LAPLACE
Przekształcenie laplaca można stosowac do rozwiązywania rownan różniczkowych.
Analityczne metody rozwiązywania rownan różniczkowych SA pracochłonne w przypadku
sygnalu wejściowego w postaci nieciągłej. Przekształcenie to stosuje się w celu
usystematyzowania metod roziwazywania rownan różniczkowych.
Zalety:
-wlacza automatyczne warunki początkowe
-rozwiązanie przez proste operacje algebraiczne
-praca jest usystematyzowana
-umozliwia proste ujecie nieciągłych sygnałów wejściowych
Rozwiązania ogolne i szczególne uzyskuje się jednoczesnie
Wady
-brak zrozumienia teorii może prowadzic do powaznych bledow
-pewne typt rownan daja się rowiazac latwiej metodami klasycznymi
Przekształcenie powinno być jedno-jednoznaczne tzn. danej funkcji powinna odpowiadac
jedna i tylko jedna transformata.
przekształcenie przeprowadzające pewną funkcję f(t) (tzw. oryginał), taką że f(t)=0 dla
t<0, posiadającą skończoną liczbę punktów nieciągłości, oraz ograniczoną w każdym
przedziale, w funkcję zmiennej zespolonej
Przekształcenie Laplace a stosuje się do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych
dowolnego rzędu, które sprowadza się do równania algebraicznego.
PROBKOWANIE
Próbkowanie polega na pomiarze wartości sygnału w ustalonych odstępach czasu.
Okres próbkowania to odcinek czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami. Od strony
praktycznej wygląda to tak, że w ustalonych odstępach czasu (impulsowanie) mierzona
jest wartość chwilowa sygnału i na jej podstawie tworzone są tzw Próbki. Sygnał
przekształcony do postaci spróbkowanej jest sygnałem dyskretnym. Poprawne
próbkowanie pozwala na odtworzenie informacji na podstawie zmierzonych danych.
ROWNANIA ROZNICZKOWE
Równanie różniczkowe  równanie wyznaczające zależność między nieznaną funkcją a
jej pochodnymi. Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji ,
która spełnia to równanie. wiele równań różniczkowych nie ma rozwiązań, które dałyby
się wyrazić w postaci jawnej. W przypadku równań różniczkowych o których wiadomo że
mają rozwiązanie często (szczególnie w zastosowaniach) wystarczające jest znalezienie
rozwiązania przybliżonego.
Równanie różnicowe to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. W równaniu
tym czas ma wartość dyskretna.Mozna je otrzymac z równania różniczkowego, zastępując
pochodna roznica pierwszego rzedu. Kazde rownanie różniczkowe można przekształcić w
rownanie roznicowe dokonując probkowania sygnałów w czasie i przyblizajaz pochodne
roznicami.
Rozwiązywanie metodami:
" Eulera (przewidywania)
" Metodą transformaty Laurenta.
Transmitancja operatorowa
Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, )  stosunek transformaty
Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu
przy zerowych warunkach początkowych:
.
-ciagla
Charakterystyke statyczna wyznacza się przyjmując s=0 co w przypadku równania
różniczkowego jest rowniznaczne zerowaniu się pochodnych.
W przypadku wielowymiarowego układu o r wejsciach i m wyjsciach definiuje się macierz
transmitancji
-dyskretna
Transmitancja dyskretna jednowymiarowego ukkladu dyskretnego jest wielkość okreslona
jako stosunek dyskretnej transformaty laplace sygnalu wyjściowego do transformaty
sygnalu wejściowego przy zalozeniu ze warunki początkowe sa zerowe
G(z)=Y(z)/U(z)
Właściwości dynamiczne wielowymiarowego układu dyskretnego okresla macierz
transmitancji dyskretnych
Transmitancja widmowa
Transmitancja widmowa liniowego układy stacjonarnego nazywa się iloraz wartości
zespolonej odpowiedzi Y wywolanej wymuszeniem harmonicznym do wartości zespolonej
U tego wymuszeni. Transmitancje widmowa wyznacza się z transmitancji operatorowej.
Jeżeli na wejscie elementu liniowego wprowadzone zostanie wymuszenie harmoniczne o
stalej pulsacji, to na wyjsciu po zaniknieciu przebiegu przejściowego ustali się odpowiedz
harmoniczna o tej samej pulsacji, ale w ogolnym przypadku o innej amplitudzie i fazie niż
wymuszenie.
Transmitancje widmowa można zapisac jako
-iloraz dwoch wielkości zespolonych
-suma składnika rzeczywistego i urojonego
-w postaci wykładniczej
-w postaci trygonometrycznej
-dyskretna
W odróżnieniu od transmitancji widmowej ukaldu ciągłego, dyskretna transmitancja
widmowa jest funkcja okresowa pulsacji przy czym okres tej funkcji jest rowny 2pi.
Niech U oznacza wartość zespolona amplitudy wynuszenia, natomiast Y  wartość
zespolona amplitudy odpowiedzi układu na to wymuszenie. Dyskretna transmitancja
widmowa nazywa się zależność
G=Y/U
ROWNANIA STANU
W układach wielowymiarowych analizuje się sygnaly wejściowe i wyjściowe oraz
zakłócenia, nie poświęcając wiecej uwagi innym sygnalom. Teoria która powstalana
podstawie rozważań wejścia wyjscia ma te wade, ze nie daje bezpośredniego obrazu
dynamiki danego układu jako całości. Obraz ten można otrzymac dopiero po
przeprowadzeniu dodatkowych rozważań mających na celu wyznaczenie przebiegow
sygnałów występujących wewnątrz układu. Można zastosowac opis matematyczny
układu, który ujmuje nie tylko relacje typu wejscie-wyjscie ale także okresla tzw stan
wenetrzny układu. Zaleta tego jest to ze umozliwia sterowanie nie tylko wejściem ale
także wielkościami fizycznymi które określają stan wewnętrzny układu. W ujeciu
matematycznym polega to na zastapieniu równania roznickowego drugiego rzedu
układem rownan różniczkowych drugiego rzedu.
X(t)=Ax(t)+Bu(t)
Y(t)=Cx(t)+Du(t)
a-macierz stanu
b-sterowan
c-wyjsc
-transmisyjna
-Równania stanu są sposobem na reprezentację modelu matematycznego układu
dynamicznego. Znajomość stanu układu daje bardzo wiele, ale jeszcze więcej wiemy o
układzie, gdy znamy związki zmiennej stanu z innymi ważnymi zmiennymi. Dlatego w
opisie układu (w jego modelu matematycznym) kluczową rolę odgrywa związek rządzący
zachowaniem się zmiennej stanu czyli równania stanu. Opis układu za pomocą równań
stanu nazywany jest też czasami opisem w przestrzeni stanów lub modelem
zmiennych stanu.
-Dla przypadku modelu dyskretnego (z czasem dyskretnym), podane na wstępie
równania stanu przybierają postać:
gdzie: oznacza dyskretną chwilę czasu.
CHARAKTERYSTYKI CZASOWE
Właściwości statyczne i dynamiczne układu przedstawiw się często za pomoca
charakterystyk czasowych i częstotliwościowych. Charakterystyki te przedstawiaja
wlasciwosic dynamiczne i statyczne układu w sposób graficzny lub w postaci rownan
matematycznych. Istnieje także możliwość rozwiązania zadania odwrotnego, tzn
znalezienia modelu matematycznego w oparciu o dana charakterystyke układu
dynamicznego.
-charakterystyki układów ciągłych
Charakterystyka jednostkowa (skokowa) jednowymiarowego układu liniowego nazywa
się odpowiedz tego układu na sygnal jednostkowy przy zerowych warunkach
początkowych. Charakterystyka skokowa dobrze charakteryzuje zarówno właściwości
statyczne jak i dynamiczne układu.
Charakterystyka impulsowa to odpowiedz
układu liniowego na wymuszenie w postaci
bardzo wąskiego i bardzo wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można
uznać, w przypadku układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych
warunkach
charakterystyki układów dyskretnych
Dyskretnymi charakterystykami czasowymi sa nazywane odpowiedzi w stanie
nieustalonym dyskretnych układów liniowych na odpowiednie wymuszenia, przy
zerowych warunkach początkowych.
-Dyskretna charakterystyka impulsowa dyskretnego układu liniowego nazywa się
dyskretna odpowiedz tego układu na wymuszenie w postaci funkcji Diraca przy zerowych
warunkach początkowych
G(k)=g(t)|t=kT
Dyskretna charakterystyka impulsowa jest oryginalem transmitancji dyskretnej tego
układu.
-Dyskretna charakterystyka skokowa dyskretnego układu liniowego nazywa się dyskretna
odpowiedz tego układu na wymuszenie w postaci jednostkowej funkcji skokowej przy
zerowych warunkach początkowych.
CHARAKTERYSTYKI CZESTOTLIWOSCIOWE
charakterystyki układów ciągłych
Charakterystyki częstotliwościowe stosuje się w zasadzie tylko dla układów liniowych,
choc mogą być również z powodzeniem stosowane dla pewnych klas układów
nieliniowych. Jeżeli na wejscie dowolnego układu liniowego wprowadzone zostanie
wymuszenie harmoniczne o pulsacji  w i amplitudzie Uo to wymuszenie harmoniczne w
postaci drgan sinusoidalnyc przeniesionych przez liniowy układ dynamiczny nie zmieni
swojej pulsacji  w , natomiast ulegnie zmianie amplituda i faza. Wzmocnienie oraz
przesuniecie fazowe można wyznaczyc z transmitancji widmowej układu i przedstawic w
roznych układach współrzędnych otrzymując w ten sposób charakterystyki:
-amplitudowo-fazowa
Można ją wyznaczyć doświadczalnie, dokonując pomiarów (w stanie ustalonym) amplitudy
oraz przesunięcia fazowego sygnału wyjściowego układu, gdy sygnałem wejściowym jest
sygnał sinusoidalny o stałej amplitudzie i częstotliwości. Na wykresie umieszcza się
punkty odpowiadające wartościom transmitancji widmowej dla kolejnych wartości pulsacji
 w . Kierunek strzałki oznacza kierunek wzrostu . Na osi rzędnych odłożona zostaje
wartość części urojonej, a na osi odciętych wartość części rzeczywistej transmitancji
widmowej. Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej układu realizowalnego fizycznie
dąży do początku układu współrzędnych.
-amplitudowa
Przedstawia zależności modulu transmitancji od pulsacji
-fazowa
Zależność argumentu transmitancji od pulsacji
-logarytmiczna amplitudowa
Zależność miedzy logarytmem dziesiętnym modulu transmitancji i logarytmem
dziesiętnym pulsacji
-logarytmiczna fazowa
Zależność argumentu fi wyrazonego w skali liniowej w stopniach lub radianach od
logarytmu dziesiętnego pulsacji. Charakterystyke fazowa zwykle rysuje się pod
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa, przy zachowaniu tej samej skali
logarytmicznej pulsacji  w .
charakterystyki układów dyskretnych
dyskretnymi charakterystykami częstotliwościowymi sa nazywane rozne postacie
wykresow dyskretnej transmitancji widmowej jako funkcji pulsacji bezwymiarowej.
-dyskretna charakterystyka amplitudowo-fazowa
-dyskretna charakterystyka amplitudowa i dyskretna charakterystyka fazowa
-dyskretna logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i dyskretna
-logarytmiczna charakterystyka fazowa
Wykres zależności stanowi dyskretna charakterystyke amplitudowa, natomiast wykres
zależności-dyskretna charakterystyke fazowa układu dynamicznego. Charakterystyki
układu dyskretnego sa funkcjami okresowymi o okresie 2pi
Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych
Dokonanie tego rodzaju pomiarow dla roznych częstotliwości sygnalu wejściowego
pozwala znalez
ć kolejen punkty charakterystyki częstotliwościowej, a otrzymana
charakterystyka w pelni charakteryzuje własności obiektu. Do dokonania pomiarow, w
celu wyznaczenia charakterystyk jest niezbędne zastosowanie generatora przebiegow
sinusoidalnych.
Związek miedzy charakterystykami czasowymi a czestotliowosciowymi
Jeżeli dana jet odpowiedz impulsowa g(t) to czesc rzeczywista P(w) i czesc urojona Q(w)
wyznacza się ze wzorow:
Przedstawione sposoby ostrzymania charakterystyk czestotliwosciowych na podstawie
charakterystyk czasowych sa na ogol malo przydatne dla celow praktycznych. Wynika to
z malej dokładności np. wskutek dzialania zakłóceń.
ROWNANIA ROZNICZKOWE
Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których
niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w
równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji.
Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znalez
ć wszystkie funkcje spełniające dane
równanie różniczkowe (tzw. rozwiązanie ogólne lub całka ogólna równania różniczkowego
- funkcji tych jest zazwyczaj nieskończenie wiele, a różnią się np. wartością jednego
parametru). Istnieje też rozwiązanie szczególne równania różniczkowego - jest to
rozwiązanie ogólne spełniające ponadto pewne warunki zwane warunkami brzegowymi
lub początkowymi, w zależności od ich interpretacji, które to warunki wymuszają
dokonanie wyboru jednej wartości parametru rozwiązania ogólnego.