Macierzowy zapis równań równowagi
Przekroje fundamentalne  Macierz Incydencji Węzłowej
a
d f
b
b e
Graf:
a g = 17 - gałęzie
2
f
w = 12 - węzły
Fundamentalne:
1 3
b
e
n = g  w +1 = 6 - oczka
c g r = w  1 = 11 - przekroje
g
c d
h i
6
4
jk
5
hi k
j
Drzewo ( konary ): T = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k }
Antydrzewo ( struny ): Z = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Gałęzie: g
Struny: n = g  w + 1 Konary: r = w  1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h i j k
Ra
+1 +1
Rb
+1  1 +1
Rc
 1 +1 +1
Rd
+1  1 +1
Re
 1 +1 +1
Rf
 1 +1
Rg
+1  1 +1
Rh
 1 +1 +1
Ri
+1  1 +1
Rj
 1 +1
Rk
 1 +1
[]
A(r�g ) = Q(r�n) | 1(r�r)
gdzie: Q  macierz incydencji węzłowej.
(r�n)
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
PPK:
A(r�g) �" Ig (g�1) = 0(r�1)
Is (n�1)
Ą# ń#
[] = 0(n�1)
Q(r�n)1(r�r) �"
ó#I Ą#
k (r�1)
Ł# Ś#
Q(r�n)Is (n�1) + Ik (r�1) = 0(n�1)
Ik (r�1) = -Q(r�n) �" Is (n�1)
Is (n�1) 1(n�n)
Ą# ń# Ą# ń#
Ig (g�1) = = �" Is (n�1
ó#I Ą# ó#
k (r�1)
Ł# Ś# Ł#- Q(r�n)Ą#
Ś#
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Oczka Fundamentalne  Macierz Incydencji Oczkowej
2
a f
Graf:
g = 17 - gałęzie
II
w = 12 - węzły
1 I III 3
b
e
Fundamentalne:
g
d
c
n = g  w +1 = 6 - oczka
r = w  1 = 11 - przekroje
h
i
VI
6
4 IV
V
jk
5
Drzewo ( konary ): T = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k }
Antydrzewo ( struny ): Z = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Gałęzie: g
Struny: n = g  w + 1 Konary: r = w  1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h i j k
OI
+1  1  1 +1
OII
+1 +1  1 +1
OIII
+1  1 +1  1
OIV
+1  1 +1 +1
OV
+1 +1  1  1
OVI
+1 +1 +1 +1
[ ]
B(n�g ) = 1(n�n) | P(n�r)
gdzie: P(n�r)=  QT  macierz incydencji oczkowej
NPK:
B(n�g ) �" Ug ( g�1) = 0(n�1)
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Us (n�1)
Ą# ń#
B(n�g ) �" = 0(n�1)
ó#U Ą#
k (r�1)
Ł# Ś#
Us (n�1)
Ą# ń#
[] = 0(n�1)
1(n�n) P(n�r) �"
ó#U Ą#
k (r�1)
Ł# Ś#
Us (n�1) + P(n�r)Uk (r�1) = 0(n�1)
Us (n�1) = -P(n�r) �" Uk (r�1)
( )
Us (n�1) = QT (n�r) �" Uk (r�1)
Us (n�1) - P(n�r)
Ą# ń# Ą# ń#
Ug(g�1) = = �" Uk (r�1)
ó#U Ą# ó#
1(r�r) Ą#
k (r�1)
Ł# Ś# Ł# Ś#
Ą# ń#
(QT)
(n�r)
Ug(g�1) = �" Uk (r�1)
ó#
1(r�r) Ą#
Ł# Ś#
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Energia całkowita i moc chwilowa w sieci SLS
Moc chwilowa k-tej gałęzi:
pk (t) = uk (t) �"ik (t)
Moc chwilowa całej sieci:
g
d w(t)
( )
P t = = pk (t) = UT �" Ig = IT �" Ug
"
g g
d t
k =1
t
w(t) = P(� )d�
+"
t0
gdzie:
energia elektryczna przetworzona przez sieć w przedziale czasu < t0, t >.
Zasada zachowania energii w sieci SLS
" w(t) = const
t
Zasada Tellegena
Jeśli w sieci SLS funkcja w(t) jest klasy C1, to:
g
d w(t)
" P(t)= = pk (t) = UTIg = ITUg = 0
"
g g
t
d t
k =1
Dowód:
T
�# ś#
Ą# ń# �# 1 ś# �# 1 ś#
QT Ą# ń# Ą# ń#ź#
ś#
ś# ź# ś#
UT �" Ig = �" Uk ź# �" �" Is = Uk �" [Q 1]�" �" Is = 0
g ó# Ą#
ó# ó#
ś# ś#
ś# ź#
1
Ł#- QĄ# ź# Ł#- QĄ#ź#
Ś# Ś#
Ł# Ś# �# # �# #
�# #
T
�# ś# �#
�# 1 ś# Ą# ń# Ą# ń#ź#
Ą# ń# QT QT ś#
ś#
ś# ź#
IT �" Ug = �" Is �"ś# ó# Ą# �" Uk ź# = Is �" [1 - QT]�"
g ó# Ą#ź# �" Uk = 0
ó#
ś#
ź# ś#
1
Ł#- QĄ# ź# ś# 1
Ś#
�# # Ł# Ś# Ł# Ś#
�# # �# #
qed.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Twierdzenie Tellegena
Niech sieci SA i SB mają identyczną strukturę ( topologię ).
Przykład
Sieć SA Sieć SB
A B A B
Graf SA i SB
A B
D C D C
D C
Oznacza to, że macierze incydencji węzłowej sieci są identyczne:
QA a" QB
Także macierze incydencji oczkowej sieci są identyczne: PA= ( QA)T a" ( QB)T = PB .
Sieć SA Sieć SB
Ą# ń# Ą# ń#
QT QT
Ug(A) = �" Uk(A); Ug(B) = �" Uk(B)
ó# Ą# ó# Ą#
1 1
Ł# Ś# Ł# Ś#
1 1
Ą# ń# Ą# ń#
Ig(A) = �" Is(A); Ig(B) = �" Is(B)
ó# ó#
Ł#- QĄ# Ł#- QĄ#
Ś# Ś#
Twierdzenie Tellegena
Jeśli sieci SA i SB mają identyczną strukturę ( topologię ), to:
T T
(Ug(A)) �" Ig(B) = (Ig(B)) �" Ug(A) = 0;
T T
(Ug(B)) �" Ig(A) = (Ig(A)) �" Ug(B) = 0;
Dowód: Jak uprzednio !
Twierdzenie Tellegena jest powszechnie stosowane przy obliczaniu
wrażliwości obwodu na zmiany jego parametrów.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Kilka słów o wrażliwości funkcji obwodowych
na zmiany parametrów obwodów SLS
Wrażliwość bezwzględna funkcji obwodowej f:
" f (ParametrySieci) " f ( X )
Sxf = =
k
"WybranyParametrSieci " xk
Bezwzględna tolerancja funkcji obwodowej f:
N N
�# ś#
"f ( X ) = (Sxf �" "xk)
"ś# " f ( X ) �" "xk ź# = "
ś# ź# k
" xk
k =1 k =1
�# #
f (X ) = f0(X ) + "f (X )
Przykład Wyznaczyć wrażliwości napięcia wyjściowego U0 rezystancyjnego
dzielnika
napięcia na zmiany oporu jego rezystorów R1 i R2.
R1
R2
U0 = E
E
R2 U0
R1 + R2
Parametry: x1= R1, x2= R2, x3= E
Bezpośrednie wyliczenie wrażliwości
ż#
"U0 R2 V
Ą# ń#
U0
= - E
R1
�#S = 2
ó#&!Ą#
"R1
(x1 + R2)
Ł# Ś#
�#
�#
"U0 R1 V
�#SU =
Ą# ń#
0
= + E
�#
R2
2
ó#&!Ą#
"R2
(x2 + R1)
Ł# Ś#
�#
�#
"U0 R2 V
Ą# ń#
U0
SE = = +
�#
�#
"E R1 + R2 ó#VĄ#
Ł# Ś#
�#
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
 U0
U0 U0
SR
SR SE
1
x1 = R1 2
E
+
R1 R2
+
R1 + R2
x3 = E
E
-
R
2
x2 = R2
R1= 100 k&!; R2= 50 k&!; E= 12 V: U0 = 4 V
ż#
50 �"103 2 mV
Ą# ń#
U0
12 = -
R1
�#S = - 2
ó# Ą#
75 &!
Ł# Ś#
(100 �"103 + 50 �"103)
�#
�#
100 �"103 4 mV
�#SU = +
Ą# ń#
0
12 = +
�#
R2
2
ó# Ą#
75 &!
Ł# Ś#
(50 �"103 +100 �"103)
�#
�#
50 �"103 1 V
Ą# ń#
U0
�#
SE = + = +
ó#VĄ#
�#
100 �"103 + 50 �"103 3
Ł# Ś#
�#
Tolerancja napięcia wyjściowego dzielnika:
0 0 0
"U0 = SU �" "R1 + SU �" "R2 + SU �" "E
R1 R2 E
"R1= ą 10 k&! ( 10 % )
"R2= ą 5 k&! ( 10 % )
"E= ą 120 mV ( 1 % )
2 4 1
"U0 = - (ą10)+ (ą 5)+ (ą120�"10-3) [V]=
75 75 3
ą 20 m 20 ą 3,00 43
= = ą [V]= ą 0,57(3) [V]
75 75
U0 = 4 ą 0,57(3) V = < 3,42(6), 4,57(3) > V
"R2= ą 2,5 k&! ( 5 % )
2 4 1
"U0 = - (ą10)+ (ą 2,5)+ (ą120 �"10-3) [V]=
75 75 3
ą10 m 20 ą 3,00 33
= = ą [V]= ą 0,44 [V]
75 75
U0 = 4 ą 0,43 V = < 3,57, 4,43 >
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Metoda prądów oczkowych ( MPO )   Metoda Maxwella
Przykład:
2
a f
g = 17; w = 12;
1 III 3
LN = 2 g = 34;
�"
II
I
b
e
g
d
c Liczby równań różnych metod
Metoda Liczba równań
MPK g = 17
h
i
VI
6
V
4 IV
MPS g  w + 1 = 6
MNK w  1 = 11
jk
5
Prąd
Oczko Gałęzie Oczkowy Strunowy
iI = i1
OI = { 1; a, b, c } :
iII = i2
OII = { 2; b, e, d } :
iIII = i3
OIII = { 3; e, f, g } :
iIV = i4
OIV = { 4; c, h, j } :
iV = i5
OV = { 5; d, h, i } :
iVI = i6
OVI = { 6; g, i, k } :
Prądy gałęziowe:
Prąd
Gałąz
Gałęziowy Oczkowy
1 i1g = iI
2 i2g = iII
3 i3g = iIII
4 i4g = iIV
5 i5g = iV
6 i6g = iVI
a ia = iI
b ib = iI  iII
c ic = iI  iIV
d id = iII  iV
e ie = iII  iIII
f if = iIII
g ig = iIII  iIV
h ih = iIV  iV
i ii = iVI  iV
j ij = iIV
k ik = iVI
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Postać napięciowa gałęzi
ug
eg
Rg
ig
Rgig
On
ug = Rg ig  eg
�"
eg = ( e + Rg jg ) + ( [ris]g + Rg [ąis]g )
" �"" " �""
eg = eautonomiczne + esterowane
2
a f
NPK
OI: u1 + ua + ub + uc = 0
1 III 3
II
I
b
e
OII: u2 + ue + ud  ub = 0
g
d
c
OIII: u3 + ug  ue + uf= 0
OIV: u4  uc + uh + uj = 0
h
i
VI
6
V
4 IV
OV: u5  uh  ud  ui = 0
OVI: u6 + uk + ui  ug = 0
jk
5
u1 = R1 II  ( "e1 + R1�""j1 )  ( "[ris]1 + R1�""[ąis]1 )
u2 = R2 III  ( "e2 + R2�""j2 )  ( "[ris]2 + R2�""[ąis]2 )
u3 = R3 IIII  ( "e3 + R3�""j3 )  ( "[ris]3 + R3�""[ąis]3 )
u4 = R4 IIV  ( "e4 + R4�""j4 )  ( "[ris]4 + R4�""[ąis]4 )
u5 = R5 IV  ( "e5 + R5�""j5 )  ( "[ris]5 + R5�""[ąis]5 )
u6 = R6 IVI  ( "e6 + R6�""j6 )  ( "[ris]6 + R6�""[ąis]6 )
ua = Ra II  ( "ea + Ra�""ja )  ( "[ris]a + Ra�""[ąis]a )
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
ub = Rb (II  III)  ( "eb + Rb�""jb )  ( "[ris]b + Rb�""[ąis]b)
uc = Rc (II  IIV)  ( "ec + Rc�""jc )  ( "[ris]c + Rc�""[ąis]c )
ud = Rd (III  IV)  ( "ed + Rd�""jd )  ( "[ris]d + Rd�""[ąis]d)
ue = Re (III  IIII)  ( "ee + Re�""je )  ( "[ris]e + Re�""[ąis]e )
uf = Rf IIII  ( "ef + Rf �""jf )  ( "[ris]f + Rf�""[ąis]f )
ug = Rg (IIII  IIV)  ( "eg + Rg �""jg )  ( "[ris]g + Rg�""[ąis]g)
uh = Rh (IIV  IV)  ( "eh + Rh �""jh )  ( "[ris]h + Rh�""[ąis]h)
ui = Ri (IVI  IV)  ( "ei + Ri �""ji )  ( "[ris]i + Ri�""[ąis]i )
uj = Rj IIV  ( "ej + Rj �""jj )  ( "[ris]j + Rj�""[ąis]j )
uk = Rk IVI  ( "ek + Rk �""jk )  ( "[ris]k + Rk�""[ąis]k )
Podstawiając do NPK: OI: u1 + ua + ub + uc = 0
R1 II  ( "e1 + R1�""j1 ) + ( "[ris]1 + R1�""[ąis]1 ) +
+ Ra II  ( "ea + Ra�""ja ) + ( "[ris]a + Ra�""[ąis]a ) +
+ Rb (II  III)  ( "eb + Rb�""jb )  ( "[ris]b + Rb�""[ąis]b ) +
+ Rc (II  IIV)  ( "ec + Rc�""jc )  ( "[ris]c + Rc�""[ąis]c ) = 0
i grupując prdy oczkowe:
( R1+ Ra + Rb+ Rc) II  Rb III  Rc IIV +
 { ( "[ris]1 + R1�""[ąis]1 ) +
( "[ris]a + Ra�""[ąis]a ) +
( "[ris]b + Rb�""[ąis]b ) +
( "[ris]c + Rc�""[ąis]c ) } =
= ( "e1 + "ea+ "eb+ "ec ) + ( R1�""j1 + Ra�""ja + Rb�""jb + Rc�""jc )
& & & & & & itd.
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
MPO w zapisie macierzowym
Macierz Rezystancji Oczkowych Ro
OI OII OIII OIV OV OVI
OI
+ ("R)O I/I  RO I/II  RO I/III  RO I/IV  RO I/V  RO I/VI
OII
 RO II/I
+ ("R)O II/II  RO II/III  RO II/IV  RO II/V  RO II/VI
OIII
 RO III/I  RO III/II
+ ("R)O III/III  RO III/IV  RO III/V  RO III/VI
OIV
 RO IV/I  RO IV/II  RO IV/III
+ ("R)O IV/  RO IV/V  RO IV/VI
IV
OV
 RO V/I  RO V/II  RO V/III  RO V/IV
+ ("R)O V/V  RO V/VI
OVI
 RO VI/I  RO VI/II  RO VI/III  RO VI/IV  RO VI/V
+ ("R)O VI/VI
Wektor Sterowanych Wymuszeń Oczkowych Es
( "[ris]g)O I + (Rg�""[ąis]g)O I
( "[ris]g)O II + (Rg�""[ąis]g )O II
( "[ris]g)O III + (Rg�""[ąis]g )O III
( "[ris]g)O IV + (Rg�""[ąis]g )O IV
( "[ris]g)O V + (Rg�""[ąis]g )O V
( "[ris]g)O VI + (Rg�""[ąis]g )O VI
Wektor Autonomicznych Wymuszeń Oczkowych Eo
+ ("e)O I + ("Rj)O I
+ ("e)O II + ("Rj)O II
+ ("e)O III + ("Rj)O III
+ ("e)O IV + ("Rj)O IV
+ ("e)O V + ("Rj)O V
+ ("e)O VI + ("Rj)O VI
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
MPO: Ro�"Io  Es(Io) = Eo
MPO  jak ?
1. Wybrać n = g  w + 1 oczek niezależnych i nadać im jednakowe zwroty;
2. Utworzyć macierz rezystancji oczkowych Ro:
- na przekątnej głównej z plusem suma oporów rezystorów w oczku;
- poza przekątną z minusem opory rezystorów wspólnych sąsiednich oczek;
3. Utworzyć wektor autonomicznych wymuszeń oczkowych Eo:
- zwrot wymuszenie zgodny ze zwrotem oczka - znak plus;
- zwrot wymuszenie przeciwny do zwrotu oczka - znak minus;
4. Utworzyć wektor sterowanych wymuszeń oczkowych Es:
- znaki wynikają ze zwrotu wymuszenia sterowanego oraz prądu sterującego w
stosunku do zwrotu oczka;
5. Zapisać równania MPO i po uporządkowaniu do postaci: RosIo = Eo;
gdzie: Ros - macierz ( niesymetryczna jeśli w obwodzie są ZNSP lub ZPZP ) związana z
wartościami oporów rezystorów wchodzących w skład wybranych oczek
niezależnych oraz wartościami współczynników sprzężeń między oczkami
wynikającymi z istnienia w obwodzie ZNSP oraz ZPSP
6. Dowolną metodą rozwiązać równania MPO: RosIo = Eo Io= [Ros] 1Eo .
Przykład Zapisać równania MPO dla obwodu o schemacie pokazanym na rysunku
R1
Wektor prądów oczkowych
E2
I1
R2
r Is
R5
I1
O1
Io = I2
O2
Is
R3
Os
I2 R4 Is
E1
R6 Is
Macierz Rezystancji Oczkowych
O1 O2 Os
O1
R1 + R2 + R5  R5 0
Ro = O2
 R5 R4 + R5  R4
Os
0  R4 R3 + R4 + R6
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Wektor Autonomicznych Wymuszeń Oczkowych
R1
E2
I1
R2
O1
 E2
r Is
R5
O2
Eo =
+E1
Os
0
R3
I2 R4 Is
E1
R6 Is
Wektor Sterowanych Wymuszeń Oczkowych
R1
E2
I1
R2
O1
 r ( Is)
�"
r Is
R5
O2
Es =
0
Os
R3
+ r ( Is)
�"
I2 R4 Is
E1
R6 Is
Równania MPO
RoIo  Es = Eo
O1 O2 Os
O1
R1 + R2 + R5  R5  r I1  E2
O2
 R5 R4 + R5  R4 I2 = +E1
�"
Os
0  R4 R3 + R4 + R6 +r Is 0
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Obliczanie rezystancji złożonych dwójników
i
Rezystory
u
ZNSP OI
u
Rw =
ZPSP
i
Rw
i u
Ą# ń# Ą# ń#
ó#i Ą# ó#0Ą#
1
u " Ros
ó# Ą# ó# Ą#
Rw = =
[Ros]�" ó#i2Ą# = ó#0Ą#
i "iRos
ó# Ą# ó#MĄ#
M
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#
Ś#
Ł#in Ś# Ł#0Ą#
Przykład Jaka rezystancja obciąża z
ródło E1 z poprzedniego przykładu ?
R1
I1
R2
r Is
R5
R3
I R4 I2
u
Rw
R6 Is
R4 + R5  R5  R4 i u
 R5 R1 + R2 + R5  r I1 = 0
�"
 R4 0 R3 + R4 + R6 + r I2 0
"Ros = (R4 + R5)( R1 + R2 + R5)( R3 + R4 + R6 + r)  R4R5r +
 (R1 + R2 + R5)(R4)2  (R3 + R4 + R6 + r)(R5)2
"iRos = ( R1 + R2 + R5)( R3 + R4 + R6 + r)
R1R3 + R2R3 + R1R4 + R2R4 + R3R5 + R4R5 + R1R6 + R2R6 + R5R6 + r(R1 + R2 + R5)
Rw =
(R1R4 + R2R4 + R1R5 + R2R5)r + (R1R4 + R2R4 + R1R5 + R2R5 + R4R5)(R3 + R4 + R6)- R4(R1R4 + R2R4 + R4R5)
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Metoda napięć węzłowych ( MNW )   Metoda Coltriego
Postać prądowa gałęzi
ug
ig
Ggug Gg
jgk
Wn
ig = Gg ug + jg
�"
jg = ( Gg e + jg ) + ( [gus]g + Gg [kus]g )
�"" " " �""
jg = jautonomiczne + jsterowane
MNW w zapisie macierzowym
Macierz Konduktancji Węzłowych Gw
W1 W2 W3 W4
& &
W1
+ ("G)W 1/1  GW 1/2  GW 1/3  GW ź & &
W2
 GW 2/1 & &
+ ("G)W 2/2  GW 2/3  GW 2/4
W3
 GW 3/1  GW 3/2 & &
+ ("G)W 3/3  GW �
W4
 GW 4/1  GW 4/2  GW 4/3 & &
+ ("G)W 4/4
&
& & & & & &
&
& & & & & &
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Wektor Sterowanych Wymuszeń Węzłowych Js
( "[gus] )W 1 + ( Gg�""[kus] )W 1
( "[gus] )W 2 + ( Gg�""[kus] )W 2
&
&
Wektor Autonomicznych Wymuszeń Węzłowych Jw
+ ("Ge)W 1 + ("j)W 1
+ ("Ge)W 2 + ("j)W 2
&
&
&
MNW: Gw�"Uw  Js(Uw) = Jw
MNW  jak ?
1. Wybrać węzeł odniesienia V=0, dla pozostałych r = w  1 węzłów napisać MNW;
2. Utworzyć macierz konduktancji węzłowych Gw:
- na przekątnej głównej z plusem suma przewodności rezystorów we węz
le;
- poza przekątną z minusem przewodności rezystorów wspólnych sąsiednich węzłów;
3. Utworzyć wektor autonomicznych wymuszeń węzłowych Jw:
- zwrot do węzła - znak plus;
- zwrot od węzła - znak minus;
4. Utworzyć wektor sterowanych wymuszeń węzłowych Js:
- znaki wynikają ze zwrotu wymuszenia sterowanego oraz napięcia sterującego w
stosunku do węzła;
5. Zapisać równania MNW i po uporządkowaniu do postaci: GwsUw = Jw;
gdzie: Gws - macierz ( niesymetryczna jeśli w obwodzie są ZNSN lub ZPSN ) związana z wartościami
przewodności rezystorów dołączonych do wybranych węwzłów oraz wartościami
współczynników sprzężeń między węzłami wynikającymi z istnienia w obwodzie ZNSN
oraz ZPSN
6. Dowolną metodą rozwiązać równania MNW: GwsUw = Jw Jw= [Gws] 1Jw .
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład Zapisać równania MNW dla obwodu o schemacie pokazanym na rysunku
E2
R1
Wektor napięć węzłowych
V2
V1
g Us V3
2
R5
V1
W1
1 3
Uw = V2
W2
V3
W3
R4
J1
R6
V0= 0
Us
WO
Macierz Konduktancji Węzłowych
W1 W2 W3
W1
G1 + G5  G5  G1
Gw = W2
 G5 G4 + G5 0
W3
 G1 0 G1 + G6
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Wektor Autonomicznych Wymuszeń Oczkowych
E2
R1
Wektor autonomicznych
V2
wymuszeń węzłowych
V1
g Us V3
2
R5
1 3
J1 + G1E2
W1
Jw = 0
W2
R4
J1
 G1E2
W3
R6
V0= 0
Us
WO
Wektor Sterowanych Wymuszeń Węzłowych
E2
R1
Wektor sterowanych
V2
wymuszeń węzłowych
V1
g Us V3
2
R5
1 3
0
W1
Js =  g(+V3)
W2
R4
J1
+ g(+V3)
W3
R6
V0 = 0
Us
WO
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Równania MNW
GwUw  Js = Jw
W1 W2 W3
W1
G1 + G5  G5  G1 V1 J1 + G1E1
W2
 G5 G4 + G5 + g V2 = 0
�"
W3
 G1 0 G1 + G6  g V3  G1E1
E1 g G1 G4 - E1 G1 G4 G6 - E1 G1 G5 G6 + g G4 J1 - G1 G4 J1 + g G5 J1 - G1 G5 J1 - G4 G6 J1 - G5 G6 J
V1 g G1 G4 + g G4 G5 - G1 G4 G5 - G1 G4 G6 - G1 G5 G6 - G4 G5 G6
E1 G1 G5 G6 - gG1J1- gG5J1+ G1 G5 J1 + G5 G6 J1
=
V2
- gG1G4- gG4G5+ G1 G4 G5 + G1 G4 G6 + G1 G5 G6 + G4 G5 G6
- E1 G1 G4 G5 + G1 G4 J1 + G1 G5 J1
V3
- gG1G4- gG4G5+ G1 G4 G5 + G1 G4 G6 + G1 G5 G6 + G4 G5 G6
Obliczanie konduktancji złożonych dwójników
V1
Rezystory
j j
ZNSN
u j
Gw = =
ZPSN
u V1 - V2
V2 Gw
WO
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE
Przykład Jaka konduktancja obciąża z
ródło E2 z poprzedniego przykładu ?
G1 j
u
u  (G1 + G5) j  (V2  V1) = 0
Gw
R1
j
G5 j
g Us
R5
V2
j
V1
Gw = (G1 + G5)+
V2 - V1
R4
R6
V0= 0
Us
WO
G4 + g V1 =  j
0 G6  g V2 +j
�# ś#
G6 - g
ś# ź#
Gw = (G1 + G5)+
ś#
G4 + G6 ź#G4
�# #
przy założeniu: G6 `" g !!!
Dr inż. Jacek Czosnowski Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE