Obliczenia sił w palach metodą sztywnego oczepu - zadanie przykładowe
Policzyć siły w palach w fundamencie przedstawionym na rysunku.
Przyjąć schemat fundamentu ze sztywnym oczepem i z palami w postaci prętów obustronnie
przegubowych.
Obliczenia wykonać metodą macierzową i za pomocą programu ROBOT.
Y0
10:1
10:1
Obciążenia:
1 2 3
Vz = 10000 kN
My
Hx = 500 kN
Mx
X0
Hx 5
4
6 Hy = 1200 kN
Vz Mx = 8000 kNm
Hy
My = 7000 kNm
7 8
9
Mz = 0
2,0 2,0
Obliczenia metodą macierzową
Pale 1, 2, 3  ukośne o pochyleniu 10:1
tgą1,2,3 = 0,10 ą1,2,3 = 5,72� siną1,2,3 = 0,10; cosą1,2,3 = 0,995
�1 = -45� sin�1 =  0,707; cos�1 = 0,707; �2 = 0� sin�2 = 0,0; cos�2 = 0,707;
�3 = 45� sin�3 = 0,707; cos�3 = 0,707
Pozostałe pale - pionowe
ąi= 0 sinąi = 0 , cosąi = 1,0 ; �i = 0 sin�i = 0, cos�i = 1,0
Wektor transformacji:
{pi}T = {pxi, pyi, pzi, pai, pbi, pci,}
pxi = sinąi�"sin �i ; pyi = sinąi�"cos �i ; pzi = cosąi ; pai =  pzi�"yi ; pbi = pzi�"xi ; pci = pxi�"yi - pyi�"xi
Globalna macierz transformacji [P]:
Pal 1 2 3 4 5 6 7 8 9
xi -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2
yi 2 2 2 0 0 0 -2 -2 -2
0,10 0,10 0,10 0 0 0 0 0 0
sinąi
0,995 0,995 0,995 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
cosąi
sin�i  0,707 0 0,707 0 0 0 0 0 0
0,707 1,0 0,707 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
cos�i
pxi -0,0707 0 0,0707 0 0 0 0 0 0
pyi 0,0707 0,0995 0,0707 0 0 0 0 0 0
pzi 0,995 0,995 0,995 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1
pai -1,99 -1,99 -1,99 0 0 0 2,0 2,0 2
pbi -1,99 0 1,99 -2,0 0 2,0 -2,0 0 2
pci 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
10:1
2,0
2,0
�ł- 0,0707 0 0,0707 0 0 0 0 0 0
łł
�ł śł
0,0707 0,0995 0,0707 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
[P]= 0,995 0,995 0,995 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
�ł
-1,99 -1,99 -1,99 0 0 0 2,0 2,0 2,0śł
�ł śł
�ł
-1,99 0 1,99 - 2,0 0 2,0 - 2,0 0 2,0śł
�ł �ł
Macierz sztywności [D]:
Wszystkie pale o takiej samej sztywności przyjęto si = 1,0
1,0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł łł
�ł śł
0 1,0 0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
0 0 1,0 0 0 0 0 0 0
�ł śł
0 0 0 1,0 0 0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
[D]= 0 0 0 0 1,0 0 0 0 0
�ł śł
0 0 0 0 0 1,0 0 0 0
�ł śł
�ł śł
0 0 0 0 0 0 1,0 0 0
�ł śł
0 0 0 0 0 0 0 1,0 0
�ł śł
�ł
0 0 0 0 0 0 0 0 1,0śł
�ł �ł
Globalna macierz sztywności:
0,00998 0 0 0 0,2798
�ł łł
�ł śł
0 0,0198 0,2389 - 0,4478 0
�ł śł
�ł śł
[S] = [P][D][P]T = 0 0,2389 8,97 0,0599 0
�ł śł
0 - 0,4478 4,0 23,88 0
�ł śł
�ł śł
0,2798 0 0 0 23,92
�ł �ł
Globalna macierz sztywności po odwróceniu (macierz podatności):
151,25 0 0 0 -1,7692
�ł łł
�ł śł
0 263,3 - 7,048 5,286 0
�ł śł
�ł śł
[S]-1 = 0 - 7,048 0,300 - 0,1418 0
�ł śł
0 5,286 - 0,1418 0,1480 0
�ł śł
�ł-1,7692 0 śł
0 0 0,0625
�ł �ł
Wektor obciążeń:
{R}T = {500; 1200; 10000; 8000; 7000}
Wektor przemieszczeń oczepu:
2
{v} = [S]-1{R} = {63242; 287770; -2278; 1462; -447}T
Wektor przemieszczeń pali:
{vp} = [P]T{v} = {-2041; 9919; 5072; -5696; -6590; -7484; 6523; 5628; 4734}T
Wektor sił w palach:
N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9
{N} = [D]{vp} = {-2041; 9919; 5072; -5696; -6590; -7484; 6523; 5628; 4734}T
Sprawdzenie:
ŁV = ŁNi�"cosąi = 10000 kN O.K.
ŁHy = ŁNi�"sinąi �" cos�i = 1200 kN O.K.
9919
-2041
5072
1 2 3
SIA
Y W PALACH [kN]
(wartość ujemna  pal wyciągany)
-5696 -6590 -7484
5
4
6
6523 5628 4734
7 8
9
2,0 2,0
3
2,0
2,0
Obliczenia za pomocą programu ROBOT
Do obliczeń przyjęto pale o średnicy D = 0,80 m, długości L = 10,0 m i wykonane z betonu B30.
Oczep fundamentowy przyjęto o dużej grubości (h = 5,0 m) i z betonu B30 tak, aby miał bardzo
dużą sztywność.
Pale wymodelowano w postaci prętów przegubowo połączonych z płytą. W programie Robot do
modelowania połączeń przegubowych służy komenda  Zwolnienia w zakładce  Geometria .
W dolnych węzłach prętów palowych (w podstawach) zadano podpory przegubowe (zwolnione
obroty rx, ry i rz, zablokowane przemieszczenia liniowe ux, uy i uz).
Obciążenia zadano w postaci sił i momentów węzłowych zadanych w środku geometrycznym płyty
fundamentowej. W  tabeli obciążeń usunięto ciężary własne płyty i pali.
Model geometryczny Model obliczeniowy z obciążeniami
(nie pokazano grubości płyty)
Wyniki obliczeń  siły osiowe w palach
Zestawienie porównawcze wyników obliczeń
Siła osiowa Q w palu [kN]
Nr pala
Met. macierzowa ROBOT
1 -2041 -2047
2 9919 9930
3 5072 5060
4 -5696 -5709
5 -6590 -6523
6 -7484 -7525
7 6523 6501
8 5628 5634
9 4734 4744
Nieznaczne różnice mogą wynikać z zadania w programie
Robot płyty o skończonej sztywności oraz z zaokrągleń
Opracował:
Dr inż. Adam Krasiński
Katedra Geotechniki, Geologii i Bud. Morskiego
4