1. Modelowanie w wytrzymałości materiałów
1 1
Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od
I· = (I + Iz)+ (I - Iz)cos 2Õ - I sin 2Õ
y y yz
obiektu rzeczywistego poprzez model fizyczny, do modelu
2 2
matematycznego. Model matematyczny jest to matematyczny
opis zjawisk zachodzÄ…cych w modelu fizycznym, podany w 1 1
IÅ› = (I + Iz)- (I - Iz)cos 2Õ + I sin 2Õ
formie usystematyzowanych wzorów lub równań  algorytm. Do
y y yz
2 2
sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej
istnieje potrzeba tworzenia modeli: -modele materiału; -model
1
postaci (kształtu); -model obciążenia; -modele złomu.
I·Å› = (I + Iz)sin 2Õ + I sin 2Õ
y yz
2. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego
2
pręta.
5. Główne momenty bezwładności i główne osie
Momenty bezwładności
bezwładności przekroju pręta.
przekroju względem osi y i
Ä™! Osie ·=1, Å›=2 bÄ™dÄ… głównymi centralnymi osiami
z:
bezwładności przekroju.
Główne centralne momenty bezwładności przekroju
I = z2dA
y
+"
1 1
2
2
A
I1/ 2 = (I + Iz)Ä… (I - Iz) + 4I
y y yz
2 2
Iz = y2dA
+"
Inny sposób. Jeżeli w układzie prostokątnym Syz momenty
A
bezwładności przekroju wynoszą Iy. Iż, zaś moment dewiacji
Moment dewiacji przekroju pręta w płaszczyz
nie yz:
Iyz,, to główne centralne momenty bezwładności I1, I2 są
wartościami własnymi tensora momentów geometrycznych
I = yzdA
yz
+"
I
Å‚Å‚
A îÅ‚ - I
y yz
I =
Biegunowy moment przekroju względem punktu O:
ïÅ‚- I Iz śł
2 yz
ðÅ‚ ûÅ‚
IO = Á dA = I + Iz
y
+"
6. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Warunki
A
równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.
Momenty statyczne przekroju względem osi y i z:
Warunki równowagi:
Sy = zdA = Azs
+"
A
Sz = ydA = Ays
+"
A
ys , zs - współrzędne środka geometrycznego przekroju S
(zwanego środkiem ciężkości).
3. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego
pręta w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle.
Warunki geometryczne:
Przemieszczenie osiowe elementu pręta dx: -górnego
końca u; -dolnego końca u+du,
Długość elementu po odkształceniu dx+du,
Odkształcenie względne:
du
µ =
,
dx
Sxy  układ osi centralnych
Przemieszczenie dolnego końca pręta:
Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych
l l
O·Å› przesuniÄ™tym równolegle (twierdzenie Steinera)
u(x = l) = "l = =
I· = I + b2 A
+"du +"µdx
y
0 0
IÅ› = Iz + a2 A Przypadek szczególny (µ=const)
"l
I·Å› = I + abA
"l = µl, albo µ =
yz
l
4. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego
pręta w układzie współrzędnych obróconym.
Zależności fizyczne:
W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke a,
które możemy zapisać w następującej postaci:
"l 1 F
= Å"
l E A
E  moduł sprężystości liniowej, moduł Younga, A  pole
przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego
PrzyjmujÄ…c na powierzchni przekroju poprzecznego
równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem:
· = y cosÕ + z sinÕ
F
à =
naprężenia ściskające bądz
rozciÄ…gajÄ…ce
Å› = z cosÕ - y sinÕ
A
Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke a) w
d du
ëÅ‚ öÅ‚
jednoosiowym stanie naprężeń:
EA + q(x) = 0, 0 d" x d" l
ìÅ‚ ÷Å‚
dx dx
à = E Å"µ
íÅ‚ Å‚Å‚
7. Statyczna próba rozciągania.
Warunki brzegowe:
du
ëÅ‚ öÅ‚
u(x) = 0, EA = F
ìÅ‚ ÷Å‚
x=0
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
x=l
10. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Naprężenia
termiczne i montażowe.
Naprężenia termiczne powstają w wyniku ograniczenia
przemieszczenia swobodnego końca pręta którego temperatura
wzrosła o "T
Wykres zależnoÅ›ci Ã(µ)podczas rozciÄ…gania próbki ze stali
węglowej,
A- zakres stosowalności prawa Hooke a (proporcjonalności); B-
granica sprężystości  do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu
obciążenia próbka wraca do poprzedniej konfiguracji; BCD-
zakres odkształceń plastycznych; DK- umocnienie, niewielka
zmiana odkształceń powoduje intensywny wzrost naprężeń; K-
"l
próbka osiągnęła naprężenia zrywające  wytrzymałość na
= Ä… Å" "T
Prawo rozszerzalności liniowej czyli zmiana
rozciąganie  stała dla różnych materiałów konstrukcyjnych; L-
l
zerwanie próbki.
długości o "l. pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy.
Na podstawie wytrzymałości na rozciąganie określa się
Uniemożliwia to siła ściskająca N, która powoduje naprężenia
graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca
konstrukcja. Te naprężenia dopuszczalne opisuje wzór: "l
à = E = E Å"Ä… Å" "T
termiczne:
Rm
l
kr =
, k  rozciąganie; n  współ. Bezpieczeństwa.
Naprężenia montażowe powstają w wyniku korygowania różnic
n
wymiarowych łączonych elementów konstrukcji
8. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego z uwzględnieniem
ścinania w płaszczyz
nie przekroju.
W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która
"
à = E
powoduje naprężenia montażowe
l
11. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Układy statycznie
W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego
niewyznaczalne.
oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna
Układ prętowy statycznie niewyznaczalny  nie można
stanu naprężeń, której skutkiem jest ścinanie ciała
wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił
odkształcalnego w płaszczyz
nie przekroju. Z warunków
wewnętrznych) na podstawie równań równowagi statycznej.
równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że
A
ÃA = pÄ… , czyli pÄ… = Ã cosÄ…
;
cosÄ…
Procedura rozwiązywania: 1.Równania równowagi statycznej;
StÄ…d:
2.Określenie warunków geometrycznych; 3.Zalezności fizyczne.
12. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego siłą bezwładności.
ÃÄ… = pÄ… cosÄ… = Ã cos2 Ä…
Ã
ÄÄ… = pÄ… sinÄ… = sin 2Ä…
2
Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyz
nie przekroju
- gÄ™stość prÄ™ta Á; - przyspieszenie a(x) w kierunku osi prÄ™ta
nachylonym pod kÄ…tem 45° w kierunku rozciÄ…gania lub
Warunek równowagi elementu dx
ściskania.
-N+N+dN+AÁa(x)dx=0
9. Pręt ściskany/rozciągany obciążeniem ciągłym.
SiÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci (d Alemberta); dF=AÁa(x)dx
du
N = EA
Siła normalna N
dx
d du
ëÅ‚ öÅ‚dx
dN = EA
Warunek równowagi elementu dx: -N+N+dN+qdx=0; ìÅ‚ ÷Å‚
A jej różniczka
dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚
du
Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych
N = EA
Siła normalna N:
dx
d du
ëÅ‚ öÅ‚
EA + AÁa(x) = 0, 0 d" x d" l
ìÅ‚ ÷Å‚
d du
ëÅ‚ öÅ‚dx
dx dx
dN = EA íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
A jej różniczka
dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚ Warunki brzegowe
Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych:
 Warunki brzegowe
du
ëÅ‚ öÅ‚
u(x) = 0, EA = 0
ìÅ‚ ÷Å‚ dÕ
ëÅ‚GI öÅ‚
x=0
dx Õ(x) = 0, = M
íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
s
x=l
x=0
dx
íÅ‚ Å‚Å‚
x=l
13. Skręcanie pręta prostego o przekroju kołowym. Warunki
równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne. 15. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym i prostokątnym.
Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku
działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms (przyczyna)
obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta
ł. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.
Nie ma zastosowania hipoteza płaskich przekrojów. Przekrój
wypaczony (deplanacja). Osie elipsy: 2a, 2b
Przewidujemy funkcję naprężeń Prandtla
ëÅ‚ öÅ‚
y2 z2 ÷Å‚
ìÅ‚
F(y, z) = CìÅ‚ + -1÷Å‚ , która speÅ‚nia równanie
a2 b2 Å‚Å‚
íÅ‚
s
+"ÄÁdA - M = 0
Warunki równowagi
"2F "2F
A
+ = -2
Poissona
0 d" Á d" r
"z2 "y2 .
gdzie:
Warunki geometryczne
2C 2C
Å‚dx = rdÕ + = -2
Wyznaczamy stałą C z równania
a2 b2 , czyli
rdÕ
dĆ  kąt skręcenia
Å‚ = a2b2
C = -
dx .
a2 + b2
dÕ
0 d" Á d" r Å‚ = Á
przy czym Á Ä„a3b3
dx
Js =
Wskaz
nik sztywności
ZwiÄ…zki fizyczne a2 + b2
W przypadku skręcenia istnieje związek pomiędzy naprężeniami
M
s
a kątem skręcania (prawo Hooke a dla ścinania):
Õ'G =
a3b3
Ä
Jednostkowy kąt skręcenia
Ä„
Å‚ =
a2 + b2
G
Ä  naprężenie styczne (tnÄ…ce) przy skrÄ™caniu; G  moduÅ‚
Ä„
sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała tablicowana;
Ws = ab2
Wskaz
nik przekroju eliptycznego
2
dÕ
Ä = G Á
W dalszej kolejności wyznaczamy , a
dx h>b
następnie z warunku równowagi:
Js = K1b3h
dÕ
2
G Á dA - M = 0
s
+" Ws = K2b2h
dx
A
1
dÕ dÕ M
K1 = 2
s
G Is - M = 0, albo =
s
ëÅ‚ öÅ‚
b b2
dx dx GOs
ìÅ‚ ÷Å‚
3 + 2ìÅ‚ +
h h2 ÷Å‚
Is  biegunowy moment bezwładności przekroju
íÅ‚ Å‚Å‚
14. Skręcanie pręta prostego momentem ciągłym.
1
K2 =
b
, współczynniki K są wartościami
3 +1,8
Warunek równowagi
h
-Ms+MS+dMs+m(x)dx=0
tablicowanymi.
16. Zginanie belek. Zależności różniczkowe przy zginaniu.
dÕ
Twierdzenie Schwedlera
M = GIs
Moment skręcający s
Belka  pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi,
dx
których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.
Różniczka momentu skręcającego
Moment gnący Mg  suma algebraiczna momentów obciążeń
d dÕ
ëÅ‚GI öÅ‚dx
zewnętrznych działających w płaszczyz
nie przekroju belki.
dM =
ìÅ‚ ÷Å‚
s s
Siła poprzeczna (tnąca) T  suma algebraiczna składowych sił
dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚
zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w
Równanie różniczkowe kąta skręcenia
płaszczyz
nie przekroju belki po lewej stronie rozważanego
przekroju poprzecznego belki.
d dÕ
ëÅ‚GI öÅ‚
+ m(x) = 0, 0 d" x d" l
ìÅ‚ ÷Å‚
M = 0,T = 0
s / /
Zginanie równomierne - g
dx dx
íÅ‚ Å‚Å‚
2
M = 0,T = 0
/
d Å(x)
Zginanie równomierne (czyste) - g
- belki o
M (x) = -EI
g
dużej rozpiętości.
dx2
M = 0,T = 0 Natomiast siÅ‚y tnÄ…ce T(x) w funkcji ugięć Å(x) można
/
Ścinanie pręta - g - belki o bardzo małej
przedstawić jako:
rozpiętości
2
Zależności różniczkowe przy zginaniu
dM (x)
ëÅ‚ öÅ‚
d d Å(x)÷Å‚
g
T(x) = = - ìÅ‚ EI
ìÅ‚
dx dx dx2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Warunki równowagi
20. Ugięcie belki. Metoda Clebscha.
elementu belki:
Największą wartość ugięcia belki nazywa się strzałką ugięcia i
-T+qdx+(T+dT)=0
oznaczana literą f. Strzałka ugięcia świadczy o sztywności belki.
Mg+Tdx-(Mg+dMg)-qdx·
W praktyce inżynierskiej często wyznacza się dla danej
(dx/2)=0
konstrukcji (np. wału) wartość strzałki ugięcia a następnie
porównuje się ją do wartości dopuszczalnej. W zależności od
rodzaju i przeznaczenia konstrukcji przyjmuje siÄ™ dopuszczalnÄ…
Twierdzenie Schwedlera
strzałkę ugięcia fdop.
2
dM d M Rozwiązywanie równania osi ugięcia belek zginanych o n 
dT
g g
przedziałach zmienności obciążenia wymaga wyznaczenia 2n
T = , q = - = -
dx dx dx2 stałych całkowania. Zagadnienie upraszcza się zawsze tylko do
dwóch stałych całkowania po zastosowaniu metody Alfreda
17. Zginanie belek. Założenia czystego zginania. Naprężenia
Clebscha:
normalne w przekroju zginanym.
1. Początek współrzędnej x dla wszystkich przedziałów musi
Założenia czystego zginania
być wspólny (zazwyczaj lewy koniec belki). Formułując
1. Hipoteza płaskich przekrojów  zaznaczone przekroje nie
równanie Mg(x), należy uwzględnić tylko siły zewnętrzne
zmieniają się co do kształtu, każdy przekrój poprzeczny ciała
działające po lewej stronie przekroju; 2. Obciążenie ciągle q
odkształcalnego pozostaje w jednej płaszczyz
nie; 2. Podczas
należy w razie potrzeby przedłużyć do końca belki, przykładając
czystego zginania występuje oś obojętna. Włókna leżące
na końcowym odcinku obciążenie o zwrocie przeciwnym; 3.
powyżej tej osi są rozciągane natomiast włókna leżące poniżej
Moment gnący spowodowany momentem skupionym M siłą
tej osi są ściskane; 3. Naprężenia w belce zginanej przyjmują
skupioną F, lub obciążeniem ciągłym q zapisuje się odpowiednio
rozkład liniowy.
w formie:
Naprężenia (normalne) przy zginaniu
q
M zmax M M 0 2
gy gy gy
M(x - a) , F(x - a), (x - a) . Współrzędna a
à = = =
x max
2
I
I Wy
y
y
określa miejsce przyłożenia M, F, albo początek obciążenia
ciągłego q na belce Całkowanie przeprowadza się względem (x-
zmax
a).
Wy  wskaz
nik wytrzymałości na zginanie.
21. Pręt ścinany. Naprężenia styczne przy zginaniu.
Elementy zginane konstrukcji maszyn oblicza siÄ™ z uwagi na
spełnienie warunku naprężeń dopuszczalnych na zginanie:
M
gy
à = d" kg
x
Wy
18. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 2-go rzędu.
2
M (x)
d Å(x)
g
2 2
Å = = -
Wzór Żurawskiego opisujący rozkład naprężeń stycznych
dx2 EIz
wywołanych siłą poprzeczną T w przekroju belki:
Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają
TSz
postać:
Ä =
M (x)dx + C bIz , wzór ten ma również zastosowanie jeśli szerokość
dÅ(x)
g
2
Å = = Ń(x) = -
b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.
+"
dx EIz
W przekroju prostokÄ…tnym rozkÅ‚ad naprężeÅ„ Ä ma charakter
paraboliczny:
M (x)dx÷Å‚dx + Cx + D
ëÅ‚ öÅ‚
g
ëÅ‚ öÅ‚
Å(x) = - 3T 4y2 ÷Å‚
+"ìÅ‚+"
ìÅ‚
Ä = ìÅ‚
EIz ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ ìÅ‚1-
2bh h2 ÷Å‚ . Maksymalne naprężenia styczne
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: C i D  stałe całkowania, zależne od warunków
brzegowych.
Ämax wystÄ™pujÄ… w warstwie obojÄ™tnej dla y=0:
19. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 4-go rzędu.
Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również
3T
tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie
Ä =
max .
różniczkowe czwartego rzędu o postaci:
2bh
2 2 22. Pręt ścinany. Środek ścinania.
ëÅ‚ öÅ‚
d d Å(x)÷Å‚ = q(x), 0 < x < l
Współrzędne ky i kz określają położenie
ìÅ‚ EI
punktu K, nazywanego środkiem ścinania.
dx2 ìÅ‚ dx2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
(Ä y -Ä z)dA
Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech
z y
+"
warunków brzegowych: ugięć Å(x), kÄ…tów ugiÄ™cia Ć(x), oraz
A
ky =
wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące Mg(x), i siły tnące
Tz
T(x) na końcach belki (dla x=0 i x=l).
Momenty gnÄ…ce Mg(x) w funkcji ugięć Å(x) opisuje zależność:
Ã = F(Ã1,Ã ,Ã3,C)
(Ä y -Ä z)dA red 2
z y
+"
A
à = f (à ,à ,à ,Ä ,Ä ,Ä ,C)
kz = red x y z xy yz zx
Ty
Warunek plastyczności ma postać:
23. Trójosiowy stan naprężeń. Tensor stanu naprężeń.
à = Re
red
Naprężenia główne.
Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać:
à = Rm
red
26. Wytężenie materiału. Hipoteza maksymalnych naprężeń
stycznych
Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych  sformułowana
przez Coulomba, dotyczy granicy sprężystości i granicy
wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe
naprężenia styczne.
Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie
Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego. Na
à - Ã
przeciwległych ścianach wystąpią składowe naprężeń
max min
Ä =
naprężeń wynosi:
normalnych oraz składowe naprężeń stycznych. Składowe te max
2
pozostają w stanie równowagi statycznej. Składowe stanu
naprężeń:
W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenie
à = col(à ,à ,à ,Ä ,Ä ,Ä ) Ã
2
x y z xy yz xz red
Ä =
styczne wynosi: max
Tensor stanu naprężeń
2
T
îÅ‚ Å‚Å‚
Ã Ä Ä cosÄ…1 à = à -Ã
îÅ‚ Å‚Å‚
x xy xz red max min
ïÅ‚ śł
ïÅ‚cosÄ… śł
27. Wytężenie materiału. Hipoteza energii właściwej
à = col(Ã1,à ,à ) = Ã Ä Å"
0 2 3 yx y yz 2
ïÅ‚Ä śł
ïÅ‚ śł odksztaÅ‚cenia postaciowego.
ïÅ‚Ä zx Ä zy à z śł Hipoteza energii wÅ‚aÅ›ciwej odksztaÅ‚cenia postaciowego 
ïÅ‚ śł
ðÅ‚cosÄ…3 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky ego zakłada, że
miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia
Ã1,Ã ,Ã3
Naprężenia główne 2 są pierwiastkami równania
postaciowego.
charakterystycznego:
Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie
3 I 2 II III
naprężenia określa zależność:
à - à à + à à - à = 0
2 2 2
I II III
îÅ‚
(Ã - Ã ) + (Ã - Ã ) + (Ã - Ã ) +Å‚Å‚
à ,à ,à 1+ v x y y z z x
- naprężenia składające się z
ïÅ‚ śł
Åš =
f
2 2 2
à ,à ,à ,Ä ,Ä ,Ä 6E
ïÅ‚ (Ä ) śł
x y z xy yz xz
ðÅ‚6 xy +Ä yz +Ä xz ûÅ‚
Dla jednoosiowego stanu naprężenia
24. Odkształcenia spowodowane naprężeniami normalnymi i
stycznymi.
ëÅ‚
à = à ,à = à = 0, Ä = Ä = Ä = 0öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
x red y z xy yz xz
Odkształcenie spowodowane naprężeniami normalnymi
íÅ‚ Å‚Å‚
Odkształcenia objętościowe:
energię tą opisuje wyrażenie:
1
1+ v
µ = Ã 2 2
y y
Åš = 2Ã
E f red
6E
E  moduł Younga
2
Åš = Åš
Jeżeli wytężenia są sobie równe, to , a wzór na
f f
Odkształcenie spowodowane naprężeniami stycznymi
naprężenie redukowane ma postać:
2 2 2
Odkształcenia postaciowe:
(Ã -Ã ) + (Ã -Ã ) + (Ã -Ã ) +
2 x y y z z x
1+ v à =
red
2 2 2
Å‚ = 2 Ä
2
zy zy
6(Ä +Ä +Ä )
xy yz xz
E
E  moduł Younga
à = 0,à = 0,à = 0
/ /
Dla płaskiego stanu naprężeń x y z ,
v  liczba Poissona
Ä = 0,Ä = 0,Ä = 0
/
xy yz xz
25. Wytężenie materiału. Naprężenia zredukowane , naprężenie redukowane:
Wytężenie materiału to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego,
2 2 2
tzn. pojawienie się lokalnego odkształcenia trwałego (tzw.
à = à + à -à à + 3Ä
red x y x y xy
Uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w
Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń
dowolnym punkcie ciała. Wytężenie materiału (W) jest zależne
od składowych stanu naprężenia oraz własności mechanicznych:
à = à = 0,à = 0,à = 0
/
x y z
W(Ã1,Ã ,Ã3,C)
2
Ä = Ä = 0,Ä = 0,Ä = 0
/
xy yz xz
Ã
Naprężenia redukowane (zastępcze) red - wywołuje w
2 2
à = à + 3Ä
jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub Redukowane określa wyrażenie:
red
ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie
przypadek złożonego stanu naprężenia.
à = 3Ä
A dla prostego ścinania:
red
1- v v v 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
3
ïÅ‚ śł
1- v v 0 0 0
Ä = Rm
StÄ…d wniosek:
max ïÅ‚ śł
3
ïÅ‚ 1- v 0 0 śł
ïÅ‚ śł
28. Wytężenie materiału. Kryterium wytrzymałości.
1- 2v
E
0 0
ïÅ‚ śł
D =
Dla oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego
2
(1+ v)(1- 2v)
ïÅ‚ śł
ogniwa. Tym samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt,
1- 2v
ïÅ‚ śł
0
w którym naprężenie redukowane jest największe. Kryterium
ïÅ‚ śł
2
wytrzymałości w przypadku ogólnym można zapisać tak jak dla
ïÅ‚ śł
1- 2v
ïÅ‚sym. śł
pręta rozciąganego:
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Płaski stan naprężeń  niezerowe składowe tensora naprężeń w
à d" Ã
red dop
płaszczyz
nie xy
Re
à = Ä = Ä = 0
à = z zx zy
Warunek początku plastyczności: dop ,
n
îÅ‚ Å‚Å‚
Rm
1 v 0
ïÅ‚ śł
à =
Warunek zniszczenia: dop ,
E
n ïÅ‚ śł
D = 1 0
Współczynnik bezpieczeństwa n można oszacować za pomocą
1- v2 ïÅ‚
1- vśł
ïÅ‚ śł
n = n1n2n3n4 , gdzie n1  współczynnik pewności
sym.
wzoru:
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
założeń, n2  współczynnik ważności przedmiotu, n3 
Płaski stan odkształceń  niezerowe składowe tensora
współczynnik jednorodności materiału, n4  współczynnik
odkształceń w płaszczyz
nie xy
zachowania wymiarów.
29. Trójosiowy stan odkształceń. Tensor stanu odkształceń.
îÅ‚ Å‚Å‚
Odkształcenia główne.
1- v v 0
ïÅ‚ śł
Tensor stanu odkształceń:
E
T ïÅ‚ śł
D = 1- v 0
îÅ‚ Å‚Å‚
µ Å‚ Å‚ cosÄ…1
îÅ‚ Å‚Å‚
x xy xz ïÅ‚ śł
(1+ v)(1- 2v)
1- 2v
ïÅ‚Å‚ śł
ïÅ‚cosÄ… śł
ïÅ‚ śł
µ0 = col(µ1,µ2,µ3) = µ Å‚ Å" sym.
yz y yz 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
ïÅ‚Å‚ zx Å‚ zy µ z śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚cosÄ…3 ûÅ‚ 32. KoÅ‚o Mohra dla pÅ‚askiego stanu naprężeÅ„.
ðÅ‚ ûÅ‚
µ1,µ2,µ3 sÄ… pierwiastkami równania
Odkształcenia główne
3 I 2 II III
µ
charakterystycznego: - µ µ + µ µ - µ = 0
,
I II III
µ ,µ ,µ ,Å‚ ,Å‚ ,Å‚ .
µ µ µ
gdzie: składa się z x y z xy yz zx
30. Aksjator i dewiator stanu naprężeń i odkształceń.
Niezmienniki stanu naprężeń i odkształceń.
Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń
W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem
zewnętrznym leży w płaszczyz
nie xy, występuje płaski stan
îÅ‚ Å‚Å‚
µ Å‚ Å‚ Ã 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
x xy xz śr
naprężenia. Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
tensor stanu naprężeń ma postać:
= 0 Ã 0 +
śr
ïÅ‚Å‚ yz µ y Å‚ yz śł
ïÅ‚ śł
Ã Ä 0
îÅ‚ Å‚Å‚
x xy
ïÅ‚Å‚ zx Å‚ zy µ z śł
ïÅ‚ śł
0 0 Ã
ðÅ‚ Å›r ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚Ä Ã 0śł
Aksjator yx y
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
îÅ‚ - Ã Ä Ä Å‚Å‚ 0 0 0ûÅ‚
Ã
x Å›r xy xz ðÅ‚
ïÅ‚ śł
33. Koło Mohra dla płaskiego stanu odkształceń.
+ Ä Ã - Ã Ä
yx y śr yz dewiator
ïÅ‚ śł Analogicznie jak dla pÅ‚askiego stanu naprężeÅ„
34. Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężeń.
ïÅ‚ śł
Ä Ä Ã - Ã
zx zy z śr
ðÅ‚ ûÅ‚ -
35. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda
Aksjator  diagonalna macierz opisująca równomierny stan
warunków brzegowych.
naprężeń ściskających (rozciągających)  tensor kulisty. Opisuje
Rozważmy belkę o długości l i sztywności na zginanie EI:
stan równomiernych naprężeń głównych.
Dewiator  macierz opisująca pozostałą część tensora stanu
naprężeń
µka
Niezmiennik aksjatora - suma odkształceń objętościowych
w kierunku osi x, y, z
Niezmiennik dewiatora:
µkd = µ - µ + µ - µÅ›r + µ - µ = 0
x śr y z śr
Fy = 0, = 0
1. Równania równowagi: ,
" "M (A)
31. Macierz sprężystości dla ogólnego stanu naprężeń,
w dwóch równaniach występują trzy niewiadome, jest to belka
płaskiego stanu naprężeń i odkształceń.
jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna).
ogólny stan naprężeń:
2. Warunki geometryczne
Reakcja Rb (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest
skutkiem podparcia belki w punkcie B, co odpowiada
następującemu warunkowi geometrycznemu:
Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o
ÅB = Å(x)
, co oznacza, że pionowe przemieszczenie w
x=l l
2
N dx
punkcie B jest równe zero.
V =
długości l:
+"
3. ZwiÄ…zki fizyczne
2EA
0
ZwiÄ…zek fizyczny powinien uzależniać Åb od siÅ‚ dziaÅ‚ajÄ…cych na
belkę oraz jej własności sprężystych. Można do jego
2
N l
sformułowania wykorzystać różniczkowe osi ugięcia belki.
V =
Jeżeli N oraz EA nie zależą od x, to:
- równanie momentu gnącego; - różniczkowe równanie osi
2EA
ugięcia; - dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia; -
zapisanie warunków brzegowych i wyliczenie reakcji.
Energia sprężysta pręta skręcanego, moment skręcający MS w
36. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda
pręcie o przekroju kołowym o długości dx wykonuje pracę na
Clebscha.
MetodÄ™ Clebscha stosuje siÄ™ dla belek statycznie M dx
s
dÕ =
niewyznaczalnych o wielu przedziałach zmienności. Przykład
skręcenia dĆ:
GIs
rozwiązania: 1. Reakcje więzów  płaski układ sił równoległych;
2. Równanie momentu gnącego w zapisie zgodnym z metodą
stąd energia sprężysta
Clebscha; 3. Różniczkowe równanie osi ugięcia w zapisie
elementarnego odcinka pręta
zgodnym z metodą Clebscha; 4. Dwukrotne całkowanie
skręcanego:
równania osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 5.
2
1 M dx
Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych; 6. s
dV = M dÕ =
s
Korzystając z otrzymanych równań oraz równań równowagi
2 2GIs
otrzymujemy ostateczne równania momentu gnącego.
Natomiast energia sprężysta V w
37. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda
skończonym odcinku pręta o
superpozycji.
l
2
Metoda superpozycji bazuje na liniowej zależności pomiędzy
M dx
s
przemieszczeniami ( ugięciem w punkcie) a obciążeniem. Mając
V =
długości l:
+"
do dyspozycji ograniczoną liczbę rozwiązań dla typowych
2GIs . Jeśli Ms oraz Is nie zależą od x,
0
prostych przypadków zginania belek można uniknąć żmudnych
2
i pracochłonnych obliczeń oraz szybko wyznaczyć wielkości
M l
s
hiperstatyczne, wykorzystujÄ…c warunek wynikajÄ…cy z
V =
to:
odkształceń.
2GIs
39. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty zginane i
ścinane.
Moment zginający Mg w pręcie o długości dx wykonuje pracę
na ugięcia dĆ:
M dx
1. Reakcje więzów  płaski układ sił równoległych (reakcja Rb g
dŃ =
jest reakcją hiperstatyczną); 2. Załóżmy, że omawiana belka jest
EI
podparta przegubowo tylko na końcach. Wówczas w punkcie B
Stąd energia sprężysta
wystÄ…piÅ‚oby ugiÄ™cie; oznaczamy je jako Åb ; 3. NastÄ™pnie
elementarnego odcinka pręta
załóżmy, że omawiana belka nadal jest podparta przegubowo na
zginanego:
końcach, a obciążona jest tylko w środku siłą równą co do
2
wielkości hiperstatycznej Rb, wówczas w punkcie B wystąpi
M dx
1
g
ugiÄ™cie Åb  ; 4. W ukÅ‚adzie zasadniczym ugiÄ™cie Åb w punkcie B dV = M dŃ =
g
2 2EI
jest równe zero (podpora), zatem wartość liczbowa reakcji Rb
musi być na tyle duża, aby ugiÄ™cie Åb  , wywoÅ‚ane dziaÅ‚aniem Natomiast energia sprężysta V
reakcji Rb (na belkę nie obciążoną obciążeniem ciągłym), było w skończonym odcinku pręta o długości l:
równe co do wartoÅ›ci ugiÄ™ciu Åb . 2
l
M dx
g
V =
ÅB = ÅB2 +ÅB3 = 0 +"
2EI
0
38. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty
2
ściskanie/rozciągane i skręcane.
M l
g
Energia sprężysta (V) jest równa pracy wykonanej poprzez siły
V =
Jeśli Mg oraz I nie zależą od x, to:
zewnętrzne działające na dane ciało. Energia ta bywa również
2EI
nazywana energią potencjalną lub energią odkształcenia.
Energia sprężysta pręta zginanego  siła poprzeczna (tnąca) T w
u u
dvT
pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięciu
V = Fdu =
+" +"dV
Tdx
0 0
dvT = ²
Do obliczenia pracy niezbędne jest przyjęcie założenia, że
GA
proces obciążania ciała siłami odbywa się quasi-statycznie tzn.
²  bezwymiarowy
że w każdej chwili musi być zachowana równowaga między
współczynnik kształtu
siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.
przekroju pręta.
Wartość tego wydłużenia określa
Energia sprężysta
prawo Hooke a:
elementarnego odcinka pręta
Ndx
2
1 T dx
du =
dV = TdvT = ²
zginanego: . Natomiast
EA
2 2GA
Stąd energia sprężysta
energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l:
elementarnego odcinka pręta:
l
2
2
T dx
1 N dx
V =
dV = Ndu =
. Jeśli T oraz GA nie zależą od x, to:
+"² 2GA
2 2EA
0
W przypadku gdy energia sprężysta układu pochodzi głównie od
2
T l
zginania, zasadę minimum energii sprężystej Menabrei 
V = ²
Castigliano można zapisać w postaci:
2GA
l
40. Energia sprężysta układów prętowych w przypadku "M
"V 1
g
ogólnym. = M dx = 0
g
+"
"X1 EI "X1
0
l
"M
"V 1
g
= M dx = 0
g
+"
"X EI "X
n n
0
43. Metoda Maxwella-Mohra. Wzór Maxwella-Mohra.
Jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących
obciążeń zewnętrznych N, MS, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to
przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością:
2 2
l ëÅ‚ 2
M M M M ² TyTy2 ² zTzTz2 öÅ‚
NN 2 M M
ìÅ‚ gy gy gz gz y ÷Å‚dx
s s
u = + +
Energia sprężysta odcinka prÄ™ta o dÅ‚ugoÅ›ci dx jest równa sumie +"ìÅ‚ EA GI EI + EI + GA + GA ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 s y z
prac skÅ‚adowych siÅ‚ wewnÄ™trznych: íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie: N , Ms , Mgy , Mgz , Ty , Tz  odpowiednie składowe
1
sił wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym
dV = (Ndu + M dÕ + M dŃz + TydvT + TzdwT )
s gy
Ffik=1.
2
44. Metoda Maxwella-Mohra. Uproszczone obliczanie całek
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są funkcjami składowych
 wzory Wereszczagina.
sił wewnętrznych otrzymujemy zależność:
Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella 
2
2
2 2
ëÅ‚
M M Ty2²
1 N M Tz2²z öÅ‚
gy gz y
s
ìÅ‚ ÷Å‚dx Mohra dla typowych przypadków obciążeÅ„ Å‚atwo obliczać przez
dV = + + + + +
zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak w
ìÅ‚ ÷Å‚
2 EA GIs EIy EIz GA GA
íÅ‚ Å‚Å‚ przypadku zginania jest to iloczyn &! pola wykresu momentów
gnących Mg od obciążenia zasadniczego oraz rzędnej M rc
wykresu momentów gnących M g od obciążenia fikcyjnego,
Wyrażenie na energię sprężystą V w skończonym odcinku pręta
odpowiadającej współrzędnej xc środka ciężkości C pola &!,
o długości l ma postać:
czyli:
2
2
l
2 2
ëÅ‚
M M Ty2²
1 N M Tz2²z öÅ‚
gy gz y
s l
V =
2 dx 2
+"ìÅ‚ + + + + + ÷Å‚dx
ìÅ‚ ÷Å‚
2 EA GIs EI EIz GA GA
y
0
íÅ‚ Å‚Å‚ g g gc
+"M M = &!M
0
41. Układy Clapeyrona. Twierdzenie Castigliano.
45. Wyboczenie sprężyste prętów prostych. Przypadki
Układ Clapeyrona  spełnia następujące warunki: 1. materiał
Eulera.
musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia
Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie
muszą być mniejsze od granicy proporcjonalności; 2. działanie
prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej Fkr. Po
jednych sił nie może zmienić charakteru działania innych sił
przekroczeniu wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi
(zasada superpozycji zachowana).
pręta zwane wyboczeniem.
Tw. Castigliano  Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego
Wartość siły krytycznej Fkr przy
układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu
wyboczeniu sprężystym pręta
uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.
można wyprowadzić z tzw.
równania Eulera.
"V
ui =
2 2
EIÅ = -FkrÅ
"Fi . Jeśli w interesującym nas punkcie analizowanego
Fkr
ciała nie ma rzeczywistej siły Fi odpowiadającej poszukiwanemu
2 2
Å + Å = 0
stÄ…d:
przemieszczeniu ui należy w tym miejscu przyłożyć siłę fikcyjną
EI
Ffik, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównuje się do
2
Ä„ n2EI
ëÅ‚ öÅ‚
"V
Fkr =
ìÅ‚ ÷Å‚
2
ui =
zero: lr
ìÅ‚ ÷Å‚
"Ffik
íÅ‚ Å‚Å‚F =0
fik gdzie n=1,2,3,&
42. Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-
lr = Ä… Å"l
- długość zredukowana.
Castigliano
JeÅ›li wprowadzimy pojÄ™cie naprężenia krytycznego Ãkr oraz
Stosując metodę Castigliano, można przemieszcenia u1, & un z
smukłości pręta  to otrzymamy wyrażenie na naprężenie
wykorzystaniem energii sprężystej V (X1, & Xn) jako:
2
"V "V Ä„ E
u1 = ,...,un = Ã =
krytyczne Eulera: . Wzór jest słuszny, jeśli:
kr
"X1 "X 2
n
Na tej podstawie można sformułować zasadę minimum energii
à d" à > gr
kr H lub gdy
sprężystej Menabrei-Castigliano  spośród wszystkich
gdzie: à - granica proporcjonalnoÅ›ci;   smukÅ‚ość graniczna
możliwych zbiorów wielkości X1, & , Xn zbiorem
określona zależnością.
rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten,, dla którego
46. Wyboczenie sprężysto-plastyczne prętów prostych.
energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość
minimalnÄ…
 < gr to zachodzi utrata stateczności
W przypadku gdy
"V "V
pręta, przy której pojawiają się odkształcenia plastyczne;
= 0... = 0
mówimy wówczas o wyboczeniu sprężysto plastycznym. Nadal
"X1 "X
n
jednak naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy
à < Re
plastyczności kr , stąd wniosek, że wyboczenie jest
bardziej niebezpieczne niż uplastycznienie pręta. W przypadku Element skończony  idealizacja ośrodka ciągłego w ten sposób,
 < gr to w celu wyznaczenia naprężenia krytycznego, że wartości wnętrza wyrażone są za pomocą wartości
gdy
węzłowych.
Rezultat: model strukturalny dyskretyzacja przemieszczeń i
należy posłużyć się zależnościami określonymi empirycznie:
obciążeń  wartości węzłowe zróżnicowane własności
à = a - b
Wzorem Tetmajera  Jasińskiego: kr , lub
materiałowe  zredukowane do węzłów elementu.
1 0
îÅ‚ Å‚Å‚
à = A - B2
îÅ‚ Å‚Å‚
wzorem Johnsona  Ostenfelda: kr , gdzie: a, xe xe
-1
ïÅ‚- 1 1
śł
Ne(xe) = X (xe)Å" X = [1 xe]Å" =
nod ïÅ‚1- śł
A, b, B  stałe materiałowe określone doświadczalnie.
ïÅ‚ śł
le le ðÅ‚ le le ûÅ‚
Kryteria wyboczenia prÄ™ta można sformuÅ‚ować nastÄ™pujÄ…co: ðÅ‚ ûÅ‚
2
Fkr Ã
Ä„ EI îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
kr xe xe qi
F d" Ã d"
F d"
q(xe ) a" q(xe) = Å" = Ne(xe )Å" qe
ïÅ‚1- le le śł ïÅ‚q śł
nw czyli nw czyli
nwlr2 lub
j
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Ne(xe) qe
F Ã
kr
d"
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
A nw , gdzie: nw  współczynnik bezpieczeństwa ze
Bl(xe) = “l Ne(xe) =
ïÅ‚- le le śł
względu na wyboczenie.
ðÅ‚ ûÅ‚
47. Stateczność belek zginanych.
49. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności
Rozpatrzmy stateczność belki o długości l i wąskim przekroju o
pręta ściskanego/rozciąganego.
podstawie b i wysokości h, zamocowanej między rolkami o
osiach pionowych. BelkÄ™ poddano zginaniu momentem
Ke = BlT (xe)DBl(xe)dxedyedze =
zewnętrznym M. Po osiągnięciu przez obciążenie zewnętrzne +"
wartości krytycznej M=Mkr, następuje utrata stateczności belki. V
Oś belki wygina się nie tylko w płaszczyz
nie xy ale także w
Å‚Å‚
E îÅ‚-1
płaszczyz
nie xz. ZwiÄ…zane to jest z pojawieniem siÄ™ momentu
= [-1 1]dxedyedze =
Mg.
śł
2 +"
le V ïÅ‚ 1
ðÅ‚ ûÅ‚
le
1
Å‚Å‚ EA îÅ‚ -1
Å‚Å‚
EA îÅ‚ -1 1
e
śłdx = le ïÅ‚-1 1 śł
2 +"
le 0 ïÅ‚-1 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Związek pomiędzy przemieszczeniami i siłami węzłowymi:
fe = Keqe
Ponadto przekroje belki obracają się wokół osi x, ponieważ
podlega ona skręcaniu momentem MS. Na zamocowanych
końcach belki działają reakcje więzów w postaci nieznanych
momentów Mo.
Moment gnący Mg jest rzutem wektora M na obróconą o kąt
skręcenia oś pionową przekroju prostokątnego (która jest linią
obojętną tego zginania): Mg=-MsinĆE"-MĆ
Ä„
Mkr = GJEI
Moment krytyczny wynosi: , jeśli
l
przekroje końcowe belki nie mogą się obracać wokół pionowej
osi y (końce belki są umieszczone między pionowymi
sztywnymi ścianami), moment krytyczny wynosi:
2Ä„
M = GJEI
kr
l
48. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji
kształtu pręta ściskanego/rozciąganego.
Kształtowanie prototypu konstrukcji metodą elementów
skończonych (MES): 1. Odwzorowanie własności
stereomechanicznych konstrukcji (geometria, własności masowo
 sprężysto - tłumiące); 2. Typy elementów skończonych
(sztywne elementy skończone i elementy sprężysto  tłumiące,
elementy prętowe, elementy izoparametryczne 2-wymiarowe,
elementy izoparametryczne 3-wymiarowe).
50. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji
kształtu pręta w ogólnym przypadku obciążenia.
51. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności
pręta w ogólnym przypadku obciążenia.