Analiza obwodów SLS, e, iz
czyli
zaczynamy na dobre
Stany nieustalone w obwodach RL i RC
Przykład 1.
R
t = 0
K
E0 = const.
u t
( )
E0
C
R0
t < 0
R
Warunek poczÄ…tkowy
R0
E0
U
C
R0
u 0 = U = E0
( )
R + R0
t > 0
uR t
( )
-E0 + uR t + u t = 0,
( ) ( )
i t
( )
R
i t
( )
du
i t = C ,
E0 ( )
C u t
( )
dt
du
uR t = Ri t = RC .
( ) ( )
dt
dt
du 1 1
+ u t = E0
( )
dt RC RC
du 1
Równanie jednorodne
+ u t = 0
( )
dt RC
1
Rozwiązanie ogólne równania
- t
RC
u t = e
( )
jednorodnego,   dowolna stała
RozwiÄ…zanie RozwiÄ…zanie Dowolne rozwiÄ…zanie
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ogólne ogólne szczególne
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= +
równania równania równania
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚niejednorodnegośł ïÅ‚ śł
jednorodnegośł ïÅ‚ niejednorodnego
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:
1
- t
RC
u t = e + E0
( )
( )
0
Z warunku poczÄ…tkowego
R0
u 0 =  + E0 = E0,
( )
R + R0
czyli
R
 = - E0
R + R0
Ostatecznie
1
- t
R
RC
u t = - E0 e + E0
( )
R + R0
Składowa przejściowa Składowa ustalona
u t
( )
E0
E0
R0
E0
R + R0
t
Przykład 2.
K
R
i t
( )
e t = E 2 sin É0t +¸
( ) ( )
t = 0
e t
( )
L
Warunek poczÄ…tkowy
i 0 = 0
( )
t > 0
t > 0
R
i t
( )
-e t + uR t + uL t = 0
( ) ( ) ( )
uR t
( )
uR t = Ri t
( ) ( )
e t uL t
( ) ( )
L
di
uL t = L
( )
dt
di
L + Ri t = E 2 sin É0t +¸
( ) ( )
dt
Rozwiązanie ma postać
R
- t
L
i t = e + iu t
( ) ( )
Będziemy poszukiwać rozwiązania szczególnego o postaci
iu t = I 2 sin É0t + Õ
( ) ( )
co zapiszemy jako
0
0
i t = I 2 Im ej(É t+Õ) 1
2 Im IejÕejÉ t
iu t = I 2 Im ej(É t+Õ) 1
2 Im IejÕejÉ t
=
=
( )
( )
{ }
{ }
{ }
{ }
Podobnie
0
e t = 2 Im Eej¸ejÉ t
( )
{ }
Obliczamy pochodnÄ…
diu
d
0 0
îÅ‚
= 2 Im IejÕejÉ t ûÅ‚ = 2 Im jÉ0IejÕejÉ t
{ }Å‚Å‚ { }
ðÅ‚
dt dt
Po podstawieniu do równania niejednorodnego otrzymujemy
0 0 0
L 2 Im jÉ0IejÕejÉ t + R 2 Im IejÕejÉ t a" 2 Im Eej¸ejÉ t
{ } { } { }
Å‚Å‚
Im R + jÉ0L IejÕ - Eej¸ ûÅ‚ejÉ0t a" 0
( )
{îÅ‚ }
ðÅ‚
0
Im We a" 0 Ô! W = 0
Im WejÉ t a" 0 Ô! W = 0
{ }
{ }
R + jÉ0L IejÕ - Eej¸ = 0
( )
Eej¸
IejÕ =
R + jÉ0L
Eej¸ E
I = =
2
R + jÉ0L
R2 + É0 L2
É0L
Å„Å‚ üÅ‚
Eej¸
Õ = arg = ¸ - arctg
òÅ‚ żł
R + jÉ0L R
ół þÅ‚
Ostatecznie, jako rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego
otrzymujemy
R
R
- t
É L
É0L
ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
E
L
i t = e + 2 sinëÅ‚É0t +¸ - arctg
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
2
R
íÅ‚ Å‚Å‚
R2 + É0 L2
Z warunku poczÄ…tkowego i(0) = 0 otrzymamy
É0L
öÅ‚
E 2 sinëÅ‚¸ - arctg
ìÅ‚ ÷Å‚
R
íÅ‚ Å‚Å‚
 = -
2
R2 + É0 L2
E = 2V, R = 1k&!, L = 3mH,
składowa ustalona
3Ä„
É0 = 106 rad , ¸ = rad.
składowa przejściowa
s 4
i(t), mA
t, µs
Przykład 3.
K
i t
( )
E0 = const
t = 0
u t
E0 ( )
C
Kondensator nie był naładowany,
czyli u(t) = 0 dla t < 0.
u(t)
E0
u t = E01 t
( ) ( )
t
i(t)
0 gdy t `" 0
Å„Å‚
du
i t = C =
( )
òÅ‚
dt
? gdy t = 0
t
ół
Rozwa\
my ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora
0 gdy t < 0
Å„Å‚
q t = Cu t =
( ) ( )
òÅ‚CE
gdy t > 0
ół 0
K
r
i t
( )
u(t)
E0
t = 0
u t
E0 ( )
C
t
t
i(t)
E0
1
r
- t
öÅ‚
rC
u t = E0 ëÅ‚1- e
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1
- t
E0 rC
du
i t = C = e
( )
dt r
t
fn
fn
n
1
1
t
1
1
2
t
1
1
1
1
2
2
3
1
i
t
1
1
i
3 3
i
"
´ t
1 t ?
( )
( )
fn t f t = ´ t
'
( )
( ) ( )
n
n "
t
t
1
n
f t
( )
´ t = 0 dla t `" 0
( )
"
´ t - t0
( )
1
2
fn t dt = n Å" = 1
( )
+"
n
-"
"
t
´ t dt \" 1
( ) t0
+"
-"
" "
lim ´ t dt = ´ t dt = 1
( ) ( )
+" +"
µ 0
0+
0-µ 0-
µ >0
´ t dt = 1
( )
" "
+"
0-
lim ´ t dt = ´ t dt = 0
( ) ( )
+" +"
µ 0
0+µ 0+
µ >0
t t
0 gdy t < 0
0 gdy t < 0
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
´ Ä dÄ = ´ Ä dÄ =
´ Ä dÄ = ´ Ä dÄ = = 1 t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
òÅ‚ żł
òÅ‚1 gdy t > 0żł = 1 t
+" +"
+" +"
ół þÅ‚
-" 0-
d
1 t \" ´ t
( ) ( )
dt
Własność filtrująca dystrybucji Diraca
Je\
eli f(t) jest ciągła w punkcie t = 0, to
f t ´ t = f 0 ´ t
( ) ( ) ( ) ( )
" "
f t ´ t dt = f 0 ´ t dt = f 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
-" -"
-" -"
Ogólniej, je\
eli f(t) jest ciągła w punkcie t = t0, to
f t ´ t - t0 = f t0 ´ t - t0
( ) ( ) ( ) ( )
" "
f t ´ t - t0 dt = f t0 ´ t - t0 dt = f t0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
-" -"
Różniczkowanie funkcji nieciągłych
f t
( )
f t = cost Å"1 t
( ) ( )
2
f t
( )
´ t
( )
d d d
f t = cost Å"1 t + cost Å" 1 t =
( ) ( ) ( )
dt dt dt
= -sint Å"1 t + ´ t
( ) ( )
f t
( )
f t
( )
3
2
4
1
2
t
t
1 2 3 4
2 3 4
1
 1
 2
2
2
f t
f t
( )
( )
2
f t
( )
2 4´ t
( )
´ t -1
( )
1
2
t
t
2
2 4
1
3 4
1
- 1 3
2
-2´ t - 4
( )
 4
-3´ t - 3
( )
-2´ t - 2
( )
Przykład 3.
K
i t
( )
t = 0 E0 = const
u t
E0 ( )
C
Kondensator nie był naładowany,
czyli u(t) = 0 dla t < 0.
u(t)
E0
t
u t = E01 t
( ) ( )
i(t)
du
CE0´ t i t = C = CE0´ t
( )
( ) ( )
t
dt
t t
q t = i Ä dÄ = CE0 ´ Ä dÄ = CE01 t
( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
-" -"
fn t
( )
n
sin nĄt
( )
fn t = n e-nt1 t
fn t =
( ) ( )
( )
t
Ä„t
1 1
-
n n
f1 t
f1 t ( )
( )
f1 t
( )
1
1
1
t
t
t
 1 1
f2 t f2 t
( ) ( )
f2 t
( )
2 2 2
t
t t
1 1
-
2 2
f3 t f3 t
( ) ( )
f3 t
( )
3
3
3
t
t t
1 1
-
3 3
Niech
fn t çÅ‚çÅ‚çÅ‚ t
´
( ) ( )
n"
Je\
eli dla ka\
dego n istnieje
d
fn2 t = fn t
( ) ( )
dt
to
d
2
fn2 t çÅ‚çÅ‚çÅ‚ ´ t
´ t \"
( ) ( ) ( )
n"
dt
Charakterystyka impulsowa układu SLS
p(t) r(t)
r t = T p t
r t = T p t
( ) ( )
( ) ( )
{ }
{ }
p t = ´ t i warunki poczÄ…tkowe sÄ… zerowe
( ) ( )
Charakterystyka impulsowa
h t \" T ´ t
( ) ( )
{ }
lub reakcja impulsowa układu
Dowolne pobudzenie
p t
( )
t
p t
( ) p k"t
( )
t
k"t
-"t 2"t
"t
ï"
p k"t "t ´ t - k"t
p t
( ) ( ) ( )
t
k"t
-"t 2"t
"t
ï"
"
p t H" p k"t "t ´ t - k"t
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
"
"
k=-"
´ t h t
( ) ( )
´ t - k"t h t - k"t
( ) ( )
p k"t "t ´ t - k"t p k"t "t h t - k"t
( ) ( ) ( ) ( )
" "
p k"t "t ´ t - k"t p k"t "t h t - k"t
( ) ( ) ( ) ( )
" "
k=-" k=-"
"
r t H" p k"t h t - k"t "t
( ) ( ) ( )
"
k=-"
"t 0
k"t Ò! Ä
-""t Ò! dÄ
"t Ò! dÄ
"
"
i "t Ò! i dÄ
( ) ( )
"
+"
k=-"
-"
"
r t = p Ä h t -Ä dÄ
( ) ( ) ( )
+"
-"
Splot funkcji
f(t), g(t)  dowolne funkcje
"
f t " g t = f Ä g t -Ä dÄ =
( ) ( ) ( ) ( )
+"
-"
"
= f t -Ä g Ä dÄ = g t " f t
= f t -Ä g Ä dÄ = g t " f t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+"
+"
-"
r t = p t " h t
( ) ( ) ( )
Własności splotu
f t " g t = g t " f t
( ) ( ) ( ) ( )
îÅ‚ f1 t + f2 t Å‚Å‚ " g t = f1 t " g t + f2 t " g t
( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ðÅ‚
a îÅ‚ f t " g t Å‚Å‚ = îÅ‚af t Å‚Å‚ " g t = f t " îÅ‚ag t Å‚Å‚
a îÅ‚ f t " g t Å‚Å‚ = îÅ‚af t Å‚Å‚ " g t = f t " îÅ‚ag t Å‚Å‚
( ) ( )ûÅ‚ ðÅ‚ ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )ûÅ‚
( ) ( )ûÅ‚ ðÅ‚ ( )ûÅ‚ ( ) ( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚
´ t " f t = f t
( ) ( ) ( )
2 2
´ t " f t = f t
( ) ( ) ( )
Rozpatrujemy układy liniowe przyczynowe, czyli
h t a" 0 dla t < 0
( )
t+ "
r t = p t " h t = p Ä h t -Ä dÄ = p t -Ä h Ä dÄ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
-" 0-
Jeżeli dodatkowo
Jeżeli dodatkowo
p t a" 0 dla t < 0
( )
i warunki poczÄ…tkowe dla sÄ… zerowe
t = 0 -
t+ t+
r t = p t " h t = p Ä h t -Ä dÄ = h Ä p t -Ä dÄ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
0- 0-
t e" 0
Przykład 1.
h t = e-t sint Å"1 t
( ) ( )
p t = 1 t
( ) ( )
"
r t = h t " p t = e sinÄ 1 Ä 1 t -Ä dÄ =
r t = h t " p t = e-Ä sinÄ 1 Ä 1 t -Ä dÄ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+"
+"
-"
t
t
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
-Ä
=
ïÅ‚ śł1
ïÅ‚- 2 śł1
+"e sinÄ dÄ ûÅ‚ (t) = ðÅ‚ 1 e-Ä (cosÄ + sinÄ ) ûÅ‚ (t) =
0
0
ðÅ‚
1 1
îÅ‚
= - e-t cost + sint
( )Å‚Å‚ ( )
ïÅ‚ śł1 t
ðÅ‚2 2 ûÅ‚
p t
( )
Przykład 2.
1
h t = e-t1 t
( ) ( )
t
1 2
p t = t Å"1 t - 2 t -1 Å"1 t -1 + t - 2 Å"1 t - 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r t = p t " h t =
r t = p t " h t =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
"
= îÅ‚Ä Å"1 Ä - 2 Ä -1 Å"1 Ä -1 + Ä - 2 Å"1 Ä - 2 Å‚Å‚ e-(t-Ä )1 t -Ä dÄ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ûÅ‚ ( )
+" ðÅ‚
-"
t t t
Å„Å‚ üÅ‚
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
= e-t ôÅ‚îÅ‚ eÄ dÄ t -
( ) ( )
òÅ‚ żł
ïÅ‚ śł1 ïÅ‚2 -1 eÄ dÄ śł1 t -1 + ïÅ‚ śł1
+"Ä +"(Ä ) +"(Ä - 2)eÄ dÄ ûÅ‚ (t - 2)ôÅ‚ =
ôÅ‚ ôÅ‚
ðÅ‚0 ûÅ‚ ðÅ‚ 1 ûÅ‚ ðÅ‚ 2
ół þÅ‚
îÅ‚t îÅ‚t
îÅ‚ Å‚Å‚
= -1+ e-t ûÅ‚1 t - 2 - 2 + e-(t-1) Å‚Å‚1 t -1 + - 3 + e-(t -2) Å‚Å‚1 t - 2
( ) ( ) ( )
ðÅ‚t
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
BIBO stabilność
Reakcja na dowolne ograniczone pobudzenie jest ograniczona
p t d" M < " Ò! r t d" N < "
( ) ( )
Twierdzenie
Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO wtedy i tylko wtedy gdy
jego charakterystyka impulsowa ma postać
jego charakterystyka impulsowa ma postać
h t = a´ t + h0 t ,
( ) ( ) ( )
gdzie jest funkcją (nie zawiera składników dystrybucyjnych),
h0 t
( )
oraz
"
a + h0 t dt d" K < "
( )
+"
0+
Dowód
1. Dostateczność
h t = a´ t + h0 t
Zakładamy, \
e ( ) ( ) ( ) oraz
"
a + h0 t dt d" K < "
( )
+"
0+
Wówczas
" "
r t = h Ä p t -Ä dÄ d" a p t + h0 Ä p t -Ä dt d"
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
0- 0+
"
d" a M + M h0 Ä dÄ d" a M + MK = N < "
( )
+"
0+
c.b.d.o.
2. Konieczność
Załó\
my, \
e (czyli a = 0)
h t = h0 t
( ) ( )
oraz
"
h0 t dt ",
( )
+"
0+
czyli dla ka\
dego K > 0 istnieje T > 0, takie \
e
T
T
h0 Ä dÄ > K
( )
( )
+"
0+
Niech
Å„Å‚1 gdy h0 T - t > 0
( )
ôÅ‚-1 gdy h0 T - t < 0
p t =
( ) ( )
òÅ‚
ôÅ‚0 gdy
h0 T - t = 0
( )
ół
Po podstawieniu
T - t = Ä , czyli t = T -Ä
Å„Å‚1 gdy h0 Ä > 0
( )
ôÅ‚-1 gdy h0 Ä < 0
p T -Ä =
( ) ( )
òÅ‚
ôÅ‚0
gdy h0 Ä = 0
( )
ół
Wówczas
Wówczas
T T
r T = h0 Ä p T -Ä dÄ = h0 Ä dÄ > K
( ) ( ) ( ) ( )
+" +"
0+ 0+
gdzie K mo\
e być dowolnie du\
Ä… liczbÄ…,
czyli reakcja nie jest ograniczona.
Załó\
my, \
e
2
h t = a´ t + b´ t + h0 t
( ) ( ) ( ) ( )
2
b´ t
Rozwa\
my drugi składnik ( )
2 2
r t = b´ t " p t = bp t
( ) ( ) ( ) ( )
Niech
p t = sinÉ t, p t d"1 < "
p t = sinÉ0t, p t d"1 < "
( ) ( )
( ) ( )
Wówczas
r t = bÉ0 cosÉ0t
( )
Niech K będzie dowolną liczbą. Wówczas
K
É0 > Ò! r t > K
( )
max
b
c.b.d.o.