Zjawisko Comptona
1
Zjawisko Comptona
Zjawisko Comptona, rozpraszanie
komptonowskie - zjawisko rozpraszania
promieniowania X (rentgenowskiego) i
promieniowania gamma, czyli
promieniowania elektromagnetycznego o
dużej częstotliwości, na swobodnych lub
słabo związanych elektronach, w wyniku
którego następuje zwiększenie długości fali
promieniowania. Za słabo związany
uważamy przy tym elektron, którego energia
wiÄ…zania w atomie, czÄ…steczce lub sieci
krystalicznej jest znacznie niższa, niż
Schemat zjawiska Comptona
energia padajÄ…cego fotonu. Zjawisko
przebiega w tym przypadku praktycznie tak
samo, jak dla elektronu swobodnego.
Zwiększenie długości fali rozproszonego fotonu, zwane przesunięciem Comptona, zależy od kąta rozproszenia
fotonu zgodnie ze wzorem:
gdzie:
"  zmiana długości fali fotonu, (przesunięcie Comptona)
"  kÄ…t rozproszenia fotonu,
"  stała, tzw. komptonowska długość
fali elektronu[1] ,
"  stała Plancka,
"  masa spoczynkowa elektronu,
"  prędkość światła,
"  długość fali rozproszonej,
"  długość fali padającej.
Zatem zmiana długości fali nie zależy od jej początkowej długości. Oznacza to, że względna zmiana zależy od
długości fali padającego promieniowania. Maksymalna zmiana długości fali występuje dla
kąta (rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla światła widzialnego, od długości rzędu
względna zmiana długości fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest więc bardzo słaby.
Jednak dla promieniowania o długości fali , co odpowiada energii fotonów około 1 MeV, oznacza to
niemal dziesięciokrotny wzrost długości fali.
Wzór na przesunięcie długości fali można przekształcić w wyrażenie na energię fotonu po rozproszeniu:
,
gdzie jest energiÄ… fotonu padajÄ…cego (przed rozproszeniem).
Zjawisko Comptona
2
Historia
Arthur H. Compton zajmował się badaniem rozpraszania promieni Roentgena w materii od roku 1917. Usiłował
wyjaśnić obserwowane niezgodności pomiędzy klasyczną teorią rozpraszania fali elektromagnetycznej na ładunkach
elektrycznych (rozpraszanie Thomsona) a wynikami pomiarów[2] . Obserwowane niezgodności dotyczyły natężenia
rozproszonego promieniowania i zależności tego natężenia od kąta rozproszenia.
Po kilku nieudanych próbach wyjaśnienia zjawiska na gruncie klasycznej teorii fal elektromagnetycznych, Compton
zaczął podejrzewać, że może ono polegać na rozpraszaniu na pojedynczych elektronach. Zestawił więc aparaturę,
która pozwalała mu mierzyć nie tylko natężenie, ale i długość fali rozproszonego promieniowania, wykorzystując
prawo Bragga. Pomiary pokazały, że część promieniowania rozproszonego jest przesunięta w stronę większych
długości fali, przy czym przesunięcie to rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia. Wynik ten Compton usiłował
wyjaśnić początkowo efektem Dopplera. Jednak wkrótce stwierdził, że wyjaśnienie to nie jest zgodne z jego
pomiarami i znalazł inne, oparte o założenie, że rozpraszanie jest spowodowane zderzeniami pojedynczych kwantów
promieniowania z elektronami. Wynik ten Compton ogłosił w roku 1922 a opublikował w roku 1923[3] . W roku
1927 otrzymał ze tę pracę Nagrodę Nobla.
Znaczenie historyczne
Doświadczenie Comptona było pierwszym i do dziś pozostaje jednym z elegantszych doświadczeń demonstrujących
korpuskularną naturę promieniowania elektromagnetycznego. Większość fizyków około roku 1920 (w tym i sam
Compton) uważała zaproponowaną przez Plancka i Einsteina hipotezę kwantów światła za rodzaj modelu
matematycznego, odmawiając kwantom fizycznego istnienia[2] . Dla wyników Comptona nie dawało się jednak
znalez
ć wyjaśnienia na gruncie teorii falowej, zaś proste i eleganckie wyjaśnienie opierało się na założeniu, że
kwanty światła rozpraszają się w zderzeniach z pojedynczymi elektronami, że tak przed jak i po zderzeniu mają
jednoznacznie określony kierunek ruchu i że niosą nie tylko energię, ale i pęd[3]  czyli że zachowują się jak
klasyczne cząstki. Jednocześnie jednak w tym samym doświadczeniu pomiar energii (długości fali) rozproszonego
promieniowania opierał się o wykorzystanie jego falowej natury, a konkretnie zjawiska dyfrakcji.
Niedługo po opublikowaniu wyników Comptona dualizm korpuskularno-falowy stał się powszechnie uznaną
koncepcją, a kwanty światła, nazwane wkrótce fotonami, przestały być uważane za twór czysto matematyczny, lecz
zostały uznane za realne byty fizyczne.
Wykorzystanie
Zjawisko Comptona odgrywa istotną rolę w oddziaływaniu promieniowania gamma i rentgenowskiego z materią. W
zakresie energii fotonów od kilkudziesięciu keV do kilku MeV rozpraszanie Comptona jest najbardziej
prawdopodobnym rodzajem oddziaływania, jakiemu może ulec promieniowanie podczas przechodzenia przez
materię[1] . Ma więc decydujące znaczenie dla zdolności pochłaniania promieniowania w tym zakresie energii, przez
co pośrednio gra zasadniczą rolę w radiobiologii, m.in. radioterapii.
Przeciwnicy teorii wielkiego wybuchu proponowali wykorzystanie tego zjawiska do wytłumaczenia obserwowanego
przesunięcia ku czerwieni[4] .
Zjawisko Comptona
3
Wyprowadzenie wzoru na energiÄ™ fotonu rozproszonego
Opieramy się na założeniu, że rozpraszanie Comptona jest zderzeniem sprężystym pomiędzy dwiema cząstkami:
fotonem o długości fali  i spoczywającym elektronem. Do opisu zderzenia możemy więc stosować zasady
zachowania: pędu i energii. Pęd i energia fotonu wynoszą odpowiednio: , . Energia i pęd
elektronu związane są ze sobą zależnością relatywistyczną:
.
Z zasady zachowania pędu wynika, że wektory pędu cząstek przed zderzeniem i po zderzeniu muszą leżeć w jednej
płaszczyz
nie. Możemy więc opisywać zderzenie w dwuwymiarowym układzie współrzędnych na tej płaszczyz
nie.
Przyjmujemy, że przed zderzeniem foton porusza się wzdłuż osi x.
Zasada zachowania energii  w stanie początkowym mamy foton o długości fali i spoczywający elektron, w
stanie końcowym foton o długości fali i elektron o pędzie :
.
Zasada zachowania pędu  składowa :
.
Zasada zachowania pędu  składowa :
.
Kwadrat pędu elektronu po zderzeniu:
,
i można tu wstawić składowe wyliczone z zasady zachowania pędu:
.
Podstawiając to do równania zasady zachowania energii i dzieląc przez można otrzymać następujące równanie
(teraz pozostały już tylko przekształcenia algebraiczne):
PodnoszÄ…c obustronnie do kwadratu
i po skróceniu:
.
Mnożąc przez i przerzucając jeden człon na prawą stronę otrzymujemy wyrażenie Comptona:
.
Na podstawie powyższego wzoru, oraz zależności
dochodzimy do wzoru na energiÄ™ rozproszonego fotonu:
Zjawisko Comptona
4
.
Przekrój czynny
Pierwsze próby wyznaczenia natężenia rozproszonego promieniowania i jego rozkładu kątowego podjął sam
Compton, w swej oryginalnej pracy[3] . Przyjął w tym celu, że wychodzący foton jest emitowany przez poruszający
się już po rozproszeniu elektron. Jego wyniki zgadzały się jakościowo z doświadczeniem, przewidując mniejsze
natężenie rozproszonego promieniowania, niż wynikające z klasycznej teorii Thomsona i asymetryczny rozkład
kątowy. Compton nie posiadał jednak narzędzia niezbędnego do poprawnego rozwiązania tego problemu 
relatywistycznej kwantowej teorii elektronu, stworzonej kilka lat póz
niej przez Diraca.
Wzór Kleina-Nishiny
Wyrażenie na różniczkowy przekrój czynny dla takiego procesu
zostało opublikowane w roku 1929 przez Oskara Kleina i Yoshio
Nishinę[5] , a jego wyprowadzenie było jednym z pierwszych
zastosowań nowej podówczas teorii elektronu Diraca[6] . Mówiąc
we współczesnym języku elektrodynamiki kwantowej, Klein i
Nishina obliczyli prawdopodobieństwo zajścia procesu w
najniższym rzędzie rachunku zaburzeń, jako superpozycję
procesów zobrazowanych przez przedstawione obok diagramy
Feynmana. Znalezione przez nich wyrażenie nosi nazwę wzoru
Kleina-Nishiny:
Rozpraszanie Comptona, kanał s
Rozpraszanie Comptona, kanał u
gdzie i to, zgodnie z wcześniejszymi oznaczeniami, energia fotonu przed i po rozproszeniu, to kąt
rozproszenia, zaś jest stałą zwaną klasycznym promieniem elektronu:
[1]
.
Zjawisko Comptona
5
W rzeczywistości Klein i Nishina wyprowadzili wzory na rozpraszanie spolaryzowanych fotonów na elektronach,
powyższe wyrażenie jest wynikiem uśrednienia ich wyników po początkowej polaryzacji fotonu i sumowania po
polaryzacjach końcowych.
W granicy niskich energii fotonu padającego wzór Kleina-Nishiny daje wynik identyczny, jak klasyczne
rozpraszanie Thomsona.
Całkowity przekrój czynny
Całkowity przekrój czynny na rozpraszanie Comptona można znalez
ć drogą całkowania wzoru Kleina-Nishiny po
pełnym kącie bryłowym  pamiętając o tym, że występująca we wzorze energia fotonu rozproszonego zależy od kąta
rozproszenia. Wynikiem całkowania jest:
gdzie jest stosunkiem energii padajÄ…cego fotonu do energii spoczynkowej elektronu.
Dla bardzo wysokich energii fotonu dominujący jest drugi składnik w nawiasie klamrowym i przekrój
czynny zachowuje siÄ™ jak
,
czyli maleje do zera z rosnącą energią. Z kolei dla bardzo niskich energii fotonu przekrój czynny zbiega do
stałej
[1]
.
Stała ta zwana jest thomsonowskim przekrojem czynnym, ponieważ występuje ona w klasycznie wyprowadzonym
wzorze na rozpraszanie fali elektromagnetycznej na swobodnym elektronie (rozpraszanie Thomsona).
Wzory powyższe wyprowadzone zostały
przy założeniu swobodnego elektronu. W
rzeczywistych substancjach mamy jednak
do czynienia z elektronami zwiÄ…zanymi w
atomach. Doświadczenia pokazują jednak,
że rzeczywiste przekroje czynne dla
fotonów o średnich i wyższych energiach
dobrze zgadzajÄ… siÄ™ z obliczonymi z
powyższych wzorów. Istotne odchylenia
pojawiajÄ… siÄ™ dopiero, gdy energia fotonu
staje się porównywalna z energią wiązania
elektronów w atomach substancji.
Rzeczywisty przekrój czynny jest wówczas
niższy niż wynikający z wzoru
Zależność absorpcji promieniowania gamma od energii dla aluminium
Kleina-Nishiny. Znaczna część oddziaływań
fotonów w tym zakresie energii kończy się bowiem ich pochłonięciem i wybiciem elektronu z atomu (efekt
fotoelektryczny), bÄ…dz
koherentnym rozproszeniem fotonu na całym atomie (rozpraszanie Rayleigha). Na przykład
dla węgla maksimum przekroju czynnego na rozpraszanie Comptona przypada dla fotonów o energii około 35 keV,
a dla ołowiu około 90 keV[7] .
Zjawisko Comptona
6
Odwrotne rozpraszanie Comptona
Wszystkie powyższe wzory wyprowadzone zostały przy założeniu, że elektron początkowo spoczywa[8] . W takiej
sytuacji energia fotonu rozproszonego jest zawsze niższa od (a w granicy rozpraszania  do przodu równa)
energii fotonu padajÄ…cego.
Zjawisko zachodzi jednak oczywiście również dla szybko poruszających się elektronów. Jeżeli przy tym energia
elektronu jest odpowiednio wysoka, to może się zdarzyć, że energia fotonu rozproszonego będzie wyższa od energii
fotonu padającego, czyli nastąpi przekaz części energii kinetycznej elektronu fotonowi. Ze względu na tę różnicę
przyjęło się nazywać takie zjawisko odwrotnym rozpraszaniem Comptona. Należy jednak podkreślić, że jest to
nadal to samo zjawisko, tylko obserwowane z innego układu odniesienia. Wzory na przekrój czynny i na energię
fotonu rozproszonego najłatwiej uzyskać stosując transformację Lorentza z układu, w którym elektron spoczywa, do
układu laboratorium.
Podwójne rozpraszanie Comptona
Podwójnym rozpraszaniem Comptona nazywa się zjawisko rozproszenia fotonu na elektronie, przy którym elektron
emituje dodatkowy foton (w stanie końcowym mamy więc elektron i dwa fotony). Teoretycznie istnienie takiego
procesu przepowiedzieli Walter Heitler i Lothar Nordheim w roku 1934[9] . Doświadczalnie udało się go
zaobserwować w roku 1952[10] .
W języku elektrodynamiki kwantowej proces taki stanowi poprawkę wyższego rzędu do normalnego,
 pojedynczego rozpraszania Comptona  opisujÄ…ce go diagramy Feynmana zawierajÄ… po co najmniej trzy
wierzchołki. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jego zajścia powinno być mniejsze o czynnik rzędu
elektromagnetycznej stałej sprzężenia od przekroju czynnego wyliczonego z wzoru Kleina-Nishiny.
Dokładniejsze obliczenia pokazują, że całkowity przekrój czynny na podwójne rozpraszanie Comptona jest, dla
energii padającego fotonu 1 MeV, o około dwa rzędy wielkości niższy od przekroju czynnego na rozpraszanie
pojedyncze. Ze wzrostem energii fotonu różnica ta maleje[11] .
Zjawisko to powoduje pojawianie się wśród rozproszonych fotonów takich, których energia nie jest zgodna z
wzorem Comptona. Należy o tym pamiętać przy precyzyjnych pomiarach wykorzystujących rozpraszanie
komptonowskie.
Przypisy
[1] Particle Data Group (http:/ / pdg. lbl. gov), W.-M. Yao et al., J. Phys. G 33, 1 (2006)
[2] Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia Fizyki. Warszawa: PWN, 2007, ss. 463 466. ISBN 978-83-01-14635-1.
[3] A.H.Compton, A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements, Phys. Rev. 21, 483 (1923)
[4] J.Kierein, Implications of the Compton effect interpretation of the red shift, IEEE Trans. on Plasma Science 18, 61 (1990)
[5] O. Klein i Y. Nishina, Z. Physik 52, 853 (1929)
[6] The Klein-Nishina Formula. W: Gösta Ekspong: The Oskar Klein Memorial Lectures. World Scientific, 2001. ISBN 9810214502.
[7] Baza danych o przekrojach czynnych w NIST (http:/ / physics. nist. gov/ PhysRefData/ Xcom/ html/ xcom1. html)
[8] jest to założenie niefizyczne (w mikroświecie cząstka o określonym położeniu i w spoczynku gwałci zasadę nieoznaczoności Heisenberga),
ale w przypadkach, gdy pęd elektronu jest znacznie mniejszy od pędu fotonu powoduje niewielkie błędy w opisie zjawiska Comptona
[9] W.Heitler i L.Nordheim, Physica 1, 1059 (1934)
[10] P. Cavanagh, Phys. Rev. 87, 1131 (1952)
[11] M.Ram i P.Y.Wang, Phys. Rev. Lett. 26, 476 (1971), Phys. Rev. Lett. 26, 1210 (1971)
y
ródła i autorzy artykułu
7
y
ródła i autorzy artykułu
Zjawisko Comptona y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20471945 Autorzy: Bartek21, Cel 84, Curdeius, Jotempe, K K, Kocio, Lysanderos, Matma Rex, Ml7, Mpfiz, Mr. BB,
NH2501, Olaf, Paszczakowna, Pjahr, Rabidmoon, Raz1el, Remedios44, Sfu, Siałababamak, Stepa, Stok, Sunridin, Szoltys, Tescobar, WojciechSwiderski, Youandme, 25 anonimowych edycji
y
ródła, licencje i autorzy grafik
Plik:Rozpraszanie Comptona.svg y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Rozpraszanie_Comptona.svg Licencja: Creative Commons Attribution-Sharealike 2.5 Autorzy: sfu
Plik:ComptonScattering-s.svg y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:ComptonScattering-s.svg Licencja: GNU Free Documentation License Autorzy: Original uploader was
JabberWok at en.wikipedia
Plik:ComptonScattering-u.svg y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:ComptonScattering-u.svg Licencja: GNU Free Documentation License Autorzy: Original uploader was
JabberWok at en.wikipedia
Plik:Gamma Abs Al.png y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Gamma_Abs_Al.png Licencja: Public Domain Autorzy: H. Paul
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/