egzamin z analizy 2.3 - semestr letni 2010
1 grupa a
1.1 zad 1.
znalez
ć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:
f(x, y) = (x2 - 2y)e-y
1.2 zad 2.
całkę po obszarze ograniczonym krzywymi:
y = 2x, x + y = 1, y = log2 x, y = 2
zamienić na dwa sposoby całki iterowane. wykonać rysunek.
1.3 zad 3.
za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły:


U = (x, y, z) " R3 : 1 - x2 + y2 z 2 - 2(x2 + y2)
wykonać rysunek.
1.4 zad 4.
zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
"

(2n)n
(2n + 1)!
1
1.5 zad 5.
rozwinąć w szereg fouriera funkcję:

4, x " (0, Ą)
f(x) =
-4, x " (-Ą, 0)
narysować wykres sumy szeregu dla dowolnego x " R
1.6 zad 6.
wykorzystując transformatę laplace a znalez
ć rozwiązanie zagadnienia początkowego:
y + y = t2 + 2t, y(0) = 0, y (0) = -2
2 grupa b
2.1 zad 1.
znalez
ć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:

2
f(x, y) = ln x2 + ey
1
2.2 zad 2.
przy pomocy całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
x2 + y2 = 2, y - z + 3 = 0, z = x2 + y2 - 3
wykonać rysunek.
2.3 zad 3.
obliczyć całkę potrójną po obszarze:

U = (x, y, z) " R3 : x y 0, 1 < x2 + y2 + z2 4
z funkcji:
f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
wykonać rysunek.
2.4 zad 4.
zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
"

1
n tg
n3
1
2.5 zad 5.
rozwinąć w szereg fouriera cosinusów funkcję:
x
f(x) = sin dla x " (0, Ą)
2
2.6 zad 6.
wykorzystując transformatę laplace a znalez
ć rozwiązanie zagadnienia początkowego:
y + y = cos 2t, y(0) = 0, y (0) = 0
3 grupa c
3.1 zad 1.
znalez
ć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:
"
3x
f(x, y) = e (x + y2)
3.2 zad 2.
zamienić kolejność całkowania w całce potrójnej.
1 2-x2

dx f(x, y)dy
"
0
1-x2
wykonać rysunek.
2
3.3 zad 3.
za pomocą całki potrójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

z = x2 + y2 - 4, z = 2 - x2 + y2
wykonać rysunek.
3.4 zad 4.
zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
"

en
e + (2n)!
1
3.5 zad 5.
rozwinąć w szereg fouriera funkcję:

2, x " (0, Ą)
f(x) =
-2, x " (-Ą, 0)
narysować wykres sumy szeregu na R
3.6 zad 6.
wykorzystując transformatę laplace a znalez
ć rozwiązanie zagadnienia początkowego:
y - y = 1 - e2t, y(0) = 0, y (0) = -2
4 grupa d
4.1 zad 1.
znalez
ć ekstrema lokalne podanej funkcji i określić ich rodzaj:
f(x, y) = x2 + y - 2 ln(xy)
4.2 zad 2.
przy pomocy całki podwójnej obliczyć objętość bryły:

U = (x, y, z) " R3 : x2 + y2 - 2 z 2 - x2 - y2
zamienić na dwa sposoby całki iterowane. wykonać rysunek.
4.3 zad 3.
obliczyć całkę potrójną

dxdydz
=
1 + x2 + y2 + z2
U
gdzie:


U = (x, y, z) " R3 : x2 + y2 + z2 1, z x2 + y2
wykonać rysunek
3
4.4 zad 4.
zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
"

5n - 3n
8n + 3n
1
4.5 zad 5.
rozwinąć w szereg fouriera cosinusów funkcję:
x
f(x) = sin dla x " (0, Ą)
6
4.6 zad 6.
wykorzystując transformatę laplace a znalez
ć rozwiązanie zagadnienia początkowego:
y + y - 6y = 2, y(0) = 1, y (0) = 0
4