zest8 MS 1011

Zestaw nr 8 Macierze
Zadanie 1. Wyznacz elementy macierzy A oraz omów jej własności:
1. A = [aij]3x5 aij = i + 2j - 3
2. A = [aij]3x3 aij = (max {i, j}) - 2
3. A = [aij]5x5 aij = min {i, j} + 1
ńł
�ł
�ł
�ł
3i - 2j dla i = j
4. A = [aij]4x4 aij =
�ł
�ł
ół
0 dla i = j

ńł
�ł
�ł
�ł
min {i, j} dla i j
5. A = [aij]4x4 aij =
�ł
�ł
ół
0 dla i > j
ńł
�ł
�ł
�ł
3i + j - 10 dla i j
6. A = [aij]5x5 aij =
�ł
�ł
ół
0 dla i < j
ńł
�ł
�ł
�ł
0 dla i = j
7. A = [aij]4x4 aij =
�ł
�ł
ół
i - j dla i = j

8. A = [aij]4x5 aij = 2i - j + 2
�ł łł
�ł łł �ł łł
1 0 1
�ł śł
-1 0 1 1 1 -1 �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł
Zadanie 2. Dane są macierze A = , B = , C =
�ł �ł �ł �ł
0 1 0śł
�ł śł
�ł �ł
2 1 0 0 -1 1
-1 0 2
Korzystając z własności działań na macierzach przekształć podane wyrażenia i oblicz elementy po-
danych macierzy:
T T
(1) X = AC + BC (2) X = CAT - BCT (3) X = CAT - 2A
T
(4) X = ACT + 3AT (5) X = (AT B)T - 2C (6) X = ABT +2C
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
1
Zadanie 3. Ciągiem odpowiednich przekształceń elementarnych przekształć podane macierze do postaci
bazowej:
�ł łł �ł łł
1 2 -1 0 1 1 -1 0 3 2
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł
(1)
-1 -2 1 1 0śł (2) �ł-2 3 -1 1 -1śł
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
1 -2 0 1 1 0 1 -1 7 3
�ł łł �ł łł
1 2 -1 0 1 -1
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
(3) (4)
0 1 0 1 1 2
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
2 -1 1 1 2 1
�ł łł
�ł łł
1 0 2 -2 0 1
�ł śł
1 2 1 -1 -1 0 �ł śł
�ł śł
�ł
(5) (6)
�ł �ł
0 -1 -1 1 1 0śł
�ł śł
�ł �ł
-1 -2 0 1 -1 3
2 -1 -2 2 1 2
ńł
�ł
�ł
�ł
i i = j
Zadanie 4. Zbudować macierz A4 = [aij], gdzie aij = oraz oblicz
�ł
�ł
ół
i � j i = j

5 det(2A)
(1) tr (3A) (2) det (2A) (4) det(4A) (5) AT .
3tr (3A)
�ł łł
1 0 0 -1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 1 1 0
�ł śł
Zadanie 5. Dana jest macierz A = �ł śł
. Wiadomo, że macierz B powstała z A poprzez
�ł śł
�ł-1 2 1 2
śł
�ł �ł
0 1 -1 1
dodanie do wiersza 3 wiersza 2 oraz zamianę miejscami kolumny 3 z 4. Oblicz:

1
a) det AT B b) det AB-1 c) det AB
5
Zadanie 6. Oblicz rząd macierzy:
�ł łł
�ł łł
1 2 1 0 1
�ł śł
�ł śł 1 3
�ł śł
�ł
a)
�ł �ł
2 4 2 0 2śł b)
�ł śł
�ł �ł
0 -2
3 6 3 0 3
�ł łł �ł łł
1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł
c)
2 1 0śł d) �ł 0 1 2 -1 0 0 1 0
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
3 -1 0 -1 0 1 -2 -1 -1 0 -1
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
2
Zadanie 7. Korzystając z odpowiednich własności charakterystyk macierzy
uprość podane wyrażenie a następnie wyznacz macierz:
�ł łł
1 -1
det(A)+tr(A) �ł śł
a) D = (A + I)-1dla A =
�ł �ł
rz(A)
-2 4
�ł łł
1 0 0
�ł śł
�ł śł
det(I4)+tr(A+I)-det(AT )
�ł
b) C = (A - 3I)T dla A =
-1 2 0śł
�ł śł
3+8 det(AA-1)
�ł �ł
0 -3 2
ńł
�ł
�ł
�ł
2 max {i, j} - 1 i j
det(A)+tr(A)
c) B = (A + I)T dla A3 = [aij], gdzie aij = .
3 det(A-1A)+rz(A)
�ł
�ł
ół
0 i > j
�ł łł

4 2 3
�ł śł
d) B = rz(7AAT ) + 3 det(AAT )T (AAT )-1 dla A =
�ł �ł
2 0 -1
�ł łł �ł łł
1 0 1 0 0 -1
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
det(BT )+tr(A+2I)-1
�ł śł
e) X = A(B-1A)-1 + 3I dla A =
0 2 3śł, B = �ł0 3 0
�ł śł �ł śł
rz(B-1)+det(BA)
�ł �ł �ł �ł
0 0 1 1 3 3
�ł łł �ł łł
2 -1 2 -1
�ł śł �ł śł
-1
�ł śł �ł śł
det(AT B)+tr(AT B)-rz(3A)
�ł śł �ł śł
f) C = AT B dla A = , B =
1 0 0 1
�ł śł �ł śł
rz(4AT B) det(AT B)-1
�ł �ł �ł �ł
1 1 -1 2
Zadanie 8. Wyznacz wartość parametru m, dla którego rząd macierzy:
�ł łł
-1 2m 1 - 2m
�ł śł
�ł śł
�ł
a) B =
m 0 -m - 2śł jest mniejszy od 3
�ł śł
�ł �ł
3 0 1
�ł łł
4 -2 m + 4
�ł śł
�ł śł
�ł
b) C =
1 m + 3 1 - mśł jest największy.
�ł śł
�ł �ł
m + 3 0 m + 3
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
3
Odpowiedzi do zestaw nr 8 Macierze
Zadanie 1
�ł łł
0 2 4 6 8
�ł śł
�ł śł
�ł śł
1) A = , macierz prostokątna
1 3 5 7 9
�ł śł
�ł �ł
2 4 6 8 10
�ł łł
-1 0 1
�ł śł
�ł śł
�ł
2) A =
0 0 1śł, macierz trzeciego stopnia, symetryczna
�ł śł
�ł �ł
1 1 1
�ł łł
2 2 2 2 2
�ł śł
�ł śł
�ł
2 3 3 3 3śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
3) A = �ł śł, macierz piątego stopnia, symetryczna
2 3 4 4 4
�ł śł
�ł śł
�ł
2 3 4 5 5śł
�ł śł
�ł �ł
2 3 4 5 6
�ł łł
1 0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł
0 2 0 0śł
�ł śł
4) A = �ł śł, macierz czwartego stopnia, diagonalna
�ł
0 0 3 0śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 4
�ł łł
1 1 1 1
�ł śł
�ł śł
�ł
0 2 2 2śł
�ł śł
5) A = �ł śł, macierz czwartego stopnia, trójkątna górna
�ł
0 0 3 3śł
�ł śł
�ł �ł
0 0 0 4
�ł łł
-6 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
-3 -2 0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
6) A = �ł śł, macierz piątego stopnia, trójkątna dolna
0 1 2 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
3 4 5 6 0
�ł śł
�ł �ł
6 7 8 9 10
�ł łł
0 -1 -2 -3
�ł śł
�ł śł
�ł
1 0 -1 -2śł
�ł śł
7) A = �ł śł, macierz czwartego stopnia, skośnosymetryczna
�ł
2 1 0 -1śł
�ł śł
�ł �ł
3 2 1 0
�ł łł
3 2 1 0 -1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
5 4 3 2 1
�ł śł
8) A = �ł śł, macierz prostokątna
�ł śł
7 6 5 4 3
�ł śł
�ł �ł
9 8 7 6 5
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
4
Zadanie 2
�ł łł
0 1 0
�ł śł
(1) X = AC + BC = (A + B) C =
�ł �ł
1 0 4
�ł łł
0 2
�ł śł
T
�ł śł
�ł śł
(2) X = CAT - BCT = C AT - BT =
-1 2
�ł śł
�ł �ł
6 -2
�ł łł
T
2 0 1
�ł śł
(3) X = CAT - 2A = A CT - 2I =
�ł �ł
-2 -1 -2
�ł łł
-2 8
�ł śł
T
�ł śł
�ł śł
(4) X = ACT + 3AT = (C + 3I)AT =
0 4
�ł śł
�ł �ł
6 -2
�ł łł
-3 0 -1
�ł śł
�ł śł
�ł śł
(5) X = (AT B)T - 2C = BT A - 2C =
-3 -3 1
�ł śł
�ł �ł
5 1 -5
(6) X = ABT +2C niewykonalne
Zadanie 4
�ł łł
1 2 3 4
�ł śł
�ł śł
�ł śł
2 2 6 8
�ł śł
A = �ł śł
, tr(3A) = 3trA = 30, det(2A) = 24 det A = 24144, det(4A) = 44144,
�ł
3 6 3 12śł
�ł śł
�ł �ł
4 8 12 4
5 det(2A)
1152
AT =
3tr(3A) 9
Zadanie 5

1 1
det A = -5, det B = 5, stąd: a) det AT B = -25 b) det AB-1 = -1 c) det AB = -
5 25
Zadanie 6
(1) 1 (2) 2 (3) 2 (4) 2
Zadanie 7
7
(1) D = A
2
�ł łłT �ł łł
-2 0 0 -2 -1 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
5 5
�ł śł �ł
(2) C = =
-1 -1 0 0 -1 -3śł
11 �ł śł �ł śł
11
�ł �ł �ł �ł
0 -3 -1 0 0 -1
�ł łłT �ł łł
2 3 5 2 0 0
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł
(3) B = 4
0 4 5śł = 4 �ł3 4 0śł
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
0 0 6 5 5 6
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
5
�ł łł
5 -5
�ł śł
1
(4) B = 363(AAT )-1 = 363 � �
�ł �ł
120
-5 29
�ł łł
3 0 -1
�ł śł
�ł śł
4 4
�ł śł
(5) X = [B + 3I] =
0 6 0
3 3 �ł śł
�ł �ł
1 3 6
�ł łł-1 �ł łł �ł łł
3 1 3 -1 30 -10
�ł śł �ł śł �ł śł
1
(6) C = 120 = 120 � =
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
12
-3 3 3 3 30 30
Zadanie 8
�ł łł
-1 2m 1 - 2m
�ł śł
�ł śł
�ł
a) rzB = rz
m 0 -m - 2śł < 3 dla m = 0 lub m = -3
�ł śł 2
�ł �ł
3 0 1
�ł łł
4 -2 m + 4
�ł śł
�ł śł
�ł
b) rzC = rz
1 m + 3 1 - mśł jest największy dla m " R\ {-3, -1, 0}
�ł śł
�ł �ł
m + 3 0 m + 3
Dominika Bogusz, Aneta Zglińska - Pietrzak, Maciej Malaczewski
6

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyk8 MS11
wyk4 MS11
wyk7 MS11
zest9 MS11
ms 11 1
MS W1 11 wprow
11 (311)
MS MATER
OBRECZE MS OK 02
ZADANIE (11)
Psychologia 27 11 2012
359 11 (2)
MS optymalizacja
Fanuc 10T MS [2 G54] L066 82
11

więcej podobnych podstron