PROJEKTOWANIE
OPTYMALNE
Już od bardzo dawna wszelkiej działalności
człowieka, zwłaszcza związanej z
projektowaniem i konstruowaniem różnych
obiektów i urządzeń, towarzyszył problem
poszukiwania najlepszego możliwego
rozwiązania.
Ludzkość dążyła i dąży do realizowania
wariantów najlepszych z możliwych, takich,
które przyniosą największe korzyści przy
najmniejszym nakładzie sił i środków.
Optymalizacja
jest to dążenie do znalezienia wariantu ocenianego
według ustalonego kryterium wyboru, jako
najlepszy spośród wariantów uznanych za
dopuszczalne.
Zgodnie z tą definicją, optymalizacja polega
na znalezieniu ekstremum funkcji, w której
zmiennymi są elementy podlegające optymalizacji.
Zadanie to jest stosunkowo proste przy małej ilości
zmiennych oraz warunków, które ograniczają nasze
zmienne. Wówczas proces optymalizacji może się
ograniczyć do porównywania parami różnych
zmiennych według ustalonego kryterium i wybrania
najlepszego rozwiązania.
Problem zaczyna się, gdy tych zmiennych i
kryteriów jest wiele. Wielokryteriowa optymalizacja
nosi nazwę
polioptymalizacji
.
Szczególnie silny rozwój metod
optymalizacji nastąpił w okresie II Wojny
Światowej, wraz z rozwojem analizy
systemowej i badań operacyjnych. Wzrost
złożoności obiektów i systemów, który
nastąpił od tamtej pory, spowodował
konieczność rozwoju metod znajdujących
skuteczne i efektywne sposoby ich
projektowania i realizacji.
Obecnie metody optymalizacji znajdują
zastosowanie również w analizie konstrukcji i
innych dziedzinach, nie zawsze związanych
bezpośrednio z problemami optymalizacji.
Typowym przypadkiem optymalizacji w
projektowaniu jest sytuacja, gdy ma się
gotową koncepcję projektowanego obiektu, a
zadaniem optymalizacji jest wyznaczenie
optymalnych wartości głównych cech
konstrukcyjnych projektowanego urządzenia.
Rozwiązaniem zadania optymalizacji lub
polioptymalizacji nazywa się każdy
uporządkowany zbiór wartości wszystkich
zmiennych decyzyjnych: [x1,…,xp]. Jest to
wektor w przestrzeni zmiennych decyzyjnych
o współrzędnych będących wartościami tych
cech.
Proces formułowania i rozwiązywania problemu
optymalizacji (które w większości sprowadzają się do
znalezienia minimum funkcji) przebiega w następujący
sposób:
Proces
– zjawisko fizyczne,
proces technologiczny, system
ekonomiczny, planowanie
produkcji, itp.
Model
– opis matematyczny
procesu, sformułowany pod
kątem optymalizacji,
x
– zmienna decyzyjna,
F(x)
– ocena jakości (funkcja
celu, kryterium jakości),
X
0
– zbiór rozwiązań
dopuszczalnych,
- rozwiązanie (optymalna
wartość zmiennej decyzyjnej)
xˆ
xˆ
x
ˆ
Najczęściej, tak sformułowane
zadanie optymalizacyjne rozwiązuje
się przez znalezienie minimum
funkcji celu:
X
X
x
x
F
0
)}
(
min{
Proces optymalizacji zaczyna się od
ustalenia problemów optymalizacji.
Prawidłowe sformułowanie problemu optymalizacji
musi zawierać:
• określenie warunków optymalizacji - będą one miarą
spełnienia założonych celów,
• określenie parametrów optymalizacji - są to
elementy
opisu systemu nie zależne od projektanta,
• określenie zmiennych projektowych - są to elementy
opisu systemu zależne od projektanta,
• określenie ograniczeń – wartości, które będą
ograniczały zakres wartości analizowanych
zmiennych
projektowych.
Kryteria optymalizacji
Nadrzędnym kryterium optymalizacji nazywa
się taką wielkość w stosunku do której żąda się, by
była ona ekstremalna, np. wyraża się życzenie, aby
efektywność jakiegoś urządzenia była maksymalna.
Wybór kryterium nadrzędnego zależy od
rozwiązywanego problemu. Najczęstszym kryterium
optymalizacji jest koszt realizacji produkcji obiektu
optymalizowanego. Jednak, ponieważ zależy on od
bardzo wielu czynników, których wpływ często
bardzo trudno określić, w projektowaniu kryterium
kosztu jest zastępowane przez kryterium wymiarów
i objętości. Odpowiada ono w przybliżony sposób
kryterium cenowemu, gdyż wymiary obiektu
decydują o ilości potrzebnych surowców, a więc w
pośredni sposób określają one koszty. Kryterium to
jest poprawne dla elementów wykonanych z
jednego materiału. Przy konstrukcjach wykonanych
z niejednorodnych materiałów pozwala tylko na
orientacyjne określenie kosztów minimalnych.
Najczęściej problemy optymalizacji nie dają się
ograniczyć do jednego kryterium. Prowadzi to do
problemów optymalizacji wielokryteriowej –
polioptymalizacji. Gdy kryterium nadrzędne nie
jest jednoznacznie sformułowane, wyprowadza się
z niego zbiór kryteriów.
Problem polioptymalizacji rozwiązuje się
najczęściej sprowadzając go do problemu z
jednym kryterium, które nazywane jest zazwyczaj
funkcją celu i określane jako kombinacja liniowa
wszystkich kryteriów z odpowiednimi wagami:
n
i
i
i
F
c
F
1
Zmienne projektowe i parametry
optymalizacji
Zmienne projektowe i parametry optymalizacji
to wartości liczbowe lub funkcje, które określają
obiekt. Te spośród tych zmiennych, które podlegają
pewnym ograniczeniom, czy to technologicznym,
czy też normowych i ich wielkości muszą być z góry
ustalone, nazywa się parametrami
optymalizacji. Projektant nie ma żadnego wpływu
na ich wartości. Pozostałe wartości są natomiast
jak najbardziej od niego zależne i noszą nazwę
zmiennych projektowych. Tworzą one pewien
wektor o składowych {x
1
,…,x
n
} i określają punkt w
przestrzeni n-wymiarowej.
Zbiór zmiennych projektowych nosi też nazwę
zmiennych decyzyjnych, które są podzbiorem
cech konstrukcyjnych, tzn. wielkości potrzebnych
do fizycznego wykonania obiektu. Zmienne
decyzyjne dobiera się tak, aby jednoznacznie
określały projektowany obiekt.
Ograniczenia w optymalizacji
Rozpatrywane zmienne projektowe często nie
mogą być dowolne. Narzucone są na nie pewne
ograniczenia. Szereg ograniczeń wynikających z
wymagań normowych, technologicznych,
eksploatacyjnych i innych stawianych
projektowanej konstrukcji, z matematycznego
punktu widzenia można podzielić na:
• nierównościowe:
• równościowe:
gdzie: oznacza funkcję wektora zmiennych
projektowych. Oznacza to, że argumentami tych
ograniczeń są tylko zmienne decyzyjne.
n
i
x
g
i
,...,
2
,
1
,
0
)
(
n
j
x
g
j
,...,
2
,1
,0
)
(
)
(x
g
i
Metody optymalizacji optymalizacji można podzielić na
kilka sposobów, zależnych od postawionego problemu.
Metody optymalizacji
Wybór metody rozwiązywania
problemu optymalizacji, których jest
bardzo dużo, zależy od sposobu
zmiany zmiennych projektowych oraz
od postaci funkcji celu i funkcji
opisujących ograniczenia.