi elementu belki:
-T+qdx+(T+dT)=0
Mg+Tdx-(Mg+dMg)-qdx�
(dx/2)=0
�� Twierdzenie Schwedlera
2
dM d M
dT
g g
T =� , q =� -� =� -�
dx dx dx2
17. Zginanie belek. Założenia czystego zginania. Naprężenia normalne w przekroju zginanym.
Założenia czystego zginania
1. Hipoteza płaskich przekrojów  zaznaczone przekroje nie zmieniają się co do kształtu, każdy przekrój poprzeczny ciała odkształcalnego
pozostaje w jednej płaszczyz
nie; 2. Podczas czystego zginania występuje oś obojętna. Włókna leżące powyżej tej osi są rozciągane natomiast
włókna leżące poniżej tej osi są ściskane; 3. Naprężenia w belce zginanej przyjmują rozkład liniowy.
Naprężenia (normalne) przy zginaniu
M zmax M M
gy gy gy
s� =� =� =�
x max
I
I Wy
y
y
zmax
Wy  wskaz
nik wytrzymałości na zginanie.
Elementy zginane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku naprężeń dopuszczalnych na zginanie:
M
gy
s� =� Ł� kg
x
Wy
18. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 2-go rzędu.
2
M (�x)�
d u�(�x)�
g
ó�ó�
u� =� =� -�
dx2 EI
z
Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać:
M (�x)�dx +� C
du�(�x)�
g
ó�
u� =� =� J�(�x)� =� -�
��
dx EI
z
M (�x)�dx��dx +� Cx +� D
ć� ��
g
u�(�x)� =� -�
������ ��
��
EI
Ł� z ł�
gdzie: C i D  stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych.
19. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 4-go rzędu.
Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe
czwartego rzędu o postaci:
2 2
ć� ��
d d u�(�x)��� =� q(�x)�, 0 <� x <� l
�� EI
dx2 �� dx2 ��
Ł� ł�
Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych: ugięć �(x), kątów ugięcia Ć(x), oraz wyrażone poprzez
ugięcia momenty gnące Mg(x), i siły tnące T(x) na końcach belki (dla x=0 i x=l).
Momenty gnące Mg(x) w funkcji ugięć �(x) opisuje zależność:
2
d u�(�x)�
M (�x)�=� -�EI
g
dx2
Natomiast siły tnące T(x) w funkcji ugięć �(x) można przedstawić jako:
2
dM (�x)�
ć� ��
d d u�(�x)���
g
��
T(�x)�=� =� -� EI
��
dx dx dx2 ��
Ł� ł�
20. Ugięcie belki. Metoda Clebscha.
Największą wartość ugięcia belki nazywa się strzałką ugięcia i oznaczana literą f. Strzałka ugięcia świadczy o sztywności belki. W praktyce
inżynierskiej często wyznacza się dla danej konstrukcji (np. wału) wartość strzałki ugięcia a następnie porównuje się ją do wartości
dopuszczalnej. W zależności od rodzaju i przeznaczenia konstrukcji przyjmuje się dopuszczalną strzałkę ugięcia fdop.
Rozwiązywanie równania osi ugięcia belek zginanych o n  przedziałach zmienności obciążenia wymaga wyznaczenia 2n stałych
całkowania. Zagadnienie upraszcza się zawsze tylko do dwóch stałych całkowania po zastosowaniu metody Alfreda Clebscha:
1. Początek współrzędnej x dla wszystkich przedziałów musi być wspólny (zazwyczaj lewy koniec belki). Formułując równanie Mg(x),
należy uwzględnić tylko siły zewnętrzne działające po lewej stronie przekroju; 2. Obciążenie ciągle q należy w razie potrzeby przedłużyć do
końca belki, przykładając na końcowym odcinku obciążenie o zwrocie przeciwnym; 3. Moment gnący spowodowany momentem skupionym
M siłą skupioną F, lub obciążeniem ciągłym q zapisuje się odpowiednio w formie:
q
0 2
M(�x -� a)� , F(�x -� a)�, (�x -� a)� . Współrzędna a określa miejsce przyłożenia M, F, albo początek obciążenia ciągłego q na
2
belce Całkowanie przeprowadza się względem (x-a).
21. Pręt ścinany. Naprężenia styczne przy zginaniu.
Wzór Żurawskiego opisujący rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą poprzeczną T w przekroju belki:
TSz
t� =� , wzór ten ma również zastosowanie jeśli szerokość b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.
bIz
W przekroju prostokątnym rozkład naprężeń � ma charakter paraboliczny:
ć� ��
3T 4y2
t� =� ��
��1-� �� . Maksymalne naprężenia styczne t�max występują w warstwie obojętnej dla y=0:
2bh h2 ��
Ł� ł�
3T
t�max =� .
2bh
22. Pręt ścinany. Środek ścinania.
Współrzędne ky i kz określają położenie punktu K, nazywanego środkiem ścinania.
(�t� y -�t� z)�dA
z y
��
A
ky =�
Tz
(�t� y -�t� z)�dA
z y
��
A
kz =�
Ty
23. Trójosiowy stan naprężeń. Tensor stanu naprężeń. Naprężenia główne.
Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego. Na przeciwległych ścianach wystąpią składowe naprężeń normalnych oraz
składowe naprężeń stycznych. Składowe te pozostają w stanie równowagi statycznej. Składowe stanu naprężeń:
s� =� col(�s� ,s� ,s� ,t� ,t� ,t� )�
x y z xy yz xz
Tensor stanu naprężeń
T
�� ł�
s� t� t� cosa�1
�� ł�
x xy xz
ę� ś�
ę�cosa� ś�
Naprężenia główne s�1,s�2,s�3 są pierwiastkami równania
s�0 =� col(�s�1,s� ,s�3)� =� s� t� ��
2 2
ę�t� yx y yz ś�
ę� ś�
ę�t� zx t� zy s� z ś�
ę� ś�
��cosa�3 ��
�� ��
charakterystycznego:
3 I 2 II III
s� -�s� s� +�s� s� -�s� =� 0
I II III
s� ,s� ,s� - naprężenia składające się z s� ,s� ,s� ,t� ,t� ,t�
x y z xy yz xz
24. Odkształcenia spowodowane naprężeniami normalnymi i stycznymi.
Odkształcenie spowodowane naprężeniami normalnymi
Odkształcenia objętościowe:
1
e� =� s�
y y
E
E  moduł Younga
Odkształcenie spowodowane naprężeniami stycznymi
Odkształcenia postaciowe:
1+� v
g� =� 2 t�
zy zy
E
E  moduł Younga
v  liczba Poissona
25. Wytężenie materiału. Naprężenia zredukowane
Wytężenie materiału to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn. pojawienie się lokalnego odkształcenia trwałego (tzw.
Uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała. Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych
stanu naprężenia oraz własności mechanicznych:
W(�s�1,s�2,s�3,C)�
Naprężenia redukowane (zastępcze) s�red - wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub ściskanym), takie
samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia.
s� =� F(�s�1,s�2,s�3,C)�
red
s� =� f (�s� ,s� ,s� ,t� ,t� ,t� ,C)�
red x y z xy yz zx
Warunek plastyczności ma postać:
s�red =� Re
Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać:
s�red =� Rm
26. Wytężenie materiału. Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych  sformułowana przez Coulomba, dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości.
Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenia styczne.
s�max -�s�min
�� Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi: t�max =�
2
s�
red
�� W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie styczne wynosi: t�maxó� =�
2
s�red =� s�max -�s�min
27. Wytężenie materiału. Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego.
Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego  sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky ego zakłada, że miarą wytężenia jest
energia właściwa odkształcenia postaciowego.
Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność:
2 2 2
��
(�s� -�s� )� +�(�s� -�s� )� +� (�s� -�s� )� +�ł�
1+� v x y y z z x
ę� ś�
F� =� Dla jednoosiowego stanu naprężenia
f
2 2 2
6E
ę� ś�
(�t� )�
��6 xy +�t� yz +�t� xz ��
ć�s� =� s�red ,s� =� s� =� 0, t� =� t� =� t� =� 0�� energię tą opisuje wyrażenie:
�� ��
x y z xy yz xz
Ł� ł�
1+� v
ó� 2
F� =� 2s�
f red
6E
ó�
Jeżeli wytężenia są sobie równe, to F� =� F� , a wzór na naprężenie redukowane ma postać:
f f
2 2 2
(�s� -�s� )� +�(�s� -�s� )� +� (�s� -�s� )� +�
2 x y y z z x
s� =� Dla płaskiego stanu naprężeń s� =� 0,s� =� 0,s� =� 0 ,
/� /�
red x y z
2 2 2
2
6(�t� +�t� +�t� )�
xy yz xz
t� =� 0,t� =� 0,t� =� 0, naprężenie redukowane:
/�
xy yz xz
2 2 2
s�red =� s� +�s� -�s� s� +� 3t�
x y x y xy
Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń s� =� s� =� 0,s� =� 0,s� =� 0 t� =�t� =� 0,t� =� 0,t� =� 0
/� /�
x y z xy yz xz
2 2
Redukowane określa wyrażenie: s�red =� s� +� 3t�
A dla prostego ścinania: s�red =� 3t�
3
Stąd wniosek: t�max =� Rm
3
28. Wytężenie materiału. Kryterium wytrzymałości.
Dla oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego ogniwa. Tym samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt, w którym
naprężenie redukowane jest największe. Kryterium wytrzymałości w przypadku ogólnym można zapisać tak jak dla pręta rozciąganego:
s�red Ł� s�dop
Re
Warunek początku plastyczności: s� =� ,
dop
n
Rm
Warunek zniszczenia: s� =� ,
dop
n
Współczynnik bezpieczeństwa n można oszacować za pomocą wzoru: n =� n1n2n3n4 , gdzie n1  współczynnik pewności założeń, n2 
współczynnik ważności przedmiotu, n3  współczynnik jednorodności materiału, n4  współczynnik zachowania wymiarów.
29. Trójosiowy stan odkształceń. Tensor stanu odkształceń. Odkształcenia główne.
Tensor stanu odkształceń:
T
�� ł�
e� g� g� cosa�1
�� ł�
x xy xz
ę� ś�
ę�cosa� ś�
Odkształcenia główne e�1,e�2,e�3 są pierwiastkami równania
e�0 =� col(�e�1,e�2,e�3)�=� e� g� ��
2
ę�g� yz y yz ś�
ę� ś�
ę�g� zx g� zy e� z ś�
ę� ś�
��cosa�3 ��
�� ��
3 I 2 II III
charakterystycznego: e� -�e� e� +� e� e� -�e� =� 0 ,
I II III
gdzie: e� e� e� składa się z e�x,e� ,e�z ,g� ,g� ,g� .
y xy yz zx
30. Aksjator i dewiator stanu naprężeń i odkształceń. Niezmienniki stanu naprężeń i odkształceń.
Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń
�� ł�
e� g� g� s� 0 0
�� ł�
x xy xz śr
ę� ś�
ę� ś�
=� 0 s� 0 +�
śr
ę�g� yz e� y g� yz ś�
ę� ś�
ę�g� zx g� zy e� z ś�
ę� ś�
0 0 s�
�� śr ��
�� ��
Aksjator
�� t� ł�
s� -�s� t�
x śr xy xz
ę� ś�
+� t� s� -�s� t�
yx y śr yz
ę� ś���dewiator
ę� ś�
t� t� s� -�s�
zx zy z śr
�� ��
Aksjator  diagonalna macierz opisująca równomierny stan naprężeń ściskających (rozciągających)  tensor kulisty. Opisuje stan
równomiernych naprężeń głównych.
Dewiator  macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń
Niezmiennik aksjatora e�ka - suma odkształceń objętościowych w kierunku osi x, y, z
Niezmiennik dewiatora:
e�kd =� e�x -� e�śr +� e� -� e�śr +� e�z -� e�śr =� 0
y
31. Macierz sprężystości dla ogólnego stanu naprężeń, płaskiego stanu naprężeń i odkształceń.
ogólny stan naprężeń:
1-� v v v 0 0 0
�� ł�
ę� ś�
1-� v v 0 0 0
ę� ś�
ę� 1-� v 0 0 ś�
ę� ś�
1-� 2v
E
0 0
ę� ś�
D =�
2
(�1+� v)�(�1-� 2v)�
ę� ś�
1-� 2v
ę� ś�
0
ę� ś�
2
ę� ś�
1-� 2v
ę�sym. ś�
�� 2 ��
Płaski stan naprężeń  niezerowe składowe tensora naprężeń w płaszczyz
nie xy
s� =�t� =�t� =� 0
z zx zy
�� ł�
1 v 0
ę� ś�
E
ę� ś�
D =� 1 0
ś�
1-� v2 ę�
ę�sym. 1-� v ś�
�� 2 ��
Płaski stan odkształceń  niezerowe składowe tensora odkształceń w płaszczyz
nie xy
�� ł�
ę�1-� v v 0 ś�
E
ę� ś�
D =� 1-� v 0
ę� ś�
(�1+� v)�(�1-� 2v)�
1-� 2v
ę�sym. ś�
�� 2 ��
32. Koło Mohra dla płaskiego stanu naprężeń.
W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyz
nie xy, występuje płaski stan naprężenia. Dla
płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać:
s� t� 0
�� ł�
x xy
ę�t� s� 0ś�
yx y
ę� ś�
ę� ś�
0 0 0��
��
33. Koło Mohra dla płaskiego stanu odkształceń.
Analogicznie jak dla płaskiego stanu naprężeń
34. Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężeń.
-
35. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda warunków brzegowych.
Rozważmy belkę o długości l i sztywności na zginanie EI:
1. Równania równowagi: =� 0, , w dwóch równaniach występują trzy niewiadome, jest to belka jednokrotnie
��F ��M =� 0
y (�A)�
statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna).
2. Warunki geometryczne
Reakcja Rb (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest skutkiem podparcia belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi
geometrycznemu:
u�B =� u�(�x)� , co oznacza, że pionowe przemieszczenie w punkcie B jest równe zero.
x=�l
3. Związki fizyczne
Związek fizyczny powinien uzależniać �b od sił działających na belkę oraz jej własności sprężystych. Można do jego sformułowa nia
wykorzystać różniczkowe osi ugięcia belki.
- równanie momentu gnącego; - różniczkowe równanie osi ugięcia; - dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia; - zapisanie warunków
brzegowych i wyliczenie reakcji.
36. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda Clebscha.
Metodę Clebscha stosuje się dla belek statycznie niewyznaczalnych o wielu przedziałach zmienności. Przykład rozwiązania: 1. Reakcje
więzów  płaski układ sił równoległych; 2. Równanie momentu gnącego w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 3. Różniczkowe równanie
osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 4. Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 5.
Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych; 6. Korzystając z otrzymanych równań oraz równań równowagi otrzymujemy
ostateczne równania momentu gnącego.
37. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda superpozycji.
Metoda superpozycji bazuje na liniowej zależności pomiędzy przemieszczeniami ( ugięciem w punkcie) a obciążeniem. Mając do dyspozycji
ograniczoną liczbę rozwiązań dla typowych prostych przypadków zginania belek można uniknąć żmudnych i pracochłonnych obliczeń oraz
szybko wyznaczyć wielkości hiperstatyczne, wykorzystując warunek wynikający z odkształceń.
1. Reakcje więzów  płaski układ sił równoległych (reakcja Rb jest reakcją hiperstatyczną); 2. Załóżmy, że omawiana belka jest podparta
przegubowo tylko na końcach. Wówczas w punkcie B wystąpiłoby ugięcie; oznaczamy je jako �b ; 3. Następnie załóżmy, że omawiana
belka nadal jest podparta przegubowo na końcach, a obciążona jest tylko w środku siłą równą co do wielkości hiperstatycznej Rb, wówczas
w punkcie B wystąpi ugięcie �b  ; 4. W układzie zasadniczym ugięcie �b w punkcie B jest równe zero (podpora), zatem wartość liczbowa
reakcji Rb musi być na tyle duża, aby ugięcie �b  , wywołane działaniem reakcji Rb (na belkę nie obciążoną obciążeniem ciągłym), było
równe co do wartości ugięciu �b .
u�B =�u�Bó� +�u�B�� =� 0
38. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty ściskanie/rozciągane i skręcane.
Energia sprężysta (V) jest równa pracy wykonanej poprzez siły zewnętrzne działające na dane ciało. Energia ta bywa również nazywana
energią potencjalną lub energią odkształcenia.
u u
V =� Fdu =�
�� ��dV
0 0
Do obliczenia pracy niezbędne jest przyjęcie założenia, że proces obciążania ciała siłami odbywa się quasi-statycznie tzn. że w każdej chwili
musi być zachowana równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.
Wartość tego wydłużenia określa prawo Hooke a:
Ndx
du =�
EA
Stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta:
2
1 N dx
dV =� Ndu =�
2 2EA
l
2
N dx
Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: V =�
��
2EA
0
2
N l
Jeżeli N oraz EA nie zależą od x, to: V =�
2EA
Energia sprężysta pręta skręcanego, moment skręcający MS w pręcie o przekroju kołowym o długości dx wykonuje pracę na skręcenia dĆ:
M dx
s
dj� =�
GIs
stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta skręcanego:
2
1 Ms dx
dV =� Msdj� =�
2 2GIs
l
2
M dx
s
Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: V =� . Jeśli Ms oraz Is
��
2GIs
0
2
M l
s
nie zależą od x, to: V =�
2GIs
39. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty zginane i ścinane.
Moment zginający Mg w pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięcia dĆ:
M dx
g
dJ� =�
EI
Stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta zginanego:
2
M dx
1
g
dV =� M dJ� =�
g
2 2EI
Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l:
2
l
M dx
g
V =�
��
2EI
0
2
M l
g
Jeśli Mg oraz I nie zależą od x, to: V =�
2EI
Energia sprężysta pręta zginanego  siła poprzeczna (tnąca) T w pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięciu dvT
Tdx
dvT =� b�
GA
�  bezwymiarowy współczynnik kształtu przekroju pręta.
2
1 T dx
Energia sprężysta elementarnego odcinka pręta zginanego: dV =� TdvT =� b� . Natomiast
2 2GA
l
2
T dx
energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: V =� b� . Jeśli T oraz GA nie zależą od x, to:
��
2GA
0
2
T l
V =� b�
2GA
40. Energia sprężysta układów prętowych w przypadku ogólnym.
Energia sprężysta odcinka pręta o długości dx jest równa sumie prac składowych sił wewnętrznych:
1
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są funkcjami składowych sił
dV =� (�Ndu +� Msdj� +� M dJ�z +� TydvT +� TzdwT )�
gy
2
wewnętrznych otrzymujemy zależność:
2
2
2 2
ć�
1 N Ms M gy M gz Ty2b�y Tz2b�z ��
�� ��dx
dV =� +� +� +� +� +�
�� ��
2 EA GIs EI EIz GA GA
y
Ł� ł�
Wyrażenie na energię sprężystą V w skończonym odcinku pręta o długości l ma postać:
2
2
l
2 2
ć�
M M Ty2b�y Tz2b�z ��
1 N M
gy gz
s
V =�
���� +� +� +� +� +� ��dx
�� ��
2 EA GIs EI EI GA GA
y z
0
Ł� ł�
41. Układy Clapeyrona. Twierdzenie Castigliano.
Układ Clapeyrona  spełnia następujące warunki: 1. materiał musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia muszą być
mniejsze od granicy proporcjonalności; 2. działanie jednych sił nie może zmienić charakteru działania innych sił (zasada superpozycji
zachowana).
Tw. Castigliano  Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu
uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.
ś�V
ui =� . Jeśli w interesującym nas punkcie analizowanego ciała nie ma rzeczywistej siły Fi odpowiadającej poszukiwanemu
ś�Fi
przemieszczeniu ui należy w tym miejscu przyłożyć siłę fikcyjną Ffik, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównuje się do
ć� ��
ś�V
�� ��
zero: ui =�
�� ��
ś�Ffik
Ł� ł�F =�0
fik
42. Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano
Stosując metodę Castigliano, można przemieszcenia u1, & un z wykorzystaniem energii sprężystej V (X1, & Xn) jako:
ś�V ś�V
u1 =� ,...,un =�
ś�X1 ś�Xn
Na tej podstawie można sformułować zasadę minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano  spośród wszystkich możliwych zbiorów
wielkości X1, & , Xn zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten,, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V
osiąga wartość minimalną
ś�V ś�V
=� 0... =� 0
ś�X1 ś�Xn
W przypadku gdy energia sprężysta układu pochodzi głównie od zginania, zasadę minimum energii sprężystej Menabrei  Castigliano
można zapisać w postaci:
l
ś�M
ś�V 1
g
=�
g
��M dx =� 0
ś�X1 EI ś�X1
0
l
ś�M
ś�V 1
g
=�
g
��M dx =� 0
ś�X EI ś�Xn
n
0
43. Metoda Maxwella-Mohra. Wzór Maxwella-Mohra.
Jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących obciążeń zewnętrznych N, MS, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u,
będzie określone następującą zależnością:
ó� ó�
l ć� ó�
M M M M b� TyTyó� zTzTzó� ��
NN ó� M M b� gdzie: N , Ms , Mgy , Mgz , Ty , Tz  odpowiednie składowe
gy gy gz gz y
s s
u =� +� +�
���� EA GIs EI +� EI +� GA +� GA ��dx
�� ��
�� ��
0 y z
Ł� ł�
sił wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik=1.
44. Metoda Maxwella-Mohra. Uproszczone obliczanie całek  wzory Wereszczagina.
Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella  Mohra dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie
ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak w przypadku zginania jest to iloczyn � pola wykresu momentów gnących Mg od obciążenia
zasadniczego oraz rzędnej M rc wykresu momentów gnących M g od obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka
ciężkości C pola �, czyli:
l
ó�dx ó�
g g gc
��M M =� W�M
0
45. Wyboczenie sprężyste prętów prostych. Przypadki Eulera.
Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej Fkr. Po przekroczeniu
wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem.
Wartość siły krytycznej Fkr przy wyboczeniu sprężystym pręta można wyprowadzić z tzw. równania Eulera.
ó�ó�
EIu� =� -�Fkru�
Fkr
ó�ó�
stąd: u� +� u� =� 0
EI
2
p� n2EI
Fkr =�
lr2
gdzie n=1,2,3,&
lr =� a� ��l - długość zredukowana.
Jeśli wprowadzimy pojęcie naprężenia krytycznego s�kr oraz smukłości pręta  to otrzymamy wyrażenie na naprężenie krytyczne Eulera:
2
p� E
s�kr =� . Wzór jest słuszny, jeśli:
l�2
s�kr Ł� s� lub gdy l� >� l�gr
H
gdzie: s� - granica proporcjonalności;   smukłość graniczna określona zależnością.
46. Wyboczenie sprężysto-plastyczne prętów prostych.
W przypadku gdy l� <� l�gr to zachodzi utrata stateczności pręta, przy której pojawiają się odkształcenia plastyczne; mówimy wówczas o
wyboczeniu sprężysto plastycznym. Nadal jednak naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy plastyczności s�kr <� Re , stąd wniosek, że
wyboczenie jest bardziej niebezpieczne niż uplastycznienie pręta. W przypadku gdy l� <� l�gr to w celu wyznaczenia naprężenia
krytycznego, należy posłużyć się zależnościami określonymi empirycznie:
Wzorem Tetmajera  Jasińskiego: s�kr =� a -� bl� , lub wzorem Johnsona  Ostenfelda: s�kr =� A -� Bl�2 , gdzie: a, A, b, B  stałe
materiałowe określone doświadczalnie.
Kryteria wyboczenia pręta można sformułować następująco:
2
Fkr p� EI s� F s�
kr kr
F Ł� czyli F Ł� lub s� Ł� czyli Ł� , gdzie: nw  współczynnik bezpieczeństwa ze względu na
nw nwlr2 nw A nw
wyboczenie.
47. Stateczność belek zginanych.
Rozpatrzmy stateczność belki o długości l i wąskim przekroju o podstawie b i wysokości h, zamocowanej między rolkami o osiach
pionowych. Belkę poddano zginaniu momentem zewnętrznym M. Po osiągnięciu przez obciążenie zewnętrzne wartości krytycznej M=Mkr,
następuje utrata stateczności belki. Oś belki wygina się nie tylko w płaszczyz
nie xy ale także w płaszczyz
nie xz. Związane to jest z
pojawieniem się momentu Mg.
Ponadto przekroje belki obracają się wokół osi x, ponieważ podlega ona skręcaniu momentem MS. Na zamocowanych końcach belki
działają reakcje więzów w postaci nieznanych momentów Mo.
Moment gnący Mg jest rzutem wektora M na obróconą o kąt skręcenia oś pionową przekroju prostokątnego (która jest linią obojętną tego
zginania): Mg=-MsinĆ@�-MĆ
p�
Moment krytyczny wynosi: Mkr =� GJEI , jeśli przekroje końcowe belki nie mogą się obracać wokół pionowej osi y (końce belki
l
są umieszczone między pionowymi sztywnymi ścianami), moment krytyczny wynosi:
2p�
Mkr =� GJEI
l
48. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta ściskanego/rozciąganego.
Kształtowanie prototypu konstrukcji metodą elementów skończonych (MES): 1. Odwzorowanie własności stereomechanicznych konstrukcji
(geometria, własności masowo  sprężysto - tłumiące); 2. Typy elementów skończonych (sztywne elementy skończone i elementy sprężysto
 tłumiące, elementy prętowe, elementy izoparametryczne 2-wymiarowe, elementy izoparametryczne 3-wymiarowe).
Element skończony  idealizacja ośrodka ciągłego w ten sposób, że wartości wnętrza wyrażone są za pomocą wartości węzłowych.
Rezultat: model strukturalny dyskretyzacja przemieszczeń i obciążeń  wartości węzłowe zróżnicowane własności materiałowe 
zredukowane do węzłów elementu.
�� ł�
xe xe ��qi ł�
1 0
�� ł�
�� ł�
xe xe
-�1 q(�xe)�� q(�xe)�=� �� =� Ne(�xe)��� qe
1 1
ę� ś� ę�1-� le le ś� ę�q ś�
Ne(�xe)� =� X(�xe)��� Xnod =� [�1 xe]��� =�
ę�1-� le le ś�
j
ę�-� le le ś� �� �� �� ��
�� ��
�� ��
Ne(xe) qe
�� ł�
1 1
Bl(�xe)�=� G�l Ne(�xe)�=�
ę�-� le le ś�
�� ��
49. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta ściskanego/rozciąganego.
Ke =� BlT (�xe)�DBl(�xe)�dxedyedze =�
��
V
-�1
E �� ł�
=�
ś�
2 ���� ��[�-�1 1]�dxedyedze =�
le V ę� 1
le
1 -�1 1 -�1
EA �� ł� EA �� ł�
e
ś�dx ę� ś�
2 ����-�1 �� =� le ��-�1 1 ��
le 0 ę� 1
Związek pomiędzy przemieszczeniami i siłami węzłowymi:
fe =� Keqe
50. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta w ogólnym przypadku obciążenia.
51. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta w ogólnym przypadku obciążenia.