ANALIZA OBWODÓW
RZ
DU ZEROWEGO
PROSTE I SIECIOWE METODY
ANALIZY OBWODÓW
Rezystancja zastępcza dwójnika bezz
ródłowego (m.b. i=0 i u=0)
Równoważność dotyczy zewnętrznego zachowania się układów, lecz nie dotyczy ich wnętrza.
Rezystancyjny dwójnik bezz
ródłowy może być zbudowany z rezystorów oraz z
ródeł sterowanych,
lecz z pewnością nie zawiera z
ródeł niezależnych.
Obliczanie rezystancji zastępczej dwójnika
zawierajÄ…cego z
ródła sterowane wymaga
użycia tzw. z
ródła testującego(np. U
idealnego z
ródła napięciowego, a
obliczyć należy natężenie prądu).
Do znalezienia rezystancji zastępczej
na rys. poniżej, wykorzystano
napięciowe z
ródło testujące  dla tego dwójnika ten typ z
ródła zapewnia prostsze obliczenia:
Przy obliczaniu RZ dwójnika o schemacie pokazanym dalej
lepiej użyć prądowego z
ródła testującego.
Zasada kompensacji
Dowolny rezystor R, znajdujący się w sieci SLS, na którym panuje napięcie U i płynie prąd I ,
można zastąpić idealnym z
ródłem napięciowym (lub prądowym)  y
RÓDA
EM KOMPENSUJCYM
 o wydajności równej napięciu panującemu na tym dwójniku (lub prądowi płynącemu przez
dwójnik), nie wywołując przy tym żadnych zmian w pracy całego układu.
W obydwu pokazanych przypadkach
dodanie dwóch idealnych z
ródeł
(napięciowych lub prądowych)
o identycznej wydajności, lecz o
przeciwnym zwrocie, nie powoduje
zmiany w pracy układu. Z kolei
wyeliminowanie jednego z tych
z
ródeł łącznie z rezystorem sprawia,
że w układzie na miejscu rezystora
pozostaje idealne z
ródło
(w pierwszym przypadku napięciowe,
a w drugim  prÄ…dowe)  a warunki pracy
całego obwodu nie zmieniają się.
Zasadę kompensacji można zastosować również do bardziej złożonego dwójnika rezystancyjnego,
a także do zacisków, na których istnieje rozwarcie lub zwarcie. Jeśli np. na wybranych rozwartych
zaciskach rozpatrywanego układu panuje napięcie równe U, to dołączenie do tych zacisków idealne
z
ródła napięciowego o wydajności U nie zmieni napięć i prądów w całym układzie (również prąd
płynący przez z
ródło włączone w miejsce rozwartych uprzednio zacisków pozostanie równy zeru).
Teoria absorpcji z
ródła i wykorzystanie jej do obliczenia
Rin patrzÄ…c w wyprowadzenie E przy uziemnionych B i C
Jeżeli z
ródło prądowe sterowane
Jest napięciem na nim, wówczas
Ix=gm Vx gdzie gm jest konduktancjÄ…
Możemy zamienić takie z
ródło
ImpedancjÄ…: Zx= Vx/ Ix= 1/gm
Otrzymania schematu zastępczego MOSa typu T z 
Dodanie 2-go z
ródła
gmvgs nic nie zmienia
Powstały nowy węzeł X
można połączyć z bramką G
(prÄ…d siÄ™ nie zmieni =0 !!)
Następnie wystarczy
zamienić to z
ródło
równoważną rezystancją
vgs/gm vgs=1/ gm
ig=0, id=gm vgs, , is= vgs,/(1/ gm)
Zasada superpozycji
W dowolnym układzie liniowym (i tylko liniowym !), w którym działa kilka pobudzeń niezależnych
prąd (napięcie) w dowolnym elemencie tego układu obliczyć można jako sumę prądów (napięć)
wywołanych w tym elemencie przez każde pobudzenie z osobna, przyjmując każdorazowo, że
pozostałe pobudzenia są zerowe. Czasem mówi się, że pozostałe pobudzenia są wyłączane:
wyłączenie każdego idealnego z
ródła napięciowego polega na zastąpieniu go zwarciem, zaś idealne
z
ródło prądowe zastępowane jest rozwarciem (uwaga: rezystancje wewnętrzne wyłącznych z
ródeł
nie są usuwane i pozostają na swoich miejscach). Krótko powiedzieć można, że odpowiedz
układu
liniowego na pobudzenie złożone z kilku składników jest superpozycją odpowiedzi cząstkowych
na każdy ze składników pobudzenia z osobna.
1. Odpowiedz
czÄ…stkowa na pobudzenie z
ródłem napięciowym
przy wyłączonym z
ródle prądowym:
2. Odpowiedz
na pobudzenie z
ródłem prądowym (przy wyłącze
z
ródła napięciowego):
3. Całkowite napięcie wyjściowe:
U0 = U01 + U02
Metoda dodatkowych z
ródeł (2 Twierdzenia)
1. Jeśli do każdej gałęzi incydentnej z wybranym węzłem włączone zostaną idealne z
ródła
napięciowe o identycznej wydajności oraz o tym samym zwrocie w stosunku do węzła,
to rozpływ prądów w całym układzie nie zmieni się;
2. Jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka dołączone zostaną idealne z
ródła prądowe
o identycznej wydajności i o tym samym zwrocie w stosunku do kierunku obiegu oczka,
to rozpływ prądów w całym układzie nie zmieni się.
Np. do wyeliminowania z
ródła E2, można przekształcić
obwód obok do postaci A, a gdy należy pozbyć się z
ródła J,
obwód przekształca się w sposób pokazany na rysunku B.
Dzielniki rezystancyjne
Jeśli do układu będącego szeregowym połączeniem rezystorów przyłożone zostanie napięcie U,
natężenie prądu płynącego przez układ będzie równe: ,a więc napięcie na k-tym elemencie:
Można powiedzieć, że napięcie przyłożone do układu dzieli się
na napięcia na poszczególnych elementach proporcjonalnie do
wartości rezystancji tych elementów (stąd DIELNIK NAPI
C.)
DZIELNIK PRDOWY, który jest zbudowany jako równoległa
kombinacja rezystorów, realizuje podział prądu doprowadzonego
do układu proporcjonalnie do konduktancji elementów składowych,
a więc przez element o konduktancji Gk płynie część prądu
dopływającego do całego układu, której wielkość wynosi:
Dla dzielników
dwuelementowych:
Przykład
Należy wyznaczyć prąd i napięcie na rezystorze R4. Zamieniamy gwiazdę R1R2R3 na
trójkąt RARBRC (przechodząc na przewodności G1=1/ R1, G2=1/ R2, G3=1/ R3) więc:
GA=G2G3/(G1+G2+G3 )
R
5
R
5
tj.RA= R2+ R3+ R2* R3/R1
R
R 2
1
R
C
GB=G1G3/(G1+G2+G3 )
tj.RB= R1+ R3+ R1* R3/R2
R
R
3 R
4 R
R A
E
4
B
E
GC=G1G2/(G1+G2+G3 )
tj.RC= R1+ R2+ R1* R2/R3
Następnie obliczamy rezystancje lub przewodności
rezystorów połączonych równolegle, tj.
R5||C= R5RC /(R5+ RC); R4||A= R4RA /(R4+ RA) lub
R5||C
G5||C=G5+ GC ; G4||A=G4+ GA . Napięcie na R4
wyznaczamy z dzielnika napięciowego złożonego
R4||A z rezystorów połączonych równolegle jako:
RB
E
UR4=E* R4||A/(R4||A+ R5||C), zaÅ›
prÄ…d obliczymy z prawa Ohma: IR4= UR4/R4
Metoda zamiany z
ródeł dla skutecznego łączenia z
ródeł i rezystancji
Na przykładzie najprostszego obwodu pokazanego poniżej natychmiast można zauważyć, że dla
obu równoważnych reprezentacji z
ródła obciążenie RL pracuje w identycznych warunkach, ale
tylko moc PL wydzielana na obciążeniu w obu obwodach jest taka sama, zaś moce PE i PJ
wytwarzane przez z
ródła i moce PRW tracone na rezystancjach wewnętrznych są różne.
Przykład wykorzystania metody zamiany z
ródeł i met.superpozycji
Metoda z
ródeł zastępczych (Tw. Thevenina)
Dowolny liniowy z
ródłowy dwójnik rezystancyjny można zastąpić równoważnym rzeczywistym
z
ródłem napięciowym (nazywanym z
ródłem Thevenina) o wydajności napięciowej ET i rezystancji
wewnętrznej RT . Wydajność napięciowa zastępczego z
ródła Thevenina równa jest napięciu na
rozwartych zaciskach dwójnika z
ródłowego: ET = UR (w ten sposób  m.in.  można ją obliczyć).
Rezystancja wewnętrzna z
ródła Thevenina RT równa jest rezystancji zastępczej RZ dwójnika
bezz
ródłowego, otrzymanego w wyniku wyłączenia wszystkich z
ródeł niezależnych w rozpatrywany
dwójniku z
ródłowym  wyłączenie to polega na zastąpieniu zwarciami wszystkich niezależnych
idealnych z
ródeł napięciowych oraz zastąpieniu rozwarciami wszystkich niezależnych z
ródeł prą-
dowych (uwaga: wszystkie z
ródła sterowane pozostają niezmienione). Do obliczenia rezystancji
wewnętrznej z
ródła można użyć innych metod. Stosując zasadę superpozycji: U = UI + UII + UIII.
UI = - RZ·I UII +UIII =UR
U = UR - RZ. I
Tw. Nortona. Równoważność z
ródeł zastępczych
Dowolny liniowy z
ródłowy dwójnik rezystancyjny można zastąpić równoważnym rzeczywistym
z
ródłem prądowym (zwanym z
ródłem Nortona) o wydajności prądowej JN i rezystancji wewn.RN .
Wydajność prądowa z
ródła Nortona równa jest prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika
( JN = IZ ), zaś rezystancja wewnętrzna z
ródła Nortona jest równa rezystancji zastępczej dwójnika
bezz
ródłowego otrzymanego w wyniku wyłączenia wszystkich z
ródeł niezależnych, (obliczanej
więc identycznie jak dla z
ródła Thevenina:RN = RZ = RT). Równanie dla RL ma postać:
I = IZ - U/RZ więc model:
Ponieważ z
ródło Thevenina i z
ródło Nortona są układami równoważnymi dla tego samego dwójnik
z
ródłowego A-B, więc są równoważne w stosunku do siebie, przy czym wartości ich parametrów
spełniają zależności:
Warto zwrócić uwagę na ostatnią zależność jako na dodatkową metodę obliczenia rezystancji wewn
z
ródła zastępczego (jako iloraz napięcia na rozwartych zaciskach rozpatrywanego dwójnika z
ródło
i prądu płynącego przez zwarte zaciski tego dwójnika, a więc niekoniecznie jako rezystancję zastęp
dwójnika bezz
ródłowego , czyli w sposób zupełnie inny, niż wynika to z obydwu podanych wyżej
Przykład z
ródła zastępczego Thevenina
Metoda z
ródeł zastępczych jest skuteczną metodą analizy obwodów w przypadku,
gdy należy obliczyć napięcie lub prąd dla jednego elementu obwodu, albo ogólniej -
dla pary zacisków, dzielących obwód na dwie części. Jedną z nich jest dwójnik z
ródłowy
zawierający niezależne z
ródła pobudzenia. Część druga, nie zawierająca takich z
ródeł,
jest dwójnikiem bezz
ródłowym, a więc można znaleść jego rezystancję zastępczą,
nazywając ją rezystancją obciążenia  RL.
METODY SIECIOWE. Wstęp
Jeżeli zachodzi konieczność obliczenia wszystkich prądów lub napięć obwodu, wówczas skutecznie
są inne, bardziej ogólne metody analizy wynikające z prądowego lub napięciowego prawa Kirchhof
(+ związki między prądem i napięciem na każdym z rezystorów, wynikające z prawa Ohma, czyli:
URi=Ri·Ii albo Ii=Gi·URi (wyjÄ…tkiem w indeksacji jest element R7, dla którego UR7=R7·I3).
PPK dla węzłów 1,2,3:
NPK dla 3-ch oczek:
Otrzyma się układ sześciu równań algebraicznych
pozwalający na obliczenie sześciu niewiadomych
(np. prądów gałęziowych), ale
układ takich równań (i tyle ile potrzeba do znalezienia
wszystkich poszukiwanych prądów i napięć w układzie)
można otrzymać w sposób systematyczny/automatyczny.
Metoda napięć węzłowych
Schemat analizowanego układu należy poddać pewnym niewielkim modyfikacjom: rezystory
powinny być opisane konduktancjami, zaś z
ródła powinny mieć postać z
ródeł prądowych (patrz ry
na którym J1=G1E1=E1/R1). Przyjmując jeden z węzłów
układu za węzeł odniesienia (węzeł 4-ty jako 0)
a pozostałe węzły numerując kolejno od 1do N
zapisujemy układ N liniowych równań algebraicznych,
albo równanie macierzowe o ogólnej postaci [G]*[U]=[J],
gdzie:[G]- MACIERZ KONDUKTANCJI W
ZA
OWYCH,
której każdy element głównej przekątnej macierzy  Gkk,
czyli konduktancja własna węzła o numerze  k ,
jest sumą konduktancji wszystkich gałęzi incydentnych.
Element Gjk - jest tzw. konduktancją wzajemną węzłów o numerach  j i  k , czyli konduktancją
gałęzi bezpośrednio łączącej te węzły, wpisaną do macierzy ze znakiem  minus . Jeśli węzły nie są
połączone ze sobą bezpośrednio, odpowiedni element macierzy ma wartość zero .
Gdy w sieci nie ma z
ródeł sterowanych, macierz [G]jest macierzą symetryczną: Gjk=Gkj;
[U] -MACIERZ NAPI
Ć W
ZA
OWYCH, zawiera kolumnę N niewiadomych napięć;
[J]- MACIERZ POBUDZEC
PR
DOWYCH której każdy wyraz Jk jest algebraiczną sumą (prądy
dopływające do węzła z  plusem , prądy odpływające  z  minusem ) wydajności prądowych idea
z
ródeł prądowych znajdujących się w gałęziach incydentnych z węzłem o numerze  k.
Przykład układu zawierającego z
ródła sterowane
Jeśli w układzie występują z
ródła sterowane, trzeba opisać wielkości sterujące tymi z
ródłami za
pomocą wielkości znanych lub takich, które mogą pozostać w równaniu jako niewiadome
(tj. napięć węzłów), a następnie należy uporządkować równanie;
Obwód ten należy zmodyfikować  zgodnie z
podaną wyżej procedurą(patrz rysunek poniżej).
Macierzowe równanie węzłowe będzie miało
następującą postać:
obok napięć węzłowych U1i U2 niewiadomą jest
Również napięcie sterujące US. Wielkość tę, jak
łatwo zauważyć, można opisać równaniem:
US=U1-U2. Po podstawieniu tej zależności i
uporządkowaniu otrzymuje się równanie:
Rozwiązaniem jest para napięć węzłowych: U1=10V,U2=8V.
Metoda prądów oczkowych
Koncepcja metody polega na założeniu, że w poszczególnych oczkach (ponumerowanych kolejno:
I,II,III) płyną niezależne prądy oznaczone symbolami II,III,IIII. Prądy krawędziowe (I1,..,I6), a więc
prądy płynące w poszczególnych gałęziach układu, są związane z tak zdefiniowanymi prądami
oczkowymi prostymi zależnościami: część z nich jest wprost równa prądom oczkowym, zaś inne są
ich różnicą.
Na podstawie PPK wyznaczamy:
(pozostajÄ… niewiadome II,III,IIII).
Z prawa Ohma: URi=Ri.Ii co - po uporządkowaniu  da następujące równanie macierzowe:
Reguły opisu sieci M oczek:
wszystkie z
ródła muszą być napięciowe
oczka ponumerowane i kierunek prądów
zgodny. Równanie: [R] [I]=[E], gdzie:
[R] MACIERZ REZYSTANCJI OCZK
(własne oczka i wzajemne z  minusem)
[I] MACIERZ PR
DÓW OCZKOWY
[E] MACIERZ POBUDZEC
NAPI
CI
(algebr. suma napięć w oczku),
Przykłady
Zastosowanie powyższej procedury do przykładowego obwodu
oznacza konieczność wstępnego przygotowania obwodu do
opisu metodą prądów oczkowych (rys.) i napisanie równań
(jak wyżej):
W przypadku układu zawierającego z
ródła sterowane:
NapiÄ™cie sterujÄ…ce US=2© * I2 co daje równanie:
którego rozwiązaniem jest para prądów: I1=3A, I2=1A.