ZAD. 1

Oblicz pole tego obszaru ograniczonego krzywą

i parabolą

, który znajduje się

w I ćwiartce układu współrzędnych.
Najpierw szukamy punktów, w których te krzywe się przecinają. W tym celu porównujemy ich równania.

Zatem krzywe przecinają się w trzech punktach:

,

i

.

Interesuje nas obszar ograniczony tymi krzywymi i zawarty w pierwszej ćwiartce układu. Jest on opisany

nierównościami

a zatem jego pole równa się

ZAD. 2

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami

i

.

Wyznaczmy punkty wspólne danych parabol.

Szkicujemy teraz obrazek.

Z rysunku widać, że szukane pole jest równe

ZAD. 3

Oblicz pole obszaru ograniczonego hiperbolą

i prostą

.

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Widać, że wykresy danych funkcji przetną się w dwóch punktach, sprawdźmy w jakich.

Zatem interesujące nas pole jest równe

ZAD. 4

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolą

i prostą

.

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Z obrazka widać, że szukane pole jest różnicą pól zawartych poniżej wykresów

i

na przedziale

.

ZAD. 5

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolą

i prostą

.

Wyznaczmy najpierw punkty wspólne podanych krzywych.

Teraz łatwo wykonać szkicowy rysunek.

Z obrazka widać, że szukane pole jest równe

ZAD. 6

Oblicz pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego krzywą

, prostymi

i

oraz osią

.

Interesujący na obszar leży z pewnością powyżej osi

, więc szukane pole jest równe

ZAD. 7

Oblicz pole obszaru ograniczonego parabolami

i

.

Wiadomo jak wygląda parabola

, a parabola

powstaje z tej poprzedniej przez symetrię

względem prostej

(zamieniamy role osi

i

).

Gdy zrobimy rysunek to widać, że szukane pole jest równe

ZAD. 8

Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy parabolą

i prostą

.

Aby wyznaczyć punkty przecięcia tych linii rozwiązujemy równanie kwadratowe

Zatem dane krzywe przecinają się w punktach

i

.

Zauważmy, że interesujący nas obszar możemy opisać nierównościami

zatem jego pole równa się

ZAD. 9

Obliczymy pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji

Aby wyznaczyć granice całkowania znajdujemy punkty przecięcia się krzywych rozwiązując układ równań

Dostajemy

Zatem szukane pole D jest wyznaczone przez funkcje f i g na przedziale [-1, 1], na którym zachodzi nierówność

f(x) ≥ g(x) (rys. 10.4).

Rys. 10.4

Obliczamy szukane pole wykorzystując jego symetrię względem osi Oy (parzystość funkcji podcałkowej)

Rozwiązując układ równań

dostajemy punkty przecięcia się krzywych (0, 0) oraz (1, 1).

Rys. 10.5

Na przedziale [0, 1] spełniony jest warunek f

g(x) (rys. 10.5), więc pole figury jest równe

ZAD. 10

Oblicz pole figury ograniczonej liniami o podanych równaniach: y = - x

2

+ 2x + 3 , y = 0;

(-1,0) (3,0)

-x

2

+ 2x + 3 = 0 /(-1)

x

2

– 2x – 3 = 0 Þ x = -1 lub x = 3.

Szukane pole znajduje się pod linią y = - x

2

+ 2x + 3,

nad linią y = 0

ZAD. 11

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:

y = x

4

– x

3

– x

2

+ x , y = 0;

Obszar, którego pole mamy policzyć zaznaczony jest na rysunku.

Szkicujemy wykres funkcji, wyznaczając miejsca zerowe.

x

4

– x

3

– x

2

+ x = x

3

(x – 1) – x(x – 1) = (x – 1)(x

3

– x) =

= x(x – 1)(x

2

– 1) = x(x + 1)(x – 1)

2

y = 0 x(x + 1)(x – 1) = 0

x = -1 x = 0 x = 1.

ZAD. 12

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:

y = - x

2

– 2x + 4 , y = x

2

+ 4x + 4

x

2

+ 4x + 4 = -x

2

– 2x + 4 2x

2

+ 6x = 0

2x(x + 3) = 0 x = 0 lub x = - 3

dla x = 0 y = 4
dla x = -3 y = 1

ZAD. 13

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi o podanych równaniach:

Szukane pole, to pole pod czerwoną linią w przedziale [0 ; 1] + (plus) pole pod niebieską linią w przedziale [1 ;

2]

– (minus) pole pod czarną linią w przedziale [0 ; 2]. Zapis poprawny to:

ZAD. 14 Wyznacz pole powierzchni pod krzywą y = 2x

2

+ 2x -1 w granicach pomiędzy a = 5 i b = 2.

Rozwiązanie:

Trzeba wyznaczyć następującą całkę ∫

5
2

y dx =∫

5
2

(2x

2

+ 2x - 1) dx

Pole powierzchni =∫

5
2

(2x

2

+ 2x - 1) dx = [(2

3

3

x

+ 2

2

2

x

- x)]

5
2

(2

5

)

5

(

5

+ 2

2

)

5

(

2

- 5) – (2

5

)

2

(

5

+ 2

2

)

2

(

2

- 2) =

= [83,33 + 25 - 5] - [ 5,33 + 4 – 2] = 103,33 – 7,33 = 96

ZAD. 15 Pole powierzchni zamknięte dwoma funkcjami.

Rozważmy pole powierzchni zawarte pomiędzy, y = x

2

i y = 2x, które to krzywe możecie zobaczyć na rysunku

13.2.

Rys.13.2.

Rysunek pokazuje, że funkcje przecinają się w punktach (0,0) oraz (2,4). Można to otrzymać rozwiązując dwa

równania równoczesne y = 2x oraz y = x

2

x

2

= 2x

x

2

- 2x = 0

x (x - 2) = 0

i wtedy x = 0 lub x = 2

Jeżeli x = 0 wtedy y = 0 lub, jeżeli x = 2 wtedy to y = 4

Jak jest to pokazane na rysunku 13.2. w postaci zakreskowanej powierzchni. Ta różnicowa powierzchnia jest

równa różnicy pomiędzy całkami oznaczonymi y = 2x i y = x

2

w punktach przecięcia się obydwu funkcji.

Pole powierzchni = ∫

2
0

2x dx - ∫

2
0

x

2

dx

= 2[

2

2

x

-

3

3

x

]

2
0

= (2

2

)

2

(

2

-

3

)

2

(

3

) – (0 – 0) = 4 – 2,66 =

= 1,33 jednostek kwadratowych.

ZAD. 16 Znajdźcie pole powierzchni zawarte pomiędzy krzywą y = -x

2

+ 4x i równaniem prostej y = x + 2.

Rozwiązanie:

W punktach przecięcia się funkcji punkty y mają tą samą wartość. Wartości punktów granicznych można
obliczyć rozwiązując równania równocześnie. I tak:

-x

2

+ 4x = x + 2

co znaczy, że

x

2

- 3x + 2 = 0

lub (x - 1)(x - 2) = 0

wtedy to

x = 1 lub x = 2

Wartości tych punktów oraz obydwie krzywe są przedstawione na rysunku 13.3.

Rys.13.3.

Pole ABC = Pole ABCE - Pole ACDE

=∫

2

1

(- x

2

+ 4x) dx - ∫

2

1

(x + 2) dx = ∫

2

1

(-x

2

+3x -2) dx =

= [-

3

3

x

+ 3

2

2

x

-2x]

2

1

= [-

3

)

2

(

3

+ 3

2

)

2

(

2

-2(2)] – [-

3

)

1

(

3

+ 3

2

)

1

(

2

-2(1)]

= -

3

8

+ 3

2

4

– 4 +

3

1

- 3

2

1

+ 2 = 0,16 jednostek kwadratowych.