INFORMATYKA III
INFORMATYKA III
dla kierunku
dla kierunku
MECHATRONIKA
MECHATRONIKA
Część 3
Część 3
Podstawy przetwarzania sygnałów
Podstawy przetwarzania sygnałów
dr inż. Marek Galewski
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Katedra Mechaniki i Mechatroniki
1
Sygnał
Sygnał
" Sygnał
 Proces zmian w czasie pewnej wielkości fizycznej lub
stanu obiektu / systemu
 Może być opisany za pomocą aparatu matematycznego
" Np. poprzez podanie pewnej funkcji zależnej od czasu
 Niesie informacjÄ™ o naturze badanych zjawisk lub
systemów
2
Sygnał
Sygnał
" Sygnał a informacja
 Wraz z sygnałem przekazywana jest informacja
 Sygnał jest nośnikiem informacji
" Teoria informacji  osobna dziedzina wiedzy i nauki
 Czy każdy sygnał niesie nową informację?
" Jeśli możemy dokładnie określić przyszłe wartości sygnału nie
niesie on nowych informacji
 sygnaÅ‚ deterministyczny, np. 10·sin(t)
" Informacje niesie sygnał, którego zachowania w przyszłości nie
można przewidzieć, wtedy kolejne wartości sygnału uzupełniają
naszÄ… wiedzÄ™
 sygnał niedeterministyczny, np. losowy
3
Sygnał
Sygnał
" W praktyce
 Każdy realny sygnał jest losowy
" Nie znamy przyszłości
" Każdy sygnał zawiera zakłócenia i szumy, które zawsze
wprowadzają losowość
 W zależności od potrzeb ten sam sygnał czasem
można traktować jako deterministyczny bądz
losowy
4
PowiÄ…zane dziedziny
PowiÄ…zane dziedziny
" By wydobyć z sygnału informacje, trzeba:
 Zmierzyć, wygenerować, opisać go
 Przekształcić na inny (nie zawsze)
 Przeanalizować
 Zinterpretować
 Na wszystkich etapach potrzebny jest
opis matematyczny sygnału
i operacji na nim wykonywanych
5
PowiÄ…zane dziedziny
PowiÄ…zane dziedziny
" Teoria sygnałów
 Podstawy matematyczne opisu, analizy
i przetwarzania sygnałów
" Przetwarzanie sygnałów
 Przekształcanie sygnałów z jednej postaci w inną
 Np. demodulacja sygnału radiowego, wyznaczanie widma sygnału
" Analiza sygnałów
 Wydobywanie informacji zawartej w sygnale
 Interpretacją sygnałów
 Np. określenie pozycji samolotu na podstawie sygnału radarowego
" Teoria informacji
 Określa ilościowo informację zawartą w sygnale
 Leży na styku statystyki i informatyki
6
Przetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów
" Przykładowe zastosowania:
 Pomiary i analiza wielkości fizycznych
 Sterowanie
 Kompresja danych
 Transmisja danych
 Usuwanie szumów i zakłóceń
 Filtrowanie sygnałów
 Identyfikacja obiektów
 Predykcja
 &
7
Opis sygnału
Opis sygnału
" W celu analizy sygnału, należy go opisać
modelem matematycznym
 Opis z użyciem funkcji czasu
 Opis z użyciem funkcji częstotliwości
 Opis z użyciem funkcji wielu zmiennych
(np. czasu i współrzędnych przestrzennych)
 Opis z użyciem zmiennych rzeczywistych
 Opis z użyciem zmiennych zespolonych
 Inne opisy (np. dystrybucja, opis stochastyczny)
8
Klasyfikacja sygnałów
Klasyfikacja sygnałów
Sygnały
Deterministyczne Losowe
Okresowe Nieergodyczne Ergodyczne
Prawie okresowe
Zmodulowane
Impulsowe o ograniczonej energii
O nieskończonym czasie trwania
i ograniczonej energii
Nieokresowe, o skończonej mocy średniej
Proces ergodyczny  proces, dla którego wartości parametrów statystycznych po zbiorze
realizacji (czyli wartość średnia, wariancja i funkcja autokorelacji) są równe wartościom
tych parametrów z jego dowolnej realizacji czasowej
9
Klasyfikacja sygnałów
Klasyfikacja sygnałów
" Wg modelu matematycznego
 Rzeczywiste
 Zespolone
 Dystrybucyjne
" Wg przewidywalności
 Deterministyczne
" W każdej chwili można przewidzieć następną wartość sygnału
 Stochastyczne
" Sygnał losowy
10
Klasyfikacja sygnałów
Klasyfikacja sygnałów
" Wg dziedziny określoności
 Ciągłe w czasie
" Mają wartość określoną dla dowolnej chwili czasu
" Najczęściej określone w zakresie (-", + "), <0, + ">, <0, t1>
lub
 Dyskretne w czasie
" Mają wartość określoną tylko dla wybranych chwil czasu
" Najczęściej chwile czasu są od siebie równoodległe
" Wg przeciwdziedziny
 Ciągłe
" Mogą przyjmować dowolne wartości
 Dyskretne
" Mogą przyjmować wartości z określonego zbioru
11
Klasyfikacja sygnałów
Klasyfikacja sygnałów
x(t)
" Sygnał analogowy
 Ciągły w czasie
 Dowolne wartości
 Niesie energiÄ™
t
t0 t1 t2 t3 t4
x(tp)
" Sygnał dyskretny
 Dyskretny w czasie
 Dowolne wartości
 Nie niesie energii
t
t0 t1 t2 t3 t4
x(tp)
" Sygnał cyfrowy
 Dyskretny w czasie
 Dyskretne wartości
 Nie niesie energii
t
t0 t1 t2 t3 t4
12
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały impulsowe o ograniczonej energii
x(t)
Impuls prostokÄ…tny
Å„Å‚0 dla t > 0,5
1
ôÅ‚
x(t)= (t)=
òÅ‚0,5 dla t = 0,5
ôÅ‚1 dla t < 0,5
-0,5
0,5
0 t
ół
x(t)
Impuls trójkątny
Å„Å‚0 dla t >1
ôÅ‚
x(t)= ›(t)=
1
òÅ‚
ôÅ‚
ół1- t dla t d"1
-1
1
0 t
x(t)
Impuls wykładniczy
T
t -
x(t)= e-Ä…t ëÅ‚ 2 öÅ‚, Ä… > 0
ìÅ‚ ÷Å‚ 1
T
íÅ‚ Å‚Å‚
T
0 t
13
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały o nieskończonym czasie trwania
i ograniczonej energii
x(t)
Wykładniczy malejący
1
Å„Å‚
Ae-Ä…t dla t e" 0
x(t)= , Ä… > 0
òÅ‚
ół0 dla t < 0
0 t
x(t)
Sinusoidalny malejący wykładniczo
1
Å„Å‚
Ae-Ä…t sin(É0t) dla t e" 0
x(t)= , Ä… > 0
òÅ‚
dla t < 0
ół0
0 t
2Ä„
É0
14
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały o nieskończonym czasie trwania
i ograniczonej energii
x(t)
Sinc
1
sin(É0t)
Å„Å‚
dla t `" 0
ôÅ‚
É0t
x(t)= sinc(t)=
òÅ‚
ôÅ‚
1 dla t = 0
ół
0 t
2Ä„ 4Ä„
É0 É0
x(t)
Gaussowski
1
2
x(t)= e-Ä„t
0 t
15
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały nieokresowe o ograniczonej mocy
x(t)
średniej
Skok jednostkowy
1
1 dla t > 0
Å„Å‚
x(t)= 1(t)=
òÅ‚
ół0 dla t < 0
0 t
x(t)
Wykładniczy - narastający
1
x(t)= (1- e-Ä…t)1(t), Ä… > 0
0 t
x(t)
Funkcja znaku
1
1 dla t > 0
Å„Å‚
ôÅ‚0 dla t = 0
x(t)= sgn(t)= 0
òÅ‚
t
ôÅ‚
ół-1 dla t < 0
-1
16
Sygnały okresowe
Sygnały okresowe
" Sygnał okresowy
 Sygnał, dla którego w dowolnej chwili czasu t
prawdziwa jest zależność
T
x(t)= x(t + kT)
0
t
gdzie: T - okres sygnału
T T
k - dowolna liczba całkowita
" Wartości przyjmowane przez sygnał powtarzają się co czas T
" Częstotliwość sygnału f=1/T
 Suma sygnałów okresowych o różnych częstotli-
wościach jest także sygnałem okresowym, jeśli dla
dowolnych dwóch częstotliwości f1 i f2 tej sumy można
znalez
ć takie dwie liczby naturalne m i n, że nf1 = mf2.
17
Sygnały prawie okresowe
Sygnały prawie okresowe
" Sygnał prawie okresowy
 Sygnał, będący sumą dwóch (lub więcej) sygnałów
okresowych, takich, że stosunek ich częstotliwości jest
niewymierny
" Nie istnieją dwie liczby naturalne m i n, takie że nf1 = mf2.
 Sygnał prawie okresowy nie jest okresowy
18
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały okresowe
x(t)
A
Sinusoidalny
0
t
x(t)= Asin(É0t)
2Ä„
-A
É0 = = 2Ä„f0
2Ä„
T =
T
É0
x(t)
Fala prostokÄ…tna, bipolarna
A
A dla t "(kT, kT +Ä )
Å„Å‚
ôÅ‚0 dla t = kT, kT +Ä
x(t)=
òÅ‚
T
Ä
0 t
ôÅ‚
)
ół- A dla t "(kT +Ä , kT + T
-A
x(t)
Fala prostokÄ…tna, unipolarna
A
A dla t "(kT, kT +Ä )
Å„Å‚
0
ôÅ‚
A
ôÅ‚
Ä T
t
x(t)= dla t = kT, kT +Ä
òÅ‚
2
ôÅ‚
)
ôÅ‚
ół0 dla t "(kT +Ä , kT +T
19
Przykładowe sygnały
Przykładowe sygnały
" Przykładowe sygnały okresowe
x(t)
Złożony z dwóch sinusoid
0
t
x(t)= Asin(É0t)+ B sin(É1t)
É0 n
= m, n " N
T
É0 1 A 10
É1 m
= =
É1 3 B 4
" Przykładowe sygnały prawie okresowe
x(t)
Złożony z dwóch sinusoid
x(t)= Asin(É0t)+ B sin(É1t)
É0 n 0
t
`" m, n " N
É1 m
É0 1 A 10
Sygnał prawie okresowy nie jest okresowy
= =
É1 Ä„ B 4
20
Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów
" Sygnały w świecie rzeczywistym są ciągłe
 Można je przetwarzać i analizować w czasie ciągłym
(układy analogowe)
 & ale obecnie najczęściej wykorzystuje się do tego
urzÄ…dzenia cyfrowe
" Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
 Digital Signal Processing, DSP
 Dziedzina nauki i techniki zajmująca się sygnałami
w postaci cyfrowej i metodami przetwarzania takich
sygnałów
21
Cyfrowy układ sterowania
Cyfrowy układ sterowania
Sygnały analogowe
Zjawisko lub
Konwersja Konwersja
C/A A/C
Obiekt
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
(Komputer, mikrokontroler,
sterownik cyfrowy, & )
Sygnały cyfrowe
22
Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów
Cyfrowe Przetwarzanie Sygnałów
" Problem:
Sygnały analogowe "! przetwarzanie cyfrowe
Konieczność pobrania i przekształcenia sygnałów:
 Analogowych na cyfrowe
" Pomiar / Akwizycja danych
" Przetwornik analogowo cyfrowy  A/C (A/D)
 Cyfrowych na analogowe
" Generowanie sygnału / Sterowanie
" Przetwornik cyfrowo analogowy  C/A (D/A)
23
Akwizycja danych
Akwizycja danych
" Aby móc sygnały przetworzyć, należy je najpierw
zmierzyć / zebrać
" Akwizycja danych (Data Acquisition - DAQ)
 Proces zbierania danych wejściowych
" Jest to pojęcie szersze niż  pomiar
" Danymi mogą być:
 Sygnały analogowe
Wszelkie wielkości fizyczne
 Sygnały cyfrowe
 Czas
 Wartości liczników
 Obraz
 Stan, sygnalizacja zdarzeń (np. włączony / wyłączony)
 Parametry innych sygnałów (np. amplituda, częstotliwość, wartość
średnia, poziom zniekształceń, & )
 &
24
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Typowy kanał przetwarzania A/C
*
*
Mierzona
Czujnik / miernik
Przetwornik Wartość
wielkość Konwersja na napięcie
A/C cyfrowa
(lub prÄ…d)
analogowa
(Wybranego kanału)
*
Np.: Ä„ rad Potencjometr obrotowy 5V 512 =180°
 Najczęściej czujniki przetwarzają wielkość mierzoną na:
" Napięcie: <-5V, +5V>, <0V, +5V>, <-10V, +10V>, <0V, +10V>
" PrÄ…d: <0mA, 20mA>, <4mA, 20mA>
 Są to jednocześnie typowe zakresy wejść przetworników
A/C
25
multiplekser
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Czujniki cyfrowe i inteligentne
Czujnik cyfrowy
Mierzona
Przetwornik Wartość
wielkość
cyfrowa
A/C
analogowa
Czujnik inteligentny
Mierzona
Przetwornik Informacja
wielkość
Procesor
cyfrowa
A/C
analogowa
 Od razu podają na wyjściu wartości cyfrowe
" Mają przetworniki A/C  zaszyte w swoim wnętrzu
" Mogą pominąć etap konwersji na napięcie
(np. wykorzystują inne wielkości pośrednie)
" Czujniki inteligentne dodatkowo samodzielnie przetwarzajÄ…
i interpretują sygnał
 udostępniają istotne informacje, a nie wszystkie kolejne wartości sygnału
 Często są droższe, ale nie wymagają osobnego przetwornika A/C
 Sygnał cyfrowy łatwiej przesłać na większą odległość
 A
atwiej skonfigurować duży system pomiarowy
26
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Działanie przetwornika A/C
 Próbkowanie
" Pobranie chwilowej wartości sygnału analogowego
 Kwantyzacja
" Określenie wartości próbki
 Kodowanie
" Zapisanie wartości w określonym formacie
27
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Próbkowanie
 Pobieranie próbek x(tp) analogowego sygnału x(t)
w dyskretnych chwilach tp
" W praktyce, sygnały są zwykle próbkowanie równomiernie
 Chwile tp są równo oddalone od siebie o okres Ts
 Częstotliwość próbkowania fs = 1/Ts
" W wyniku próbkowania powstaje sygnał dyskretny w czasie
 Sygnał jest nadal ciągły co do wartości amplitudy
 Realizowane przez układ próbkowania (sample&hold)
10V
3,02V
0V
tp-1 tp tp+1 tp+2 t
Ts
28
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Próbkowanie
 Uwaga praktyczna
" Zwykle karta pomiarowa ma kilka kanałów, ale tylko jeden
przetwornik
 Konieczny jest multiplekser
 Maksymalna częstotliwość próbkowania podawana jest
w kS/s (kilosamples per second) a nie kHz (kilohertz)
 Jeśli mierzymy jeden kanał  [kS/s] = [kHz] = fmax
 Jeśli mierzymy lkan kanałów  częstotliwość (w kHz) dla
pojedynczego kanału
fmax[kS ]
s
fmax1kan[kHz] =
lkan
" Przykład
 Karta 100kS/s
 Jednoczesny pomiar 5 kanałów z częstotliwością 100kS/s
oznacza, że pojedynczy kanał może być mierzony
z częstotliwością maks. 20kHz
29
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Kwantyzacja
 Określenie wartości próbki
 Przetwarzanie sygnału
dyskretnego w czasie i o ciągłych wartościach
w sygnał
dyskretny w czasie i o dyskretnych wartościach
" Zakres zmian wartości sygnału dzielony jest na skończoną
liczbę M przedziałów kwantyzacji / dopuszczalnych wartości
 Zwykle M=2lb
 Liczba lb to rozdzielczość przetwornika
lb M
8-bit = 256 wartości
10-bit = 1024 wartości
12-bit = 4096 wartości
16-bit = 65536 wartości
" Wartości próbek są przybliżane do poszczególnych przedziałów
 Zwykle przedziały kwantyzacji są równomierne, o szerokości q
30
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Kwantyzacja
 Najczęstsze sposoby kwantyzacji
ZaokrÄ…glanie Obcinanie I Obcinanie II
Q(x)
Q(x) Q(x)
2q
2q 2q
q
q q
3
q
- q
-
2 -2q -q -2q -q
2
q
x
3 x x
q 2q q 2q
q
2
2
-q
-q -q
-2q
-2q -2q
 Wybór metody zależy od dalszego kodowania wyników
 Kwantyzacja jest zawsze operację nieliniową i wprowadza błąd
31
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Kwantyzacja
 BÅ‚Ä…d kwantyzacji
" Różnica między wartością próbki przed i po kwantyzacji
 Sygnał dyskretny, określony w chwilach próbkowania
i przybierający losowe wartości w skończonym przedziale
o szerokości równej kwantowi q
" Zakresy błędów
 Dla zaokrÄ…glania
<-q/2, q/2>
 Dla obcinania I
<-q, 0>
 Dla obcinania II
<-q, 0> gdy x(tp)>0
< 0, q> gdy x(tp)<0
" W praktyce traktuje siÄ™ go jako szum kwantyzacji
 Uwaga: przy nieprawidłowym doborze parametrów przetwornika, błąd kwantyzacji
może uniemożliwić poprawny odczyt mierzonych wartości!
32
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Kodowanie
 Zapisanie wartości próbki w określonym formacie
" W wyniku kwantyzacji, wartość zostaje przypisana do
określonego przedziału
 Przedziały te są kodowane słowami binarnymi o długości lb bitów
 Różnica między sąsiednimi poziomami kwantyzacji dla sygnału
o wartościach z zakresu Xmin, Xmax opisana jest:
Xmax - X
min
q =
2lb
 Wyznaczoną wartość przetwornik zwraca zwykle jako liczbę
całkowitą 8., 16. lub 32. bitową
Odpowiednik typów int, unsigned int
Jeśli przetwornik ma mniej bitów niż zwracany format 
starszą lub młodszą część bitów wypełnia się zerami
(zależy to od konkretnego modelu przetwornika)
33
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Kodowanie
 Przykład:
" Przetwornik 8-bitowy, zakres napięć wejściowych <0,+10V>,
8-bitowe kodowanie wartości na wyjściu jako unsigned char
10V 10V
q = = = 0,0390625V
28 256
" Kolejne próbki sygnału cyfrowego mogą różnić się
o 0,0390625V (lub wielokrotność)
 Przykładowe wartości:
Napięcie Napięcie Wartość
wejściowe przetworzone na wyjściu
0,000V 0,0000000V 0
0,010V 0,0000000V 0
0,039V 0,0390625V 1
0,391V 0,3906250V 10
1,000V 1,0156250V 26
1,020V 1,0156250V 26
10,000V 10,0000000V 255
34
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Następstwa praktyczne
 Zakres wejść i rozdzielczość przetwornika muszą być
dobrane do mierzonego sygnału
" Przykład 1:
 Sygnał o zakresie <-0,1V; +0,1V>
 Przetwornik o zakresie +/-10V i rozdzielczości 8-bit
20V 20V
q = = = 0,078125V
28 256
 Na wyjściu otrzymamy TYLKO wartości -0,078V; 0V lub +0,078V
 Można:
Zwiększyć rozdzielczość przetwornika (wymaga innego
przetwornika)
Zmniejszyć zakres wejściowy przetwornika (często przetwornik
ma kilka zakresów, ale nie zawsze takich, jakie potrzebujemy)
Wzmocnić sygnał tak, by był dopasowany do zakresu wejść
przetwornika (konieczny wzmacniacz / dzielnik napięcia)
35
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Następstwa praktyczne
" Przykład 2:
5V 5V
 przetwornik 10-bit, <0V; +5V> q = = = 0,0049V
210 1024
da takie same rezultaty jak
20V 20V
q = = = 0,0049V
przetwornik 12-bit, <-10V; +10V>
212 4096
 Wniosek
Duża liczba bitów nie zawsze oznacza dokładniejszy wynik
36
Przetworniki A/C
Przetworniki A/C
" Najważniejsze parametry przetworników:
 Rozdzielczość
" 8~12 bit  zastosowania przemysłowe
(proste mikrokontrolery, lub układy dla bardzo
wysokich częstotliwości)
" 12~20 bit  zastosowania przemysłowe i badawcze
(mikrokontrolery, karty pomiarowe)
" 20~26 bit  zastosowania badawcze oraz systemy audio
(specjalistyczne karty pomiarowe i sprzęt audio)
" >26 bit  rzadko spotykane
30
 Maksymalna częstotliwość
28
próbkowania [kS/s] lub [kHz]
26
24
 Liniowość
22
20
 Dokładność / 18
Typowe
Typowe
16
karty pomiarowe
karty pomiarowe
błędy przetwarzania
14
Typowe
Typowe
12 przetworniki
przetworniki
w mikrokontrolerach
w mikrokontrolerach
10
8
6
1 100 10000 1000000 100000000 10000000000
1 100 10k 1M 100M 10G
częstotliwość próbkowania (Hz)
Częstotliwość próbkowania (Hz)
37
z
d i
o
o
Å›
b
)
Rozd
ro
i
z
el
z
c
e
z
lcz
ść
ć
(
(
b
i
i
t
t
y
ów)
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Metody przetwarzania:
Bezpośrednie  napięcie wejściowe jest bezpośrednio porównanie
z napięciem referencyjnym, przetwarzana jest
wartość chwilowa
Kompensacyjne  stopniowo zwiększa się napięcie wzorcowe,
aż osiągnie wartość najbliższą wartości
napięcia mierzonego
wagowe  kolejne zmiany napięcia nierównomierne
równomierne  kolejne zmiany napięcia równomierne
Bezpośredniego porównania
porównania równoległego
 jednoczesne porównanie z wieloma wzorcami
porównania szeregowego
 cykl porównań z kolejnymi wzorcami
Pośrednie
38
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
Pośrednie  napięcie wejściowe zamieniane jest na wielkość
pomocniczą, która porównywana jest z wartością
odniesienia, przetwarzana jest wartość średnia
z okresu pomiaru
Czasowe
proste  napięcie wejściowe jest całkowane aż całka osiągnie zadaną
wartość, mierzy się czas narastania sygnału scałkowanego
podwójnego całkowania  napięcie wejściowe jest całkowane
przez określony, stały czas, następnie napięcie opada
i mierzy się czas opadania sygnału scałkowanego
wielokrotnego całkowania
Częstotliwościowe  napięcie wejściowe zamieniane jest na
częstotliwość impulsów, która następnie jest konwertowana
na wartość liczbową
proste
podwójnego przetwarzania
sigma-delta  sygnał wejściowy jest zgrubnie porównywany z
wzorcowym (jednobitowy przetwornik (-/+ Vwz)), następne
błąd jest całkowany i odejmowany od wejścia, ciąg 0-1
na wyjściu ma wartość średnią równą wejściowej, ciąg
bitów jest póz
niej przekształcany na liczby. Część
przetwarzająca działa z bardzo dużą częstotliwością,
znacznie większą niż końcowa częstotliwość próbkowania.
39
Przetwarzanie A/C
Przetwarzanie A/C
" Metody bezpośrednie
 Są szybsze, ale mniej odporne na zakłócenia
" Metody pośrednie
 Są dokładniejsze, ale wolniejsze
(zwłaszcza z wielokrotnym całkowaniem)
 Sigma-delta
" Odporna na zakłócenia
" Pozwala uzyskać duże rozdzielczości
" Pobierają dużo energii
" IstniejÄ… rozwiÄ…zania mieszane, wykorzystujÄ…ce elementy
różnych metod
40
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
" Typowy kanał przetwarzania C/A:
 Właściwy przetwornik  konwertuje wartość liczbową
na napięcie wyjściowe
 ZOH (Zero Order Hold)  układ podtrzymujący
napięcie wyjściowe
 Filtr dolnoprzepustowy  wygładza sygnał na wyjściu
 Wzmacniacz mocy  nadaje moc potrzebnÄ… do
sterowania obiektem
sygnał
analogowy
Filtr
Wartość
Wzm.
Sterowany
Przetwornik
ZOH dolno-
cyfrowa
mocy
obiekt
C/A
przepustowy
Np.:
512
5V
614
6V
410
4V
41
Przetworniki C/A
Przetworniki C/A
" Metody przetwarzania:
drabinka rezystorowa
 pomiędzy z
ródłem zasilania a wzmacniaczem wyjściowym
znajduje się kilka(dziesiąt) rezystorów połączonych
równolegle lub w sieć ( ).
Rezystory są załączane zależnie od wartości napięcia jaką
chcemy otrzymać na wyjściu drabinki.
częstotliwościowa
 generowany jest ciąg impulsów o częstotliwości zależnej
od napięcia jakie chcemy wygenerować. Ciąg jest
następnie całkowany lub uśredniany.
(do częstotliwościowych zalicza się także przetworniki
Sigma-delta)
42
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
" Generowanie wartości wyjściowej
 Ekstrapolacja zerowego rzędu  ZOH  Zero Order Hold
" Podtrzymanie ostatniej znanej wartości
" Najczęściej stosowana
" Wada
  Schodkowy sygnał wyjściowy
" Zalety
 A
atwa i tania realizacja
 A
atwa analiza teoretyczna / matematyczna
UA(t)
u(tn) U (t)= u(tn)
A
tn d" t d" tn+1
tn = nT
tn-1 tn tn+1 t
43
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
 Ekstrapolacja I rzędu
" Ekstrapolacja liniowa
" Wady
 Trudniejsza analiza i realizacja
 Duże skoki sygnału, gdy ekstrapolacja  nie trafi
" Zaleta
 Mniejsze skoki sygnału gdy uda się przewidzieć następną wartość
(częste w sygnałach wolno zmiennych lub próbkowanych z b. dużą
częstotliwością)
UA(t) u(tn)- u(tn-1)(t - nT )
U (t)= u(tn)+
u(tn)
A
T
tn d" t d" tn+1
tn = nT
tn-1 tn tn+1 t
44
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
 Interpolacja I rzędu
" Interpolacja liniowa
" Wady
 Opóz
nienie sygnału na wyjściu o jedna próbkę
trzeba znać próbkę u(tn+1)
" Zaleta
 Ciągły sygnał wyjściowy
UA(t) u(tn+1)- u(tn)(t - nT )
U (t)= u(tn)+
u(tn)
A
T
tn d" t d" tn+1
tn = nT
tn-1 tn tn+1 t
45
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
 Interpolacje wyższego rzędu
" Interpolacja funkcjami (wielomianami) wyższego rzędu
" Wady
 Opóz
nienie sygnału na wyjściu o jedna próbkę
trzeba znać próbkę u(tn+1)
 Złożona realizacja
 Trudna analiza teoretyczna
" Zaleta
 Ciągły i gładki sygnał wyjściowy
UA(t)
u(tn)
tn-1 tn tn+1 t
46
Przetwarzanie C/A
Przetwarzanie C/A
" Najważniejsze parametry
 Rozdzielczość  podawana w bitach
liczba poziomów napięcia, jakie przetwornik
może wygenerować
 Szybkość przetwarzania lub maksymalna częstotliwość
aktualizacji wyjścia
 jak szybko na wyjściu mogą się pojawiać
kolejne wartości
 w praktyce  dość silnie ograniczona także
wydajnością całego systemu obliczeniowego
47
Podstawowe parametry sygnałów
Podstawowe parametry sygnałów
" Parametry sygnałów okresowych
T
 Okres
1
f = É = 2Å"Ä„ Å" f
 Częstotliwość
T
 Amplituda A
X = max x(t)
 Wartość szczytowa
max
X = max(x(t))- min(x(t))
 Wartość międzyszczytowa
pp
W przypadku ogólnym X `"2A
pp
Xmax
A A
nT
Xpp
0 0
t t
-A -A
T T
48
Podstawowe parametry sygnałów
Podstawowe parametry sygnałów
 Wartość średnia
T n=nT -1
1
1
X =
X = x(t)dt
m "x(t )
n
m
+"
nT -1
T
n=0
0
 Wartość skuteczna
T n=nT -1
1
1
2
X =
X = x2(t)dt
RMS "x (tn)
RMS
+"
nT -1
T
n=0
0
XRMS
Xm
0 0
t t
kT
T
T
49
Analiza częstotliwościowa
Analiza częstotliwościowa
" Wartości sygnału zmieniają się w czasie
 Zmiany te następują z różną prędkością
 Niektóre prędkości zmian dominują w sygnale, inne są rzadkie lub nie
występują
 Problem: Jak przeanalizować strukturę tych prędkości (częstotliwości
poszczególnych sygnałów składowych) oraz intensywność z jaką
występują (ich amplitudy)?
" Przenieść analizę w dziedzinę częstotliwości
" m.in. określić widmo sygnału
1
x(t)= sin(Ä„ Å"t)+ sin(2Ä„ Å"t + 2)+ sin(20Ä„ Å"t)
10
50
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
" Trygonometryczny szereg Fouriera
 sygnału analogowego
L2
 Każdy sygnał x(t) należący do przestrzeni
T0
można opisać trygonometrycznym szeregiem Fouriera
"
2Ä„
x(t)= a0 +
É0 =
"(a cos(kÉ0t)+ bk sin(kÉ0t))
k
T0
k =1
gdzie
t0 +T0
1
a0 - składowa stała sygnału x(t),
a0 = x(t)dt
+"
T0 t0
ak, bk - amplitudy poszczególnych
składowych cosinusoidalnych
t0 +T0
2
i sinusoidalnych.
ak = x(t)cos(kÉ0t)dt
+" k - rzÄ…d harmonicznej
T0 t0
t0 +T0
2
bk = x(t)sin(kÉ0t)dt
+"
T0 t0
L2 - Przestrzeń sygnałów całkowalnych z kwadratem, okresowych o okresie T0
T0
- Sygnały o ograniczonej energii oraz sygnał x(t)a"0
51
Liczby zespolone
Liczby zespolone
" Zespolona postać funkcji trygonometrycznych
jÉt jÉt
e + e- jÉt e - e- jÉt
cos(Ét)= sin(Ét)=
2 2
jÉt
cos(Ét)+ sin(Ét)= e
52
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
" Zespolony szereg Fouriera
 sygnału analogowego
 PrzyjmujÄ…c zespolonÄ… reprezentacjÄ™ funkcji sin i cos
można szereg zapisać jako:
"
2Ä„
jkÉ0t
x(t)=
É0 =
"X e
k
T0
k =-"
gdzie
t0 +T0
1
X = x(t)e- jkÉ0tdt
k
+"
T0 t0
 W szeregu zespolonym występują pulsacje ujemne
" Nie majÄ… one sensu fizycznego
" Dla sygnałów rzeczywistych wartości szeregu i tak są rzeczywiste dla każdego t
*
" Można wykazać, że:
X = X X = X
tzn.:
k -k k -k
arg X = - arg X
k -k
53
Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera
" Proste przekształcenie Fouriera
dla sygnału analogowego
"
X (É)= x(t)e- jÉtdt gdzie É"(-", +") jest pulsacjÄ…
+"
-"
Całka przyporządkowuje sygnałowi x(t) funkcję zespoloną
X(É) zmiennej rzeczywistej É
X (É)= F[x(t)] X(É) jest transformatÄ… Fouriera sygnaÅ‚u x(t)
54
Przekształcenie Fouriera
Przekształcenie Fouriera
" Odwrotne przekształcenie Fouriera
dla sygnału analogowego
"
1
jÉt
x(t)= X (É)e dÉ gdzie É"(-", +") jest pulsacjÄ…
+"
2Ä„
-"
CaÅ‚ka przyporzÄ…dkowuje funkcji zespolonej X(É) sygnaÅ‚ x(t)
-1
Sygnał x(t) jest transformatą odwrotną
x(t)= F [X (É)]
Fouriera funkcji X(É)
55
Widmo sygnału
Widmo sygnału
" Wyprowadzenie
"
jkÉ0t
x(t)=
Jeżeli w zespolonym szeregu Fouriera
"X e
k
k =-"
wydÅ‚użymy T0 do ", wtedy kÉ0=k2Ä„/T0 przejdzie w pulsacjÄ™ ciÄ…gÅ‚Ä…É.
ejÉt można traktować wówczas jako zespolonÄ… reprezentacjÄ™
funkcji sinus o pulsacji ÉzmieniajÄ…cej siÄ™ w przedziale w (-", +").
"
1
jÉt
x(t)= X (É)e dÉ
Dlatego odwrotnÄ… transformatÄ™ Fouriera
+"
2Ä„
-"
można traktować jako graniczną postać zespolonego szeregu Fouriera.
CaÅ‚kowanie wzglÄ™dem zmiennej É można uważać za operacjÄ™
granicznÄ… sumowania po wszystkich wartoÅ›ciach É elementarnych
sygnałów harmonicznych ejÉt ważonych przez wartoÅ›ci funkcji X(É).
Funkcja X(É) okreÅ›la wiÄ™c  udziaÅ‚ poszczególnych sygnałów
harmonicznych ejÉt w sygnale x(t)
Funkcja X(É) to gÄ™stość widmowa / widmo sygnaÅ‚u x(t)
56
Widmo sygnału
Widmo sygnału
" Widmo amplitudowe i fazowe
 Widmo sygnału można zapisać w postaci biegunowej
j arg X (É) jÕ(É)
X (É)= X (É)e = A(É)e
X (É) = A(É) - Widmo amplitudowe
arg X (É)= Õ(É)
- Widmo fazowe
57
Widmo sygnału
Widmo sygnału
" Przykład
 Transformata Fouriera
 Sygnał sinusoidalny
É0
malejący wykładniczo
X (É)= X0
2
2
(Ä… + jÉ) + É0
x(t)= X0e-Ä…t sin(É0t)
X (É)
X
0
2Ä…
x(t)
X0
É
0
0
2 2 2 2
Ä„ 2Ä„
t
- É0 -Ä… É0 -Ä…
É0 É0
arg X (É)= Õ(É)
Ä„
-X0
É
0
-Ä„
58
Widmo amplitudowe
Widmo fazowe
Widmo sygnału
Widmo sygnału
" Interpretacja widm:
 Widmo amplitudowe pokazuje jaki udział w sygnale mają
poszczególne jego składowe
 Widmo fazowe pokazuje jakie przesunięcie fazowe mają
poszczególne składowe sygnału
59
Sygnał
Widmo amplitudowe
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
" Zespolony szereg Fouriera
 sygnału dyskretnego, okresowego
 Wyprowadzenie:
Dla sygnału analogowego, zespolony szereg Fouriera ma postać:
"
2Ä„
jkÉ0t
x(t)= É0 =
"X e
k
T0
k =-"
T0
tn = nTs = n
Sygnał jest próbkowany w chwilach
N
Stąd, powstaje sygnał o postaci
n
"
j 2Ä„k
N
x(n)=
"X e
k
k =-"
Jest to nieskończona suma dyskretnych, zespolonych sygnałów
harmonicznych ej2Ąkn/N, k=0, ą1, & , ważonych współczynnikami Xk
60
Szeregi Fouriera
Szeregi Fouriera
" Zespolony szereg Fouriera
 sygnału dyskretnego, okresowego,
o skończonej liczbie próbek N
n
N -1
j2Ä„k
1
N
x(n)=
"X (k)e
N
k =0
gdzie
"
X (k)= N k = 0, & , N-1
"X
k +iN
i=-"
61
Widmo sygnału
Widmo sygnału
" Widmo okresowego sygnału dyskretnego:
 Zbiór współczynników
{X (k): k = 0,& , N -1}
rozwinięcia sygnału w zespolony szereg Fouriera
 Widmo amplitudowe i fazowe
{X (k) = A(k)} - Widmo amplitudowe
" Zbiór
" Zbiór
{arg X (k)= Õ(k)}
- Widmo fazowe
62
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Założenia praktyczne
 Każdy sygnał obserwowany jest w skończonym czasie
(przedziale obserwacji) <0,T>
 Sygnał próbkowany z pewnym okresem Ts, w chwilach
t0=0, t1=Ts, & , tN-1=Ts(N-1)
 Domyślnie zakłada się, że poza przedziałem obserwacji
sygnał a"0
63
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Dyskretne przekształcenie Fouriera (DFT)
 Dla sygnału impulsowego x(n) określonego w chwilach
n=0, 1, & , N-1
k kn
N -1
j 2Ä„ - j2Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
N N
ìÅ‚ ÷Å‚
X =
"x(n)e
ìÅ‚e ÷Å‚
n=0
íÅ‚ Å‚Å‚
 Przekształcenie przyporządkowuje sygnałowi x(n)
funkcjÄ™ okresowÄ… X(ej2Ä„k/N) zmiennej k o okresie N
X(k) jest N-punktowÄ…, dyskretnÄ… transformatÄ…
X (k)= FD[x(n)]
Fouriera sygnału x(n)
= dyskretnym widmem sygnału x(n)
64
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Okresowość widma
k
j 2Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
jÉTs
N
ìÅ‚ ÷Å‚
 X = X(e )
jest funkcjÄ… okresowÄ… zmiennej É
ìÅ‚e ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
o okresie Ts=2Ä„/És (És=czÄ™stotliwość próbkowania)
 W dziedzinie częstotliwości widmo sygnału zostaje
zwielokrotnione w ten sposób, że kopia widma
pierwotnego zostaje umieszczona w każdej całkowitej
wielokrotnoÅ›ci És po obu stronach osi czÄ™stotliwoÅ›ci.
|X(É)|
0
-És És É
65
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Dyskretne odwrotne przekształcenie Fouriera
 Dla widma dyskretnego X(k) określonego dla
k=0, 1, & , N-1
kn
N -1
j 2Ä„
1
N
x(n)=
"X (k)e
N
k =0
 Przekształcenie przyporządkowuje widmu dyskretnemu
X(k) sygnał x(n)
-1
x(n)= FD [X (k)]
Odwrotna dyskretna transformata Fouriera
66
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Ważne uwagi
 Jeżeli sygnał dyskretny x(n) jest sygnałem
impulsowym o czasie trwania N lub jest sygnałem
N-okresowym, to znając N próbek X(k) jego widma,
możemy go na tej podstawie odtworzyć w sposób
jednoznaczny.
" Nie jest możliwe odtworzenie sygnału o nieskończonym
czasie trwania
" Nie jest możliwe odtworzenie sygnału impulsowego
o czasie trwania N0 jeśli obserwowany był w oknie
czasowym o długości N67
Dyskretne przekształcenie Fouriera
Dyskretne przekształcenie Fouriera
" Wstęp do realizacji praktycznej
 W praktyce, najczęstsze zadanie to określić widmo
zmierzonego sygnału
" Metody analityczne wymagajÄ… jawnego, matematycznego
opisu sygnału
 Nawet jeśli jest znany  trudne obliczenia
 Często nie da się go określić
" Metody numeryczne
 Algorytmy wyznaczania dyskretnego przekształcenia Fouriera
M.in. komputery, mikrokontrolery, procesory sygnałowe (DSP)
68
Szybka Transformacja Fouriera - FFT
Szybka Transformacja Fouriera - FFT
" Szybka Transformacja Fouriera
 Fast Fourier Transform  FFT
 Grupa różnorodnych, szybkich algorytmów obliczających
dyskretnÄ… i odwrotnÄ… dyskretnÄ… transformacjÄ™ Fouriera
" Obliczanie DFT zgodnie z definicją wymaga N2 mnożeń
liczb zespolonych i N2 sumowań
" Większość algorytmów szybkich oblicza DFT w Nlog2(N)
mnożeń i Nlog2(N) dodawań
N N2 Nlog2(N)
8 64 24
1024 1048576 10240
65536
4294967296 1048576
1·106
1·1012 ~2·107
69
FFT
FFT
" Algorytm Cooleya-Tukeya
 Najbardziej rozpowszechniony
 Podstawowa wersja wymaga by N=2k
" Wynik otrzymuje się w wyniku mnożeń i dodawań odpowiednio
uporządkowanych próbek sygnałów
" Operacje wykonuje siÄ™ w tzw.  strukturach motylkowych
x0 y0
y0 = x0 + x1wk
2Ä„
wk j
N
w = e
y1 = x0 - x1wk
-wk
x1 y1
70
FFT
FFT
" Algorytm Cooleya-Tukeya
x(n)
X(k)
Im więcej próbek tym więcej warstw  sieci
71
FFT
FFT
" W wyniku obliczenia FFT dla N próbek sygnału
otrzymujemy N zespolonych próbek widma
 W różnych programach stosowane są różne algorytmy
i implementacje
" Należy sprawdzić, w jakiej postaci są otrzymane wyniki
" W LabView  kilka różnych VI
 Zwykle gotowe do prezentacji, odpowiednio przeskalowane
amplitudy, fazy i częstotliwości
" W Matlabie  funkcja widmo=fft(dane)
 Wyniki  surowe , należy wyodrębnić amplitudę i fazę,
przeskalować amplitudy, dopasować częstotliwości itp.
72
FFT
FFT
" Przykład - MATLAB
function [A,F,cz]=m_fft(dane,fp);
%[A,F]=m_fft(dane,f_p);
%wyznaczanie FFT dla danych probkowanych z czestotliwoscia fp [Hz]
%UWAGA! dane podawane w kolumnach!
%A - wektor amplitud, F - wektor faz [°], wektor czestotliwosci [Hz]
t=0:1/fp:(length(dane)-1)*1/fp;
figure;
plot(t',dane);
grid on;
Title('sygnal');
dane_rozm=size(dane);
W=fft(dane);
wyznaczenie FFT
n=length(W);
A=abs(W)/n;
A(2:dane_rozm(1),:)=2*A(2:dane_rozm(1),:);
Mnożenie * 2; z wyjątkiem składowej stałej
A=A(1:ceil(dane_rozm(1)/2),:);
F=phase(W')';
Obcięcie połowy próbek
F=unwrap(F(1:ceil(dane_rozm(1)/2),:));
cz=linspace(0,fp/2-(fp/2/length(A)),length(A));
Wektor częstotliwości w [Hz]
figure
bar(cz,A); %plot(cz,A);
73
FFT
FFT
Sygnał złożony z 4 sygnałów sin
o częstotliwościach 5, 10, 20, 40 Hz
t=0:0.01:(2-0.01);
syg= 0.10+...
0.50*sin(t* 5*pi*2)+...
1.00*sin(t*10*pi*2)+...
0.75*sin(t*20*pi*2)+...
0.25*sin(t*40*pi*2);
m_fft(syg',100);
74
FFT i IFFT
FFT i IFFT
" Widmo sygnału prostokątnego
 Sygnał okresowy, prostokątny
0 T T0 t
 Widmo wyznaczone analitycznie dla sygnału ciągłego
jest nieskończone
|X(É)|
T
T0
2Ä„ 4Ä„
0 É
T T
 Stosując transformatę odwrotną, można odtworzyć
oryginalny sygnał prostokątny
75
FFT i IFFT
FFT i IFFT
" FFT i IFFT sygnału prostokątnego
 Sygnał:
" Okres T0=1s,
" Wypełnienie 50%, T=0.5s
" Częstotliwość próbkowania 100Hz
76
FFT i IFFT
FFT i IFFT
" FFT i IFFT sygnału prostokątnego
 Widmo FFT:
77
FFT i IFFT
FFT i IFFT
" FFT i IFFT sygnału prostokątnego
 Odtwarzanie sygnału na podstawie widma
10 prążków
1 prążek
2 prążki
3 prążki
4 prążki
Odtwarzany sygnał
czas [s]
78
Widmo mocy sygnału
Widmo mocy sygnału
" Moc i energia sygnału
P(tn)= x2(tn)
 Moc sygnału
2
E =
 Energia sygnału
"x (tn)
n
" Twierdzenie Parseval a
N -1 N -1
2 2
"x(t ) = 1"X (Ék )
n
N
n=0 k =0
 Twierdzenie pozwala utożsamiać kwadraty wartości
bezwzględnej składowych transformaty Fouriera
z mocą niesioną przez odpowiadające im składowe
" W praktyce
 Mówiąc o widmie sygnału często chodzi o widmo mocy,
a nie transformatÄ™ Fouriera
79
Widmo mocy sygnału
Widmo mocy sygnału
" Widmo amplitudowe mocy sygnału
 Widmo kwadratu wartości skutecznej sygnału
 Przykład:
" Sygnał złożony (suma) z 3 sygnałów sinusoidalnych
częstotliwość amplituda RMS Amplituda FFT Amplituda widma mocy
2
1
1
ëÅ‚ öÅ‚
= 0,5
10 Hz 1 1 ìÅ‚ ÷Å‚
2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚ = 2
20 Hz 2 2
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
3
3
ëÅ‚ öÅ‚
= 4,5
30 Hz 3 3 ìÅ‚ ÷Å‚
2
2
íÅ‚ Å‚Å‚
4.5
FFT
Widmo mocy
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 10 20 30 40 50
czestotliwosc [Hz]
80
Problem przecieku częstotliwości
Problem przecieku częstotliwości
" Przykład:
Częstotliwości
3 1 5
öÅ‚ öÅ‚
x(t)= sinëÅ‚ Å" 2Ä„t + sinëÅ‚ Å"2Ä„t
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ 1.5 Hz
 Sygnał
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2.5 Hz
 Częstotliwość próbkowania fs=10 Hz
" 5 s·10 Hz 50 próbek sygnaÅ‚u 25 prążków widma dla fe"0
" Kolejne prążki dla: 0, 0.2, 0.4,& , 1.4, 1.6, & , 2.4, 2.6, & 4.8 Hz
" Brak 1.5 i 2.5 Hz  te prążki  przeciekają na sąsiednie częstotliwości
Widmo amplitudowe
Spodziewane widmo amplitudowe
Sygnał
1
1
1.5
0.9
1
0.8
0.8
0.7
0.5
0.6
0.6
0 0.5
0.4
0.4
-0.5
0.3
0.2
0.2
-1
0.1
-1.5 0
0
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Częstotliwość [Hz]
Częstotliwość [Hz]
Czas [s]
81
Problem przecieku częstotliwości
Problem przecieku częstotliwości
" Przykład  c.d.
 Przeskalujemy sygnał mnożąc kolejne próbki przez funkcję:
2Ä„n
öÅ‚
n - nr. próbki
w(n)= 0.53836 - 0.46164cosëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N - liczba próbek
N -1Å‚Å‚
íÅ‚
 Wyznaczamy widmo
" Sąsiednie prążki znacznie niższe przeciek zredukowany
Widmo amplitudowe
Sygnał
1.5 1
1
0.8
0.5
0.6
0
0.4
-0.5
0.2
-1
Sygnal
Sygnal przeskalowany
Funkcja skalujaca
-1.5 0
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
Częstotliwość [Hz]
Czas [s]
82
Problem przecieku częstotliwości
Problem przecieku częstotliwości
" Przykład  c.d.
Nałożone widma amplitudowe
1
Sygal bez okna
Sygnal z oknem
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5
Częstotliwość [Hz]
 Funkcja skalujÄ…ca to tzw. okno Hamminga
 Stosowanie okien pozwala zmniejszyć wpływ przecieku
" Maleją amplitudy listków bocznych
" & ale rośnie szerokość listka głównego
83
Okna czasowe
Okna czasowe
Hamming Gauss
1 1
" Okna czasowe
0.5 0.5
 ProstokÄ…tne
 Hamminga
0 0
Trojkatne Hann
1 1
 Gaussa
 Trójkątne
0.5 0.5
 Hanna
0 0
Kaiser Blackman
 Kaisera
1 1
 Blackmana
0.5 0.5
 I inne&
0 0
Wzory, np. na: pl.wikipedia.org/wiki/Okno_czasowe
 Różnią się
" Kształtem
" Wpływem na kształt widma
 Tłumienie listków bocznych v.s. szerokość listka głównego
84
Rozdzielczość i zakres widma
Rozdzielczość i zakres widma
" Zakres częstotliwości widma
 Zależy od częstotliwości próbkowania
" Większa częstotliwość większy zakres
" Rozdzielczość częstotliwościowa widma
 Zależy od liczby próbek sygnału / czasu obserwacji
" Więcej próbek więcej prążków widma lepsza rozdzielczość
 Jeśli chcemy zwiększyć rozdzielczość widma można:
" Dłużej obserwować sygnał
 Nie zawsze możliwe
" Powielić sygnał
Użyć okien by zachować ciągłość
sygnału / wygładzić przejścia
" Uzupełnić sygnał o wartości 0
w miejscach Å‚Ä…czenia
 Uwaga: spadnÄ… amplitudy w widmie
85
Próbkowanie - teoria
Próbkowanie - teoria
" Problem fundamentalny
 W wyniku próbkowania pozyskujemy informacje
o wartościach sygnału analogowego w chwilach
próbkowania
 Nie zachowujemy bezpośredniej informacji o zachowa-
niu się sygnału pomiędzy tymi chwilami
 Czy można odtworzyć sygnał analogowy na podstawie
informacji zachowanej w jego próbkach?
" Czy, i przy jakich założeniach, znajomość próbek wystarcza do
wyznaczenia wszystkich pozostałych wartości sygnału
pomiędzy chwilami próbkowania?
86
Próbkowanie - teoria
Próbkowanie - teoria
" Problem fundamentalny
 W przypadku ogólnym  nie da się odtworzyć sygnału
na podstawie próbek
10V
0V
t
Ts
 Konieczne są pewne założenia dotyczące:
" Częstotliwości (pasma) sygnału
" Częstotliwości próbkowania
87
Dygresja - pasmo
Dygresja - pasmo
" Pasmo sygnału
 Szerokość pasma - różnica pomiędzy najwyższą
a najniższą częstotliwością występującą w sygnale
" Np. sygnały o paśmie 1kHz
Widma
0
1000 [Hz] 0
500 1000 1500 [Hz]
 W praktyce
" W większości przypadków, można w uproszczeniu przyjąć, że
pasmo to górna granica częstotliwości badanego sygnału
(ponieważ dolna granica to 0 Hz)
" Układy o wąskim paśmie i wysokich częstotliwościach spotyka
się głównie w telekomunikacji
88
Próbkowanie - teoria
Próbkowanie - teoria
" Definicja:
 SygnaÅ‚ x(t) o widmie X(É) nazywamy sygnaÅ‚em
o ograniczonym paśmie, jeżeli istnieje skończona
wartość pulsacji Ém, taka, że X(É)a"0 dla |É|>Ém.
PulsacjÄ™ Ém (czÄ™stotliwość fm=Ém/2Ä„) nazywamy
pulsacją (częstotliwością) graniczną pasma sygnału.
Widmo sygnału
|X(É)|
Ém É
fm
89
Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu
" Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona
(twierdzenie o próbkowaniu):
 Rozważmy dowolny sygnał x(t) o paśmie ograniczonym
pulsacjÄ… Ém
 Jeżeli widmo X(É) sygnaÅ‚u x(t) speÅ‚nia warunek X(É)a"0
dla |É|e"Ém, to sygnaÅ‚ ten można odtworzyć
z pełną dokładnością na podstawie jego próbek
pobieranych z okresem Tsd"Ä„/Ém.
 Twierdzenie zostało sformułowane w 1933r. przez Kotielnikowa
 W 1949r. Shannon dostosował je do zastosowań praktycznych
 Znane także jako twierdzenie Whittakera-Nyquista-Kotelnikova-Shannona
90
Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu
" Następstwa praktyczne:
 Z twierdzenia wynika, że jeśli tylko sygnał
o ograniczonym paśmie jest próbkowany dostatecznie
często, to w zbiorze pobranych próbek zostaje
zachowana o nim pełna informacja
 Przedział Nyquista:
" Ts=Ä„/Ém  najwiÄ™kszy okres próbkowania, przy którym
twierdzenie o próbkowaniu jest spełnione
 Warunek Nyquista:
" Tsd"Ä„/Ém  każdy okres próbkowania, speÅ‚niajÄ…cy warunek
Nyquista pozwoli spełnić warunki twierdzenia K-S
91
Twierdzenie o próbkowaniu
Twierdzenie o próbkowaniu
" Następstwa praktyczne:
 Warunek Nyquista:
" Tsd"Ä„/Ém 
ponieważ fs=1/Ts stÄ…d fse"Ém/Ä„
podstawiajÄ…c Ém=2 Ä„fm otrzymujemy
fse"2fm
 Interpretacja i następstwa:
" Sygnał musi być próbkowany z częstotliwością co najmniej
2 razy większą, od szerokości pasma
 np.: sygnał o paśmie 1kHz musi być próbkowany z fs e" 2kHz
 W praktyce zwykle fs jest zauważalnie większe od 2fm
" Najwyższa częstotliwość widziana w widmie jest o połowę
niższa niż częstotliwość próbkowania
 np.: jeśli sygnał był próbkowany z fs=5kHz to największa
częstotliwość w obliczonym widmie to 2,5kHz.
92
Odtwarzanie sygnału analogowego
Odtwarzanie sygnału analogowego
" Wzór interpolacyjny Kotielnikowa-Shannona
 Niech x(t) będzie dowolnym sygnałem, którego widmo
speÅ‚nia warunek X(É)a"0 dla |É|e"Ém.
 Jeżeli sygnaÅ‚ jest próbkowany z okresem Ts=Ä„/Ém
(częstotliwością fs=2fm), to jego wartości między
chwilami próbkowania można odtworzyć na podstawie
próbek x(nTs) zgodnie ze wzorem:
"
m
x(t)=
"x(nT )sin(É (t - nTs))
s
Ém(t - nTs)
n=-"
" W praktyce
 Odtwarzanie z użyciem przetworników C/A
" część wykładu o przetwarzaniu C/A
93
Aliasing
Aliasing
" Przykład w dziedzinie czasu
Sygnał o częstotliwości fsygnału=fm=1.2Hz
Częstotliwość próbkowania fs=1Hz fs<2fm
Problem z jednoznaczną interpretacją próbek
94
Aliasing
Aliasing
" Interpretacja w dziedzinie częstotliwości
 Widma sygnałów dyskretnych są okresowe
" kopia widma pierwotnego zostaje umieszczona
w każdej całkowitej wielokrotności fs
X(É)
1
0
fs É
fs
2
f
fm
Jeśli fm>fs/2 widma nakładają się
Przy odtwarzaniu próbek sygnał będzie miał zniekształcone widmo:
" niektóre częstotliwości będą wzmocnione  błąd aliasingu
" niektóre częstotliwości znikną  błąd ucięcia pasma
95
Aliasing
Aliasing
" Aliasing
 Nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie
próbkowania wynikające z niespełnienia warunku
Nyquista
 Objawia się nakładaniem widm i obecnością w sygnale
składowych o błędnych częstotliwościach
96
Aliasing
Aliasing
" Kwestie praktyczne
 Mierzony sygnał musi spełniać warunek Nyquista
" Sygnał mierzony = sygnał o skończonym czasie trwania
 Zgodnie z kryterium Paleya-Wienera sygnał o skończonym
czasie trwania ma widmo o nieograniczonym paśmie
 Mierzony sygnał obarczony jest szumem
" Szum ma nieograniczone pasmo
 Wniosek
" Czy w tej sytuacji da się realnie spełnić warunek Nyquista?
 RozwiÄ…zanie
" Przed próbkowaniem ograniczyć pasmo sygnału
 Zastosować filtr antyaliasingowy, który odetnie składowe
o wysokich częstotliwościach w sygnale
97
Filtr dolnoprzepustowy
Filtr dolnoprzepustowy
" Idealny filtr dolnoprzepustowy
 Układ, który przetwarza sygnał wejściowy x(t) w sygnał
wyjściowy y(t) w taki sposób, że przenosi bez zmian
wszystkie składowe częstotliwościowe sygnału
wejÅ›ciowego o pulsacji < Ég i usuwa z tego sygnaÅ‚u
skÅ‚adowe o pulsacjach > Ég
 Charakterystyki
|G(É)|
1
amplitudowa
0
-Ég Ég É
arg(G(É))
fazowa
0
-Ég Ég É
98
Filtr dolnoprzepustowy
Filtr dolnoprzepustowy
" Idealny filtr dolnoprzepustowy
 Działanie
|X(É)|
Widmo
amplitudowe
sygnału
0
É
|X(É)|
Charakterystyka
amplitudowa
1
filtru
Ég
0
É
Widmo
|X(É)|
amplitudowe
sygnału
po filtracji
0
Ég
É
99
Filtry
Filtry
" Rodzaje filtrów
 Dolnoprzepustowy
|X(É)|
1
Ég
0
É
 Górnoprzepustowy
|X(É)|
1
Ég
0
É
 Pasmowy
|X(É)|
1
Ég1 Ég2
0
É
 Åšrodkowozaporowy
|X(É)|
1
Ég1 Ég2
0
É
100
Kanał Przetwarzania
Kanał Przetwarzania
" Elementy kanału przetwarzania A/C
1
Przetwornik
A/C
n
t
0
Ég É
Wzmacniacz Filtr antyaliasingowy
Sygnał
Sygnał
analogowy
cyfrowy
Analogowy filtr
dolnoprzepustowy lub pasmowy
Układ kondycjonowania sygnału
(kondycjoner)
101
Rzeczywiste filtry analogowe
Rzeczywiste filtry analogowe
" Nie da się zrealizować filtru idealnego
" Filtr rzeczywisty, analogowy
 Układ o transmitancji:
B(s) b0sn + b1sn-1 +K+ bn+1
H(s)= =
A(s) sn + a1sn-1 +K+ an+1
" Problem  jak dobrać współczynniki a i b?
 Istnieje wiele sposobów
Gotowe narzędzia do projektowania
(np. w Matlabie  Signal Processing Toolbox)
 Najczęściej stosowane filtry
Butterwortha
Czebyszewa 1-go rodzaju
Czebyszewa 2-go rodzaju
Bessela
Eliptyczne (Cauera)
102
Rzeczywiste filtry analogowe
Rzeczywiste filtry analogowe
 Cechy filtrów rzeczywistych
" Nie odcinajÄ… pasma idealnie
 Wyższy rząd = bardziej strome odcięcie
" Nie mają idealnie płaskich charakterystyk
" Wnoszą przesunięcia fazowe
 Wyższy rząd = większe przesunięcie
Porównanie charakterystyk
filtrów 8-go rzędu
103
Rzeczywisty filtr analogowy
Rzeczywisty filtr analogowy
" Wybrane cechy niektórych filtrów:
 Butterwortha
+ Maksymalnie płaska charakterystyka amplitudowa
 Bessela
 Mała stromość charakterystyki amplitudowej
+ Przesunięcie fazowe proporcjonalne do częstotliwości (pożądane np.
przy przetwarzaniu sygnałów skokowych i przy antyaliasingu)
 Czebyszewa I
+ Duża stromość charakterystyki amplitudowej
 Zafalowania charakterystyki amplitudowej w paśmie przenoszenia
 Czebyszewa II
+ Płaska charakterystyka amplitudowa w paśmie przenoszenia
+ Duża stromość charakterystyki amplitudowej
+ Małe przesunięcie fazowe
~ Zafalowania charakterystyki amplitudowej w paśmie zaporowym
 Eliptyczny
+ Płaska charakterystyka amplitudowa w paśmie przenoszenia
+ Duża stromość charakterystyki amplitudowej
+ Małe przesunięcie fazowe
 Zafalowania charakterystyki amplitudowej w paśmie przenoszenia
(mniejsze niż w Czebyszewa I)
104
Rzeczywisty filtr analogowy
Rzeczywisty filtr analogowy
" Realizacja filtru
 Filtry pasywne
" Rezystory, kondensatory, cewki indukcyjne
 Filtry aktywne
" Elementy pasywne
 Rezystory, kondensatory, cewki indukcyjne
" Elementy aktywne (zasilane z zewnętrznego z
ródła)
 Wzmacniacze operacyjne
Vin
Vout
Vout
Vin
Schemat prostego filtru pasywnego RC, Schemat prostego filtru aktywnego,
dolnoprzepustowego dolnoprzepustowego
105
Filtry analogowe i cyfrowe
Filtry analogowe i cyfrowe
" Antyaliasing
 musi być wykonany po analogowej  stronie kanału
przetwarzania, przed próbkowaniem
" Inne operacje filtracji
 mogą być realizowane przez
" filtry analogowe
 Po analogowej  stronie kanału przetwarzania
 Przed filtrem antyaliasingowym
" filtry cyfrowe
 Po cyfrowej  stronie kanału przetwarzania
106
Filtry cyfrowe
Filtry cyfrowe
" Filtr cyfrowy
 Sekwencyjny układ cyfrowy lub algorytm, który ciąg
próbek sygnału dyskretnego podanego na wejście
przekształca w ciąg próbek wyjściowych, zgodnie
z deterministyczną funkcją przejścia
" Funkcja może być
 Liniowa  opisana transmitancjÄ… operatorowÄ… (transformata Z)
B(z) b0 + b1z-1 +K+ bn+1z-n
H(z)= =
A(z) 1+ a1z-1 +K+ an+1z-1
Filtry IIR i FIR
 Nieliniowa
107
Transformata Z
Transformata Z
" Transformata Z - transformata Laurenta
 odpowiednik transformaty Laplace'a (s) stosowany do
opisu i analizy układów dyskretnych
" Wiele własności podobnych jak dla transformaty Laplace a
" Możliwe przejście z opisu transformatą s na z i odwrotnie
" Szczegóły przedmiot  Sterowanie cyfrowe , sem. VI
108
Cyfrowy układ sterowania
Cyfrowy układ sterowania
Sygnały analogowe
Sterowany
Konwersja Konwersja
C/A A/C
obiekt
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów
Sygnały cyfrowe
109
Modelowanie układów sterowania
Modelowanie układów sterowania
" By móc sterować obiektem należy:
 Utworzyć model obiektu
 Wyznaczyć  przepis sterowania
" Utworzyć model sterownika
" Modelowanie układów z częścią analogową
i dyskretnÄ…
 Dyskretyzacja
 Analogizacja
110
Modelowanie układów sterowania
Modelowanie układów sterowania
" Dyskretyzacja
 Obserwacja układu analogowego w dyskretnych
chwilach czasu
 Obiekt wraz z przetwornikami A/C i C/A traktuje siÄ™ jako
całość  zachowuje się jak układ dyskretny
 Modelowanie z użyciem transformaty Z
 Najczęstsze podejście
Obiekt dyskretny
C/A obiekt A/C
Sterownik cyfrowy
111
Modelowanie układów sterowania
Modelowanie układów sterowania
" Analogizacja
 Obserwacja układu dyskretnego w czasie ciągłym
 Układ sterujący wraz z przetwornikami A/C i C/A
traktuje się jako całość  zachowuje się jak układ
analogowy
 Modelowanie z użyciem transformaty s
 Bardziej złożone i trudniejsze
obiekt
C/A A/C
Sterownik cyfrowy
Analogowy układ sterowania
112
Problemy w przetwarzaniu A/C i C/A
Problemy w przetwarzaniu A/C i C/A
" Problemy w przetwarzaniu  retrospekcja i uzupełnienie
 Skończony czas trwania sygnału i szumy
nieograniczone pasmo sygnału
aliasing i obcięcie pasma
 Nierealizowalność idealnego filtru dolnoprzepustowego
 Skończona dokładność cyfrowej reprezentacji próbek
(kwantowania)
 Losowy rozrzut rzeczywistych chwil pobierania próbek
wokół chwil teoretycznych nT (jitter czasowy)
 Nieliniowość przetworników
 Szumy
113
Szumy
Szumy
" Szum w przetwarzaniu sygnałów
 Niepożądany sygnał zakłócający sygnał właściwy
" Szum addytywny (dodaje się do sygnału)
 Każdy pomiar obarczony jest szumem
" Przykładowe przyczyny i z
ródła szumu
 Zakłócenia przenoszące się z sieci elektrycznej zasilającej układy
pomiarowe
 Zakłócenia elektromagnetyczne oddziałujące na przewody
w układzie pomiarowym
 Szum termiczny zwiÄ…zany z chaotycznym ruchem cieplnym
elektronów w elementach elektronicznych
 Szum kwantyzacji zwiÄ…zany z zaokrÄ…gleniami w przetwornikach
A/C
 Zakłócenia oddziałujące bezpośrednio na badane zjawisko (np.
drgania podłoża, wiatr, fale elektromagnetyczne)
 I inne& .
114
Szumy
Szumy
" Sygnał szumu
 Opisywany jest parametrami stochastycznymi (rozkład
prawdopodobieństwa, wartość skuteczna) i widmowymi
(rozkład widma)
 Podstawowe rodzaje szumu:
" Szum biały
" Szum różowy
" Inne
 Szum czerwony
 Szum szary
 Szum niebieski
 inne
115
Szumy
Szumy
" Szum biały
 Rozkład gaussowski
 Nieskończone, płaskie widmo amplitudowe
" W praktyce przyjmuje się, że jest stałe w określonym zakresie
częstotliwości
f
" Szum różowy
 Widmo opadajÄ…ce 1/f
" Spadek 10dB/okt
f
116
Szumy
Szumy
" Szum  dobry czy zły?
 Gdy mierzymy  szum zwykle jest niepożądany
" Zakłóca pomiar
 Szum może być przydatny
" Np. w:
 Testach urządzeń
 Identyfikacji parametrów obiektów
" Szum pozwala dobrze  pobudzić badany obiekt
" Wygenerowanie odpowiedniego szumu (zbliżonego do
idealnego) jest trudne
117
Stosunek sygnału do szumu
Stosunek sygnału do szumu
" Stosunek sygnału do szumu
 signal-to-noise ratio  SNR
 Stosunek mocy sygnału (informacji użytecznej) do mocy szumu
zakłócającego sygnał
Psygnal
SNR =
Pszum
 Stosunek >1:1 oznacza, że sygnał ma większą moc niż szum
 Bardzo ważny parametr sprzętu pomiarowego i audio
" Im wyższe SNR tym lepiej
" Gdy szum jest zbyt mocny (niski SNR) pomiar jest silnie zakłócony
i odczytanie rzeczywistej wartości mierzonego parametru może być
niemożliwe
118
Przeciwdziałanie szumom
Przeciwdziałanie szumom
" Przeciwdziałanie szumom w systemach
pomiarowych, przykłady:
 Filtracja sygnału
 Uśrednianie sygnału
" Wyznaczanie średniej z wielu pomiarów
 Stosowanie ekranowanych przewodów
 Stosowanie różnicowego przesyłania sygnału
 Odpowiednie projektowanie układów elektronicznych
 &
119
Przetwarzanie sygnałów
Przetwarzanie sygnałów
podsumowanie
podsumowanie
" Najczęstsze operacje
 Przetwarzanie A/C i C/A
" Kwantyzacja
 Wyznaczanie parametrów sygnału
" Åšrednia, amplituda, itp.
 Wyznaczanie częstotliwości / widma sygnału
" DFT / FFT
 Stosowanie okien
 Filtrowanie sygnałów
 Wyznaczanie zależności pomiędzy sygnałami
" Korelacja
 Kompresja / dekompresja sygnału
" Zwłaszcza dz
więku i obrazu
120
Korelacja sygnałów
Korelacja sygnałów
" Korelacja sygnałów
 Miara podobieństwa sygnałów
 Różne sposoby wyznaczania
" Najczęściej - współczynnik korelacji liniowej Pearsona
-1  zupełna korelacja ujemna
0  brak korelacji
+1  zupełna korelacja dodatnia
 Korelacja wzajemna
" Dotyczy dwóch szeregów czasowych przesuniętych o "t
względem siebie, w zależności od wartości "t
 Autokorelacja
" Dotyczy tego samego szeregu czasowego
121
Oprogramowanie
Oprogramowanie
" Oprogramowanie inżynierskie:
 MATLAB
" Signal Processing Toolbox
 LabView
 Inne
" Specjalistyczne oprogramowanie np. do projektowania filtrów
" Języki programowania:
 Gotowe biblioteki funkcji
" W szczególności dla języków
 C / C++
 Fortran
 Assembler (różne)  zwłaszcza dla procesorów DSP
122