ET-DI2 14.05.2015r
Gr L3
Tomasz Pachołek
LABORATORIUM PRZETWARZANIA SYGNAA
ÓW
ANALIZA WIDMOWA SYGNAA
ÓW
Podstawowe charakterystyki
widmowe, aliasing
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było przypomnienie podstawowych charakterystyk widmowych sygnałów,
problemów związanych ze zjawiskiem odbicia widma (aliasing) oraz przykładów
zastosowania prostego i odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera.
Zagadnienia
·ð Prosta i odwrotna DFT, podstawowe zależnoÅ›ci, wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci
DFT (discrete Fourier transform)  transformata Fouriera wyznaczona dla sygnału próbkowanego -
dyskretnego. przekształca skończony ciąg próbek sygnału
w ciÄ…g harmonicznych
zgodnie ze wzorem:
gdzie:
- jednostka urojona, - numer harmonicznej, - numer próbki sygnału, - wartość
próbki sygnału, - liczba próbek.
Przekształcenie odwrotne do DFT dane jest następującym wzorem:
·ð Rozdzielczość czÄ™stotliwoÅ›ciowa DFT
Rozdzielczość częstotliwościową definiuje się często jako różnicę częstotliwości
sąsiadujących prążków widma DFT. Tak zdefiniowana rozdzielczość widma
zależy tylko od długości DFT i wynosi f s /N .
Bardziej praktyczne jest zdefiniowanie rozdzielczości widma jako minimalnej różnicy
częstotliwości dwóch sygnałów sinusoidalnych, które przy pomocy
DFT da się wyróżnić w sygnale wejściowym. Tak definiowana rozdzielczość
zależy od: długości DFT, liczby próbek sygnału czasowego zawartych w próbkach
poddawanych DFT oraz zastosowanej funkcji okna.
·ð Widmo amplitudowe
Wykres widma amplitudowego (wykres modułu ) pokazuje, jakie są
amplitudy składowych widmowych sygnału o różnych częstotliwościach.
·ð Widmo mocy, gÄ™stość widmowa mocy: definicje, estymatory
Widmowa gęstość mocy, która opisuje jaki jest rozkład częstotliwościowy mocy sygnału lub
szeregu czasowego. Moc może tu być faktyczną mocą fizyczną ale dużo częściej definiuje się ją
abstrakcyjnie dla sygnałów jako kwadrat wartości sygnału.
Ciągłe widmo mocy: P(f)  gęstość mocy zawartej w przedziale częstotliwości (f, f + df).
Dyskretne widmo mocy: P(fn)  estymator gęstości mocy zawartej w przedziale
częstotliwości (fn - 1/(2N"), fn + 1/(2N")).
·ð przykÅ‚adowe przebiegi dla typowych sygnałów zdeterminowanych (sinus, prostokÄ…t, piÅ‚a) i
losowych (szum biały)
·ð Widmo jednostronne i dwustronne.
Widmo szeregu trygonometrycznego Fouriera jest widmem jednostronnym.
Widmo dwustronne ukazuje naturalne położenie prążków.
·ð Próbkowanie równomierne sygnałów
Próbkowanie równomierne, jest procesem konwersji sygnału analogowego (o czasie ciągłym)
do postaci próbek pobieranych w równych odstępach czasu. Próbkowanie przeprowadza się
poprzez podanie na wejście przetwornika analogowo-cyfrowego (A/C) sygnału ciągłego. Na
jego wyjściu otrzymuje się ciąg wartości liczbowych.
·ð CzÄ™stotliwość Nyquista
Maksymalna częstotliwość składowych widmowych sygnału poddawanego procesowi
próbkowania, które mogą zostać odtworzone z ciągu próbek bez zniekształceń. Składowe
widmowe o częstotliwościach wyższych od częstotliwości Nyquista ulegają podczas
próbkowania nałożeniu na składowe o innych częstotliwościach (zjawisko aliasingu), co
powoduje, że nie można ich już poprawnie odtworzyć.
·ð Dobór czÄ™stotliwoÅ›ci próbkowania.
Aby spróbkowany sygnał z postaci dyskretnej dało się przekształcić bez straty informacji z
powrotem do postaci ciągłej, musi być spełniony warunek twierdzenia Ko elnikowa-
Shannona o próbkowaniu (tak zwany warunek Nyquista). Mówi on, że częstotliwość
próbkowania nie może być mniejsza niż podwojona szerokość pasma sygnału przed
spróbkowaniem. Jeśli ten warunek nie jest spełniony, wówczas występuje zjawisko aliasingu.
·ð NakÅ‚adanie siÄ™ widm (aliasing) i sposoby eliminacji tego zjawiska.
Aliasing to nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania wynikające z
niespełnienia założeń twierdzenia Ko elnikowa-Shannona. Zniekształcenie to objawia się
obecnością w sygnale składowych o błędnych częstotliwościach (aliasów).
Aby uniknąć aliasingu należy zapewnić, aby sygnał próbkowany był ograniczony pasmowo do
częstotliwości Nyquista czyli połowy częstotliwości próbkowania. Można to uzyskać przez
ograniczenie widma sygnału przy pomocy filtra, nazywanego filtrem anty-aliasingowym. Filtr
ten powinien mieć szerokość pasma mniejszą niż połowa częstotliwości próbkowania.
Zazwyczaj stosuje siÄ™ filtry o wyraz
nie mniejszej szerokości pasma przepustowego po to, aby
uwzględnić niewielkie tłumienie, które zachodzi na odcinku przejściowym charakterystyki
filtra oddzielajÄ…cego pasmo przepustowe od pasma zaporowego.
W praktyce, ze względu na to, że żaden sygnał o skończonym czasie trwania nie ma
ograniczonego pasma (co wynika z właściwości transformacji Fouriera), a żaden filtr nie tłumi
idealnie w swoim paśmie zaporowym, aliasing występuje zawsze. W prawidłowo
zaprojektowanym systemie wykorzystującym próbkowanie sygnału dąży się do minimalizacji
tego zjawiska, aby amplituda składowych aliasowych była pomijalnie mała.
Przebieg ćwiczenia
Na wstępie mieliśmy zbudować układ z rysunku poniżej
Funkcje modułów: Silder00  Max. Value 1000, Resolu on 1000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w
zakresie 0 - 1000 Hz z rozdzielczością 1 Hz), Generator00  Modula on, Frequency modula on, Sine,
Amplitude: 4V, Offset: 0; FFT00  Real FFT of a Real Signal; Y/t Chart00-01  Auto Scaling. Rys. 1. Układ
do wyznaczania charakterystyk widmowych i obserwacji zjawiska aliasingu 1.2. Ustawić w menu
programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024.
Dla różnych przebiegów o częstotliwości kilkudziesięciu Hz (np. 50 Hz) zmieniając opcje modułów
wyznaczyliśmy i porównywaliśmy przebiegi:
" jednostronnego widma amplitudowego (Amplitude Spectrum),
" dwustronnego widma amplitudowego (Fourier Analysis),
" widma mocy (Power Spectrum),
" gęstości widmowej mocy (Power Density Spectrum).
Rysunek 1 Widmo sygnału po lewej Sygnał po prawej o częstotliwości 28Hz (nastawy podane powyżej)  FFT
Sine, Amplitude: 4V, Offset: 0, Frequency 28Hz
Analiza Ilość prążków Wartość prążka Położenie prążka
Amplitude Spectrum 1 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Amplitude Spectrum, 2 4V po końcach osi częstotliwości(odbite)
Symetrical Axis pierwsza 28Hz
FFT 2 2V po końcach osi częstotliwości(odbite)
FFT, Symetrical Axis 2 2V po środku osi częstotliwości
Sine, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Frequency 28Hz
Analiza Ilość prążków Wartość prążka Położenie prążka
FFT Symetrical Axis 3 2V Po środku charakterystyki - symetryczne
Amplitude Spectrum 2 2V drugi 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Amplitude Spectrum, 1 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Suppress DC
Component
Power Spectrum 1 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Suppress DC
Component
Power Spectrum 2 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Power Density 1 4V Przy poczÄ…tku charakterystyki 28Hz
Spectrum DC
Component
Analiza Ilość prążków Wartość prążka Położenie prążka
Square, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz
Amplitude spectrum 3 2V; 5V; 1,7V Przy poczÄ…tku charakterystyki
Triangular, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz
Amplitude spectrum 2 2V; 3,25V; Przy poczÄ…tku charakterystyki
Sawtooth, Amplitude: 4V, Offset: 2V; Duty Cycle 0,5; Frequency 10Hz
Amplitude spectrum 2 4V; 1,25V; Przy poczÄ…tku charakterystyki
Wnioski
Wszystkie symulacje z programu Dasylab ukazują poprawności teorii przetwarzania sygnałów.
Ukazuje to między innymi sytuacja której nie sposób ukazać w sprawozdaniu  nieodpowiednie
dobranie częstotliwości sprawia odbicie charakterystyk widma sygnału, pogarsza parametry sygnału,
oraz deformuje je tak, że nie ma możliwości póz
niejszego odwzorowania sygnału.