Metody operatorowe analizy
obwodów SLS
czyli
czyli
wszystko staje siÄ™ Å‚atwiejsze
Prawa Kirchhoffa w postaci operatorowej
I prawo Kirchhoffa
W każdym węz
le
1
Å„Å‚
ôÅ‚
ak =
( )
òÅ‚
"a ik t = 0
k
ôÅ‚-1
k"K
ół
K  zbiór gałęzi incydentnych
z wybranym węzłem
Å„Å‚
LòÅ‚
( )üÅ‚
żł
"a ik t þÅ‚ = 0
k
ółk"K
( ) ( ) ( )
{ } { }
"a L ik t = 0, L ik t = Ik s
k
k"K
W każdym węz
le obwodu algebraiczna
( )
"a Ik s = 0
k
suma transformat prądów jest równa 0
k"K
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
i2 t I2 s
( ) ( )
i1 t I1 s
( ) ( )
i3 t
( ) I3 s
( )
-i1 t + i2 t - i3 t = 0 -I1 s + I2 s - I3 s = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
II prawo Kirchhoffa
W każdym oczku
1
Å„Å‚
ôÅ‚
( )
"b uk t = 0
k bk =
òÅ‚
k"L
ôÅ‚-1
ół
L  zbiór gałęzi tworzących
wybrane oczko
Å„Å‚
Å„Å‚
LòÅ‚
( )üÅ‚
( )üÅ‚
żł
"
"b uk t þÅ‚ = 0
k
ółk"L
( ) ( ) ( )
{ } { }
"b L uk t = 0, L uk t = Uk s
k
k"L
W każdym oczku w obwodzie algebraiczna
( )
suma transformat napięć na gałęziach
"b Uk s = 0
k
tworzących to oczko jest równa 0
k"L
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
u2 t U2 s
( ) ( )
U3 s
u3 t U1 s
u1 t ( ) ( )
( )
( )
u4 t U4 s
( ) ( )
-u1 t + u2 t - u3 t + u4 t = 0 -U1 s +U2 s -U3 s +U4 s = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Prawo Ohma
Rezystor
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
i t R I s R
( ) ( )
u t U s
u t U s
( ) ( )
( ) ( )
u t = Ri t U s = RI s
( ) ( ) ( ) ( )
i t = Gu t I s = GU s
( ) ( ) ( ) ( )
L u t = L Ri t
( ) ( )
{ } { }
Induktor
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
LiL 0 -
( )
L
I s
( )
i t
L
( ) iL 0 -
( )
U s
( )
U s = sLI s - LiL 0 -
( ) ( ) ( )
u t
( )
di
iL 0-
( )
u t = L
( )
s
dt
I s
( )
L
di
L u t = L L =
( )
{ }
{ }
dt
U s
( )
iL 0 -
( )
1
= sLL i t - LiL 0 -
( ) ( )
{ }
I s = U s +
( ) ( )
sL s
Kondensator
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
CuC 0 -
( )
I s
( )
uC 0 -
( )
C
i t
( )
U s
( )
u t
( )
I s = sCU s - Cu 0 -
I s = sCU s - CuC 0 -
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
du
i t = C
( )
dt
uC 0-
( )
s
C
I s
( )
du
L i t = L C =
( )
{ }
{ } U s
( )
dt
uC 0 -
( )
= sCL u t - CuC 0 -
( ) ( ) 1
{ }
U s = I s +
( ) ( )
sC s
y
ródła autonomiczne
Schemat obwodu Operatorowy schemat zastępczy
e t E s
( ) ( )
E s = L e t
E s = L e t
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
iz t Iz s
( ) ( )
Iz s = L iz t
( ) ( )
{ }
Stany nieustalone w obwodach RLC
Przykład 1.
iL(0 )
R L
i t
( )
uC(0 )
t = 0
+
u t
( )
E0
C
R0
1
E0 = 6 V = const, R = 2&!, R0 = 1&!, L = 1H, C = F.
2
u t = ? i t = ?
( ) ( )
Warunki poczÄ…tkowe:
E0 R0
iL 0 - = = 2 A, uC 0 - = E0 = 2 V.
( ) ( )
R + R0 R + R0
Konstruujemy operatorowy schemat zastępczy
LiL 0 -)
(
R L
I s
( )
1
I s
( )
C
RI(s) sLI(s)
sC
E s
( )
U s
( )
uc 0-)
(
s
uC 0 -
uC 0 -
( )
( )
1
1
-E s + RI s + sLI s - Li 0 - + I s + = 0
-E s + RI s + sLI s - LiL 0 - + I s + = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sC s
E0
E s =
( )
s
uC 0 -
E0 ( )
+ LiL 0 - -
( )
uC 0 -
( )
1
s s
I s = , U s = I s +
( ) ( ) ( )
1 sC s
sL + R +
sC
Po podstawieniu danych liczbowych
2s + 4 s +1 1
I s = = 2 + 2
( )
2 2
s2 + 2s + 2
s +1 +1 s +1 +1
( ) ( )
2s2 + 8s +12 6 s +1
U s = = - 4
( )
2
s
s s2 + 2s + 2
s +1 +1
( )
( )
Transformaty odwrotne są odpowiednio równe
i t = 2e-t cost + sint 1 t A,
( ) ( ) ( )
u t = 6 - 4e-t cost 1 t V.
( ) ( )
( )
Przykład 2.
i t
( )
Iz0 = 3A = const,
t = 0
R1 = 1&!,
R2
R2 = 2&!,
+
Iz0
R1
C
1
L = H,
2
L
C = 1F.
C = 1F.
i t = ?
( )
Warunki poczÄ…tkowe:
uC 0 - = R1Iz0 = 3V, iL 0 - = 0
( ) ( )
Operatorowy schemat zastępczy
I s
( )
I1 s
( )
I2 s
( )
R2
Iz s CuC 0 -
( )
R1 ( ) U s
C ( )
L
Iz0
Iz s =
( )
s
1
I1 s = U s
( ) ( )
R1
I2 s = sCU s
( ) ( )
1
U s = R2I s + sLI s Ò! I s = U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
sL + R2
Iz0
- + I1 s + I2 s - CuC 0 - + I s = 0
( ) ( ) ( ) ( )
s
Iz0 1
1
- + U s + sCU s - CuC 0 - + U s = 0
( ) ( ) ( ) ( )
s R1 sL + R2
Iz0
+ CuC 0 -
( )
s
U s =
( )
1 1
sC + +
R1 sL + R2
Iz0
+ CuC 0 -
( )
1 1
s
I s = U s =
I s = U s =
( ) ( )
( ) ( )
sL + R sL + R 1 1
sL + R2 sL + R2 sC + 1 1
+
R1 sL + R2
Po podstawieniu danych liczbowych i uporzÄ…dkowaniu
6 s +1
( )
1 3 4
I s = = + -
( )
s s + 2 s + 3
s s2 + 5s + 6
( )
i t = L-1 I s = 1+ 3e-2t - 4e-3t 1 t A.
( ) ( ) ( )
{ } ( )
Przykład 3.
C
R1
I3(s)
I1(s)
C
R1
I2(s)
U1(s)
U s
( )
E s L R2
( )
e t
( )
u t
( )
L R2
e(t), V e t = 2Å"1 t - 2t Å"1 t + 2 t -1 1 t -1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2s - 2 + 2e
2s - 2 + 2e-s
2
E s =
E s =
( )
( )
s2
U1 s = E s -U s üÅ‚
( ) ( ) ( )ôÅ‚
E s -U s
( ) ( )
t, s
I1 s =
( )
1
1
U1 s = R1I1 s + I1 s
( ) ( ) ( )żł
ôÅ‚ R1 +
1
sC þÅ‚
sC
R1 = 1&!, R2 = 1&!,
1
I2 s = U s
( ) ( )
1 1 sL
L = H, C = F.
2 2
1
I3 s = U s
( ) ( )
u t = ?
( )
R2
-I1 s + I2 s + I3 s = 0
( ) ( ) ( )
E s -U s
( ) ( )
1 1
- + U s + U s = 0
( ) ( )
1 sL R2
R1 +
sC
E s
( )
1
R1 +
s -1+ e-s
sC
U s = =
( )
1 1 1
s2 + 4s + 8
+ +
sL R2 R1 + 1
R1 +
sC
sC
s + 2 3 2 1 2
U s = - + e-s
( )
2 2 2
2 2
s + 2 + 4 s + 2 + 4 s + 2 + 4
( ) ( ) ( )
3 1
u t = e-2t cos 2t - sin 2t 1 t + e-2(t-1) sin 2 t -1 1 t -1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
u t
( ), V
1
t
, s
1
Funkcje immitancji
Dwójnik
I s
( )
\" Y s  funkcja admitancji dwójnika
( )
U s
( )
U s
( )
\" Z s  funkcja impedancji dwójnika
( )
I s
( )
-1 -1
Z s = Y s Y s = Z s
( ) ( ) ( ) ( )
Prawo Ohma w postaci operatorowej
Z s Y s
( ), ( )
I s
( )
U s
( )
U s = Z s I s I s = Y s U s
U s = Z s I s I s = Y s U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rezystor
Z s = R
( )
U s = RI s
( ) ( )
Y s = G
( )
I s = GU s , G = R-1
( ) ( )
Induktor
L
I s
( )
U s
( )
Z s = sL
( )
U s = sLI s
( ) ( )
1
Y s =
( )
1
sL
I s = U s
( ) ( )
sL
Kondensator
C
I s
( )
Y s = sC
( )
U s
( )
I s = sCU s
( ) ( )
1
Z s =
( )
1
sC
U s = I s
( ) ( )
sC
A
ączenie dwójników
Połączenie szeregowe
Z s
( )
Z1 s Z2 s
( ) ( )
I s I1 s I2 s
( ) ( ) ( )
U2 s
U1 s ( )
( )
U s
( )
U1 s = Z1 s I1 s , U2 s = Z2 s I2 s , I1 s = I2 s = I s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
U s = U1 s +U2 s = îÅ‚Z1 s + Z2 s Å‚Å‚ I s = Z s I s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )
ðÅ‚
Z s = Z1 s + Z2 s
( ) ( ) ( )
Połączenie równoległe
Y s
( )
I s
( )
I1 s I2 s
( ) ( )
Y1 s
U s ( ) U1 s Y2 s U2 s
( ) ( ) ( ) ( )
I1 s = Y1 s U1 s , I2 s = Y2 s U2 s , U1 s = U2 s = U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I s = I1 s + I2 s = îÅ‚Y1 s + Y2 s Å‚Å‚U s = Y s U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )
ðÅ‚
Y s = Y1 s + Y2 s
( ) ( ) ( )
Przykład 1.
R L
R = 5&!, L = 1H.
1 1 1
Z s = sL + R = s + 5, Y s = = = .
( ) ( )
sL + R s + 5
Z s
( )
Przykład 2.
R
1
R = &!, C = 1F.
2
C
1 1 1 1
Y s = sC + = s + 2, Z s = = = .
( ) ( )
R 1 s + 2
Y s
( )
sC +
R
Przykład 3.
C
R1 =1&!,
R1
L
R2 = 4&!,
L = 2 H,
1
C = F.
4
R2
1
Z s = sL + R1 + =
Z s = sL + R1 + =
( )
( )
1
1
sC +
R2
s2LCR2 + s L + R1R2C + R1 + R2 2s2 + 3s + 5
( )
= =
sCR2 +1 s +1
1 s +1
Y s = =
( )
Z s
2s2 + 3s + 5
( )
Przykład 4.
C1
R1
C2
R1 = 2&!, R2 = 1&!,
L1
L1 = 1H, L2 = 2 H,
C1 =1F, C2 =1F.
L2 R2
1 1 s4 + 5s3 + 5s2 + 3s +1
1 1 s4 + 5s3 + 5s2 + 3s +1
Y s = + =
( )
( )
sL2 + R2 1 1
s +1 2s3 + 2s2 + 2s +1
( )
( )
+
sC2 1 1
+
sL1 R1 + 1
sC1
s +1 2s3 + 2s2 + 2s +1
( )
( )
1
Z s = =
( )
Y s
s4 + 5s3 + 5s2 + 3s +1
( )
Przykład 5.
L1
L2
L1 = L2 =1H,
C1
C2
C3
C1 = C2 = C3 = 1F.
1 s5 + 4s3 + 3s
1 s5 + 4s3 + 3s
Y s = sC1 + =
( )
( )
1
s4 + 3s2 +1
sL1 +
1
sC2 +
1
sL2 +
sC3
1 s4 + 3s2 +1
Z s = =
( )
Y s
s5 + 4s3 + 3s
( )
Z s = s + 5
( )
1
Z s =
( )
s + 2
s +1
Y s =
( ) Rzeczywiste wymierne
2s2 + 3s + 5
funkcje zmiennej
s4 + 5s3 + 5s2 + 3s +1
zespolonej s
Y s =
( )
s +1 2s3 + 2s2 + 2s +1
( )
( )
s4 + 3s2 +1
Z s =
( )
s5 + 4s3 + 3s
Funkcje rzeczywiste dodatnie
Re s e" 0 Ò! Re F s e" 0
{ } ( )
{ }
Dzielnik napięcia
Z1 s
( )
I s
( )
U s
( )
E s Z2 s
( ) ( )
E s
( )
I s = , U s = Z s I s ,
I s = , U s = Z2 s I s ,
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Z1 s + Z2 s
+
( ) ( )
( ) ( )
Z2 s Y1 s
( ) ( )
U s = E s = E s
( ) ( ) ( )
Z1 s + Z2 s Y1 s + Y2 s
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
Y1 s = , Y2 s =
( ) ( )
Z1 s Z2 s
( ) ( )
Dzielnik prÄ…du
I1 s I2 s
( ) ( )
Iz s
( )
U s
Y2 ( )
Y1 (s)
(s)
Iz s
( )
U s = , I1 s = Y1 s U s , I2 s = Y2 s U s
U s = , I1 s = Y1 s U s , I2 s = Y2 s U s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y s + Y s
Y1 s + Y2 s
( ) ( )
( ) ( )
Y1 s Z2 s
( ) ( )
I1 s = Iz s = Iz s
( ) ( ) ( )
Y1 s + Y2 s Z1 s + Z2 s
( ) ( ) ( ) ( )
Y2 s Z1 s
( ) ( )
I2 s = Iz s = Iz s
( ) ( ) ( )
Y1 s + Y2 s Z1 s + Z2 s
( ) ( ) ( ) ( )
Przykład 6.
E0 = 3V = const,
0
R1 = 2&!, R2 = 1&!,
u t = ?
( )
1
L = 2 H, C = F.
4
Warunki poczÄ…tkowe
iL 0 - = 0
( )
uC 0 - = 0
( )
Z1 s
( )
Z2 s
( )
R1
L
E0
R2
C
U s
( )
s
1
1
1
sC +
sC +
Z2 s
( ) E0 R2
U s = = =
( )
s 1
Z1 s + Z2 s
( ) ( )
sL + R1 +
1
sC +
R2
6 3 2
= = 1- +
s + 2 s + 3
s s + 2 s + 3
( )( )
u t = 1- 3e-2t + 2e-3t 1 t V.
( ) ( )
( )
Twierdzenie o superpozycji
p1 t
( )
r t
( )
Obwód
r t = r1 t + r2 t
( ) ( ) ( )
SLS
p2 t
( )
gdzie
r2 t
( )
p1 t
( ) = 0
Obwód
SLS
p2 t
( )
Wyłączanie pobudzeń:
autonomiczne z
ródła napięciowe usuwamy z obwodu
i zwieramy zaciski do których było ono dołączone;
autonomiczne z
ródła prądowe usuwamy z obwodu
i pozostawiamy rozwarte zaciski do których było ono dołączone.
Nie wolno usuwać z
ródeł sterowanych  to nie są pobudzenia!
Przykład 7.
R2
C
L
e t
( )
u t iz t
R1 ( ) ( )
e t = 5sin 2t Å"1 t V, iz t = 2e-t1 t ,
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
R1 =1&!, R2 =1&!, L = H, C = F.
2 2
u t = ?
( )
Warunki poczÄ…tkowe: iL 0 - = 0, uC 0 - = 0.
( ) ( )
iz(t) = 0
R2 C
R2
C
L
L
Ì!
e t
( ) E s R1
u1 t ( )
R1 ( ) U1 s
( )
10
10
E s = L e t =
E s = L e t =
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
s2 + 4
R1
5s2 +10s + 20 -s + 4 s + 3
U1 s = E s = = +
( ) ( )
1
s2 + 4 s2 + 2s + 2
s2 + 4 s2 + 2s + 2
( )( )
R1 +
1 1
+
sL 1
R2 +
sC
îÅ‚
u1 t =
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚2sin 2t - cos2t + e-t cost + 2sint Å‚Å‚1 t
e(t) = 0
R2
C
C
L
Ì! R1 R2
Iz s
L ( )
U2 s
( )
u t iz t
R1 ( ) ( )
2
2
I s = L i t =
Iz s = L iz t =
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
s +1
+
R2Iz s
( )
1 s2 1 2
U2 s = = = -
( )
1 1 1 1 s +1
s2 + 2s + 2
s +1 s2 + 2s + 2
( )
( )
R2 + + +
sC 1 1 R1 sL
+
R1 sL
u2 t = e-t - 2e-t sin t 1 t
( ) ( )
( )
u t = u1 t + u2 t = 2sin 2t - cos 2t + e-t + e-t cost 1 t
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Co zyskujemy:
1. Prostsze układanie równań
2. A
atwiejsze obliczanie transformaty odwrotnej
Przy analizie całego układu
s4 + 5s3 +19s2 + 30s + 20
U s =
( )
s +1 s2 + 4 s2 + 2s + 2
( )
( )( )
Twierdzenie Thévenina i Nortona
ZT s
( )
A
Twierdzenie
ET s
( )
T
Thévenina
Thévenina
A
SLS
B
E(s), Iz(s)
A
iL(0-), uC(0-)
B
Twierdzenie
IN s
( ) YN s
( )
Nortona
B
ZT s
( )
A
A
SLS
U0 s ET s
U0 s ET s ( ) = ( )
( ) ( )
E(s), Iz(s)
iL(0-), uC(0-)
B B
ZT s
( )
A
A
SLS
ET s
( )
Izw s
( ) ET s Izw s =
( )
( )
E(s), Iz(s)
ZT s
( )
iL(0-), uC(0-)
B
B
U0 s
( )
ET s = U0 s ZT s =
( ) ( ) ( )
Izw s
( )
A A
SLS
IN s
( )
U0 s
( )
IN s
Iz s ( )
E(s), ( ) YN s
( ) U0 =
YN s
( )
iL(0-), uC(0-)
B B
A A
SLS
Izw s IN s
IN s ( ) = ( )
Iz s Izw s ( )
E(s), ( ) ( ) YN s
( )
iL(0-), uC(0-)
B B
Izw s
( )
IN s = Izw s YN s =
( ) ( ) ( )
U0 s
( )
ET s
( )
A
I s
( ) = 0
SLS
U(s) = ET(s)
E(s), Iz(s)
Z0 s
( )
iL(0-), uC(0-)
B
A
I0 s
( )
SLS
E(s), Iz(s)
Z0 s
( )
+
iL(0-), uC(0-)
B
ZT s
( )
A
I0 s
( )
Ò!
ET s
( )
Z0 s
( )
B
ZT s
( )
Ð!
YN s
( )
1
YN s =
( )
ZT s
( )
Nie usuwamy z układu z
ródeł sterowanych!!!
Z s
( )
Iz s
( )
Y s
( )
E s
( )
Iz s E s
( ) ( )
E s = Iz s =
( ) ( )
Y s Z s
( ) ( )
Ð! Ò!
1 1
Z s = Y s =
( ) ( )
Y s Z s
( ) ( )
Przykład 8.
R1
R2
e t = e-t1 t V,
( ) ( )
i t
( )
1
R1 = &!, R2 = 2&!,
2
e t
( )
C L
C = 2 F, L = 1H.
i t = ?
( )
Warunki poczÄ…tkowe: uC 0 - = 0, iL 0 - = 0.
( ) ( )
R1
R2
1
1
sC
ET s = E s =
( ) ( )
2
1
s +1
( )
R1 +
E s
( ) C
sC
1 4s + 5
ZT s = R2 + =
( )
1 2s + 2
sC +
R1
1
E s =
( )
s +1
ZT s
( )
I s
( )
ET s
( ) L
ET s
( )
1 2 2s + 4
I s = = = - =
( )
s +1 5
5
5
ZT s + sL
ZT s + sL
( )
( )
s + 3s +
s2 + 3s +
s +1 s + 3s +
s +1 s2 + 3s +
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
3 1
s +
2
2 2
= - 2 - 2
2 2
s +1
3 1 3 1
s + + s + +
( ) ( )
2 4 2 4
îÅ‚e-t - e- 3t cos t + sin t Å‚Å‚1 t A.
1 1
2
i t = 2
( ) ( )
( )
ïÅ‚ śł
2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Metoda napięć węzłowych
uC 0 -)
(
+
Iz0 = 6 A = const,
C
R1 =1&!, R2 =1&!, R3 = 2&!,
iL 0 -) i t
(
( )
1 1
L = H, C = F.
2 2
L
R1
u t = ? i t = ?
( ) ( )
t = 0
Iz0
R3
u t
( )
R2
iL 0 - = Iz0 = 6 A,
( )
uC 0 - = R1Iz0 = 6 V.
( )
CuC 0 -
( )
iL 0 -
( )
s
C
R1
I s
( )
2 3
1
Iz0 Un1 s
( )R
L
U s
Un2 s R3 ( )
( )
2
s
Un3 s
( )
Iz0 1
- + Un1 -Un2 + sC Un1 -Un3 - CuC 0 - = 0
1. ( ) ( ) ( )
s R1
iL 0 -
( )
1 1 1
2. - Un1 -Un2 + Un2 + Un2 -Un3 + = 0
( ) ( )
R1 R2 sL s
iL 0 -
( )
1 1
- Un2 -Un3 - - sC Un1 -Un3 + CuC 0 - + Un3 = 0
3. ( ) ( ) ( )
sL s R3
Iz0
ëÅ‚ öÅ‚U s - Un2 s - sCUn3 s =
1 1
sC + + CuC 0 -
( ) ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
R1 Å‚Å‚ n1 R1 s
íÅ‚
( )
ëÅ‚ öÅ‚U s - Un3 s = - iL 0 -
1 1 1 1 1
- Un1 s + + +
( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚ n2
R1 R1 R2 sL sL s
íÅ‚ Å‚Å‚
( )
( )
ëÅ‚ öÅ‚U s = iL 0 - - CuC 0 -
1 1 1
-sCUn1 s - Un2 s + sC + +
( ) ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚ n3
sL R3 sL s
íÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
Iz0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
+ CuC 0 -
( )
- -sC
ïÅ‚sC + R1 śł
ïÅ‚ śł
s
R1
ïÅ‚ śł îÅ‚Un1 s Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł
iL 0 -
( )
ïÅ‚ śł ïÅ‚U s = ïÅ‚
1 1 1 1 1
śł
- + + - -
( )śł
n2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
R1 R1 R2 sL sL s
ïÅ‚ śł ïÅ‚
( )śł ïÅ‚i 0 - śł
n3
ðÅ‚U s ûÅ‚
( )
1 1 1
L
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
-sC - sC + +
- CuC 0 -
( )śł
sL R3 sL
ïÅ‚ śł
s
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
CuC 0 -
( )
U s = Un3 s
( ) ( )
iL 0 -
( )
( )
1
I s = îÅ‚Un2 s -Un3 s Å‚Å‚ +
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
sL s
iL 0 -)
(
s
R1 C
I s
( )
Iz0 Un1 s
( )R
L
U s
Un2 s R3 ( )
( )
2
s
Un3 s
( )
îÅ‚1 Å‚Å‚
1 6
îÅ‚
-1 - s + 3Å‚Å‚
ïÅ‚2 s +1 śł
ïÅ‚ śł
2 s
îÅ‚Un1 s Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł
śł
ïÅ‚U s = ïÅ‚ - 6
2 2
ïÅ‚ śł
-1 + 2 -
( )śł ïÅ‚ śł
n2
ïÅ‚ śł
s s s
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
( )śł ïÅ‚6 śł
n3
ïÅ‚ śł ðÅ‚U s ûÅ‚
1 2 1 1 2
ïÅ‚
- s - s + + - 3śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
2 s 2 2 s s
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
3s2 + 6s +12 6s2 +12s +12
Un2 s = Un3 s =
( ) ( )
s s2 + 2s + 3 s s2 + 2s + 3
( ) ( )
4 2s + 4 4 s +1 2
U s = Un3 s = + = + 2 + 2
U s = Un3 s = + = + 2 + 2
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
s s
s s
s2 + 2s + 3
s2 + 2s + 3
s +1 + 2 s +1 + 2
s +1 + 2 s +1 + 2
( ) ( )
( ) ( )
iL 0 -
( )
1 6s2 + 6s + 6
I s = îÅ‚Un2 s -Un3 s Å‚Å‚ + = =
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
sL s
s s2 + 2s + 3
( )
2 4s + 2 2 s +1 2
= + = + 4 - 2
2 2
s s
s2 + 2s + 3
s +1 + 2 s +1 + 2
( ) ( )
îÅ‚4
u t = + e-t 2cos 2 t + 2 sin 2 t
( ) ( )
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚1 t V,
îÅ‚2
i t = + e-t 4cos 2 t - 2 sin 2 t
( ) ( )
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚1 t A.
Yn s Un s = In s
( ) ( ) ( )
Ykk, (Ymm)  suma admitancji gałęzi incydentnych z węzłem k, (m)
Ymk, Ykm  suma admitancji gałęzi łączących węzły k i m
wzięta ze znakiem minus
Układ RLC, iz
t
Ykm s = Ymk s , czyli Yn s = Yn s
( ) ( ) ( ) ( )
Algebraiczna suma transformat
prądów z
ródłowych (wydajności
prÄ…dowych z
ródeł prądowych)
Ink s
( )
k dopływających do węzła k, przy
dopływających do węzła k, przy
nk
czym prądy dopływające
In
(s) =
bierzemy ze znakiem plus,
a wypływające ze znakiem minus
Przykład 1.
R1
L
i t
( )
t = 0
+ +
iz t
e t ( )
( )
C1 u t
( ) C2
R2
e t = 5sin t V, iz t = Iz0 = 2 A = const,
( ) ( )
z z0
1
R1 = R2 =1&!, C1 = C2 = F, L = 2 H.
2
i t = ? u t = ?
( ) ( )
Warunki poczÄ…tkowe:
iL 0 - = 0, uC 0 - = uC 0 - = R2Iz0 = 2V.
( ) ( ) ( )
1 2
R1
L
I s 1
( ) 2
Iz0
E s U s
( ) C1 ( )
C2
R2
s
5 C1uC 0 - C2uC 0 -
( ) ( )
1 2
E s =
( )
s2 +1
îÅ‚ E s Å‚Å‚
îÅ‚ E s Å‚Å‚
1 1 1
1 1 1
( )
( )
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚sC + + Å‚Å‚
-
+ C1uC 0 -
1 ( )śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
1
R1 sL sL îÅ‚Un1 s Å‚Å‚
( )
R1
śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U s = ïÅ‚
1 1 1
( )śł ïÅ‚
Iz0
n 2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚ śł
- sC2 + +
C2uC 0 - +
( )
sL R2 sL
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
2
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ s ûÅ‚
U s = Un 2 s
( ) ( )
1
I s = îÅ‚E s -Un1 s Å‚Å‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
R1 ðÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 s2 + 6
îÅ‚ Å‚Å‚
s +1+ -
îÅ‚Un1 s Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
( )
ïÅ‚ śł
2 2s 2s
s2 +1
ïÅ‚U s =
śł
ïÅ‚ śł
1 1 1
( )śł ïÅ‚
s + 2
n 2
ðÅ‚ ûÅ‚
- s +1+ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 2s 2 2s ûÅ‚
ðÅ‚ s ûÅ‚
2s5 + 4s4 +16s3 + 28s2 +14s + 4
Un1 s =
( )
s s + 2 s2 +1 s2 + 2s + 2
( )
( )( )
2s5 + 8s4 +14s3 +12s2 + 22s + 4
2s5 + 8s4 +14s3 +12s2 + 22s + 4
Un 2 s =
( )
( )
s s + 2 s2 +1 s2 + 2s + 2
( )
( )( )
1 2s 2 s + 6
U s = Un2 s = - + +
( ) ( )
s s + 2
s2 +1 s2 + 2s + 2
îÅ‚
u t =
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚1- 2cost + 2e-2t + e-t cost + 5sin t Å‚Å‚1 t V.
s - 2 2s -1 s3 + 2s2 + 2s + 2
( )( )
( )
1
I s = îÅ‚E s -Un1 s Å‚Å‚ = - =
( ) ( ) ( )ûÅ‚
R1 ðÅ‚
s s + 2 s2 +1 s2 + 2s + 2
( )
( )( )
1 1 2 s + 6
= - + - +
s s + 2
s2 +1 s2 + 2s + 2
îÅ‚-1+ sin t - 2e-2t + e-t cost + 5sin t
Å‚Å‚
i t =
( ) ( )ûÅ‚ ( )
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚1 t A.
Przykład 2.
R3
E0 = 6 V = const,
R1 =1&!,
R2 =1&!,
L
R1
R3 =1&!,
t = 0
1
R2 u t
( )
L = H,
C
2
E
E0
C =1F.
C =1F.
u t = ?
( )
Warunki poczÄ…tkowe:
iL 0 - = 0
( )
uC 0 - = 0
( )
E0
s
ëÅ‚ öÅ‚U s - U s - U s = 0
ëÅ‚ öÅ‚U s - Un s - Un3 s = 0
1 1 1 1
1 1 1 1
sC + +
sC + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1.
ìÅ‚ ÷Å‚ n1 2
R1 sL sL R1
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚U s - Un3 s = 0
1 1 1 1 1
- Un1 s + + +
2. ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚ n2
sL R2 R3 sL R3
íÅ‚ Å‚Å‚
W węz
le 3: (nie jest to równanie z I prawa Kirchhoffa)
E0
Un3 s =
3. ( )
s
Równania można uporządkować tak
1 1 1 1
îÅ‚sC + + Å‚Å‚
- -
ïÅ‚ śł
R1 sL sL R1 îÅ‚Un1 s Å‚Å‚ îÅ‚ 0 Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U s = ïÅ‚ śł
1 1 1 1 1
ïÅ‚ śł
- + + - 0
( )śł
sL R2 R3 sL R3 śł ïÅ‚ n 2 śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
E0
( )śł
n3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚U s ûÅ‚
0 0 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
s
ðÅ‚ ûÅ‚
lub, po uwzględnieniu równania 3, tak
E
E0
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚sC + + Å‚Å‚
-
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
R1 sL sL îÅ‚Un1 s Å‚Å‚ R1 s
( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U s = ïÅ‚ E0 śł
1 1 1 1
( )śł
ïÅ‚ 1 śł
n 2
ïÅ‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
- + +
sL R2 R3 sL ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
R3 s
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
3s2 + 3s +12 4 s + 5
U s = Un 2 s = = -
( ) ( )
s
s2 + 2s + 3
s s2 + 2s + 3
( )
îÅ‚4
u t = - e-t cos 2 t + 2 2 sin 2 t
( ) ( )
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚1 t V.
Przykład 3.
L
i t
( )
iz t
( )
Ä… i t
u t
C ( ) R2 ( )
R1
t = 0
iz (t) = 20sin t A,
z
R1 =1 &!, R2 = 1 &!, L = 1 H, C =1 F, Ä… = 5.
u t = ?
( )
Warunki poczÄ…tkowe:
iL 0 - = 0
( )
uC 0 - = 0
( )
L
1
2
I s
( )
Un1 s
( )
Un2 s
( )
Iz s
( )
R1 Ä… I s R2
U s
C ( ) ( )
20
Iz s =
( )
s2 +1
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚U s - Un s = Iz s
1 1 1
1 1 1
+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1.
ìÅ‚ ÷Å‚ n1 2
R1 sL sL
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚U s = I s
1 1 1
Ä…
- Un1 s + sC + + Ä…
2. ( ) ( ) ( ) = Un1 s
( )
ìÅ‚ ÷Å‚ n 2
sL R2 sL
R1
íÅ‚ Å‚Å‚
1
I s = Un1 s
( ) ( )
R1
1 1 1
îÅ‚ Å‚Å‚
+ -
ïÅ‚ śł
R1 sL sL
Un1 (s) Iz (s)
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Ä… 1 1 1
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚U (s)ûÅ‚ ïÅ‚ 0 śł
n2
ïÅ‚ - - sC + + śł
R1 sL R2 sLûÅ‚
ðÅ‚
1 1 20
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1+ -
ïÅ‚ śł ïÅ‚s2 +1śł
Un1 (s)
îÅ‚ Å‚Å‚
s s
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1śł ðÅ‚U (s)ûÅ‚ ïÅ‚
1 1śł ðÅ‚Un2 (s)ûÅ‚ ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
-5 - s +1+ 0
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ s sśł ðÅ‚ ûÅ‚
ûÅ‚
20 5s +1
( ) 15 7 s 1
U s = Un2 s = = + - 22 + 6
( ) ( )
s -1 s + 3 s2 +1 s2 +1
s -1 s + 3 s2 +1
( )( )
( )
u t = 15et + 7e-3t - 22cost + 6sin t 1 t V.
( ) ( )
( )
Operatorowe transmitancje układów SLS
t+
r t = h t " p t = h Ä p t -Ä dÄ
r t = h t " p t = h Ä p t -Ä dÄ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
+"
0-
L r t = L h t " p t = L h t Å" L p t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ } { } { } { }
L p t = P s , L r t = R s , L h t = H s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ } { } { }
R s = H s P s
( ) ( ) ( )
P s R s
( ) ( )
H s
H(s)  operatorowa funkcja transmitancji (funkcja układu)
R s
( )
H s =
( )
zerowe
P s
( )
warunki
poczÄ…tkowe
Przykład 1.
R
R =1&!, C =1F.
u1 t u2 t
( ) ( )
C p t = u1 t
( ) ( )
r t = u2 t
( ) ( )
R
U1 s = E s
( ) ( )
1
1
E s C
( ) U1 s U2 s
( ) ( )
E s
( )
sC
U2 s = E s =
( ) ( )
1 sCR +1
R +
sC
U2 s
( )
1 1
H s = = =
( )
sCR +1 s +1
U1 s
( )
h t = L-1 H s = e-t1 t
( ) ( ) ( )
{ }
Przykład 2.
R1
L
i t
( )
R1 = 2&!, R2 = 1&!,
1
L = 2 H, C = F.
2
u t
( ) R2 p t = u t
C
( ) ( )
r t = i t
( ) ( )
R1
L
I s
( )
I s
( )
H s = = ?
H s = = ?
( )
( )
U s
U s
( )
( )
Iz s
( )
R2
U s C
( )
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
R2
1
U s = sL + R1 + Iz s , I s = Iz s
( ) ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
sC + sC +
ìÅ‚ ÷Å‚
R2 Å‚Å‚ R2
íÅ‚
1
R2
1
sC +
I s
( )
R2
H s = = =
( )
1
U s
( )
sL + R1 +
1
sC +
R2
1 1
= =
s2LCR + s L + CR R + R + R s2 + 3s + 3
s2LCR2 + s L + CR1R2 + R1 + R2 s2 + 3s + 3
( )
( )
3
- t
2 3 3
2
h t = L-1 H s = e sin t Å"1 t
( ) ( ) ( )
{ }
3 2
Inaczej
R1
L
I s
( )
U s
E s ( )
( )
R2
C
1
1
1
sC +
R2
1
U s = E s , I s = E s ,
( ) ( ) ( ) ( )
R2 sL + R1 + 1
1
sC +
R2
I s
( )
1 1
H s = = = .
( )
U s
s2LCR2 + s L + CR1R2 + R1 + R2 s2 + 3s + 3
( )
( )
Przykład 3.
u0 t
( )
i t
( )
C
R1 R2 Å‚ u0 t u t
( )
( )
1 1
R1 = &!, R2 = &!, C =1F, Å‚ = 4S.
R1 = &!, R2 = &!, C =1F, Å‚ = 4S.
2 2
2 2
p t = i t
( ) ( )
r t = u t
( ) ( )
U s
( )
H s = = ?
( )
I s
( )
U0 s
( )
1
I s
( )
2
C
Un2
R1 R2
Iz s Å‚ U0 s U s
( )
( )
( )
Un1
ëÅ‚ öÅ‚U s - sCUn s = Iz s
1
sC +
( ) ( ) ( )
ìÅ‚ 2
R1 Å‚Å‚
R1 ÷Å‚ n1
íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚U s = Å‚U0 s = Å‚ îÅ‚Un1 s -Un2 s Å‚Å‚
1
-sCUn1 s + sC +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚
ìÅ‚
ðÅ‚
R2 ÷Å‚ n2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
îÅ‚sC + Å‚Å‚
-sC
ïÅ‚ śł
R1 îÅ‚Un1 s Å‚Å‚
( ) îÅ‚Iz s Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U s = 0
śł
( )śł ïÅ‚
n2
ðÅ‚ ûÅ‚
ïÅ‚-sC - Å‚ sC + 1 + Å‚ śł ðÅ‚ ûÅ‚
R2
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
I s = Iz s
( ) ( )
sC + Å‚
U s = Un2 s = Iz s =
( ) ( ) ( )
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1 1
sC + sC + + Å‚ - sC sC + Å‚
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
R1 ÷Å‚ìÅ‚ R2
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
R1R2 sC + Å‚
( )
= Iz s
( )
sC R1 + R2 +1+ Å‚ R2
( )
U s R1R2 sC + Å‚
( ) ( )
1 s + 4
H s = = =
( )
4 s + 3
I s sC R1 + R2 +1+ Å‚ R2
( ) ( )
1 1
h t = L-1 H s = ´ t + e-3t1 t
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
4 4
p t = u t p t = i t
p t = u t p t = i t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r t = i t r t = u t
( ) ( ) ( ) ( )
I s U s
( ) ( )
H s = = Y s H s = = Z s
( ) ( ) ( ) ( )
U s I s
( ) ( )
Przykład 4.
² u0 t
( )
R2
R1
C
Z s
( )
u0 t
( )
R3
Y s
Y s
( )
( )
1 1
R1 = &!, R2 =1&!, R3 = &!, C =1F, ² = 4.
2 2
² U0 s
( )
R2
R1
I s
( )
1 2
3
C
R3
Iz s
( )
U s U0 s
( ) ( )
U s U s
U s Un1 s
( ) ( )
( ) ( )
Z s = =
( ) U0 s = Un2 s
( ) ( )
I s Iz s
( ) ( )
1 1
Un1 s - Un2 s = Iz s
( ) ( ) ( )
R1 R1
² U0 s
( )
²
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1
- Un1 s + sC + + s - sC + s = - = - Un2 s
( ) ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ìÅ‚
R1 R1 R2 ÷Å‚Un2 R2 ÷Å‚Un3 R2 R2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
( )
²
öÅ‚U s + ëÅ‚ öÅ‚U s = ² U0 s = Un2 s
1 1 1
-ëÅ‚ sC + sC + +
( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ìÅ‚
R2 ÷Å‚ n2 R1 R2 ÷Å‚ n3 R2 R2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
- 0
ïÅ‚ śł
R1 R1
ïÅ‚ śł
îÅ‚Un1 s Å‚Å‚ îÅ‚Iz s Å‚Å‚
( ) ( )
ïÅ‚ śł
1+ ²
ïÅ‚U s = ïÅ‚ śł
1 1 1
-sC - 0
( )śł
ïÅ‚- R1 sC + R1 + R2
śł
R2 śł ïÅ‚ n2 śł ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0
( )śł ïÅ‚
n3
ðÅ‚U s ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1+ ²
1 1
ïÅ‚ śł
0 -sC - sC + +
ïÅ‚
R2 R1 R2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Yn s
( )
"1
"1
U s =
Un1 s =
( )
( )
"n
îÅ‚I s Å‚Å‚
1
- 0
( )
z
ïÅ‚ śł
R1
ïÅ‚ śł
1+ ²
1 1
ïÅ‚ śł
"1 = det 0 sC + + -sC - = Iz s "n11
( )
ïÅ‚ śł
R1 R2 R2
ïÅ‚ śł
1+ ²
1 1
ïÅ‚ śł
0 -sC - sC + +
R2 R1 R2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
"n = det Yn s
( )
sCR2 R1 + R3 + R1 1+ ² + R2 + R3
( ) ( )
"n11 =
R1R2R3
sCR2 +1+ ²
"n =
R1R2R3
sCR2 R1 + R3 + R1 1+ ² + R2 + R3 s + 4
"n11 ( ) ( )
Z s = = =
( )
"n sCR2 +1+ ² s + 5
1
Z(s)
2, 3, ...
SLS
Y(s)
"n11 "n
Z s = Y s =
( ) ( )
"n "n11
SLS
u1 t u2 t
( ) ( )
p t = u1 t
( ) ( )
r t = u2 t
( ) ( )
( ) ( )
U2 s
( )
H s = = ?
( )
U1 s
( )
U1 s = Un1 s
( ) ( )
U2 s = Un2 s
( ) ( )
"1
Y11 Y12 & Y1Á Un1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ Iz
Un1 =
ïÅ‚Y
"n
Y22 ï" Y2Á śł ïÅ‚Un2 śł ïÅ‚ śł
0
21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł ïÅ‚ î" śł
ïÅ‚ î" śł
"2
Un2 =
ïÅ‚Y
YÁ 2 ï" YÁÁ śł ïÅ‚UnÁ śł ïÅ‚ śł
"n
"n
0
0
Á1
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚YÁ1 YÁ 2 ï" YÁÁ ûÅ‚ ðÅ‚UnÁ ûÅ‚
Iz Y12 & Y1Á Y11 Iz & Y1Á
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚Y
0 Y22 ï" Y2Á śł 0 ï" Y2Á śł
21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
"1 = det = Iz "n11, "2 = det = Iz "n12
ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł
ïÅ‚ ïÅ‚Y
0 YÁ 2 ï" YÁÁ śł 0 ï" YÁÁ śł
Á1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
"n12
H s =
( )
"n11
1 2
3, 4, ...
U1 s = Un1 s
( ) ( )
SLS
E(s) U2(s)
U1(s)
U2 s = Un2 s
( ) ( )
Un1 Un2
"1
1 0 & 0 Un1 îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ E
Un1 =
ïÅ‚Y
"n
Y22 ï" Y2Á śł ïÅ‚Un2 śł ïÅ‚ śł
0
21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
=
ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł ïÅ‚ î" śł
ïÅ‚ î" śł
"2
Un2 =
ïÅ‚Y
YÁ 2 ï" YÁÁ śł ïÅ‚UnÁ śł ïÅ‚ śł
"n
"n
0
0
Á1
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚YÁ1 YÁ 2 ï" YÁÁ ûÅ‚ ðÅ‚UnÁ ûÅ‚
E 0 & 0 1 E & 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 Y22 ï" Y2Á śł ïÅ‚Y śł
0 ï" Y2Á
21
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
"1 = det = E "n11, "2 = det = E "n12
ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł ïÅ‚ î" î" Å„" î" śł
ïÅ‚0 YÁ ï" YÁÁ śł ïÅ‚Y śł
0 ï" YÁÁ
2 Á1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
"n12
H s =
( )
"n11
Przykład 5.
U2 s
( )
H s =
( )
U1 s
( )
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1
1 1 1 1
+ - -
+ - -
ïÅ‚ śł
R1 sL sL R1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
Yn s = - + -
( )
ïÅ‚ śł
sL R2 sL R2
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
- - sC + +
R1 R2 R1 R2 śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
s CR1R2 + L + R1 + R2
îÅ‚ Å‚Å‚ ( )
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
"n12 = - =
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚- sL íÅ‚ sC + R1 + R2 Å‚Å‚ - R1 R2 śł
sLR1R2
ðÅ‚ ûÅ‚
s2LCR1 + s CR1R2 + L + R1 + R2
( )
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1
"n11 = + sC + + - =
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
2
R2 sL R1 R2 ÷Å‚ R2 sLR1R2
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
s CR1R2 + L + R1 + R2
( )
"n12
H s = =
( )
"n11 s2LCR1 + s CR1R2 + L + R1 + R2
( )
1 1 2 1 2
R1 =1&!, R2 = 1&!, L =1H, C = 1F.
2s + 2
H s =
( )
s2 + 2s + 2
h t = L-1 H s = 2e-t cost Å"1 t
( ) ( ) ( )
{ }
Przykład 5.
L
Przykład 6.
C
R1
²
p t = u1 t
( ) ( )
r t = u2 t
( ) ( )
u2(t)
u1(t)
R2
U2 s
( )
H s = = ?
( )
U1 s
( )
1 1
1 1
R =1&!, R =1&!, L = H, C = F, ² = 4.
R1 =1&!, R2 =1&!, L = H, C = F, ² = 4.
2 2
²
2
2 2 u t
2 u t
u t ( ) 2 2
( )
( ) 2 u t
² u t ( )
( )
2 2 2
u t = ² u t
( ) ( )
L
C
R1
1
4 2
3
Un1
Un3 Un4 Un2
U2(s)
R2
E(s) U1(s) ² Un4
Un1 s = E s
( ) ( )
Un2 s = ² Un4 s
( ) ( )
ëÅ‚ öÅ‚U s - sCUn4 s = 0
1 1 1 1
- Un1 s - Un2 s + sC + +
( ) ( ) ( ) ( )
ìÅ‚ ÷Å‚ n3
R1 sL R1 sL
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚U s = 0
1
-sCUn3 s + sC +
( ) ( )
ìÅ‚
R2 ÷Å‚ n4
íÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
îÅ‚U s Å‚Å‚
( ) îÅ‚ E s Å‚Å‚
( )
n 1
0 1 0 - ²
ïÅ‚ śł
ïÅ‚U s
śł
( )śł = ïÅ‚ 0
n2
ïÅ‚- 1 1 1 1 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
- sC + + - sC
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
R1 sL R1 sL U s ïÅ‚ śł
( )śł 0
n 3
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
śł
1
( )śł ïÅ‚ 0
ïÅ‚ śł n4
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚U s ûÅ‚
0 0 - sC sC +
R2 ûÅ‚
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
îÅ‚-² sC Å‚Å‚ sC ²
1
"n12 = - =
ïÅ‚
R1 śł R1
ðÅ‚ ûÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 C
2
"n11 = sC + + sC + - s2C - ² =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
R1 sL R2 Å‚Å‚ L
R1 sL R2 ÷Å‚ L
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
s2 LC R1 + R2 + s îÅ‚L + 1 - ² CR1R2 Å‚Å‚ + R1
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
=
sLR1R2
"n12 s2LCR2²
2s2
H s = = =
( )
"n11 s2LC R1 + R2 + s îÅ‚L + 1- ² CR1R2 Å‚Å‚ + R1 s2 - 2s + 2
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
h t = 2´ t + 4et cost Å"1 t
( ) ( ) ( )
Układ nie jest BIBO stabilny!
Własności funkcji transmitancji układów SLS
Operatorowa funkcja transmitancji układu SLS jest rzeczywistą
wymierną funkcją zmiennej zespolonej s, czyli ma postać
L s
( )
H s =
( )
M s
( )
gdzie L(s) i M(s) są wielomianami zmiennej s o współczynnikach
rzeczywistych
rzeczywistych
Funkcja rzeczywista zmiennej zespolonej:
Im s = 0 Ò! Im F s = 0
{ } { ( )
}
Inaczej
F" s = F s"
( )
( )
Zagadnienie BIBO stabilności
Twierdzenie (przypomnienie)
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy gdy
jego charakterystyka impulsowa ma postać
h t = a´ t + h0 t ,
( ) ( ) ( )
gdzie jest funkcją (nie zawiera składników dystrybucyjnych),
h0 t
( )
"
"
oraz
oraz
a + h0 t dt d" K < "
( )
( )
+"
0+
Ä…k
0 m
L s
( ) bkl
H s = =
( ) ( )
{ }
"a si + ""(s - sk ) = L h t
i
l
M s
( )
i= p k=1 l=1
Oznaczmy sk = Ã + jÉk
k
Twierdzenie
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO, jeżeli jego funkcja
transmitancji spełnia warunki:
1. ai = 0, i = 1, 2, ... , p;
2. Re{sk} = Ãk < 0, k = 1, 2, ... , m.
Dowód:
Jeżeli H(s) spełnia warunek 1, to
Ä…k
m
l-1
t
k
h t = a0´ t +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
""(lt-1)! es 1 t = a0´ t + h0 t
k=1 l=1
" " "
Ä…k Ä…k
m m
l-1
t 1 t
k k
h0 t dt =
( )
""(lt-1)! es dt d" ""(l -1)!0+tl-1eà dt
+" +" +"
k=1 l=1 k=1 l=1
0+ 0+
"
d" C < " gdy à < 0
Å„Å‚
k
k
tl-1eà tdt
òÅ‚çÅ‚çÅ‚
+"
" gdy à e" 0
ół k
0+
"
d" K < " gdy à < 0, k = 1,2,...,m
Å„Å‚
k
h0 t dt
( )
òÅ‚çÅ‚çÅ‚
+"
" gdy istnieje k, takie że à e" 0,
ół k
0+
Dowód  konieczność warunku 1
Jeżeli nie jest spełniony warunek 1, tzn. niech
Jeżeli nie jest spełniony warunek 1, tzn. niech
Ä…k
m
bkl
H s = a1s + a0 +
( )
""(s - sk )
l
k=1 l=1
Wówczas
2
h t = a1´ t + a0´ t + h0 t
( ) ( ) ( ) ( )
a więc układ nie jest BIBO stabilny
c.b.d.o.
Definicja:
Wielomian P(s) nazywa się wielomianem Hurwitza, jeżeli
wszystkie jego pierwiastki mają ujemne części rzeczywiste (leżą
w lewej otwartej półpłaszczyz
nie zmiennej zespolonej s).
Im{s}
Re{s}
Jeżeli P(s) jest WH to wszystkie jego współczynniki są różne od zera
i majÄ… taki sam znak. Jest to warunek konieczny. W przypadku
wielomianu stopnia drugiego jest to również warunek dostateczny.
Twierdzenie
Układ SLS, o transmitancji
L s
( )
H s =
( )
M s
( )
jest stabilny w sensie BIBO, jeżeli
1. st L s d" st M s
( ) ( )
2. M s jest wielomianem Hurwitza
( )
Warunek 2. oznacza, że funkcja H(s) nie ma biegunów
w domkniętej prawej półpłaszczyz
nie zmiennej s, czyli jest
holomorficzna w tym obszarze.
Wniosek:
Jeżeli h(t) jest charakterystyką impulsową układu BIBO
L h t
stabilnego, to obszar zbieżności transformaty ( )
{ }
zawiera domkniętą prawą półpłaszczyznę zmiennej s.
Przykład 6. (c.d.)
s2LCR2²
H s =
( )
s2LC R1 + R2 + s îÅ‚L + 1- ² CR1R2 Å‚Å‚ + R1
( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Układ będzie BIBO stabilny gdy
L + 1- ² CR1R2 > 0,
( )
czyli
czyli
L
² <1+
CR1R2
Przy zadanych wartościach elementów RLC
² < 2
Przykład 7.
1
Układ nie jest BIBO stabilny
H s =
( )
s2 +1
(bieguny w punktach Ä…j)
ograniczone
p t = 1 t
( ) ( )
1 1 1 s
P s = , R s = H s P s = = -
( ) ( ) ( ) ( )
s s
s2 +1
s s2 +1
( )
r t = 1- cost 1 t
r t = 1- cost 1 t
ograniczona
ograniczona
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p t = 2e-t1 t
( ) ( ) ograniczone
2 2 1 s 1
P s = , R s = H s P s = = - +
( ) ( ) ( ) ( )
s +1 s +1
s2 +1 s2 +1
s2 +1 s +1
( )
( )
r t = e-t -cost +sint 1 t
( ) ( ) ograniczona
( )
ograniczone
p t = 3sin 2t Å"1 t
( ) ( )
6 6 2 2
P s = , R s = = -
( ) ( )
s2 + 4 s2 +1 s2 + 4
s2 +1 s2 + 4
( )( )
r t = 2sin t - sin 2t 1 t
ograniczona
( ) ( ) ( )
ograniczone
ograniczone
p t = 2sin t Å"1 t
p t = 2sin t Å"1 t
( ) ( )
( ) ( )
s2 +1- s2 -1
( )
2 2 1 s2 -1
P s = , R s = = = -
( ) ( )
2 2 2
s2 +1 s2 +1
s2 +1 s2 +1 s2 +1
( ) ( ) ( )
nie jest ograniczona
r t = sin t - t cost 1 t
( ) ( ) ( )
Obwody zawierajÄ…ce wzmacniacze operacyjne
+
u1 t
( )
u2 t
( )
-
u1 t
( )
+ -
îÅ‚
îÅ‚
u2 t = k
u2 t = k
( ) ( ) ( )ûÅ‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚u1 t - u1 t Å‚Å‚
ðÅ‚u1 t - u1 t Å‚Å‚
k "

+
-
+ + -
u1 t
îÅ‚
( ) k
u1 t ( ) ( )ûÅ‚ u2(t)
( )
ðÅ‚u1 t - u1 t Å‚Å‚
I = 0
I = 0
Z1 s
( )
U1 s
( )
U2 s
( )
2
U s Z2 s
( ) ( )
Z2 s
( )
2 2
U2 s = k îÅ‚U1 s -U s Å‚Å‚ , U s = U2 s
( ) ( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( )
ðÅ‚
Z1 s + Z2 s
( ) ( )
îÅ‚ kZ2 s Å‚Å‚
)
U2 s 1+ = kU1 s
( )ïÅ‚ Z1 (s)+(Z2 (s)śł ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
U2 s Z1 s + Z2 s
( ) ( ) ( )
k 1
H s = = = çÅ‚çÅ‚çÅ‚

( )
k "
U1 s kZ2 s Z2 s Z2 s
( ) ( ) ( ) ( )
1
1+ +
k
Z1 s + Z2 s Z1 s + Z2 s
( ) ( ) ( ) ( )
I = 0
I = 0
Z1 s
( )
U1 s
( )
U2 s
( )
2
U s Z2 s
( ) ( )
îÅ‚ kZ2 s Å‚Å‚ Z2 s
( ) ( )
1
2
U1 s -U s =
( ) ( ) ( )
ïÅ‚1+ Z1 s + Z2 s U2 s - Z1 s + Z2 s U2 s =
k
( ) ( )śł ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
1U s çÅ‚çÅ‚çÅ‚ 0
=
( )
2 k "
k
czyli w granicy
+ -
U s = U s
( ) ( )
Z1 s = R1, Z2 s = R2
( ) ( )
+

R1
U1 s
( )
U2 s
( )
² U1 s
( )
U1 s u1 t U2 s u2 t
( ) ( ) ( ) ( )
R2 ² u1 t
( )
R1
ëÅ‚1+ öÅ‚U s
R1
U2 s =
( ) ( )
² =1+
ìÅ‚
R2 ÷Å‚ 1
R2
íÅ‚ Å‚Å‚
R1
ëÅ‚1+ öÅ‚u t
u2 t =
( ) ( )
ìÅ‚
R2 ÷Å‚ 1
íÅ‚ Å‚Å‚
Z2 s
( )
I1 s
( )
Z1 s
( )
I1 s
( )
I = 0
2
U1 s U s
( ) ( )
U2 s
( )
2
U2 s = -kU s
( ) ( )
1 1
2 2
I1 s = îÅ‚U1 s -U s Å‚Å‚ = îÅ‚U s -U2 s Å‚Å‚
( ) ( ) ( )ûÅ‚ Z2 ðÅ‚ ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚
Z1 s
Z1 s
( )
( )
2
Z2 s U1 s + Z1 s U2 s
( ) ( ) ( ) ( )
2
U s =
( )
Z1 s + Z2 s
( ) ( )
îÅ‚ Z1 s Å‚Å‚ Z2 s
( ) ( )
( )
ïÅ‚1+ k Z1 s + Z2 s U2 s = -k Z1 s + Z2 s U1 s
( ) ( )śł ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚
Z2 s
( )
U2 s Z1 s + Z2 s Z2 s
( ) ( ) ( ) ( )
H s = = - çÅ‚çÅ‚çÅ‚ -

( )
k "
U1 s Z1 s Z1 s
( ) ( ) ( )
1
+
k
Z1 s + Z2 s
( ) ( )
U1 s
( )
1 1
2
I1 s = îÅ‚U1 s -U s Å‚Å‚ = s + U2 s çÅ‚çÅ‚çÅ‚

( ) ( ) ( )ûÅ‚ Z11(s) îÅ‚U ( ) ( )Å‚Å‚
1 k "
ðÅ‚
ïÅ‚ śł
k
Z1 s ðÅ‚ ûÅ‚ Z1 s
( ) ( )
U1 s
( )
Zwe s = = Z1 s
( ) ( )
I1 s
( )
Z1 s = R1, Z2 s = R2
( ) ( )
R2
R1
I1 s
( )
( )
1
² U1 s
U1 s ( )
U2 s
( ) ( )
U1 s
( )
R1
U2 s
( )
² u1 t
u1 t ( )
u2 t
( ) ( )
R2
R2
U2 s = - U1 s
( ) ( )
² = -
R1
R1
R2
u2 t = - u1 t
( ) ( )
R1
1
Z1 s = R, Z2 s =
( ) ( )
sC
C
R
U1 s
( )
U2 s
( )
1
U2 s = - U1 s
( ) ( )
sCR
t
Integrator
1
u2 t = - u1 Ä dÄ
( ) ( )
+"
RC
(układ całkujący)
0-
1
j
i 2
k
RLC
U1 s U2 s
( ) ( )
Często k = 2
U2 s
( )
H s = = ?
( )
U1 s
( )
"n12
H s =
( )
"n11
Metoda Nathana
 macierz admitancji węzłowych obwodu RLC
Yn0 s
( )
(bez wzmacniacza operacyjnego)
Po dołączeniu wzmacniacza:
1. Traci sens równanie dla węzła k, do którego dołączamy wyjście
wzmacniacza operacyjnego;
2. Napięcia węzłowe węzłów i i j stają się równe (czyli Uni = Unj).
Po dołączeniu wzmacniacza operacyjnego modyfikujemy macierz
admitancji węzłowych Yn0 w następujący sposób:
1. Z macierzy Yn0(s) usuwamy wiersz k,
2. Kolumny i i j dodajemy do siebie (tworzymy z nich jednÄ…
kolumnÄ™).
Powstaje macierz Yn(s), która jest macierzą admitancji węzłowych
układu zawierającego wzmacniacz operacyjny.
układu zawierającego wzmacniacz operacyjny.
Wówczas
"n12
H s =
( )
"n11
"n12 i "n11
gdzie są odpowiednimi dopełnieniami algebraicznymi
macierzy Yn(s).
Przykład 1.
R2
R1
C
U1 s U2 s
( ) ( )
R
R
U2 s
( )
H s = = ?
( )
U1 s
( )
U2 s
( )
U1 s
( )
+
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1
îÅ‚sC + Å‚Å‚
0 - -sC
1
ïÅ‚ śł
R1 R1
ïÅ‚ śł
1 1
ïÅ‚ śł
0 - 0
2
R2 R2
ïÅ‚ śł
Yn0 s =
( )
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
- - + 0
ïÅ‚ śł
3
R1 R2 R1 R2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
-sC 0 0 sC +
4
ïÅ‚ śł
R
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 3/4
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1
sC + 0 -sC -
1
ïÅ‚
R1 R1 śł
ïÅ‚ śł
1 1 1 1
ïÅ‚ śł
Yn s = 3 - - +
( )
R1 R2 R1 R2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
4
ïÅ‚ -sC 0 sC + śł
R
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ R2 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚,
1 1 1 1 1
"n12 = - sC + + sC + = - sC
ïÅ‚ ( )
ïÅ‚- R1( ) ìÅ‚ ÷łśł ÷Å‚
R1 R R1 R2 łłśł R2 ìÅ‚ R1 R
R R1 R2 Å‚Å‚ûÅ‚ R2 íÅ‚ R1 R
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
1 1
"n11 = - + sC
( )
R2 R
R2 1
- sC
U2 s
( ) "n12 R1 R
H s = = = -
( )
"n11 1
U1 s
( )
+ sC
R
Gdy R1 = R2
sCR -1
H s =
( )
sCR +1
Przypadek szczególny (dosyć częsty!)
1 2
k
RLC j
U2 s
( )
U1 s U2 s
( ) ( )
H s = = ?
( )
U1 s
( )
Tak jak poprzednio, tworzymy macierz admitancji węzłowych Yn0(s)
układu RLC (bez wzmacniacza operacyjnego).
Macierz admitancji węzłowych Yn(s) układu ze wzmacniaczem
operacyjnym tworzymy następująco:
1. Usuwamy z macierzy Yn0(s) wiersz k (równanie k traci sens);
2. Usuwamy z macierzy Yn0(s) kolumnę j (dołączenie wzmacniacza
powoduje, że Unj = 0).
Przykład 2.
1 3 4
U2 s
( )
2
H s = = ?
( )
U1 s
( )
U1 s
( )
U2 s
( )
1 2
1 2
3 4
3 4
1 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1
ïÅ‚ śł
1 1
0 sC1 + -sC1 -
ïÅ‚
2
R3 R3 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
Yn0 s =
( ) 1 1 1
-sC1 sC1 + sC2 + + -sC2 śł
3
ïÅ‚- R1
R1 R2
ïÅ‚ śł
1 1
ïÅ‚ śł
0 - -sC2 sC2 +
4
ïÅ‚ śł
R3 R3 ûÅ‚
ðÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚- śł
1 1 1
Yn s = -sC1 sC1 + sC2 + +
( )
ïÅ‚
R1 R1 R2 śł
ïÅ‚ śł
1
ïÅ‚ śł
0 - -sC2
R3
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
sC2
"n12 = -
n12
R
R1
C1 + C2 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
"n11 = s2C1C2 + sC1 + sC2 + + = s2C1C2 + s + +
R3 ìÅ‚ R1 R2 ÷Å‚ R3 R3 ìÅ‚ R1 R2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
sC2
U2 s
( ) "n12 R1
H s = = = -
( )
"n11
U1 s C1 + C2 1 1 1
( ) ëÅ‚ öÅ‚
s2C1C2 + s + +
R3 R3 ìÅ‚ R1 R2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚